(phần bonus) 37 câu câu nguyên hàm tích phân image marked image marked

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục Câu đoạn a;b Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành tính theo cơng thức b b A V =   f ( x ) dx B V = 2  f ( x ) dx a a b C V = 2  f ( x ) dx b D V = 2  f ( x ) dx a a Đáp án A Câu (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + A x + C B x3 +C D x + x + C C 6x + C Đáp án D Ta có  f ( x ) dx =  ( 3x + 1) dx = x + x + C Câu 3: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Tích phân dx  x + A 16 225 B log C ln = ln − ln = ln 5 D 15 Đáp án C d ( x + 3) dx 0 x + = 0 x + = ln ( x + 3) Ta có (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Biết Câu 4:  ( x + 1) dx = a − b − c với a, b, c số nguyên dương Tính P = a + b + c x + x x +1 A P = 24 D P = 46 C P = 18 B P = 12 Đáp án D Ta có I =  Lại có: ( dx x ( x + 1) x +1 + x ( )( x +1 + x ) ) x +1 − x =  I =  ( = x − x +1 ) x +1 − x   dx =   − dx x x + x ( x + 1)   = − − = 32 − 12 −  a = 32; b = 12;c = Vậy a + b + c = 46 Câu (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y = 3x , cung tròn có phương trình y = − x2 (với  x  ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích (H) A 4 + 12 B 4 − 12 C 4 + − D − 2 Đáp án B Phương trinh hoành độ giao điểm là: 0  x  3x = − x    x = 3x = − x Dựa vào hình vẽ ta có: S =  3x 2dx +  − x dx = x3 + I1 = + I1 Với I1 =  − x dx, sử dụng CASIO đặt x = 2sin t  dx = 2cos tdt Đổi cận  I1 =   x = 2 t = x =1 t =      I1 =  − 4sin t.2 cos tdt =  (1 + cos2t ) dt = ( 2t − sin 2t )   4 − 4 − 3 Do S = 6 ( ) Câu (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018): Cho hàm số f ( x ) xác định 1  , f ( ) = f (1) = Giá trị biểu thức \   thỏa mãn f ' ( x ) = 2x − 2 f ( −1) + f ( 3) bằng: A + ln15 B + ln15 Đáp án C Ta có  f ' ( x ) dx = ln 2x − + C C + ln15 D ln15 Hàm số gián đoạn điểm x = Nếu x   f ( x ) = ln ( 2x − 1) + C mà f (1) =  C = 2 Vậy f ( x ) = ln ( 2x − 1) + x  Tương tự f ( x ) = ln (1 − 2x ) + x  Do f ( −1) + f ( 3) = ln + + ln + = ln15 + (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo Câu 7: hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f (1) = 0,  f ' ( x )  dx = 1  x f ( x ) dx = Tích phân  f ( x ) dx A B C D Đáp án A 1   u = f ( x ) du = f ' ( x ) dx 3x f x dx = x f x − x 3f ' ( x ) dx  , Đặt  ( ) ( )     0 dv = 3x dx  v = x 1 0 Suy = f (1) −  x 3f ' ( x ) dx   x 3f ' ( x ) = −1   14x 3f ' ( x ) dx = −7 Mà 1 1  49x dx = suy  f ' ( x ) dx +  7x f ' ( x ) dx +  49x dx =   f ' ( x ) + 7x  dx = 0 0 7 Vậy f ' ( x ) + 7x =  f ( x ) = − x + C mà f (1) =  f ( x ) = (1 − x )   f ( x ) dx = 4 Câu (ĐỀ THI THỬ 2018)Giới hạn lim x →3 a x + − 5x + b x − 4x − (phân số tối giản) Giá trị a − b là: A Đáp án A B C −1 D Ta có ( ) ( ) x + 4x − ( x − 3) x x x + 4x − x + − 5x + = lim = lim = x →3 x − 4x − x →3 x →3 x + + 5x + ( x − 3)( x − 1) ( x − 1) x + + 5x + lim ( ) ( ) Suy a = 9; b =  a − b = Câu 9: (ĐỀ THI THỬ 2018) Tìm nguyên hàm hàm số y = f ( x ) = cos3 x A  f ( x ) dx =  sin 3x  + 3sin x  + C B  f ( x ) dx =  4  cos x +C x cos x.sin x D  f ( x ) dx = +C C  f ( x ) dx = sin 3x − sin x + C 12 Đáp án B Ta có  f ( x ) dx =  cos3 xdx = 1 sin 3x  + 3sin x  + C ( cos 3x + 3cos x ) dx =   4  Câu 10 (ĐỀ THI THỬ 2018)Biết I =  x ln ( 2x + 1) dx = nguyên dương a ln − c , a, b, c số b a phân số tối giản Tính S = a + b + c b A S = 60 B S = 17 C S = 72 D S = 68 Đáp án B  du = dx  u = ln ( 2x + 1)   x2  2x +   I = Đặt   ln ( 2x + 1)  dv = xdx   v = x   x2   I =  ln ( 2x + 1)  2  0 x2 dx 2x + − x   x2  −   − + dx = ln ( 2x + 1)    4 ( 2x + 1)  2  0 a = 63 63   I = ln −  b =  S = a + b + c = 70 c =  Cách : PP số 4  x2  −  − x + ln ( 2x + 1)   4  Đặt  du = 2x + dx u = ln ( 2x + 1)   4x −    I =    ln ( 2x + 1)  x − dv = xdx    = ( 2x + 1)( 2x − 1) v =  x − 4) ( 63  I = ln = 4 x2 chia hình tròn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 thành hai phần có diện tích S1 S2 , S1  S2 Tìm tỉ số 3 + 21 − 2x − dx 4 − a = 63 63  = ln −  b =  S = a + b + c = 70 c =  Câu 11 (ĐỀ THI THỬ 2018)Parabol y = A B 3 + 9 − C 3 + 12 S1 S2 D 9 − 3 + Đáp án B x + y2 =  x = 2   Ta có  x2 y = y =  Ta có parabol đường tròn hình vẽ bên  x2  Khi S1 =   − x −  dx = 2 +  −2  (bấm máy tính) 2 + S1 = 3 + = Suy S2 = 8 − S1 = 6 − Suy S2 6 = 9 − Câu 12 (ĐỀ THI THỬ 2018): Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = x x = y2 quay quanh trục Ox bao nhiêu? A 3 10 B 10 C 10  D 3 Đáp án A Phương trình hồnh độ giao điểm ( C1 ) , ( C2 ) Trong đoạn x 0;1 suy y = x ; y = x  y = x x = y =  LÀ   x = 1; y =  x = y   x5 x  Thể tích khối tròn xoay cần tính VOx =   ( x − x ) dx =   −    = 3 10 Câu 13 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho hai hàm số F ( x ) = ( x + ax + b ) e − x f ( x ) = ( − x + 3x + ) e − x Tìm a b để F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) B a = −1, b = −7 A a = 1, b = −7 C a = −1, b = D a = 1, b = Đáp án B Ta có F' ( x ) = ( − x + ( − a ) x + a − b ) e − x = f ( x ) nên − a = a − b = Vậy a = −1 b = −7 Câu 14 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Cho hàm số f ( x ) liên tục 0 −1 có  f ( x ) dx = 2;  f ( x ) dx = Tính I =  f ( 2x − ) dx A I = 3 C I = B I = D i = Đáp án B 1 −1 −1 Có I =  f ( 2x − ) dx =  f (1 − 2x ) dx +  f ( 2x − 1) dx 12 = −  f (1 − 2x ) d (1 − 2x ) −1 + t =1− 2x f ( 2x − 1) d ( 2x − 1) 1 t = 2x −1 =− 1 1 1 1 f ( t ) dt +  f ( t ) dt = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = + =  23 20 23 20 2 Câu 15 (TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Tính diện tích S hình phẳng (H) giới hạn đường cong y = −x + 12x y = −x A S = 343 12 B S = 793 C S = 