Nguyenthao chuyende 100 cau khao sat

LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng ›š & ›š (Sưu tầm) TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email : info@nguyenthao.edu.vn ĐT Naêm 2011 : 0905434602 LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng ầ KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = (m - 1) x + mx + (3m - 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định Câu · Tập xác định: D = R y ¢= (m - 1) x + 2mx + 3m - (1) đồng biến R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ mx + (1) x+m 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (-¥;1) Câu Cho hàm số y = · Tập xác định: D = R \ {–m} y ¢= m2 - ( x + m )2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định Û y ¢< Û -2 < m < Để hàm số (1) nghịch biến khoảng (-¥;1) ta phải có -m ³ Û m £ -1 Kết hợp (1) (2) ta được: -2 < m £ -1 (1) (2) Cho hàm số y = x + x - mx - (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (-¥; 0) Câu · m £ -3 Cho hàm số y = x - 3(2 m + 1) x + m ( m + 1) x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2; +¥) Câu · y ' = x - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2 m + 1)2 - 4(m + m ) = > éx = m y' = Û ê Hàm số đồng biến khoảng (-¥; m ), (m + 1; +¥) ëx = m +1 Do đó: hàm số đồng biến (2; +¥) Û m + £ Û m £ Cho hàm số y = x - mx - 3m + (1), (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 2) · Ta có y ' = x - 4mx = x( x - m) Câu + m £ , y ¢³ 0, "x Þ m £ thoả mãn + m > , y ¢= có nghiệm phân biệt: - m , 0, Hàm số (1) đồng biến (1; 2) khi m m £ Û < m £ Vậy m Ỵ ( -¥;1] Cho hàm số y = x + (1 - 2m) x + (2 - m) x + m + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến ( 0; +¥ ) Câu Trang Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng ầ · Hàm đồng biến (0; +¥) Û y ¢= x + 2(1 - 2m ) x + (2 - m ) ³ với "x ẻ (0; +Ơ) 3x + x + Û f ( x) = ³ m với "x Î (0; +¥) 4x +1 -1 ± 73 2(6 x + x - 3) = Û 6x2 + x - = Û x = Ta có: f ¢( x ) = 12 (4 x + 1) Lập bảng biến thiên hàm f ( x ) (0; +¥) , từ ta đến kết luận: ỉ -1 + 73 + 73 fỗ m ữm ỗ 12 ữ ố ứ KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = x + x + mx + m – (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh · PT hoành độ giao điểm (C) trục hoành: é x = -1 x + x + mx + m – = (1) Û ê (2) ë g( x ) = x + x + m - = (Cm) có điểm cực trị nằm phía trục 0x Û PT (1) có nghiệm phân biệt ì ¢ Û (2) có nghiệm phân biệt khác –1 Û íD = - m > m ï biệt dấu Û í Ûí ïỵ2m - > ïỵm > Câu 10 Cho hàm số y = x - 3x - mx + (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y = x - Trang Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 ầ LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng · Ta có: y ' = x - x - m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = x - x - m = có nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = + 3m > Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1ư mư ỉ1 ỉ 2m ỉ Thực phép chia y cho y¢ ta c: y = ỗ x - ữ y '- ç + 2÷ x + ç - ÷ 3ø 3ø è3 è ø è mư mư ỉ 2m ỉ ỉ 2m ỉ + ÷ x1 + ỗ - ữ ; y2 = y ( x2 ) = - ỗ + ữ x2 + ỗ - ữ ị y1 = y ( x1 ) = - ỗ 3ứ 3ứ ố ứ ố è ø è mư ỉ 2m ỉ + 2ữ x + ỗ - ữ ị Phng trỡnh đường thẳng qua điểm cực trị D: y = - ỗ 3ứ ố ứ ố Cỏc điểm cực trị cách đường thẳng