PHƯƠNG PHÁP và kĩ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I Khái niệm: Phương trình vơ tỷ phương trình có chứa thức II Phương pháp giải 1) Phương pháp bình phương hay lập phương để khử thức Ví dụ Giải phương trình a) x 1  2x   2 b) 3( x  x  1)  ( x  x  1) (2) (1) 3 c) x   x   (3) x Lời giải a) Điều kiện: Với x PT (2)  x   x   2 x  x  4  2 x  x  8  x � 4(2 x  x  3)  64  x  48 x � �� �x � � (3) PT (3)  x  28 x  52 0  x 2(tm )    x 26( Kotm) Vậy PT cho có nghiệm x=2 x 1 b) Điều kiện: 2 Với x 1 PT (2)  3( x  x  1)  x  x x   x   x  x  2 x x   x  2x  x x  Do x 1 nên vế PT khơng âm PT  x  x   x  8x  x  x  x  x  x  x  x  0  ( x  2) ( x  x  1) 0  x  0    x  x  0  x 2 ™ c) Pt (3)   x 2 2x     x   x   33 ( x  2)( x  2) ( ( x  2)    x 33 x  x  (2 x  2)    3x  x  x 27(2 x  x  4)  x  51x  159x  107 0  ( x  1)( x  52x  107) 0  x 1    x  52x  107 0  x 1    x  26  783  x  26  783  2) Đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỷ Phương pháp Đưa phương trình phương trình bậc 2 Thí dụ Giải phương trình: x  x   x  x  (1) Lời giải Đặt t  x  x  5, (t �0) Phương trình (1) trở thành: t  1 (loai ) � t  2t   � � � t  2 Với t = x  x   � x  x   � x  �2 Vậy x  �2 nghiệm PT (1) Thí dụ Giải phương trình: ( x  5)( x  2)  4( x  5) x2 3  x5 �x  x  5 �0 � � �� �x  �x �2 � x  �0 � Lời giải Điều kiện: Đặt t  (t  5) x2 � t  ( x  5)( x  2) x5 Phương trình (2) trở thành: �t  t  4t   � � t  � Với t = ( x  5) � x5  x2 1� � ( x  5)( x  2)  x5 � � x  5 3  53 � �2 �x �x  3x  11  (thỏa mãn điều kiện) ( x  5) � x5 x2 3� � ( x  5)( x  2)  x5 � Với t = � x  5 3  85 � �2 � x �x  x  19  (thỏa mãn điều kiện) (2) Thí dụ Giải phương trình: ( x  2)( x  4)  5( x  2) x4 6 x2 ; x4 0 Lời giải Điều kiện: x  Đặt x4 ( x  2) a  a ( x  4)( x  2) x2 ;  a 1  Ta có PT: a  5a  0 ;   a  +) a 1  x  x   0  x  x  0   3 (tm ) x    x   2 +) a   x  x   36 0  x  x  28 0  Vậy pt có nghiệm  x   37   x   37 (tm ) x    ;  37 Thí dụ Giải phương trình: x   x   49 x  x  42  181  14 x (3) x� Đặt t  x   x  (t �0) Phương trình (3) trở Lời giải Điều kiện: t  14 (loai ) � t  t  182  � � � t  13 thành: Với t = 13 x   x   13 � 49 x  x  42  84  x � x  Do phương trình (3) có nghiệm x = Phương pháp Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 2 Thí dụ Giải phương trình: 2 x    x  x  16 Lời giải Điều kiện: (1) x �2 2 2 (1) � 4(2 x  4)  16 2(4  x )  16(2  x)  x  16 � 8(4  x )  16 2(4  x )  x  x 2 Đặt t  2(4  x ) (t ≥ 0) Phương trình (1) trở thành: 4t  16t  x  8x  Giải phương trình với ẩn t ta được: t1  x x ; t2    2 Do x �2 nên t2 < không thỏa mãn đk t ≥ x Với t = thì: 2(4  x )  � x �0 x �� �x 2 8(4  x )  x � (thỏa mãn điều kiện) 2 Thí dụ Giải phương trình: ( x  1) x  x   x  (2) Lời giải Đặt t  x  x  (t � 2) Phương trình (2) trở thành: ( x  1)t  x  � x  x   ( x  1)t  2( x  1)  �t  � t  ( x  1)t  2( x  1)  � � t  x  � 2 Với t = ta có: x  x   � x  x   � x  � Với t = ta có: = (vơ lý) Vậy PT (2) có nghiệm x  � Nhận xét: Những phương trình dạng: i) ax  bx  c  (mx  n) px  q a, m, p �0; ii) ax  bx  c  (mx  n) px  qx  k a, m, p �0; Phương pháp giải Đặt t  px  q t  px  qx  k đưa phương trình bậc hai giải ví dụ Thí dụ Giải phương trình: x  x  12 x   36 Lời giải Điều kiện: x ≥ -1 Đặt t  x  (t �0) Phương trình cho trở thành: xt  12t  36  � t  Với t 6 �6t x 6  6t x ta có:  (6  x)t Do x = không nghiệm PT nên: Bình phương rút gọn ta x = t t � 6 x x 1  6 x 6  6t x ta có: ( x  6)t  6 (vơ nghiệm VT ≥ 0, VP < 0) Với Vậy phương trình có nghiệm x = Phương pháp Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp Giải phương trình: x  3x   x x  2 x� Lời giải ĐK: 2 PT(4) � x  (3x  2)  x 3x  Đặt y  3x  2, (y �0) Ta có: 2x  y  xy (*) Phương trình (*) phương trình đẳng cấp x y 2 2 2 Đặt y = xt (*) trở thành: x  x t  x t � x (t  t  2)  � t  t   x� ) (do 3x   x �t  � � � � t  2 � x   2 x (loai) Suy ra: � Giải ta x = x = nghiệm cảu PT Phương pháp Đặt hai nhiều ẩn phụ để giải phương trình vơ tỷ Ví dụ Giải phương trình: Lời giải Đk: x3 + �0 ۳ x 10 x + =  x +  -1 (1) Đặt: a = x + ; b = x - x + ,( a �0; b>0) (2) � a2 + b2 = x2 + Khi phương trình cho trở thành: 10.ab = 3.(a2 + b2) � a = 3b b = 3a �  a - 3b   3a - b   +) Nếu a = 3b từ (2) suy ra: x + = x - x + � 9x2 – 10x + = (vô nghiệm) +) Nếu b = 3a từ (2) suy ra: x + = x - x + � 9x + = x2 – x + � x2 – 10x – = Phương trình có hai nghiệm x1 =  33 ; x2 =  33 (thỏa mãn (1)) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 =  33 x2 =  33 2 Ví dụ Giải phương trình: x  14 x   x  x  20  x  Lời giải Điều kiện: x �5 x  14 x   x  x  20  x  � x  14 x   x  x  20  x  � ( x  1)(5 x  1)  x  24 x   10 ( x  4)( x  5)(x  1) � 2( x  x  5)  3( x  4)  ( x  x  5)( x  4)  (2) Đặt u  x  x  5, v  x  4, u, v �0 thì: (2) � 2u  3v  5uv  � (u  v)(2u  3v)  � x  5x   �u  v �� �� 2u  3v x  25 x  56  � � Giải ta hai nghiệm là: x1   61 ; x2  3 3 Ví dụ Giải phương trình: 3x    x  x   x  (4) �a  3x  � � 3 3 �b   x � a  b  c  x  � c  2x  Lời giải Đặt: � 3 3 Khi từ (4) ta có: a  b  c  (a  b  c) � (a  b)(b  c)(c  a )  �3 x     x � �3  x   x  � 3 � x    3x  Từ suy ra: � x  3; x  4; x  Giải ta nghiệm Phương pháp Đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đơn giản Thí dụ Giải hệ phương trình: 24  x  12  x  Lời giải ĐK: x �12 � � u  24  x � v  12  x (v �0) � Đặt suy ra: u  v  36 Ta có hệ phương trình: �u  v  � v  6u � v  6u � �3 � �3 � u  v  36 u  (6  u )2  36 u (u  u  12)  � � � � v  6u �� u  0; u  4; u  � Giải ta được: x  24 4 Thí dụ Giải hệ phương trình: 97  x  x  � u  97  x � � Lời giải Đặt � v  x (u, v �0) (1) �u v 5 �4 Khi đó, ta có hệ phương trình: �u  v  97 Giải hệ phương pháp ta nghiệm u = 2, v = u = 3, v = Từ tính nghiệm x = 81 x = 16 Phương pháp Đưa hệ đối xứng loại 2 Ví dụ Giải phương trình: x  x   (1) Lời giải Điều kiện: x  Đặt : x   y ( y 0) ta có hệ phương trình  x  y 5   y  x 5 x y  +)  x y   ( x  y )  ( x  y ) 0  x  y  0 2  x 0 x  x    x  x  0  x 0     21 x    21  x (Ko T/m) +) x  y  0  x  x   0  x   x   x   ( x  1)  x  0    x  x   x  5(*) PT (*) x  x  0    17 x       17 x   (ko t/m) Vậy PT vơ nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình: x  x   Lời giải Điều kiện: x �5 Đặt t  x  (t �0) Ta có: x  t  � t   x2 �t   x � t  x  t  x � (t  x)(t  x  1)  � � � t  x 1 � Ta có hệ phương trình: �x  t  � x   x  21 1  21 � x x x   x 1 � 2 Do đó: Giải ta nghiệm 3 Ví dụ Giải phương trình: x   2 x  Lời giải Đặt t  x  ta có hệ phương trình: �x   2t � x   2t � x   2t � � �3 �3 � t 1  2x ( x  1)( x  t  tx  2)  � �x  t  2(t  x) � � xt � �3 �x  2t   x 1 � Giải hệ nàu nghiệm x = 3) Dùng bất đẳng thức để đánh giá Dạng Tìm nghiệm chứng minh nghiệm Giải phương trình:   (1) 3 x 2 x Lời giải ĐK: x  x nghiệm phương trình Dễ thấy Với Với x ta có:  6 3 x 2 x x ta có:  6 3 x 2 x x Vậy phương trình có nghiệm Dạng Đánh giá hai vế Ví dụ Giải phương trình: x    x  x  x  13 Lời giải ĐK: 1 �x �7 Cách Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: VT  x    x � (12  12 )( x    x )  (1) VP  x  x  13  ( x  3)  �4 Vập phương trình có nghiệm khi: VT = VP = hay x = Do phương trình có nghiệm x = Cách Áp dụng BĐT Cauchy ta có:  ( x  1)  x x   4( x  1) �  4  (7  x) 11  x  x  4(7  x) �  4  x 11  x VT  x    x �  4 4 Do đó: (1) Mặt khác: VP  x  x  13  ( x  3)  �4 (2) Vập phương trình có nghiệm khi: VT = VP = hay x = Do phương trình có nghiệm x = Cách Đặt ta có: A  x 1   x (A > 0) Bình phương A áp dụng BĐT Cauchy A2  x    x  (x  1)(7  x) �x    x   ( x  1)  (7  x)  =16 Do A �4 Dấu “=” xảy x + = – x Mặt khác: � x=3 VP  x  x  13  ( x  3)  �4 Vập phương trình có nghiệm khi: VT = VP = hay x = Do phương trình có nghiệm x = 2   x  17 x   ( x  3)( x  15) Ví dụ Giải phương trình: ( x �R) (Tác giả: AD Page “Tài liệu toán học” 03/12/2017) 1  � 2 Lời giải Với ab ≥ ta có:  a  b  ab (*) ab  1  a  b  Thật vậy, biến đổi tương đương (*) ta được:  �0 Đẳng thức xảy a = b ab = Bất đẳng thức với ab �1 Biến đổi áp dụng BĐT (*) ta được: 1  x  15  2( x  3) 1 2 �   VP 2  ( x  15)( x  3) �x  15 � 1 � 2( x  3) � � � VT    x  17 x  �x  15 � 2( x  3) � � � Dễ thấy � >1với x nên phương trình có nghiêm x  15  2( x  3) Giải phương trình ta