PHƯƠNG PHÁP và kĩ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I Khái niệm: Phương trình vơ tỷ phương trình có chứa thức II Phương pháp giải 1) Phương pháp bình phương hay lập phương để khử thức Ví dụ Giải phương trình a) b) c) (3) Lời giải a) Điều kiện: Với PT (2) PT (3) Vậy PT cho có nghiệm x=2 b) Điều kiện: Với Do PT (2) nên vế PT khơng âm PT ™ c) Pt (3) 2) Đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỷ Phương pháp Đưa phương trình phương trình bậc Thí dụ Giải phương trình: Lời giải Đặt Phương trình (1) trở thành: Với t = Vậy nghiệm PT (1) Thí dụ Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: Đặt Phương trình (2) trở thành: Với t = (thỏa mãn điều kiện) Với t = (thỏa mãn điều kiện) Thí dụ Giải phương trình: ; Lời giải Điều kiện: Đặt ; Ta có PT: ; +) +) Vậy pt có nghiệm Thí dụ Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: Đặt thành: Với t = 13 Do phương trình (3) có nghiệm x = Phương pháp Đặt ẩn phụ không hồn tồn Thí dụ Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: (1) Đặt (t ≥ 0) Phương trình (1) trở thành: Giải phương trình với ẩn t ta được: Phương trình (3) trở Do Với t = nên t2 < không thỏa mãn đk t ≥ thì: (thỏa mãn điều kiện) Thí dụ Giải phương trình: Lời giải Đặt Phương trình (2) trở thành: Với t = ta có: Với t = ta có: = (vơ lý) Vậy PT (2) có nghiệm Nhận xét: Những phương trình dạng: Phương pháp giải Đặt bậc hai giải ví dụ đưa phương trình Thí dụ Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: x ≥ -1 Đặt Với Phương trình cho trở thành: ta có: Do x = khơng nghiệm PT nên: Bình phương rút gọn ta x = Với ta có: (vơ nghiệm VT ≥ 0, VP < 0) Vậy phương trình có nghiệm x = Phương pháp Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp Giải phương trình: Lời giải ĐK: PT(4) Đặt Ta có: Phương trình (*) phương trình đẳng cấp x y (*) Đặt y = xt (*) trở thành: (do ) Suy ra: Giải ta x = x = nghiệm cảu PT Phương pháp Đặt hai nhiều ẩn phụ để giải phương trình vơ tỷ Ví dụ Giải phương trình: Lời giải Đk: x3 + Đặt: a = ;b= (1) ,( a 0; b>0) (2) a2 + b2 = x2 + Khi phương trình cho trở thành: 10.ab = 3.(a2 + b2) a = 3b b = 3a +) Nếu a = 3b từ (2) suy ra: nghiệm) +) Nếu b = 3a từ (2) suy ra: =3 = – 10x – = Phương trình có hai nghiệm x1 = (1)) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = Ví dụ Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: 9x2 – 10x + = (vô 9x + = x2 – x + ; x2 = x2 = x2 (thỏa mãn Đặt thì: Giải ta hai nghiệm là: Ví dụ Giải phương trình: Lời giải Đặt: Khi từ (4) ta có: Từ suy ra: Giải ta nghiệm Phương pháp Đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đơn giản Thí dụ Giải hệ phương trình: Lời giải ĐK: x 12 Đặt suy ra: Ta có hệ phương trình: Giải ta được: Thí dụ Giải hệ phương trình: Lời giải Đặt (u, v 0) Khi đó, ta có hệ phương trình: Giải hệ phương pháp ta nghiệm u = 2, v = u = 3, v = Từ tính nghiệm x = 81 x = 16 Phương pháp Đưa hệ đối xứng loại Ví dụ Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: Đặt : ( ta có hệ phương trình +) (Ko T/m) +) PT (*) (ko t/m) Vậy PT vô nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình: