PHÒNG GD-ĐT NINH PHƯỚC TRƯỜNG THCS TRẦN THI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) -Đề : Bài : (4 điểm) a/ Cho a+b+c = Chứng minh : a3 + b3 +c3 = 3abc b/ Cho biểu thức A = (x - 1)(x + 2)(x +3)(x +6) Tìm giá trị x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ Bài : (4 điểm) Cho B = 21 + 22 +23+24 + +229 + 230 Chứng minh B chia hết cho 21 Bài : (4 điểm) x x +3 x +2 x +2 + + Cho biểu thức : A = 1 − ÷ ÷ ÷: ÷ Với : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 1+ x x − − x x − x + a/ Rút gọn A b/ Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài : (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD có DC = 2AD, từ trung điểm I cạnh CD vẽ HI vng góc với AB (H thuộc AB) Gọi E giao điểm AI DH Chứng minh : DE DA = a/ (2 điểm) HE HA 1 = + (2 điểm) b/ IH IA IB Bài : (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AD phân giác,biết BD = độ dài cạnh góc vng tam giác Hết 14 cm, CD = cm Tính 17 17 PHỊNG GD-ĐT NINH PHƯỚC TRƯỜNG THCS TRẦN THI Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC : 2018 – 2019 Mơn : TỐN – Thời gian : 120 phút Lời giải a/ Cho a+b+c = Chứng minh : a3 + b3 +c3 = 3abc Giải: Ta có a3 + b3 +c3 = (a+b)3 – 3ab(a+b) + c3 = (a+b+c)3 – 3c(a+b)(a+b+c) – 3ab(a+b) Do a+b+c = nên a+b = -c Suy : a3 + b3 +c3 = (-c+c)3 – 3c(-c)(-c+c) – 3ab(-c) = 3abc Vậy : a3 + b3 +c3 = abc b/ Cho biểu thức A = (x - 1)(x + 2)(x +3)(x +6) Tìm giá trị x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ Ta có A = (x-1)(x+6)(x+3)(x+2) = (x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2 -36 Vậy : A ≥ 36 với x x = Suy : MinA = 36 Khi (x2 +5x) = ⇔ x = −5 29 30 Cho B = + +2 +2 + +2 + Chứng minh B chia hết cho 21 Ta có : B= (2+22)+(23+24)+ ….+(229+230) = 2(1+2)+23(1+2)+ … +229(1+2) = 3(2+23+ ……+229) Suy B chia hết cho Ta lại có : B = (2+22+23)+(24+25+26)+ … +(228+229+230) = 2(1+2+22)+24(1+2+22)+… 228(1+2+22) = 7(2+24 +…….228) Suy B chia hết cho Mà UO7LN(3;7) = Suy B chia hết cho 21 a/ Rút gọn A x x +3 x +2 x +2 A = 1 − : + + ÷ ÷ ÷ ÷ 1+ x x − − x x − x + x x +3 x +2 x +2 = − : + + ÷ ÷ ÷ ÷ 1+ x x − − x x − x + 1+ x − x x + x +2 x +2 = : − + ÷ ÷ ÷ x − ( x − 2)( x − 3) ÷ 1+ x x − = x −9− x + 4+ x + ( x − 2)( x − 3) : = × = 1+ x ( x − 2)( x − 3) 1+ x x −3 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ x −2 x +1 b/ Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên x −2 = 1− Ta có : A = 1+ x x +1 A nhận giá trị nguyên x + nhận giá trị ước Vậy : x +1 = ⇔ x = x + = −1 ⇔ x = −2 Vô nghiệm x + = ⇔ x = (Loại khơng thỏa điều kiện) x + = −3 ⇔ x = −4 Vơ nghiệm Vây x = A nhận giá trị nguyên -2 Điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ A K H B Hình vẽ E D I a/ Chứng minh : 0,5đ C DE DA = HE HA Gọi K trung điểm AB Ta có : AK = DI KH P DI ( ABCD hình bình hành ) Nên IDAK hình bình hành, mà ID = AD = ½ DC Do IDAK hình thoi , nên AI phân giác góc HAD Hay tam giác HAD có AE phân giác nên : DE DA = HE HA 1 = 2+ 2 IH IA IB Chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác KBCI hình thoi · · Nên : IB IA hai tia phân giác hai góc kề bù DIK KIB Do IB ⊥ IA Vậy tam giác AIB vng I có IH đường cao 1 = 2+ Nên : IH IA IB 0,5đ 0,5đ 0,5đ b/ Chứng minh : 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ B D 0,5đ A C Ta có : BC = BD + CD = 13 AD ĐL Pytago vào ∆ABC : µA = 900 ta có: AB2 + AC2 = BC2 AD t/c đường p/g vào ∆ABC với p/g AD ta có: BD CD BD CD = ⇒ = AB AC AB AC BD + CD BD + CD = = AB + AC BC BD BC 65 Do đó: AB = = =5 2 BD + CD 13 AC = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ CD BC 156 = = 12 2 BD + CD 13 0,5đ Phước Thuận, ngày … tháng 10 năm 2018 Giáo viên đề đáp án Trịnh Văn Viễn ...PHÒNG GD-ĐT NINH PHƯỚC TRƯỜNG THCS TRẦN THI Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC : 2018 – 20 19 Mơn : TỐN – Thời gian : 120 phút Lời giải a/ Cho a+b+c = Chứng minh... (x2 +5x) = ⇔ x = −5 29 30 Cho B = + +2 +2 + +2 + Chứng minh B chia hết cho 21 Ta có : B= (2+22)+(23+24)+ ….+(2 29+ 230) = 2(1+2)+23(1+2)+ … +2 29( 1+2) = 3(2+23+ ……+2 29) Suy B chia hết cho Ta... +2 29( 1+2) = 3(2+23+ ……+2 29) Suy B chia hết cho Ta lại có : B = (2+22+23)+(24+25+26)+ … +(228+2 29+ 230) = 2(1+2+22)+24(1+2+22)+… 228(1+2+22) = 7(2+24 +…….228) Suy B chia hết cho Mà UO7LN(3;7) =