nghiệm x  �1 Ví dụ Giải phương trình a) x   x   x   2 x  4 (1) b) x    x  x  10 x  27 (2) 2 c) x  x   x  x   x  x  (3) 2 d) x  48  x   x  35 e) b)  x  3x   Lời giải a) ĐK: Với Đk: Ta có: x x (4) (5) 5 PT (1)  x    x   4 x    x   4  ( x   3)( x   1) 0   x   Đẳng thức xẩy x 3  x 3 Vậy nghiệm PT cho b) ĐK x 6 2 Trên TXĐ x    x  (1 1 )( x    x)  x    x 2 2 Lại có x  10 x  27 ( x  5)  2  x  10 x  27  x    x  x  6 x    x 5  x 5   x 6  Đẳng thức xẩy Vậy PT (2) có nghiệm x=5  x  x  0    x  x  0 c) ĐK: áp dụng BĐT cô si cho số không âm ta có x  x  1     x  x    (  x  x  1).1   ( x  x  1).1  Ta có x  x   x  x  x   x  x 1 x 1 (Vì ( x  1) 0 ) (t  1)t  3t  � t  3t  t   � (t  3)(t  1)  � t  3.(nhan) � x   � x  12 Câu 19 (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Hưng Yên 2017) Giải phương trình:  x 3x  x  x x 1 1 2x �0 � x �(0; ] Lời giải Điều kiện: x  x 3x  x 1 2x 3x  x  � 1  1 x x 1 x x 1 1 2x 1 3x  1  3x 3x  x �  �  x 1 � 1 2x � x 1 1 2x 1 x�  1� x � x � 1  )0  x2 1 2x x(  1) x 1 1 � x  Vi   0, x �(0; ] 1 x 1 2x x(  1) x � (1  x)( Câu 20 (chuyên Tiền Giang năm 2017) Giải phương trình: x  x  x  x  Lời giải.Với x ≥ , đặt t  x  ≥ Khi đó, phương trình cho tương đương với t  x t  x  Do x = không nghiệm PT chia hai vế PT cho x ≠ ta được: ( t t t t )  6  � 3  2 x x x x (thỏa mãn t, x ≥ 0) (không thỏa mãn t, x ≥ 0) t � 77  � x2   x � x2   9x � x2  9x   � x  Với x Kiểm tra lại ta thấy nghiệm x � 77 x � 77 thỏa mãn Vậy nghiệm PT Câu 21 (Trích đề thi HSG huyện Kim thành 2012 – 2013) Giải phương trình sau: a)  x   x  b) x  x   2 x  Lời giải a/ ĐK: 4 �x �1 Bình phương vế:  x   x  (1  x)(4  x)  � (1  x)(4  x)  x0 � �  3x  x  � x( x  3)  � � x  3 (thỏa mãn) � Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = -3 3 � b/ x  x   2 x  ĐKXĐ: x 2     � x2  2x   x   2 x     x  1   �x   x  1  � � � x  1 � 2x    Vậy phương trình có nghiệm x = -1 Câu 22 (Trích đề thi học sinh giỏi TP Thanh Hóa 2016 – 2017) Giải phương trình sau: x  20 x  25  x  x   10 x  20 Lời giải ĐKXĐ: x �R x  20 x  25  x  x   10 x  20 x  20 x  25  x  x  �0 với x � 10x – 20 � x Vì Ta có: x  20 x  25  x  x   10 x  20 � x   x   10 x  20 � x   x   10 x  20 � x  28 � x  4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x = 23 (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2013 – 2014) Câu 2 Giải phương trình x ( x  2)   x x  Lời giải t2 t  x 2x  � t  x  2x � Đặt t  4 � t2   t � t  2t   � � t2 � ta phương trình 2     x2 x2   � �x  �x  x x   4 � � � �4 2 x  x  16 x  2x2   � � Với t = -4 ta có   �x  � �2 � x �x  �x  �x  � x x2   � � � �4 2 x  2x  x  x2   � � Với t =2 ta có  �x  � �2 � x �x    1 Kết luận nghiệm phương trình Câu 24 (Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2010 – 2011) Giải phương trình: 10 x   3x  Lời giải 10 x3   3(x2  2) Đặt � 10 (x  1)(x2  x  1)  3(x2  2) điều kiện x �1 x   a (a �0) x2  x   b (b>0) Ta có: 10ab =3a  3b 2 a =3b � � (a  3b)(3a-b) =0 � � b  3a � Trường hợp1: a = 3b Ta có: x   x2  x  (1) � 9x2  9x+9=x+1 � 9x2  10x+8 =0  '  25  9.8< � phương trình (1) vơ nghiệm Trường hợp 2: b = 3a Ta có: x   x  x  � 9(x  1)  x2  x  � x   33 (TM) � �1 x2   33 (TM) � � x2  10x-8 =0 � Vậy phương trình có nghiệm x  � 33 Câu 25 (Trích đề thi HSG tỉnh Hũa Bỡnh nm 2010 2011) Giải phơng trình: x   x  x    x  x   Gợi ý Điều kiện: 1≤ x ≤ Biến đổi dạng tích: ( x   )( x    x ) = Gii PT tích tìm đợc x = x = thỏa mãn Cõu 26 (Trớch đề thi HSG tỉnh Ninh Bình năm 2012 – 2013) Giải phương trình: ( x + - x + 2)(1 + x + 7x + 10) = Lời giải ĐKXĐ phương trình là: x  - 2 2 x   v �0 ta có: uv  x  x  10, u  v  2 Thay vào phương trình ta được: (u  v )(1  uv)  u  v Đặt x   u �0, uv � � u 1 � v � (u  v)(1  uv )  (u  v )(u  v ) � (u  v)(1  u )(1  v)  � � � * Với u = v ta có x   x  � PT vô nghiệm * Với u = ta có x   � x  4 (loại) * Với v = ta có x   � x  1 (TM) Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 Bài 27 (Trích đề thi Chọn HSG huyện Thanh Oai năm học năm 2015- 2016) 3 Giải phương trình: (1  x )  x 1  3x Lời giải 1 x   x3   3x (1)   x   x  3 x  x  x  x    x  x x  x  Ta có: Thay (2) vào (1) ta có: (2) (1) �   x     x    x  3x 2   4x  (3) 2 Đặt y   x , với y ≥ Suy x  y 1 Thay vào (3): y  y    y   3x  x  1 2 � y  y  1    y   x  x  1   � y 1  � � � y  1 � y   y  1  x  x  1 � y   y  1  x  x  1  � � � * Với y = x = thỏa mãn phương trình * Với y ≠ y ≥ 1, ta có: y   y  1  x  x  1  � 2� x  x   �x  � � y > thay vào vế trái (4) � 3� Vì 2 � � 13 � � 13 y   y  1  �y  � �  �  � � 36 � � 36 lớn Do (4) vơ nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm x=0 Câu 28 (Trích đề thi HSG huyện Thanh Oai năm 2014 – 2015) Giải phương trình: x  x   x   x  21x  11 Lời giải ĐK: x 4 x = 0,5 Biến đổi: x  x   x   x  21x  11   x  4 x  1   x  4 x  1   x  1( x     x  0(1)  2x   2x    x 11 x  1  x 11 x  1 0 x  11 ) 0 x  11 0 (2) Giải (1) x = (thỏa mãn), Hoặc x  3 Giải (2) x = (thỏa mãn) Vậy PT có nghiệm x = x = (4) Câu 29 (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Giang năm học 2012 – 2013) Giải phương trình: x   x  3x  10 Lời giải ĐK: x �2 Với điều kiện biến đổi phương trình cho trở thành: ( x  2)( x  x  4)  2( x  x  4)  ( x  2) Chia hai vế phương trình cho x  x  , ta x2 x2 3 20 x  2x  x  2x  (1) Đặt t x2 (t �0) x  2x  2 Thay vào (1) ta t  3t   � t  t  (t/m) x 1 � x2 =1 � x  x   � � x  (t/m) x2  2x  � + với t  ta có x2 =2 � x  x  14  x  2x  (vô nghiệm) + với t  ta có