Lời giải Điều kiện: Đặt Ta có: Ta có hệ phương trình: Do đó: Giải ta nghiệm Ví dụ Giải phương trình: Lời giải Đặt ta có hệ phương trình: Giải hệ nàu nghiệm x = 3) Dùng bất đẳng thức để đánh giá Dạng Tìm nghiệm chứng minh nghiệm Giải phương trình: Lời giải ĐK: Dễ thấy nghiệm phương trình Với ta có: Với ta có: Vậy phương trình có nghiệm Dạng Đánh giá hai vế Ví dụ Giải phương trình: Lời giải ĐK: Cách Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: Vập phương trình có nghiệm khi: VT = VP = hay x = Do phương trình có nghiệm x = Cách Áp dụng BĐT Cauchy ta có: Do đó: (1) Mặt khác: (2) Vập phương trình có nghiệm khi: VT = VP = hay x = Do phương trình có nghiệm x = Cách Đặt (A > 0) Bình phương A áp dụng BĐT Cauchy ta có: =16 Do Dấu “=” xảy x + = – x x=3 Mặt khác: Vập phương trình có nghiệm khi: VT = VP = hay x = Do phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: (Tác giả: AD Page “Tài liệu toán học” 03/12/2017) Lời giải Với ab ≥ ta có: Thật vậy, biến đổi tương đương (*) ta được: ( ab − 1) ( a − b ) ≥0 Đẳng thức xảy a = b ab = Bất đẳng thức với ab Biến đổi áp dụng BĐT (*) ta được: Dễ thấy >1với x nên phương trình có nghiêm Giải phương trình ta nghiệm Ví dụ Giải phương trình a) (1) b) c) (3) d) e) b) Lời giải a) ĐK: Với Đk: PT (1) Ta có: Đẳng thức xẩy Vậy nghiệm PT cho b) ĐK Trên TXĐ Lại có Đẳng thức xẩy Vậy PT (2) có nghiệm x=5 c) ĐK: áp dụng BĐT cô si cho số không âm ta có Ta có (Vì ) Câu 20 (chun Tiền Giang năm 2017) Giải phương trình: Lời giải.Với x ≥ , đặt ≥ Khi đó, phương trình cho tương đương với Do x = không nghiệm PT chia hai vế PT cho x ≠ ta được: (thỏa mãn t, x ≥ 0) (không thỏa mãn t, x ≥ 0) Với Kiểm tra lại ta thấy nghiệm thỏa mãn Vậy nghiệm PT Câu 21 (Trích đề thi HSG huyện Kim thành 2012 – 2013) Giải phương trình sau: a) − x + + x = b) x + x + = 2 x + Lời giải a/ ĐK: −4 ≤ x ≤ Bình phương vế: − x + + x + (1 − x)(4 + x) = ⇔ (1 − x)(4 + x) = x = ⇔ − x − x = ⇔ x ( x + 3) = ⇔   x = −3 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = -3 b/ x + x + = 2 x + ĐKXĐ: x ) ( ( ≥ −3 ) ⇔ x2 + x + + x + − 2 x + + = ( x + 1) + (  x +1 = 2x + −1 = ⇔  ⇒ x = −1 x + =   ) Vậy phương trình có nghiệm x = -1 Câu 22 (Trích đề thi học sinh giỏi TP Thanh Hóa 2016 – 2017) Giải phương trình sau: Lời giải ĐKXĐ: Vì với 10x – 20 Ta có: Vậy phương trình có nghiệm x = 23 (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2013 – 2014) Câu Giải phương trình Lời giải Đặt ta phương trình Với t = -4 ta có Với t =2 ta có Kết luận nghiệm phương trình Câu 24 (Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2010 – 2011) Giải phương trình: Lời giải điều kiện Đặt (b>0) Ta có: Trường hợp1: a = 3b Ta có: (1) thay vào vế trái (4)  Vì 2   13   13 y − ( y + 1) =  y − ÷ − > 1 − ÷ − =   36   36 lớn Do (4) vơ nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm x=0 Câu 28 (Trích đề thi HSG huyện Thanh Oai năm 2014 – 2015) Giải phương trình: Lời giải ĐK: x = 0,5 Biến đổi: Hoặc (2) Giải (1) x = (thỏa mãn), Giải (2) x = (thỏa mãn) Vậy PT có nghiệm x = x = Câu 29 (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Giang