18 Bo HSG Toan 9 Nam 2017 2018

18 Bộ HSG Toán Cấp Tỉnh, TP HCM – Hà Nội Năm học: 2017 – 2018 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THANH HĨA KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2018 Môn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề Câu I x x x 1 2x x , với x  0, x  Rút gọn x x x x x x x2 x P tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên 1/ Cho biểu thức: P 2/ Tính giá trị biểu thức: P 4(x 1)x 2018 2x 2017 2x 3x 2x x 3 Câu II 1/ Biết phương trình (m 2)x 2(m 1)x m có hai nghiệm tương ứng độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vng (x y) (8x y 4xy 13) Giải hệ phương trình 2x x y Câu III 1/ Tìm nghiệm nguyên phương trình y2 5y 62 (y 2)x (y2 6y 8)x 2/ Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn p a b2 số nguyên tố p chia hết cho Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn ax số x, y chia hết cho p by2 chia hết cho p Chứng minh hai Câu IV Cho tam giác ABC có (O), (I), (Ia ) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A tam giác với tâm tương ứng O, I, Ia Gọi D tiếp điểm (I) với BC , P điểm cung BAC (O) , PIa cắt (O) điểm K Gọi M giao điểm PO BC, N điểm đối xứng với P qua O Chứng minh IBIa C tứ giác nội tiếp Chứng minh NIa tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác Ia MP Chứng minh DAI KAIa Câu V : Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh rằng: xz y2 x 2z y yz xz yz x z Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2018 Môn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề Bài 1/ Rút gọn biểu thức: P 109 36 109 36 a b3 c3 abc Chứng minh a b c 2/ Xét số thực a, b, c thay đổi thõa mãn điều kiện biểu thức Q a 3b 5c2 có giá trị khơng đổi (a b c) Bài 1/ Giải phương trình: x 2/ Giải hệ pt: x 2y 3x (3y x x x)(y y x x 1) Bài ) thõa mãn P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) 1/ Cho đa thức P(x) x ax3 bx cx d với (a,b,c,d = 11 Tính S = 10P(4) + P(-2) 2/ Phân tích số 16032018 thành tổng số hạng nguyên dương Gọi S tổng lập phương tất số hạng Hỏi S chia cho dư bao nhiêu? Bài 4: Cho ABC nhọn, có AB < AC Gọi I trung điểm BC Hai đường cao BD CE tam giác cắt H Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác BEI đường tròn tâm O’ ngoại tiếp tam giác CDI cắt K khác I, DE cắt BC M 1/ CMR: Tứ giác AEKD nội tiếp đường tròn ba điểm A, K, I thẳng hàng 2/ CMR: EMK ECK 3/ Chứng minh ba đường thẳng EC, DB, MK đồng quy Bài 1/ Xét số thực không âm a, b, c thõa mãn a + b + c = khơng có hai số đồng thời 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P (c 2)(3 a b) (a b)(b c) (c a)(a b) 2/ Một hình trịn chia thành 10 hình quạt hình vẽ Trên ô người ta đặt viên bi Nếu ta thực hện liên tục thao tác lấy hai ô ô viên bi chuyển sang liền kề chuyển tất viên bi không? Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề Bài 1: Cho x ( 1) 16 10 Tính giá trị biểu thức A (77x 35x 646)2017 Bài 2: Cho đa thức P(x) Q(x) thõa mãn P(x) = Q(x) + (x2 – x + 1)Q(1-x) với x hệ số P(x) số ngun khơng âm P(0) = Tính giá trị Q(2017) Biết Bài 3: Tìm nghiệm nguyên (x;y) phương trình (2x – y - 2)2 = 7(x – 2y – y2 – 1) Bài 1/ Giải pt sau: 3x 2/ Giải hệ pt sau: x2 17x x2 x3 3xy x x2 2xy y2 y3 3x y y y2 2xy x2 Bài Cho tam ABC M điểm nằm bên tam giác Gọi D điểm AB cho MD // BC E điểm BC cho ME // AC, F điểm AC cho MF // AB Kí hiệu SABC SDEF diện tích ABC DEF Chứng minh rằng: SABC 3SDEF Bài Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O có đường cao AH = OA Gọi E F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB AC Chứng minh đường thẳng EF qua trung điểm đoạn OA Bài 12 20 15 Cho số thực dương x, y, z thõa mãn Tìm GTLN biểu thức : xy P x y2 16 yz zx z2 25 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TP ĐÀ NẴNG KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề Bài 1: Tính A 11 11 Bài 2: Cho biểu thức A 18 11 x x x x x x 1 : x với x > 0; x x Hãy rút gọn biểu thức A Chứng minh A Bài Cho đường thẳng dm có phương trình y = mx + 2m – 1, với m tham số a/ Chứng minh tham số m thay đổi đường thẳng dm ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H b/ Tìm giá trị m cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến dm lớn Bài a/ Tìm tất số x thõa mãn: x x 2 2x y b/ Tìm tất số x, y, z thõa: y 2y z x x y z x x x 7 Bài Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng 3m ta ruộng hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Bài Cho hình bình hành ABCD có độ dài đường chéo AC 4, ABC 1500 Gọi E, F chân đường cao hạ từ C đến đường thẳng AB AD Tính độ dài đoạn FE Bài Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt đường thẳng qua C song song với AB D a/ CMR: BC2 = AB.CD b/ Gọi G trọng tâm tam giác ABC; E giao điểm CG BD Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt BG F Chứng minh rằng: EAB FAC Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯNG YÊN KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề Bài a/ Cho hai số thực a, b thõa mãn a b CMR: 2018 b/ Cho a nghiệm dương phương trình 6x2 + a A a4 a a 3x - b a 2018 b 2018 = Tính giá trị biểu thức 2 a2 Bài 1/ Giải phương trình: (1 x ) x x 2/ Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thõa mãn: (x – 2018)2 = y4 – 6y3 + 11y2 – 6y Bài a/ Giải hệ phương trình: 2x (3x 2y 2y)(y 1) y) (x x b/ Cho ba