KL: x = , x = nghiệm PT cho Câu 30 (Trích đề thi HSG TP Bắc Giang năm học 2016 –2017) Giải phương trình x2  x   x    x  Lời giải Điều kiện: x �1 (*) Ta có: x2  x   x 1   x  � x  x x   x   2( x  x  1)   �x    x 1  x  x 1       � x  x 1  x  x 1   y �1  ** Đặt x  x   y (Điều kiện: ), phương trình trở thành y  y   y  1 � y  y   �  y  1  y  3  � � y3 � +Với y  1 không thỏa mãn điều kiện (**) + Với y  ta có phương trình: �x �3 � x  x 1  � x 1   x � � �x    x  x �x �3 � �x �3 � � � �2 � �� x2 � x2 �x  x  10  �� x5 �� Vậy phương trình có nghiệm x  Câu 31 (Trích ĐTS vào lớp10 chuyên Quảng Bình năm học 2012 – 2013) 1  1 x  x Giải phương trình: Lời giải ĐK:  3 x  3v�x �0 Đặt y   x , (y  0) Ta có hệ phương trình �1 �  1 �x y � x2  y2  � x  y  xy � �� (x  y)2  2xy  � x  y  xy � � ��  x  y  2 x  y   � � �x  y  1 � � � xy  1 � � � �x  y  � (v�nghi� m) � � � xy  � � 1 � �x  � � � � �y  1 � � �x  y  1 � � � � � � 1 �xy  1 � �x  � � � � 1 �y  � � � � 5 (tho�m� n) (lo� i) Vậy phương trình có nghiệm x 1 Câu 32 (Trích đề TS vào lớp 10 Phú Yên năm 2011 – 2012) Giải phương trình hệ phương trình sau: 13x   3x+2  x   42  Lời giải Điều kiện : x �3 (*) Đặt t  x  3, t �0 , suy x  t  Phương trình trở thành: 6t3 +13t2 -14t +3 = 1 t  ; t  ; t  3 Giải ta được: (loại) Với t , ta có: x3  11 � x 4; t , ta có: x3  26 � x Với Cả hai nghiệm thỏa điều kiện (*) � 11 26 � S �  ; � � Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Câu 33 (Trích đề TS vào lớp 10 chun Ninh Bình năm học 2013 – 2014) Giải phương trình Lời giải  x3   x  2 x 0 Cách 1: Điều kiện: �۳ x  x3   x  2 �   x    x  x    x   Đặt u   x ; v   x  x ; u �0, v  5uv   u  v Phương trình cho trở thành  �u � u � � �   �v � v u u 2  v v u 2 �  x   x  x � 4x  5x   (vô nghiệm) v Với � u � 37  �  x   x  x � x  5x   � x  Với v (TM) Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x3  x Cách 2: Điều kiện: �۳  x   x   � 25   x    x   x � 37 x � 37 � 4x  25x  16x   �  x  5x  3  4x  5x  3  � x  5x   �� 4x  5x   � + x  5x   � x  � 37 (thỏa mãn) + 4x  5x   : vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Câu 34 (Trích đề chuyên Phú Yên năm 2012-2013) Giải phương trình sau: 13x   3x+2  x   42  Lời giải Điều kiện : x �3 (*) Đặt t  x  3, t �0 , suy x  t  Phương trình trở thành: 6t3 +13t2 -14t +3 = 1 t  ; t  ; t  3 Giải ta được: (loại) 1 11 t x3  � x   , ta có: 4; Với 1 26 t x3  � x   , ta có: Với Cả hai nghiệm thỏa điều kiện (*) � 11 26 � S �  ; � � Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Câu 35 (Trích đề thi thử vào chuyên Nguyễn Huệ năm 2015-2016) Giải phương trình x  x   x3  Lời giải Điều kiện x �1 Ta có  x  1   x  x  1   x  1  x  x  1 b  9a � � 3a  2b  ab � � b a � Đặt a  x  �0 ; b  x  x   ta được: Giải phương trình ta tìm x  � Câu 36 (Trích đề thi thử vào chuyên Nguyễn Huệ 2015-2016) 24 x2 3x  1 Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: x �0 x2 3x   1  6x Ta có Do x2 x  �2 x  6x � , suy � x2  48 �3x2  12 x  12 �  x   �0 � x Thử lại x  vào thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x  Câu 37 (Trích đề thi thử vào chuyên Nguyễn Huệ 2015-2016) Giải phương trình Lời giải x  3x  2 x   x  x� Điều kiện: Ta có : x  3x  2 x   x  � x( x  3)  2 x 1  x  Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: x  ( x  3) �2 x( x  3)  x( x  3) (2 x  1)  �2 x  Suy x  �4 x( x  3)  2 x  � �2 x  x  � x 1 � x   Dấu xảy � Vậy nghiệm phương trình x =1 Câu 38 (Trích đề Chuyên Long An năm 2014-2015) 2 Giải phương trình x  x   ( x  4) x  Lời giải x  x   ( x  4) x  � x   x x   x  x   �  x2     x2   x  � x2    �� � �x   x  x3 � �� x  3 � Câu 39 (Chuyên Quảng Nam năm 2008-2009) Giải phương trình: Lời giải Biến đổi phương trình cho thành Đặt ( điều kiện t), ta có phương trình Giải tìm t = t = (loại) Với t = 1, ta có Giải Câu 40 (Trích đề Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2015-2016) x2  x   x    x  Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: x �1 (*) x  x   x    x  � x  x x   x   2( x  x  1)   Ta có: y �1  ** Đặt x  x   y (Điều kiện: ), phương trình trở thành y  y   y  1 � y  y   �  y  1  y  3  � � y3 � +Với y  1 không thỏa mãn điều kiện (**) + Với y  ta có phương trình: x  x 1  � �x �3 �x �3 �x �3 � x 1   x � � � �2 � �� x2� x2 x    x  x x  x  10  � � �� x5 �� thỏa mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm x  Câu 41 (Trích đề Chuyên Nam Định năm 2015-2016) Giải phương trình Lời giải   x 3x  x     x  19   x �3 x  x  �0  x 1 ۣ �  x � Điều kiện xác định � Với x �1  , phương trình cho tương đương với: 3x  x   3  x   x   x  19   x � 3x  x    x  3x  x   � 3x  x    x   x  3x  x   � 3x  x   �   x  3x2  5x  8 � � �   x 3x  x    x 3x  x    x � 3x  x  (do  3x  x    x  0, x �1  ) +) x  x   � x  1 (thỏa mãn đk) +) 1 2 x   x (không thỏa mãn đk) 3x  x    x �   x  x  x   x � x   3x  x   x  * Vì x �1  nên x   � 3x  x   x (*) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 Câu 42 (Trích đề Chuyên Tây Ninh năm 2014-2015) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  3.x  = 42 – Lời giải Ta có:  – x  3.x  = Phương trình cho tương đương: � �  x  3   1   1 3   x  3 x   1 � x   1 � x  1 �� � x 1 x   1 � �� Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là: x = Câu 43 (Trích đề Chuyên Tây Ninh năm 2014-2015)  1 Giải phương trình:  x  x   x  x  1 =0    1 Lời giải Phương trình: x  x   x  x  1 (1) Đặt t = x  x  với t > Từ (1) � t2 – 2t – = Giải phương