ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————– NGUYỄN NGỌC BÌNH MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R Demo Version - Select.Pdf SDK LUẬN VĂN THẠC SĨ HÌNH HỌC - TƠPƠ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, năm 2018 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————– NGUYỄN NGỌC BÌNH MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R Chuyên ngành: Hình học - Tơpơ số: 60460105 Demo Version -Mã Select.Pdf SDK LUẬN VĂN THẠC SĨ HÌNH HỌC - TƠPƠ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN MINH HOÀNG Thừa Thiên Huế, năm 2018 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu, tìm hiểu riêng tơi, hướng dẫn TS Nguyễn Minh Hoàng Một số kết sử dụng tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nguyễn Ngọc Bình Demo Version - Select.Pdf SDK i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn giảng viên TS Nguyễn Minh Hồng Tơi xin cảm ơn Cơ tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Khoa Tốn, Thầy tham gia giảng dạy trường thầy cô khác giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, anh chị Cao học Tốn khóa XXV trường ĐHSP Huế chun ngành Hình học - Tơpơ giúp đỡ trình học tập vừa qua Demo Version - Select.Pdf SDK Ngày 15 tháng 11 năm 2018 Học viên thực Nguyễn Ngọc Bình ii Lời nói đầu Cho H2 mặt phẳng hyperbolic Khác với hình học mặt phẳng Euclid, mặt phẳng hyperbolic, qua điểm nằm ngồi đường thẳng hyperbolic, có vơ số đường thẳng hyperbolic qua mà khơng cắt đường thẳng cho Xét đa tạp Riemann tích H2 × R mặt phẳng hyperbolic với đường thẳng Euclid Đây đa tạp Riemann chiều 3, bên cạnh không gian Euclid R3 = R2 × R, đa tạp Riemann H2 × R số mơ hình hình học Thurston (Các hình học đóng vai trò nguyên tố để xây dựng tất hình học chiều 3) Lí thuyết mặt cực tiểu H2 × R có lẽ bắt đầu nghiên cứu Nelli Rosenberg năm 2002 tiếp tục nghiên cứu nhiều thời gian gần Rosenberg nhiều nhà toán học khác Demo Version - Select.Pdf SDK Khi nghiên cứu mặt cực tiểu H2 × R, người ta xây dựng nhiều nhất, tường minh ví dụ mặt cực tiểu đầy đủ Một mặt, ví dụ cho thấy phong phú mặt cực tiểu H2 × R Mặt khác, chúng đóng vai trò mơ hình để giải tốn phân loại mặt cực tiểu Bên cạnh đó, cách kĩ thuật, mặt cực tiểu cụ thể thường sử dụng chắn để kiểm sốt q trình lấy giới hạn dãy mặt cực tiểu Xuất phát từ lí trên, chúng tơi chọn đề tài "Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R" để bước đầu tìm hiểu lí thuyết phong phú sâu sắc mặt cực tiểu Lớp ví dụ đơn giản mặt cực tiểu H2 × R mặt cực tiểu bất biến tác động nhóm tham số đẳng cự H2 × R Luận văn trình bày cách xác định phương trình mặt cực tiểu cho loại mặt để từ đưa cách xây dựng mặt cực tiểu cụ thể Phương pháp nghiên cứu chủ yếu sử dụng kĩ thuật hình học vi phân phương trình vi phân thường Luận văn trình bày hai chương Chương đầu kiến thức chuẩn bị mặt phẳng hyperbolic, trắc địa, đẳng cự loại đẳng cự mặt phẳng hyperbolic Chương sau trình bày tính chất đa tạp iii iv Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R Riemann tích H2 × R, xây dựng phương trình mặt cực tiểu cho họ mặt cực tiểu bất biến mặt cực tiểu thẳng đứng, mặt cực tiểu xoắn elliptic, xoắn parabolic xoắn hyperbolic, từ chúng tơi tìm mặt cực tiểu bất biến nhờ việc giải phương trình vi phân Demo Version - Select.Pdf SDK Một số kí hiệu viết tắt Độ dài hyperbolic ∇H Gradien hyperbolic EllipticE(∗) Tích phân Elliptic (một hàm ∗) H Demo Version - Select.Pdf SDK v Danh sách hình vẽ 1.1 Hình minh họa cho chứng minh 2.1 2.2 Mặt cực tiểu xoắn elliptic H2 × R (d = l = 1) Một phần mặt cực tiểu kiểu Scherk (d = 1, l = 0) H2 × R bất biến qua phép tịnh tiến hyperbolic Mặt cực tiểu xoắn parabolic H2 × R (d = l = 1) Đường sinh mặt cực tiểu nhúng l = d Lớp các đường sinh mặt cực tiểu nhúng thay đổi d cố định l = Đường sinh mặt cực tiểu nhúng thay đổi l cố định d = 31 2.3 2.4 2.5 2.6 Demo Version - Select.Pdf SDK vi 36 38 39 40 40 Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Một số kí hiệu viết tắt v Danh sách hình vẽ v Demo Version - Select.Pdf SDK Mặt phẳng hyperbolic 1.1 Mô hình mặt phẳng hyperbolic 1.2 Trắc địa hyperbolic 1.3 Đẳng cự hyperbolic 1.4 Phân loại đẳng cự hyperbolic: đẳng cự kiểu parabolic, đẳng cự kiểu elliptic, đẳng cự kiểu hyperbolic 1.4.1 Đẳng cự parabolic 1.4.2 Đẳng cự hyperbolic 1.4.3 Đẳng cự elliptic 1 15 16 16 17 18 18 19 22 22 25 27 32 Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 2.1 Đa tạp Riemann H2 × R 2.1.1 Một vài tính tốn 2.1.2 Một số đẳng cự H2 × R 2.2 Đồ thị cực tiểu thẳng đứng H2 × R 2.3 Mặt cực tiểu thẳng đứng 2.4 Mặt cực tiểu xoắn elliptic 2.5 Mặt cực tiểu xoắn hyperbolic vii Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R viii 2.6 Mặt cực tiểu xoắn parabolic 36 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Demo Version - Select.Pdf SDK MỤC LỤC ... đa tạp Riemann tích H2 × R mặt phẳng hyperbolic với đường thẳng Euclid Đây đa tạp Riemann chiều 3, bên cạnh khơng gian Euclid R3 = R2 × R, đa tạp Riemann H2 × R số mơ hình hình học Thurston (Các... tiểu bất biến H2 × R Riemann tích H2 × R, x y dựng phương trình mặt cực tiểu cho họ mặt cực tiểu bất biến mặt cực tiểu thẳng đứng, mặt cực tiểu xoắn elliptic, xoắn parabolic xoắn hyperbolic, từ... tiểu xoắn elliptic H2 × R (d = l = 1) Một phần mặt cực tiểu kiểu Scherk (d = 1, l = 0) H2 × R bất biến qua phép tịnh tiến hyperbolic Mặt cực tiểu xoắn parabolic H2 × R (d