y = x - Û xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y = x - ổ 2m -ỗ + ữ = Û m = - (thỏa mãn) è ø TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng y = x - y + y2 x1 + x2 mư ỉ 2m ỉ Û yI = xI - Û = -1 Û - ç + ÷ ( x1 + x2 ) + ỗ - ữ = ( x1 + x2 ) - 2 3ø è ø è 2m ổ 2m m=0 ỗ + ữ = è ø 3ü ì Vậy giá trị cần tìm m là: m = í0; - ý 2ỵ ợ Cõu 11 Cho hm s y = x - 3mx + 4m (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x éx = Để hàm số có cực đại cực tiểu thỡ m ã Ta cú: y = x - mx ; y¢ = Û ê ë x = 2m uur Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB = (2m; -4 m3 ) Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3) ïì2 m - m3 = ì AB ^ d A, B đối xứng qua đường thẳng d: y = x Û m= ợI ẻ d ïỵ2 m = m Câu 12 Cho hàm số y = - x + 3mx - 3m - 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = · y ¢ = -3 x + mx ; y ¢= Û x = Ú x = m Hàm số có CĐ, CT Û PT y ¢= có nghiệm phân biệt Û m ¹ uuur Khi điểm cực trị là: A(0; -3m - 1), B(2 m; m3 - 3m - 1) Þ AB(2m; 4m ) Trung điểm I AB có toạ độ: I (m; m3 - 3m - 1) r Đường thẳng d: x + 8y - 74 = có VTCP u = (8; -1) Trang Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng ầ ìïm + 8(2m3 - 3m - 1) 74 ìI Ỵ d A B đối xứng với qua d Û í Û íuuur r ỵ AB ^ d ïỵ AB.u = 0 Û m=2 Câu 13 Cho hàm số y = x - x + mx (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x – y – = · Ta có y = x - x + mx Þ y ' = x - x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ¢= có hai nghiệm phân biệt Û D¢ = - 3m > Û m < ỉ1 ỉ2 1ư Ta cú: y = ỗ x - ữ y Â+ ç m - ÷ x + m 3ø è3 è3 ø Tại điểm cực trị y ¢= , tọa độ điểm cực trị thỏa mãn phương trình: ỉ2 y = ç m - 2÷ x + m è3 ø æ2 ö Như đường thẳng D qua cỏc im cc tr cú phng trỡnh y = ỗ m - ÷ x + m è3 ø nên D có hệ số góc k1 = m - 1 d: x – y – = Û y = x - Þ d có hệ số góc k2 = 2 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d ta phải có d ^ D 1ỉ2 ị k1k2 = -1 ỗ m - ữ = -1 Û m = 2è3 ø Với m = đồ thị có hai điểm cực trị (0; 0) (2; –4), nên trung điểm chúng I(1; –2) Ta thấy I Ỵ d, hai điểm cực trị đối xứng với qua d Vậy: m = Câu 14 Cho hàm số y = x - 3(m + 1) x + x + m - (1) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: y = x · y ' = x - 6(m + 1) x + Hàm số có CĐ, CT Û D ' = 9(m + 1)2 - 3.9 > m ẻ (-Ơ; -1 - 3) È (-1 + 3; +¥) ỉ1 m +1  Ta cú y = ỗ x ữ y - 2(m + 2m - 2) x + 4m + 3 è ø Giả sử điểm cực đại cực tiểu A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I trung điểm AB Þ y1 = -2(m + 2m - 2) x1 + m + ; y2 = -2(m + m - 2) x2 + m + ì x + x = 2(m + 1) và: í ỵ x1 x2 = Vậy đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu y = -2(m + m - 2) x + m + Trang Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 ầ LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng A, B đối xứng qua (d): y = ì AB ^ d x Ûí Û m = ợI ẻ d Cõu 15 Cho hm s y = x - 3(m + 1) x + x - m , với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x cho x1 - x £ · Ta có y ' = 3x - 6(m + 1) x + + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x Û PT y '= có hai nghiệm phân biệt x1 , x Û PT x - 2(m + 1) x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x ém > -1 + (1) Û D' = (m + 1) - > Û ê m < ëê + Theo định lý Viet ta có x1 + x = 2(m + 1); x1 x = Khi đó: x1 - x £ Û ( x1 + x )2 - x1 x £ Û 4(m + 1)2 - 12 £ Û (m + 1)2 £ Û -3 £ m £ (2) + Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm - £ m < -1 - - + < m £ Câu 16 Cho hàm số y = x + (1 - m) x + (2 - m ) x + m + , với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 - x2 > · Ta có: y ' = x + 2(1 - m) x + (2 - m) Hàm số có CĐ, CT Û y ' = có nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1 < x2 ) é (*) Û D ' = (1 - m )2 - 3(2 - m ) = m - m - > Û ê m > ê ë m < -1 ì 2(1 - m) ï x1 + x2 = Hàm số đạt cực trị điểm x1 , x2 Khi ta có: í m ïx x = ỵ 2 1 x1 - x2 > Û ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - x1x2 > 3 + 29 - 29 Û 4(1 - 2m )2 - 4(2 - m) > Û 16m - 12 m - > Û m > Úm< 8 + 29 Kết hợp (*), ta suy m > Ú m < -1 x - (m - 1) x + 3(m - 2) x + , với m tham số thực 3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 + x2 = Câu 17 Cho hàm số y = · Ta có: y ¢= x - 2(m - 1) x + 3(m - 2) Trang Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng ầ Hàm số có cực đại cực tiểu Û y ¢= có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Û D¢ > Û m - 5m + > (luôn với "m) ì x + x = 2(m - 1) ïì x = - 2m Khi ta có: í Ûí ïỵ x2 (1 - x2 ) = 3(m - 2) ỵ x1 x2 = 3(m - 2) Û 8m + 16 m - = Û m = -4 ± 34 Câu 18 Cho hàm số y = x + mx – x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 = -4 x2 · y ¢= 12 x + 2mx – Ta có: D¢ = m2 + 36 > 0, "m Þ hàm số ln có cực trị x1 , x2 ì ï x1 = -4 x2 ï m ï Khi đó: í x1 + x2 = ï ï ïỵ x1 x2 = - Câu hỏi tương tự: Þm=± a) y = x + x + mx + ; x1 + 2x2 = ĐS: m = -105 Câu 19 Cho hàm số y = (m + 2) x + x + mx - , m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hồnh độ số dương · Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hồnh độ số dương Û PT y ' = 3(m + 2) x + x + m = có nghiệm dương phân biệt ìa = (m + 2) ¹ ïD ' = - 3m(m + 2) > ìD ' = -m - m + > ì -3 < m < ï m ï ï ï Û íP = >0 Û ím < Û ím < Û -3 < m < -2 3(m + 2) ï ïm + < ïỵm < -2 ỵ ï S = -3 > ïỵ m+2 Câu 20 Cho hàm số y = x – x + (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = x - tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ · Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2) Xét biểu thức g( x, y ) = x - y - ta có: g( x A , y A ) = x A - yA - = -4 < 0; g( xB , yB ) = x B - yB - = > Þ điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng d: y = x - Do MA + MB nhỏ Û điểm A, M, B thẳng hàng Û M giao điểm d AB Phương trình đường thẳng AB: y = -2 x + Trang Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 ầ LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng ì x= ï y = x ì ï ổ4 2ử ị Mỗ ; ữ Ta điểm M nghiệm hệ: í è5 5ø ỵ y = -2 x + ïy = ïỵ Câu 21 Cho hàm số y = x + (1 – m) x + (2 – m ) x + m + (m tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ · y ¢= x + 2(1 - m) x + - m = g( x ) YCBT Û phương trình y ¢= có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 < x2 < ìD¢ = 4m - m - > ï Û ïg(1) = -5m + > Û < m < í ï S = 2m - < ïỵ y = x - 3mx + 3(m - 1) x - m3 + m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Câu 22 Cho hàm số · Ta có y ¢ = x - 6mx + 3(m - 1) Hàm số (1) có cực trị PT y ¢ = có nghiệm phân biệt Û x - 2mx + m - = có nhiệm phân biệt Û D = > 0, "m Khi đó: điểm cực