Tập GT của hàm số - ÔTĐH

I/ Định nghĩa về Tập giá trị của hàm số. 1. Định nghĩa thứ nhất về tập giá trị của hàm số : Cho tập X R. ánh xạ f : X R đợc gọi là một hàm số xác định trên X. Tập X đợc gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f Tập ảnh f(X)={f(x):x X} đợc gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số f . 2. Định nghĩa thứ hai về tập giá trị của hàm số : Cho X R . Nếu ta có một quy tắc f nào đó mà ứng với mỗi x X xác định đợc một giá trị tơng ứng y R thì quy tắc f đợc gọi là một hàm số của x và viết y=f(x). x đợc gọi là biến số hay đối số và y gọi là giá trị của hàm số tại x. Tập hợp tất cả các giá trị y với y =f(x); x X gọi là tập giá trị của hàm số f. 3. Định nghĩa thứ ba về tập giá trị của hàm số: Cho X R. Một hàm số f xác định trên X là một quy tắc f cho tơng ứng mỗi phần tử x X xác định duy nhất một phần tử y R. x đợc gọi là biến số hay đối số . y đợc gọi là giá trị của hàm số tại x. X đợc gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số. Tập giá trị của hàm số T = f(X) ={ f(x): x X}. II/ Tập giá trị của một số hàm số sơ cấp cơ bản. 1.Hàm hằng số : Y = f(x) = c Tập xác định : D = R. Tập giá trị : T = { c} . 2.Hàm số bậc nhất : Y = f(x) =ax +b ( a0 ). Tập xác định : D = R . Tập giá trị : T = R . 3.Hàm số bậc hai : y = a x 2 + b x +c ( a0 ). Tập xác định : D = R. Tập giá trị của hàm số : + Nếu a > 0 , Tập giá trị của hàm số là T =[ - a4 ; + ). + Nếu a< 0 , Tập giá trị của hàm số là T = (- ;- a4 ] . 4.Hàm số y = x . Tập xác định : D = R . Tập giá trị : T = R * + . 5. Hàm số y = [ ] x . Tập xác định : D = R . Tập giá trị : T = Z . 6. Các hàm số l ợng giác : 1 + y = Sinx , y = Cosx có TGT là T = [ -1 ; 1] . + y = Tanx và y = Cotx có TGT là T = R . 7. Hàm số mũ: y = a x ; 0 < a 1 : Tập xác định : D = R . Tập giá trị của hàm số : T = R * + . 8. Hàm số Lôgarít : y = Log a x ; 0 < a 1 : Tập xác định : D = R * + . Tập giá trị : T = R . III/ Một số phơng pháp tìm tập giá trị của hàm số . 1.Ph ơng pháp 1 :Tìm tập giá trị của hàm số bằng cách tìm tập xác định của hàm số ngợc của nó . Ta đã biết hai hàm số ngợc nhau thì tập giá trị của hàm số này là tập xác định của hàm số kia và ngợc lại. Do vậy để tìm tập giá trị của một hàm số ta đi tìm tập xác định của hàm số ngợc của nó: Ví dụ 1 : Tìm tập giá trị của hàm số y = 12 53 + x x . Hàm số có tập xác định là D = R \ 2 1 . Với mọi x D ta có : y = 12 53 + x x y(2x -1) = 3x + 5 ( 2y 3) x = y + 5 x = 32 5 + y y . Biểu thức có nghĩa khi : 2y 3 0 y 2 3 Vậy tập giá trị của hàm số là : T = R\ { } 2 3 . áp dụng phơng pháp này ta có thể tìm đợc tập giá trị của một số hàm số sau coi nh bài tập 1. x a y = 2. dcx bax y + + = 3. cbxaxy ++= 2 2 2.Ph ơng pháp 2 :Tìm tập giá trị của hàm số từ điều kiện có nghiệm của phơng trình : f(x) = y Từ điều kiện có nghiệm của phơng trình f(x) = y ta đánh giá đợc y [a;b] từ đó ta tìm đợc tập giá trị của hàm số. Ví dụ 1: Tìm tập giá trị của hàm số y = 1 1 2 2 ++ + xx xx Lời giải: Tập xác định của hàm số là D = R. Gọi y là một giá trị của hàm số khi đó phơng trình sau có nghiệm y = 1 1 2 2 ++ + xx xx y x 2 +yx + y =x 2 x + 1 có nghiệm ( y 1 )x 2 +(y + 1 )x + y 1 = 0 có nghiệm Nếu y = 1 thì phơng trình có nghiệm x = 0 . Nếu y 1 thì phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi ' = (y + 1) 2 - 4(y 1) 2 0 - 3y 2 +10 y 3 0 3 3 1 y . Vậy tập giá trị của hàm số là T = 3; 3 1 . Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số y = 32 32 ++ ++ CosxSinx CosxSinx Lời giải: Tập xác định của hàm số là D = R. y là một giá trị của hàm số thì phơng trình sau có nghiệm y = 32 32 ++ ++ CosxSinx CosxSinx 2y Sinx + y Cosx +3y = Sinx +2Cosx + 3 có nghiệm ( 2y 1) Sinx + (y 2) Cosx = 3 3y có nghiệm ( 2y 1) 2 +( y+2) 2 (3 3y) 2 2y 2 -5y + 2 0 2 2 1 y Vậy tập giá trị của hàm số là T = 2; 2 1 . * Sau đây là một số bài tập vận dụng Bài 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sa 1. 5 12 + = x x y 2. 1 2 ++= xxy 3. 1 43 2 2 + + = x xx y 3 4. 7sin4cos3 3cossin2 + + = xx xx y 5. 2coscossin4sin3 1cos4cossin3sin2 22 22 ++ ++ = xxxx xxxx y 6. xxxy cossin4sin 2 += 7. xxxxy 3sinsin3coscos 33 = . Bài 2 : Tìm a và b để tập giá trị của hàm số 1 2 2 + ++ = x baxx y có tập giá trị là [ ] 2;0 . Bài 3 : Tìm a để hàm số ax axx y + = 2 2 có tập giá trị là R. Bài 4 : Tìm a để hàm số ax x y = 2 1 có tập giá trị chứa [-1;0] . Bài 5: Tìm tập giá trị của hàm số 22 22 32 20103 ),( yxyx yxyx yxf ++ ++ = trên miền { } 0:),( 22 yxyxD += 3 /Ph ơng pháp tìm tGT của hàm số bằng cách sử DụNG bất đẳng thức. Bằng các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh đợc Mym và chỉ ra đợc dáu = xảy ra khi nào thì ta kết luận đợc tập giá trị của hàm số y = f(x). VD1: Tìm tập giá trị của hàm số y =x + 2005 1 16 + + x Tập xác định của hàm số là : D=(-1;+ ) áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dơng 1 + x ; 1 8 + x ; 1 8 + x ta có 12 1 8 . 1 8 ).1(3 1 8 1 8 1 3 = ++ + + + + ++ xx x xx x x+ 11 1 16 + x x+ 20202009 1 16 + + x Hay Y 2020 Dấu = xảy ra x+1= 1 8 + x (x+1). 1 + x =8 x=3 Mặt khác hàm số đã cho liên tục trên D và lim y=+ x + Vậy tập giá trị của hàm số là T=[2020;+ ). VD2: Tìm TGT của hàm số y= 1 + x + x 8 Lời giải: Hàm số có TXĐ là D=[-1;8] Dễ thấy y 0 Ta có :y 2 =9 + 2 )8).(1( xx + 9 đẳng thức xảy ra x=-1 hoặc x=8 y 3 Mặt khác :áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 )8)(1( xx + x+1 +8-x =9 y 2 9 +9 = 18 y 3 2 4 đẳng thức xảy ra x+ 1= 8 x x = 2 7 mà hàm số liên tục trên D TGT của hàm số là [3;3 2 ]. * Nhận xét: Bằng phơng pháp này kết luận dợc tập giá trị của hàm số đồng thời cũng kết luận đợc về GTLN, GTNN của hàm số đó là một ứng dụng rất quan trọng về tập giá trị của hàm số mà chúng ta đề cập ở phần sau ** Sau đây là một số bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm TGT của hàm số: y = 1 + x + 52 + x + 103 x . Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số: yxxyyxyxf 282254),( 22 +++= . Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số : xyz yx yxf + = ),( trên miền { } 1;0;;:);;( =++= zyxzyxzyxD 4/Phơng pháp tìm TGT của hàm số bằng cách khảo sát hàm số: Bằng cách sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số , lập bảng biến thiên của hàm số . Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận về tập giá trị của hàm số . VD1: Tìm TGT của hàm số : y = 2 1 2 + + x x Hàm số có TXĐ: D = R 'y = 2)2( 2 22 ++ xx x y , = 0 x= 2; )2(y = 2 3 Lim 2 1 2 + + x x = lim 2 2 1 1 1 x x + + = -1 x x lim 2 1 2 + + x x = 1 x + do đó ta có bảng biến thiên 5 Từ bảng biến thiên TGT của hàm số là T=[-1; 2 3 ]. Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số : yx yx yxf 2 3 )( ),( + = trên miền { } 0,0:),( yxyxD = Lời giải: Ta có 2 3 )( )1( ),( y x y x yxf + = , đặt t y x = với 0 t thì 2 3 )1( )(),( t t tgyxf + == 2 1 0 )12()1( )( 4 2 , == + = t t ttt tg Ta có bảng biến thiên t 0 2 1 + g , (t) - 0 + g (t) + + 4 27 Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là : T= + , 4 27 . *Nhận xét: Từ bảng biến thiên của hàm số chúng ta còn kết luận đợc về GTLN, GTNN của hàm số đồng thời còn có thể biện luận về số nghiệm của phơng trình và giảI đợc bất phơng trình. Đó là những ứng dụng của tập giá trị của hàm số chúng ta sẽ xết ở phần sau Để xét các bài toán ứng dụng đợc tốt , các bạn hãy tự giải các bài tập sau: Bài 1:Tìm TGT của hàm số :y= (2 + )3 x2 +(2 - )3 x2 -8[(2+ 32()3 + x ) x ]. x 2 + y + 0 - y 2 3 1 -1 6 Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số: x y y x x y y x x y y x yxf ++++= )(),( 2 2 2 2 4 4 4 4 . Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số y = sin 20 x + cos 20 x . Bài 4 : Tìm tập giá trị của hàm số : yx yxf 33),( += trên miền { } 1;0;0:),( =+= yxyxyxD . IV. Một số bài toán nâng cao về tìm TGT của hàm số. Để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán về tìm tập giá trị cũng nh các ứng dụng của nó chúng ta cùng giải một số bài toán nâng cao. Bài 1: Tìm tập giá trị của hàm số Y =x 4 - 2 6x +2. Lời giải : Tập xác định của hàm số là D = R. đặt t= 2 x , thì t 0 Khi đó ta có y = g(t)= t 2 - 6t + 2 với t );0[ + y ' =g ' (t)= 2t 6 g ' (t) = 0 3 = t Bảng biến thiên Vậy TGT của hàm số là: T= [ ) + ;7 Bài 2: Tìm TGT của hàm số y= 4 3 36 )(12 2 + x axx với a 0 Lời giải: đặt z = 36 )(12 2 + x axx thì y = 4 3 z với z 0 và y 0 Ta có z( x 2 +36) = 12x(x-a) (12 z) x 2 12ax 36 z = 0 để 0 z Tập giá trị của hàm số thì phơng trình trên phải có nghiệm Nếu z = 12 thì phơng trình ax +36 = 0 x = a 36 Nếu z 12 thì phơng trình có nghiệm 0)12(3636 2' += xza z 2 -12z- a 2 0 22 366366 aza +++ t 0 3 + y ' - 0 + y 2 + -7 7 Do 0 z nên ++ 2 36612 12 a z z [ ] 2 366;0 a ++ Vậy tập giá trị của hàm số là T = ++ 4 3 2 )366(;0 a . Bài 3 : Tìm a để tập giá trị của hàm số y = ax x + + 2 1 chứa [ ] 1;0 . Lời giải: Nếu a = -1 thì y = 10 1 1 1 1 2 = + x x x x tập giá trị của hàm số là ( ) ( ) + ;00; không chứa [ ] 1;0 Nếu a 1 thì y = ax x + + 2 1 y(x 2 +a) = x+1 yx 2 x + ay 1 = 0 xét y = 0 x = - 1 xét y 0 ta có y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phơng trình yx 2 x + ay 1 = 0 có nghiệm 0144 0)1(41 2 = yay ayy để tập giá trị của hàm số chứa [0 ; 1] thì 0)( yg đúng với mọi y [ ] 1;0 + nếu a=0 thì g(y) = -4y 1 4 1 0 y tập giá trị của hàm số là ]1;0[); 4 1 [ + + nếu 0 a thì [ ] 1;00)( yyg luôn đúng + nếu 0 a thì 4 5 0 01 054 0)0(4 0)1(4 0)( a a ag ag yg Kết hợp các khả năng đã xét ta có các giá trị của a thoả mãn bài toán là 4 5 1 a . Bài 4 : Tìm miền giá trị của hàm số y = 2000 x + 2000 -x Lời giải: 8 Tập xác định của hàm số là D = R Với mọi x R ta có 2000 x > 0 và 2000 -x > 0 áp dụng bất đẳng thức cô si ta có : 22000.2000220002000 =+= xxxx y Mặt khác ta có: += += + y y x x lim lim Do đó tập giá trị