số thực dương x, y, z thõa mãn y z 3yz CMR: x x 4zx y 5xy z Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định với OA = 2R; đường kính BC quay quanh O cho tam giác ABC nhọn Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA điểm thứ hai I Các đường thẳng AB, AC cắt (O; R) điểm thứ hai D E Gọi K giao điểm DE OA a/ CMR: AK.AI = AE.AC b/ Tính độ dài AK theo R c/ Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc đường thẳng cố định Bài Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ; 625 chọn 311 số cho hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số chọn, cungxcos số phương Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017 - 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề Bài 1/ Chứng minh n6 – 2n4 + n2 chia hết cho 36 với n nguyên dương 2/ Cho ba số a, b, c phân biệt Đặt : x = (a + b + c)2 – 9ab, y = (a + b + c)2 – 9bc, z = (a + b + c)2 – 9ac Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z có số dương Bài 1/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: (x – y)(2x + y + 1) + 9(y – 1) = 13 2/ Giải phương trình: x2  x  2018  2018 Bài 1/ Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2  2(ab + bc + ca) p, q, r ba số thỏa mãn : p + q + r = Chứng minh : apq + bqr + crp  2/ Cho số dương a, b thỏa mãn điều kiện ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M =  a  b  1  a2  b2   ab Bài 1/ Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF trực tâm H a/ Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH; b/ Gọi I, J trung điểm AH BC Đường trịn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP tứ giác nội tiếp 2/ Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO BẮC GIANG KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017 - 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề Bài x x 1/ Cho biểu thức A 1 x x 1 x : x x x x với x 0;x a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ c/ Tìm giá trị m để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 2x x1 x1x 1/ Giải phương trình: 2x thõa mãn 2x1 x2 x1x Bài 2/ Giải hệ pt: x3 3(x x x) x 2y y3 y x2 (x, y ) x x x Bài 1/ Tìm tất cặp số nguyên (x;y) cho 3(x4 – y2) = 2(x2 – y) + 2/ Cho biểu thức B 16 162 163 2018 2017 B2018 So sánh: B 2018 16 Bài 1/ Cho hai đường tròn(O; 4cm) (I; 2cm) cắt tai hai điểm phân biệt A, B cho OAI 900 Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt đường (I) C khác A Tiếp tuyến đường tròn (I) A cắt đường tròn (O) D khác A Gọi E giao điểm AB CD Gọi P, Q trung điểm AD, CD Chứng minh rằng: a/ APQ ABC đồng dạng b/ ED = 4EC 2/ Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm E thuộc cung nhỏ CD đường trịn (O), E khác C D Có EA cắt DB, DC M N; EB cắt CA, CD P Q Gọi G giao điểm CM DP Chứng minh rằng: GM EM GP EP NQ CD Bài Tính giá trị nhỏ biểu thức P (x y3 ) (x y ) , x, y số thực lớn (x 1)(y 1) Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TP BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TP LỚP Năm học: 2017 - 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề Bài 1:  x2 x 4 a/ Cho biểu thức M     x x 8 x  x 1   x  x  10    :   x    x  x  x   Rút gọn M tìm x để M > b/ Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab  bc  ca  Tính H = a b b c c a   1 c 1 a 1 b Bài 2: a/ Giải phương trình 30  5  x2   x2 x x b/ Tìm số thực x để số x  3; x  3; x  số nguyên x Bài 3: a/ Tìm x nguyên dương để x3  14 x2  x  số phương b/ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh rằng:   x2   y   z    xyz x y z Bài 4: Cho đoạn thẳng OA = R, vẽ đường tròn (O;R) Trên đường tròn (O;R) lấy H kỳ cho AH < R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R) Trên đường thẳng a lấy B C cho H nằm B C AB = AC = R Vẽ HM vng góc với OB (M  OB), vẽ HN (N  OC) a/ Chứng minh OM  OB = ON  OC MN qua điểm cố định b/ Chứng minh OB  OC = 2R2 c/ Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi Bài 5: Cho dãy số n, n + 1, n + 2, …, 2n với n ngun dương Chứng minh dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên - Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh OC Đề Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Đề 10 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Đề 11 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Đề 12 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Đề 13 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Đề 14 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Đề 15 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Đề 16 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Đề 17 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Đề 18 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh  ... y) + 2/ Cho biểu thức B 16 162 163 2 018 2017 B2 018 So sánh: B 2 018 16 Bài 1/ Cho hai đường tròn(O; 4cm) (I; 2cm) cắt tai hai điểm phân biệt A, B cho OAI 90 0 Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt... trình 6x2 + a A a4 a a 3x - b a 2 018 b 2 018 = Tính giá trị biểu thức 2 a2 Bài 1/ Giải phương trình: (1 x ) x x 2/ Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thõa mãn: (x – 2 018) 2 = y4 – 6y3 + 11y2 – 6y Bài... ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2 018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề Bài 1/ Rút gọn biểu thức: P 1 09 36 1 09 36 a