đại A(m - 1; - 2m ) điểm cực tiểu B(m + 1; -2 - 2m ) é m = -3 + 2 Ta có OA = 2OB Û m + 6m + = Û ê êë m = -3 - 2 Câu 23 Cho hàm số y = - x + 3mx + 3(1 - m ) x + m - m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) · y ¢ = -3 x + mx + 3(1 - m ) PT y ¢= có D = > 0, "m Þ Đồ thị hàm số (1) ln có điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) Chia y cho y¢ ta c: Khi ú: ổ1 mử y = ỗ x - ÷ y ¢+ x - m2 + m è3 3ø y1 = x1 - m2 + m ; y2 = x2 - m + m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) y = x - m + m Câu 24 Cho hàm số y = x - 3x - mx + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = -4 x + Trang Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng ầ · Ta có: y ' = x - x - m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = x - x - m = có nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = + 3m > Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1ư mư ỉ1 ỉ 2m æ Thực phép chia y cho y¢ ta được: y = ỗ x - ữ y '- ỗ + 2ữ x + ỗ - ữ 3ứ 3ứ ố3 è ø è mư mư ỉ 2m ỉ ổ 2m ổ + ữ x1 + ỗ - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ỗ + ữ x2 + ỗ - ữ ị y1 = y ( x1 ) = - ỗ 3ứ 3ứ ố ứ ố ố ø è mư ỉ 2m ỉ + 2÷ x + ỗ - ữ ị Phng trỡnh ng thng qua điểm cực trị d: y = - ỗ 3ứ ố ứ ố ng thng i qua điểm cực trị song song với d: y = -4 x + ì ỉ 2m ï - ỗ + ữ = -4 ù ố ø Ûí Û m = (thỏa mãn) ïỉ - m ùợỗố ữứ Cõu 25 Cho hàm số y = x - 3x - mx + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x + y – = góc 450 · Ta có: y ' = x - x - m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = x - x - m = có nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = + 3m > Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1ö mö æ1 æ 2m ö æ Thực phép chia y cho y ta c: y = ỗ x - ữ y '- ỗ + 2ữ x + ỗ - ÷ 3ø 3ø è3 è ø è mö mö æ 2m ö æ æ 2m ö æ + ữ x1 + ỗ - ữ ; y2 = y ( x2 ) = - ỗ + ữ x2 + ỗ - ữ ị y1 = y ( x1 ) = - ỗ 3ứ 3ứ ố ø è è ø è mư ỉ 2m ổ + 2ữ x + ỗ - ữ ị Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị l D: y = - ỗ 3ứ ố ứ ố ổ 2m t k = - ỗ + ÷ Đường thẳng d: x + y – = có hệ số góc - è ø 1 39 é é é = k k k m + = = k+ ê ê ê 4 10 Ûê Ûê Ûê Ta có: tan 45o = 1 êk = ê k + = -1 + k êm = - 1- k ê êë êë 4 ë Kết hợp điều kiện (*), suy giá trị m cần tìm là: m = Câu 26 Cho hàm số y = x + x + m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -4 · 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho AOB = 120 Trang Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 ầ LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng é x = -2 Þ y = m + · Ta có: y ¢= x + x ; y ¢= Û ê ëx = Þ y = m Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) B(-2 ; m + 4) uur uur · OA = (0; m), OB = (-2; m + 4) Để AOB = 120 cos AOB = ì-4 < m < m(m + 4) Û = - Û m ( + (m + 4)2 ) = -2m(m + 4) Û í 2 ỵ3m + 24m + 44 = m ( + (m + 4)2 ) ì-4 < m < -12 + ï Ûí -12 ± Û m = ïỵ m = Câu 27 Cho hàm số y = x – 3mx + 3(m2 – 1) x – m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -2 2) Chứng minh (Cm) ln có điểm cực đại điểm cực tiểu chạy đường thẳng cố định éx = m +1 · y ¢= x - mx + 3(m - 1) ; y ¢= Û ê ë x = m -1 ì x = -1 + t Điểm cực đại M (m –1;2 – 3m) chạy đường thẳng cố định: í ỵ y = - 3t ìx = 1+ t Điểm cực tiểu N (m + 1; -2 – m) chạy đường thẳng cố