của hàm số là T= );2[ + . Bài 5 : Tìm miền giá trị của hàm số y = x x 1 + Lời giải: Tập xác định của hàm số là D = R\ { } 0 Với mọi x khác 0 ta có +=+=+= 2 2 2 111 y y x x x x x xy dấu = xảy ra khi 1 = x Vậy tập giá trị của hàm số là ( ] [ ) += ;22;T . Bài 6 : Tìm tập giá trị của hàm số 2 1 2 x x y + = Lời giải: Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có 01 2 2 1 2 2 = + = x x x x x y 11 y dấu = xảy ra khi x= 1 hoặc x= -1 Mặt khác với x = 0 ta có y = 0 Vậy tập giá trị của hàm số là T = [ -1 ; 1 ] Bài 7: Tìm miền giá trị của hàm số y = lg(1- 2cosx). Lời giải: Biểu thức xác định hàm số có nghĩa khi 1 2cosx > 0 cosx < 2 1 )(2 3 5 2 3 Zkkxk +<<+ mặt khác : 1 2cosx ( ] 3;0 nên y ( ] 3lg; Vậy tập giá trị của hàm số là T = ( ] 3lg; . Bài 8 : Tìm tập giá trị của hàm số y = xCos xSin 2 2 1 1 + + Lời giải: 9 Để tìm tập giá trị của hàm số ta tìm y để phơng trình y = xCos xSin 2 2 1 1 + + có nghiệm y + y Cos 2 x = 1 + Sin 2 x y + y ( 1 - Sin 2 x) = 1 + Sin 2 x ( y + 1) Sin 2 x = 2y 1 Với y = -1 phơng trình trở thành : 0 = -1 phơng trình vô nghiệm Với y 1 phơng trình tơng đơng 1 12 2 + = y y xSin Phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi: 1 1 12 0 + y y 2 2 1 y Vậy tập giá trị của hàm số là T = 2; 2 1 . V/ ứng dụng của tập giá trị của hàm số . Sử dụng các bài toán về tìm tập giá trị của hàm số chúng ta đông thời giải quyết đ- ợc một số bài toán quan trọng thờng gặp trong các kì thi tuyển sinh vào các trờng ĐH- CĐ. 1. ứ ng dụng 1: Chứng minh bất đẳng thức. VD 1: chứng minh rằng : ln(1+x) > x - 2 2 x với mọi x > 0 . Lời giải: xét hàm số 2 )1()( 2 x xxLnxf += trên ( ) + ;0 có );0(0 1 1 1 1 )( 2 ' + + =+ + = x x x x x xf Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là: ( ) + ;0 Vậy f (x) > 0 với mọi x hay ta có điều phải chứng minh. x 0 + f (x) + f (x) + 0 10 [...]... 2Cosx Sinx + 4 Bài 2: Tìm m để hàm số y = y = 4 Sinx + 4 Cosx 6 mx 2 + (1 m) x + 1 + 2m có TGT là 7 ;2 2 x x+2 Bài 3: Tìm m và n để TGT của hàm số y= x 2 + mx + n x2 + 1 là [1;9] Bài 4: Tìm GTLN , GTNN của hàm số : y = Bài 5: Tìm k để hàm số Bài 6: Tìm m để hàm số 20 x 2 + 10 x + 3 3x 2 + 2 x + 1 kSinx + 1 có GTNN nhỏ hơn -1 2 + Cosx m(1 + 2Cosx ) + 1 y= có GTLN đạt GTNN Sinx + Cosx + 2 y= 15 Bài... ta có tập nghiệm của bất phơng trình là ( 2) * Trên đây chúng ta đã xét một số phơng pháp tìm TGT của hàm sốvà một số ứng dụng của nó Sau đây chúng ta tự làm một số bài tập để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán Một bài toán thì có thể có nhiều phơng pháp giải chúng ta hãy giải các bài tập dới đây bằng nhiều phơng pháp và chọn một cách giải phù hợp nhất Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm TGT của các hàm số sau:... 3 2 = x + f ' ( x) = bảng biến thiên x f(x) và 1 x f ( x) = x + xét hàm số có 1 x 1< x < 2 với 1 x 1< x < 2 trên (1; 2 ) x 2 1 > 0x (1; 2 ) x2 1 2 + 3 2 2 f (x) 2 Từ bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh 2/ ứng dụng 2: Tìm GTLN, GTNN của một hàm số hay một biểu thức VD 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x + Cos2x trên xét hàm số y = x + Cos2x trên Có y = 1 Sin2x 0 với Bảng biến thiên x y ... > 2 x x với với (0; x Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= 