năm học 2012 – 2013) Giải phương trình: Lời giải ĐK: Với điều kiện biến đổi phương trình cho trở thành: Chia hai vế phương trình cho , ta (4) (1) Đặt Thay vào (1) ta + với ta có (t/m) (t/m) + với ta có (vơ nghiệm) KL: x = , x = nghiệm PT cho Câu 30 (Trích đề thi HSG TP Bắc Giang năm học 2016 –2017) Giải phương trình Lời giải Điều kiện: Ta có: Đặt (*) (Điều kiện: ), phương trình trở thành +Với khơng thỏa mãn điều kiện (**) + Với ta có phương trình: Vậy phương trình có nghiệm Câu 31 (Trích ĐTS vào lớp10 chun Quảng Bình năm học 2012 – 2013) 1 + =1 x − x Giải phương trình: Lời giải ĐK: − 3< x < 3vµ x ≠ Đặt y = − x , (y > 0) Ta có hệ phương trình 1  + =1 x y x2 + y2 =  x + y = xy ⇔ (x + y) − 2xy = x + y = xy ⇔ ( x + y) − 2( x + y) − =  x + y = −1   xy = −1 ⇔  x + y =  (v« nghiƯm)   xy =  −1−  x =    −1+  y = x + y = −1   ⇔   xy = −1 −1+  x =    −1−  y =   5 (tho¶m· n) 5 Vậy phương trình có nghiệm (lo¹i) x= −1 − Câu 32 (Trích đề TS vào lớp 10 Phú Yên năm 2011 – 2012) Giải phương trình hệ phương trình sau: Lời giải Điều kiện : (*) Đặt , suy Phương trình trở thành: 6t3 +13t2 -14t +3 = Giải ta được: Với (loại) , ta có: ; Với , ta có: Cả hai nghiệm thỏa điều kiện (*) Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Câu 33 (Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Ninh Bình năm học 2013 – 2014) Giải phương trình Lời giải + x3 = 2( x2 + 2) Cách 1: Điều kiện: + x ≥ ⇔ x ≥ −1 + x3 = ( x2 + 2) ⇔ ( + x ) ( − x + x2 ) = ( x2 + 2) Đặt u = + x ; v = − x + x ; u ≥ 0, v > 5uv = ( u + v Phương trình cho trở thành ) u u ⇔ 2 ÷ − + = v v u u =2 = v v u =2 ⇒ + x = − x + x ⇔ 4x − 5x + = (vô nghiệm) v Với ⇔ ± 37 u = ⇒ + x = − x + x ⇔ x − 5x − = ⇔ x = Với v (TM) Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Cách 2: Điều kiện: + x ≥ ⇔ x ≥ −1 + x = ( x + ) ⇔ 25 ( + x ) = ( x + ) ⇔ 4x − 25x + 16x − = ⇔ ( x − 5x − 3) ( 4x − 5x + 3) =  x − 5x − = ⇔  4x − 5x + = + x − 5x − = ⇔ x = ± 37 (thỏa mãn) x= ± 37 + 4x − 5x + = : vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x= ± 37 Câu 34 (Trích đề chun Phú n năm 2012-2013) Giải phương trình sau: Lời giải Điều kiện : (*) Đặt , suy Phương trình trở thành: 6t3 +13t2 -14t +3 = Giải ta được: Với (loại) , ta có: ; Với , ta có: Cả hai nghiệm thỏa điều kiện (*) Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Câu 35 (Trích đề thi thử vào chuyên Nguyễn Huệ năm 2015-2016) Giải phương trình Lời giải Điều kiện Ta có Đặt ; ta được: Giải phương trình ta tìm Câu 36 (Trích đề thi thử vào chuyên Nguyễn Huệ 2015-2016) Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: Ta có Do Thử lại , suy vào thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm Câu 37 (Trích đề thi thử vào chuyên Nguyễn Huệ 2015-2016) Giải phương trình Lời giải Điều kiện: Ta có : Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Suy Dấu xảy Vậy nghiệm phương trình x =1 Câu 38 (Trích đề Chuyên Long An năm 2014-2015) Giải phương trình Lời giải Câu 39 (Chuyên Quảng Nam năm 2008-2009) Giải phương trình: Lời giải Biến đổi phương trình cho thành Đặt ( điều kiện t Giải