trình ta được: t = (nhận) , t = – (loại) Với t = ta có phương trình: � x2 + x – = x2  x  = 1  33 Giải phương trình ta được: x1 = 1  33 x2 = Câu 44 (Trích đề Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2016 – 2017) Giải phương trình 2x   x   Lời giải Điều kiện: x �3 (1) � x   x   � 2x   x   x   Ta có � x 3  x x4 � � 16( x  3)  x � x  16 x  48  � � x  12 � Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện Vậy PT cho có hai nghiệm x  4; x  12 Câu 45 (Trích đề Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2016 – 2017) Giải phương trình: x2  4x    x  4 x2  Lời giải Giải phương trinh: x2  x    x  4 x2   x x2  4x    x  4 � x� � x2  Điều kiện �x �     x    16   x   x  � � x   a �0 � Đặt �x   b , ta có phương trình a  4b  16  ab  a  16  4b  ab    a    a    b  a    a4 � � a  4  a   b  a b4  => � � x2   � x2   �  �  x � 23 2 � � x   x   x   x � => � Vậy phương trình có nghiệm : x � 23 Câu 45 (Trích đề Chuyên Vĩnh Phúc năm 2013 – 2014) x  3x   x    x   x   x  , Giải phương trình: Lời giải Điều kiện xác định x �1 Khi ta có  x �� x  3x   x    x   x   x   x  1  x     x  1  x  1   x   x   x   x  1  x     x  1  x  1  x   x   x   � � � x 1 � *)     x   x 1   x 1   x 1  x     x   x 1   x   x 1   � x   x 1   x    x  1 9� x2  x    x �x �4 � �2 � x2 �x  x   x  8x  16 x   � x   � x  *)   Vậy phương trình cho có tập nghiệm Câu 46 (Trích đề Chuyên Hưng Yên năm 2012 – 2013) S  2,3 Giải phương trình: + x + (4  x)(2x  2)  4(  x  2x  2) Gợi ý: Đặt t =  x  2x  Câu 47 (Trích đề Chuyên Ninh Bình năm 2012) Giải phương trình: x   x  x1  x  1 Gợi ý ĐK : x 1 Đặt x a 0;  x b 0  a  b  ab 1(*)  2 Ta  a  b 1(**) Từ tìm nghiệm pt x = Câu 48 (Trích đề THPT Quảng Ninh năm 2012-2013) Giải phương trình:  x  x  (2  x )  x Gợi ý §Ỉt  x t ; x v §K v, t ≥  t  2v (2  v).t   (t  v)(t  2) 0 t v t=2 Nếu t=  x 2  x = (TM)  x  x  x = 3,5 NÕu t = v th× Câu 49 (Trích đề THPT Quảng Nam năm 2012-2013) Giải phương trình: 3(1  x)   x  Gợi ý Bình phương vế (1) ta được: 3(1  x)   x  3(1  x)(3  x)   3(1  x)(3  x)   x  3(1  x)(3  x)   2x  x 2  x  x    x = x =−2 Thử lại, x = −2 nghiệm ... Đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỷ Phương pháp Đưa phương trình phương trình bậc 2 Thí dụ Giải phương trình: x  x   x  x  (1) Lời giải Đặt t  x  x  5, (t �0) Phương trình (1) trở thành:... 7.(loai ) Thế vào phương trình (1) ta được: x  � x  x   � x  x Với t = suy Thế lại ta thấy x = thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Cách 2: Phương trình cho tương... � a  b Vậy phương trình có nghiệm x = Câu 16 (Trích đề thi vào lớp 10 chun Bình Dương năm 2017) x2  3x    x  x  Giải phương trình: Lời giải Cách Bình phương hai vế phương trình ta được: