0) he DLTTPTTT

§3 Các mối liên hệ tuyến tính Các nội dung I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Phép biểu diễn tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Một số ví dụ III Một số kết PTTT – ĐLTT §3 Các mối liên hệ tuyến tính I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính: Trong Lấy m số thực tổng , cho m véc tơ + , +⋯+ ,…, ,…, (∗) lập (1) Định nghĩa: Mỗi tổng (1) gọi tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ (∗) Các số , , , gọi hệ số tổ hợp tuyến tính Nhận xét: + Từ hệ véc tơ cho trước lập vơ số tổ hợp tuyến tính + Tổng hai tổ hợp tuyến tính , hệ véc tơ ,…, tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ đó: + + ⋯+ + = + + + +⋯+ + +⋯ + + + Tích tổ hợp tuyến tính , hệ véc tơ ,…, với số tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ đó: + = + + ⋯+ + ⋯+ Định lý: Tập hợp tất tổ hợp tuyến , tính hệ véc tơ n chiều ,…, cho trước: = + +⋯+ , , , ∈ không gian véc tơ không gian Hãy chứng minh định lý 2.Phép biểu diễn tuyến tính Định nghĩa: Ta nói vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ , ,…, vectơ X tổ hợp tuyến tính hệ vectơ Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến , tính qua hệ vectơ m số = , , , + ,…, tồn cho: + ⋯+ Chú ý: Nếu X biểu diễn tuyến tính qua Y, tức là: tồn số nói X, Y tỷ lệ cho: = ta Ví dụ 1: Cho vectơ = = = ,− , , ⇒ = + Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ , hay khơng? Trả lời: Có 10 Các bước giải tốn Thay số ta 27 Ví dụ: Cho hệ véc tơ: = = = , ,− , ,− , , − , ,− , Hệ véc tơ ĐLTT hay PTTT? Giải: o Xét hệ thức: + + = 28 Thay số ta Quá trình khử ẩn kết thúc dạng hình thang nên hệ véc tơ cho PTTT 29 Ví dụ 2: Kiểm tra xem hệ véc tơ sau ĐLTT hay PTTT? = (2, −1,6) = (3,2, −5) = (2,6, −3) Giải 30 Thay số ta được: 31 III Một số kết PTTT - ĐLTT Định lý 1: Một hệ vectơ có từ hai vectơ trở lên phụ thuộc tuyến tính vectơ hệ biểu diễn tuyến tính qua vectơ lại Hệ 1: Một hệ gồm vectơ phụ thuộc tuyến tính chúng tỷ lệ 32 Hệ 2: Mọi hệ vectơ chứa vectơ phụ thuộc tuyến tính Muốn xét hệ véc tơ ĐLTT-PTTT Có vectơ (≠ ) ? Có vectơ ( tỷ lệ) ? Hệ có từ vectơ trở lên ? 33 Định lý 2: Nếu hệ vectơ có hệ (một phận) phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Hệ 1: Nếu hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính 34 Hệ 2: Nếu hệ vectơ có hai vectơ tỷ lệ hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 35 Định lý 3: Cho hệ vectơ n chiều , , …, , , …, ( ) ( ) Nếu r > s vectơ hệ (x) biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ (y) hệ vectơ (x) phụ thuộc tuyến tính 36 Nói cách khác, Một hệ véc tơ PTTT tất véc tơ hệ biểu diễn tuyến tính qua véc tơ hệ khác có số véc tơ 37 Hệ 1: Nếu hệ vectơ (x) độc lập tuyến tính vectơ hệ (x) biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ (y) ≤ (số véc tơ (x) không lớn số véc tơ hệ (y)) 38 Hệ 2: Nếu hai hệ vectơ (x) (y) độc lập tuyến tính đồng thời vectơ hệ biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ ngược lại hai hệ vectơ có số vectơ 39 Định lý 4: Mọi hệ vectơ có số vectơ lớn số chiều phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 1: CMR hệ véc tơ n chiều , ,…, ĐLTT véc tơ ∈ không biểu diễn tuyến tính qua hệ véc , tơ , ,…, ,…, , hệ véc tơ ĐLTT 40 Ví dụ 2: CMR hệ véc tơ n chiều , ,…, , ,…, ĐLTT hệ véc tơ , PTTT, véc tơ X biểu diễn tuyến tính cách qua , ,…, …………………41………………… 41