định: í ỵ y = -2 - 3t (1) x - mx + 2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại Câu 28 Cho hàm số y = éx = · y ¢= x3 - 2mx = x ( x - m) y ¢ = Û ê ëx = m Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại Û PT y ¢= có nghiệm Û m £ Câu 29 Cho hàm số y = f ( x) = x + 2(m - 2) x + m - 5m + (Cm ) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm giá trị m để đồ thị (Cm ) hàm số có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân éx = · Ta có f ¢( x ) = x + 4(m - 2) x = Û ê ëx = - m Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢( x ) = có nghiệm phân biệt Û m < (*) Khi toạ độ điểm cực trị là: A ( 0; m - 5m + ) , B ( - m ;1 - m ) , C ( - - m ;1 - m ) uur uuur Þ AB = ( - m ; -m + m - ) , AC = ( - - m ; - m + 4m - ) Do DABC cân A, nên tốn thoả mãn DABC vng A Û AB.AC = Û (m - ) = -1 Û m = (thoả (*)) Trang Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng r · Gọi k hệ số góc tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT n1 = (k; -1) r Đường thẳng d có VTPT n2 = (1;1) ầ é r r k= n1 n2 ê k -1 Ta có cos a = r r Û = Û 12 k - 26 k + 12 = Û ê n1 n2 26 êk = 2 k +1 ë YCBT thoả mãn Û hai phương trình sau có nghiệm: é é ¢ 3 x + 2(1 - 2m) x + - m = y = ê é D/ ³ é8m - 2m - ³ ê 2 Ûê Ûê / Ûê ê ê3 x + 2(1 - 2m) x + - m = ëê D ³ ëê 4m - m - ³ ê y ¢= êë ë 1 é êm £ - ; m ³ 1 Û ê Û m £ - m ³ êm £ - ; m ³ êë Câu 64 Cho hàm số y = x - x + có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = · Giả sử A(a; a3 - 3a2 + 1), B(b; b3 - 3b2 + 1) thuộc (C), với a ¹ b Vì tiếp tuyến (C) A B song song với nên: y ¢(a) = y ¢(b) Û 3a2 - 6a = 3b2 - b Û a - b2 - 2(a - b) = Û (a - b)(a + b - 2) = Û a + b - = Û b = - a Vì a ¹ b nên a ¹ - a Û a ¹ Ta có: AB = (b - a)2 + (b3 - 3b2 + - a3 + 3a2 - 1)2 = (b - a)2 + (b3 - a3 - 3(b2 - a2 ))2 = (b - a)2 + éë(b - a)3 + 3ab(b - a) - 3(b - a)(b + a) ùû = (b - a)2 + (b - a)2 éë(b - a)2 + 3ab - 3.2 ùû 2 = (b - a)2 + (b - a)2 ëé(b + a)2 - ab - ùû = (b - a)2 + (b - a)2 (-2 - ab)2 AB = (b - a)2 ëé1 + (-2 - ab)2 ûù = (2 - 2a)2 éë1 + (a2 - 2a - 2)2 ùû 2ù é = 4(a - 1)2 ëê1 + ëé(a - 1)2 - 3ùû ûú = 4(a - 1)2 éë(a - 1)4 - 6(a - 1)2 + 10 ùû = 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 Mà AB = nên 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 = 32 Û (a - 1)6 - 6(a - 1)4 + 10(a - 1)2 - = (*) Đặt t = (a - 1)2 , t > Khi (*) trở thành: é a = Þ b = -1 t - 6t + 10t - = Û (t - 4)(t - 2t + 2) = Û t = Þ (a - 1)2 = Û ê ë a = -1 Þ b = Vậy điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B(-1; -3) Trang 22 Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 ầ LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng y = x - x (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng (d): y = - x điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) · Các điểm cần tìm là: A(2; –2) B(–2; 2) Câu 65 Cho hàm số Câu 66 Cho hàm số y = - x + x - (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) · Gọi M ( m;2) Ỵ ( d ) PT đường thẳng D qua điểm M có hệ số góc k có dạng : y = k ( x - m ) + 2 ì D tiếp tuyến (C) Û hệ PT sau có nghiệm ïí- x 2+ x - = k ( x - m) + (1) ïỵ-3 x + x = k (2) (*) Thay (2) (1) ta được: x - 3(m + 1) x + mx - = Û ( x - 2) éë2 x - (3m - 1) x + ùû = éx = Û ê ë f ( x ) = x - (3m - 1) x + = (3) Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Û hệ (*) có nghiệm x phân biệt ì ìD > ï m < -1 hc m > Û (3) có hai nghiệm phân biệt khác Û í Ûí î f (2) ¹ ï m ¹ î ì ïm < -1 hc m > Vậy từ điểm M(m; 2) Ỵ (d): y = với í kẻ tiếp tuyến ïỵm ¹ đến (C) mx + (m - 1) x + (4 - 3m) x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m cho đồ thị (Cm) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x + y - = Câu 67 Cho hàm số y = f ( x ) = · (d) có hệ số góc - Þ tiếp tuyến có hệ số góc k = Gọi x hồnh độ tiếp điểm thì: f '( x ) = Û mx + 2(m - 1) x + (4 - 3m) = Û mx + 2(m - 1) x + - 3m = YCBT Û (1) có nghiệm âm + Nếu m = (1) Û -2 x = -2 Û x = (loại) - 3m + Nếu m ¹ dễ thấy phương trình (1) có nghiệm x = hay x= m ém < - 3m Do để (1) có nghiệm âm m êë Vậy m < hay m > (1) Trang 23 Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng ầ Câu 68 Cho hàm số y = ( x + 1) ( x - 1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(a; 0) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) · Ta có y = x - x + Phương trình đường thẳng d qua A(a; 0) có hệ số góc k : y = k ( x - a) ìï x - x + = k ( x - a) d tiếp tuyến (C) Û hệ phương trình sau có nghiệm: ( I ) í x3 - x = k ïỵ ìï4 x ( x - 1) = k ìk = í Ta có: ( I ) Û í ( B) ( A) ïỵ f ( x ) = x - ax + = (1) îx -1 = + Từ hệ (A), cho ta tiếp tuyến d1 : y = + Vậy để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với (C) điều kiện cần đủ hệ (B) phải có nghiệm phân biệt ( x; k ) với x ¹ ±1 , tức phương trình (1) phải có nghiệm phõn ỡ  3 a > biệt khác ±1 Û íD = a - > Û -1 ¹ a < 2 î f (±1) ¹ Câu 69 Cho hàm số y = f ( x ) = x - x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với · Ta có: f '( x ) = x - x Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B k A = f '(a) = a3 - a, kB = f '(b) = 4b3 - b Tiếp tuyến A, B có phương trình là: y = f ¢(a)( x - a) + f (a) Û y = f ¢(a) x + f (a) - af ¢(a) y = f ¢(b)( x - b) + f (b) Û y = f ¢(b) x + f (b) - bf ¢(b) Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi: k A = kB Û a - a = 4b - b Û (a - b)(a2 + ab + b2 - 1) = (1) Vì A B phân biệt nên a ¹ b , (1) Û a2 + ab + b - = (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng khi: ìï a2 + ab + b2 - = ïì a2 + ab + b2 - = ( a ¹ b) Û í Ûí 4 ùợ f (a) - af Â(a) = f (b) - bf Â(b) ợù -3a + a = -3b + b Giải hệ ta nghiệm (a; b) = (-1;1) (a; b) = (1; -1) , hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị (-1; -1) (1; -1) Vậy điều kiện cần đủ để hai tiếp tuyến (C) A B song song với là: ìa2 + ab + b - = ợa 1; a b 2x (C) x+2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn Câu 70 Cho hàm số y = Trang 24 Thạc sĩ Nguyễn Thạo Website: http://nguyenthao.edu.vn email: info@nguyenthao.edu.vn ĐT: 0905434602 ầ LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng · Tiếp tuyến (d) đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a ¹ -2 thuộc (C) có phương trình: 2a Û x - (a + 2)2 y + a2 = ( x - a) + y= a+2 (a + 2) Tâm đối xứng (C) I ( -2; ) Ta có: d (I , d ) = a+2 16 + (a + 2) £ a+2 2.4.(a + 2) = a+2 2 a+2 =2 éa = d ( I , d ) lớn (a + 2)2 = Û ê ë a = -4 Từ suy có hai tiếp tuyến y = x y = x + x+2 (1) 2x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O -1