2 x với ) 2 + Cosx Sinx + Cosx 2 Bài 11: Cho x, y thoả mãn x 2 + xy + y 2 = 2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = x 2 2 xy + 3 y 2 Bài 12: Cho x, y R và thoả mãn x 2 xy + y 2 = 1 Tìm GTNN của biểu thức: M M = xy + y 2 Bài 13: Cho x,y 0 và thoả mãn ( x + y ) xy = x 2 + y 2 xy Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = 1 1 + 3 3 x y Bài... 8 + 3( x + 2) 2 + 4 > 0x Hàm số đồng biến trên R BBT: x - 1 + ' + f ( x) + f 0 ( x) Từ bảng biến thiên ta kết luận đợc tập nghiệm của bất phơng trình là: D = (1;+ ) VD2: Giải bất phơng trình: 5 x + 12 x > 13 x Lời giải: Bất phơng trình tơng đơng xét hàm số ( 5 x 12 ) + ( )x >1 13 13 5 12 f ( x) = ( ) x + ( ) x 13 13 là hàm số nghịch biến trên R ta có bảng biến thiên 14 - x f ( x) f ( x) + 2 + +... bảng biến thiên ta có Maxy = + 4 2 2 ; Min y =1 VD 2: Cho x,y là 2 số không đồng thời bằng 0 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 11 A= x2 + y2 x 2 + xy + 4 y 2 Lời giải: Nếu y = 0 thì x 0 và A = 1 Nếu y 0 ta có A = đặt x =t y ta có A = x2 +1 y2 x2 x + +4 y2 y t2 +1 t2 + t + 4 Bằng cách khảo sát hàm số ta lập đợc bảng biến thiên của hàm số nh sau 3 10 3 + 10 + t A + 0 0 + 20 + 6 10 A 20 + 5 10 1 1 20... đây chúng ta sử dụng phơng pháp hàm số nh sau: Phơng trình 2b = x 4 2 x 2 + 2 đặt t = x 2 thì t 0 và 2b = t 2 2t + 2 Xét hàm số f(t) = t 2 2t + 2 f ' (t ) = 2t 2 f ' (t ) = 0 t = 1 BBT: t 0 1 + ' (t ) 0 + f t) f( 2 + 1 b Từ BBT ta thấy pt có nghiệm 2b 1 VD3: Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của pt 1 2 x + 3 = m x 2 +1 Phơng trình m = Xét hàm số f(x) = x +3 x+3 x2 + 1 TXĐ: D... 13 + 3 x 13 = 4 Xét hàm số f ( x) = 3 x + 13 + 3 x 13 trên R f ' ( x) = 1 33 ( x + 13) 2 + 1 33 ( x 13) 2 > 0x 13 BBT: 12 x f ' ( x) f ( x) - -1 3 // + 13 // + 3 3 + + Nhận xét thấy tại x= 14 thì f(x) = 4 mà hàm số luôn đồng biến trên R Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất x 26 26 = 14 VD2: Tìm b để pt sau có nghiệm: x 4 2 x 2 2b + 2 = 0 *Nhận xét: Nếu áp dụng điều kiện có nghiệm của pt trùng phơng thì... thoả mãn ( x + y ) xy = x 2 + y 2 xy Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = 1 1 + 3 3 x y Bài 14: Cho x, y R thay đổi và thoả mãn điều kiện: của biểu thức: p = 2( x + 6 xy ) 1 + 2 xy + 2 y 2 2 x 2 + y 2 = 1 Tìm GTLN, GTNN Bài 15: Cho x 2 + y 2 xy = 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức M = x4 + y4 x2 y2 Bài 16: Tìm m để BPT sau có nghiệm Log 2 x 2 + 1 < log 2 (mx + m) Bài 17: log 22 x log 2 x 2 < 0 Giải... 1 VD3: Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của pt 1 2 x + 3 = m x 2 +1 Phơng trình m = Xét hàm số f(x) = x +3 x+3 x2 + 1 TXĐ: D = R x 2 +1 Bằng cách khảo sát hàm số ta có BBT nh sau X f ' ( x) - + 1/3 0 - + 13 f (x) 10 -1 1 Từ BBT ta có kết quả sau m 1 pt vô nghiệm 1 < m 1 pt có 1 nghiêm 1 < m < 10 pt có 2 nghiệm m = 10 pt có 1 nghiệm m > 10 pt vô nghiệm ứng dụng 4: ứng dụng vào việc . để tìm tập giá trị của một hàm số ta đi tìm tập xác định của hàm số ngợc của nó: Ví dụ 1 : Tìm tập giá trị của hàm số y = 12 53 + x x . Hàm số có tập xác. bằng cách tìm tập xác định của hàm số ngợc của nó . Ta đã biết hai hàm số ngợc nhau thì tập giá trị của hàm số này là tập xác định của hàm số kia và ngợc