tìm t = t = Với t = 1, ta có ), ta có phương trình (loại) Giải Câu 40 (Trích đề Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2015-2016) Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: (*) Ta có: Đặt +Với + Với (Điều kiện: ), phương trình trở thành khơng thỏa mãn điều kiện (**) ta có phương trình: thỏa mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm Câu 41 (Trích đề Chun Nam Định năm 2015-2016) Giải phương trình Lời giải Điều kiện xác định Với , phương trình cho tương đương với: (do ) +) (thỏa mãn đk) (không thỏa mãn đk) +) Vì nên Vậy phương trình cho có nghiệm (*) vơ nghiệm Câu 42 (Trích đề Chun Tây Ninh năm 2014-2015) Tìm nghiệm ngun dương phương trình: – Lời giải Ta có: – =0 =0 Phương trình cho tương đương: =0 Vậy phương trình có nghiệm ngun dương là: x = Câu 43 (Trích đề Chuyên Tây Ninh năm 2014-2015) Giải phương trình: Lời giải Phương trình: (1) Đặt t = với t > Từ (1) t – 2t – = Giải phương trình ta được: t = (nhận) , t = – (loại) Với t = ta có phương trình: x2 + x – = =3 Giải phương trình ta được: x1 = x2 = Câu 44 (Trích đề Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2016 – 2017) Giải phương trình Lời giải Điều kiện: Ta có Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện Vậy PT cho có hai nghiệm Câu 45 (Trích đề Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2016 – 2017) Giải phương trình: Lời giải Giải phương trinh: Điều kiện  Đặt , ta có phương trình  => => Vậy phương trình có nghiệm : Câu 45 (Trích đề Chuyên Vĩnh Phúc năm 2013 – 2014) Giải phương trình: Lời giải Điều kiện xác định Khi ta có *) *) Vậy phương trình cho có tập nghiệm Câu 46 (Trích đề Chuyên Hưng Yên năm 2012 – 2013) Giải phương trình: + x + (4 − x)(2x − 2) = 4( − x + 2x − 2) Gợi ý: Đặt t = − x + 2x − Câu 47 (Trích đề Chun Ninh Bình năm 2012) Giải phương trình: x + − x + x(1 − x ) = Gợi ý ĐK : ≤ x ≤ Đặt x = a ≥ 0; − x = b ≥ a + b + ab = 1(*)  2 Ta a + b = 1(**) Từ tìm nghiệm pt x = Câu 48 (Trích đề THPT Quảng Ninh năm 2012-2013) Giải phương trình: + x − x = (2 + x ) − x Gi ý Đặt 7x =t ; x = v §K v, t ≥ ⇒ t + 2v = (2 + v).t ⇔ ⇔ (t − v)(t − 2) = ⇒ t = v hc t=2 NÕu t= th× − x = ⇒ x = (TM) − x = x ⇒ x = 3,5 NÕu t = v th× Câu 49 (Trích đề THPT Quảng Nam năm 2012-2013) Giải phương trình: 3(1 − x) − + x = Gợi ý Bình phương vế (1) ta được: 3(1 − x) + + x − 3(1 − x)(3 + x) = ⇒ 3(1 − x)(3 + x) = − x ⇒ 3(1 − x)(3 + x) = − 2x + x 2 ⇒ x + x − = ⇒ x = x =−2 Thử lại, x = −2 nghiệm ... để giải phương trình vơ tỷ Phương pháp Đưa phương trình phương trình bậc Thí dụ Giải phương trình: Lời giải Đặt Phương trình (1) trở thành: Với t = Vậy nghiệm PT (1) Thí dụ Giải phương trình: ... nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được: Đặt (ĐK: ) Khi đó: Thế vào phương trình (1) ta được: Với t = suy Thế lại ta thấy x = thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình. .. Bình phương rút gọn ta x = Với ta có: (vơ nghiệm VT ≥ 0, VP < 0) Vậy phương trình có nghiệm x = Phương pháp Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp Giải phương trình: Lời giải ĐK: PT(4) Đặt Ta có: Phương