397 Đáp án D Hoành độ giao điểm hai đường cong nghiệm phương trình; D S = 937 12 x = − x + 12x = − x  − x + 12x + x =   x = −3  x =  Ta có S = −3 − x + 12x + x dx +  − x + 12x + x dx 0 −3 = 3  ( x − 12x − x ) dx +  ( −x + 12x + x ) dx = 99 160 937 + = 12 Câu 16 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Tìm tất giá trị thực tham số k để x + −1 x k có  ( 2x − 1) dx = lim x →0  k = −1 C   k = −2 k = B   k = −2 k = A  k =  k = −1 D  k = Đáp án D ( 2x − 1) Ta có  ( 2x − 1) dx =  ( 2x − 1) d ( 2x − 1) = 21 k k x + −1 = lim x →0 x Mà lim = x →0 ( )( k ( 2k − 1) = ) = lim x + −1 x +1 +1 ( ) x x +1 +1 x →0 = =2 x +1 +1 ( 2k − 1) − =  2k − =  k = x + −1 Khi  ( 2x − 1) dx = 4lim  ( )  k = −1 x →0 x  k Câu 17 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho f ( x ) hàm liên tục đoạn 0;a  a f ( x ) f ( a − x ) = dx ba = thỏa mãn   , b, c hai số nguyên dương + f x c ( ) f x  0,  x  0;a ( )    b phân số tối giản Khi b + c có giá trị thuộc khoảng đây? c A (11;22 ) B ( 0;9 ) C ( 7;21) D ( 2017;2020 ) Đáp án B Đặt t = a − x  dt = −dx Đổi cận x =  t = a; x = a  t = 0 a a a f ( x ) dx dx −dt dx dx = = = = + f ( x ) a + f (a − t ) + f (a − x ) + 1+ f (x ) 0 f (x) a Lúc I =  a f ( x ) dx a dx + = 1dx = a Suy 2I = I + I =  + f ( x ) 0 + f ( x ) 0 a Do I = a  b = 1; c =  b + c = Cách 2: Chọn f ( x ) = hàm thỏa giả thiết Dễ dàng tính I = a  b = 1; c =  b + c = Câu 18 (Toán Học Tuổi Trẻ): Tìm nguyên hàm hàm số: f ( x ) = x ln x A C  32 f ( x ) dx = x ( 3ln x − ) + C B  f ( x ) dx = 32 x ( 3ln x − 1) + C D  32 f ( x ) dx = x ( 3ln x − ) + C  f ( x ) dx = 32 x ( 3ln x − ) + C Đáp án D  = x ln xdx = 2 x x ln x −  x x dx 3 x x x ln x − x x + C = x x ( 3ln x − ) + C 9 Câu 19: (Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm cơng thức tính thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x2 đường thẳng d : y = x quay xung quanh trục Ox 2 A   ( x − x ) dx 0 2 0 B   4x dx −  x dx 2 D   ( 2x − x ) dx C   4x dx +  x dx Đáp án D 2  Thể tích khối tròn xoay là: V =    x dx −  x dx  0  Câu 20: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hàm số f ( x ) liên tục f ( tan x ) = cos x, x  Tính I =  f ( x ) dx thỏa mãn A 2+ B C 2+ D  Đáp án A   f ( tan x ) = cos x  f ( tan x ) =    tan x +   f ( x) = (x 2+ 1 + 1) 2   f ( x ) dx = Câu 21: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = e x −1 , cắt trục tọa độ phần đường thẳng y = − x với x  Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành e2 − A V = + 2e C V = + B V = e −1  e  ( 5e2 − 3) 6e2 D V = + e2 − 2e2 Đáp án B Ta có e x −1 = − x  x = (do hàm số f ( x ) = ex−1 + x − đồng biến f (1) = 0) Suy V =   e x−2 dx +   ( − x ) dx =  ( 5e2 − 3) 6e Câu 22: (Toán Học Tuổi Trẻ) Xét hàm số y = f ( x ) liên tục miền D =  a; b có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x = a, x = b Người ta chứng minh độ dài đường cong S b  + ( f  ( x ) ) dx Theo kết trên, độ dài đường cong S phần đồ thị a hàm số f ( x ) = ln x bị giới hạn đường thẳng x = 1, x = m − m + ln 1+ m với m, n  n A B C D giá trị m2 − mn + n bao nhiêu? Đáp án B L=  1+ 1 dx Đặt u = + x2 ta có: x u2 u −1   L =  du =  u + ln  u −1 u +1   2 = − + ln 1+ Do m = 2, n =  m2 − mn + n = Câu 23: (Toán Học Tuổi Trẻ)Nguyên hàm hàm số f ( x) = x.e2 x 1 A F ( x) = e2 x  x −  + C B F ( x) = 2e2 x  x −  + C C F ( x) = 2e2 x ( x − ) + C D F ( x) = e2 x ( x − ) + C  2  2 Đáp án A I =  xe2x dx du = dx u = x   Đặt  e2 x 2x dv = e dx v =  I =  xe2 x dx = xe2 x x 1  −  e dx = e2 x  x −  + C 2 2  Câu 24: (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hàm số f ( x) liên tục thỏa mãn   f (tan x)dx =  A x f ( x) x2 + dx = Tính tích phân I =  f ( x)dx B Đáp án A  Ta có I1 =  f (tan x)dx = C D Đặt t = tan x  dt = dx cos2 x  dt = (1 + tan x)dx = (1 + t )dx   I1 =  f (t ) t +1 I2 =  dt =  f ( x) x2 + dt 1+ t2 = dx dx = x f ( x) x2 + 1 0 =  f ( x)dx −  dx f ( x) x2 + 1 dx =  f ( x)dx − =   f ( x)dx = Câu 25 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết số nguyên dương A Đáp án A ln x x2 dx dx  u = ln x du =   x Đặt   dv = dx v = − x   x I = ln x x2 dx = − (với a số thực, b, c b phân số tối giản) Tính giá trị 2a + 3b + c c B -6 Có I =  ln x b dx = + a ln x c  ln x +  dx x 1x ln 1 =− − = − ln 2 x1 2  1  2a + 3b + c =  −  + 3.1 + =  2 C D Câu 26: (Toán Học Tuổi Trẻ) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( H ) : y = x −1 trục tọa độ Khi giá trị S x +1 A S = ln −1 (đvtt) D S = ln +1 S = 2ln + (đvtt) B S = 2ln −1 (đvtt) (đvtt) C Đáp án B Đồ thị hàm số cắt Ox (1; 0) Oy (0; −1) 1 x −1   S=  dx =  1 −  dx x +1 x +1  0 =  x − ln ( x + 1)  = ln − Câu 27 (Toán Học Tuổi Trẻ): Với số nguyên dương n ta kí hiệu In = n ò x (1- x ) dx Tính lim xđ + Ơ A I n+ In B C D Đáp án A Với số nguyên dương n ta kí hiệu I n = I n+ = n+ ò x (1- x ) 0 Với tích phân J = n ò x x (1- x ) dx dx = I n - n ò x x (1- x ) dx ta đặt: ìï u = x3 ïï ïí n+ Þ ïï v = 1- x ) ( (n + 1) ïïỵ ìï u ¢= 3x ïï í ïï v ¢= x (1- x )n ïỵ ỉ - x3 ư1 n+ ữ ỗ ị J=ỗ 1- x ) ữ + ữ ỗố 2n + ( ữ ứ0 Þ J= ò n+ 3x 1- x ) dx ( (n + 1) 3 I n+ Þ I n+ = I n I n+ (n + 1) (n + 1) n ò x (1- x ) dx Khi Þ I n + 2n + = In 2n + I n+ =1 In lim xđ + Ơ Cõu 28: (Toỏn Hc Tuổi Trẻ)Cho tích phân ò cos x cos xdx = a + b , - p a,b số hữu tỷ Tính ea + log b A -2 B -3 C D Đáp án A Đặt t = sin 2x , tính a = 0, b = - nên ea + log2 b = - Câu 29 (Tốn Học Tuổi Trẻ)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (P): y = x2 - 4x + tiếp tuyến với (P) A(1;2), B (4;5) A B C D Đáp án A æ5 ö Tiếp tuyến với (C ) A,B d1 : y = - x + 4, d : y = x - 11, d1 Ç d = M ỗỗỗ ;1ữữữ ố2 ứ Din tớch cn tính S = ò éê(x - x + 5)- (- x + 4)ù dx + ú ë û ò éêë(x 2 - x + 5)- (- x - 11)ù dx = ú û (đvdt) Câu 30 (Tốn Học Tuổi Trẻ)Tìm giá trị dương k để lim x →+ ( 3k + 1) x + x A k = 12 = f  ( ) với f ( x ) = ln ( x + ) B k = C k = D k = Đáp án C f ( x) (x = + 5) x +5 = 2x , f  ( 2) = x +5 Do lim ( 3k + 1) x + x →+ x = f  ( )  3k + =  k = x + 2x + 3 0 x + d x = a + b ln ( a, b  ) Tìm Câu 31 (Tốn Học Tuổi Trẻ)Biết ab  d x  lim giá trị k để x →+ A k  (k + 1) x + 2017 x + 2018 B k  C k  D k  Đáp án B x + 2x + 3   + b ln =  d x =   x2 +  d x = + 3ln a x+2 x+2 0 1 Suy ra: ab −  k +  3.3 −  k +  k  Câu 32 (Toán Học Tuổi Trẻ)Giả sử a, b, c số nguyên thỏa mãn 2x + 4x + 1 0 2x + d x = 1 ( au + bu + c ) du , u = 2x +1 Tính giá trị S = a + b + c A S = B S = C S = D S = Đáp án D Đặt u = 2x +  x = u2 −1 u + 2u −  udu = d x, 2x + 4x + = 2 Ta 2x + 4x + 1 0 2x + d x = 1 ( au + bu + c ) du , với a = 1, b = 2, c = −1  a + b + c = Câu 33 (Tốn Học Tuổi Trẻ): Cho hình phẳng (H) giới hạn đường cong y= ln x , trục hoành đường thẳng x = e Khối tròn xoay tạo thành quay x (H) quanh trục hồnh tích bao nhiêu?   A V = B V = C V =  D V =  Đáp án B Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = ln x trục hoành là: số x x  ln x =0  x = x ln x =   ln x  V =     d x =   ln xd ( ln x ) = x 1 e e Câu 34 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hàm số f ( x ) xác định f ( x) = , f ( ) = 2017, x −1 A S = \ 1 thỏa mãn f ( ) = 2018 Tính S = f ( 3) − f ( −1) B S = ln C S = ln 4035 D S = Đáp án A x  ( −;1) f ( x ) =  f  ( x ) d x = ln (1 − x ) + C1 x  (1; + ) f ( x ) =  f  ( x ) d x = ln (1 − x ) + C2   f ( ) = 2017 C1 = 2017  ; S = f ( 3) − f ( −1) =  C = 2018 f = 2018 ( )    Câu 35 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết ln có hai số a, b để F ( x) = ax + b ( 4a − b  ) nguyên hàm hàm số f ( x ) thỏa mãn x+4 f ( x ) = ( F ( x ) − 1) f  ( x ) Khẳng định đầy đủ nhất? A a = 1, b = B a = 1, b = −1 C a = 1, b  \ 4 D a  , b  Đáp án C f ( x) = F( x) = 4a − b ( x + 4) = ( 4a − b )( x + )  f  ( x ) = −2 ( 4a-b)( x + ) = −3 −2 −2 ( 4a − b ) ( x + 4) Ta có f ( x ) = ( F ( x ) −1) f  ( x )  ( 4a − b ) ( x + 4) = −2 ( 4a − b ) ( a − 1) x + b −  ( x + 4)  4a − b = − ( a −1) x − b + 4 (*) (do x  −4, 4a − b  ) Biểu thức (*) với x  −4 nên có a = 1, b  Do 4a − b  nên a = 1, b = \ 4 ... THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo Câu 7: hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f (1) = 0,  f ' ( x )  dx = 1  x f ( x ) dx = Tích phân  f ( x ) dx A B C D Đáp án A 1... + ( x − 3)( x − 1) ( x − 1) x + + 5x + lim ( ) ( ) Suy a = 9; b =  a − b = Câu 9: (ĐỀ THI THỬ 2018) Tìm nguyên hàm hàm số y = f ( x ) = cos3 x A  f ( x ) dx =  sin 3x  + 3sin x  + C B  f... k Câu 17 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho f ( x ) hàm liên tục đoạn 0;a  a f ( x ) f ( a − x ) = dx ba = thỏa mãn   , b, c hai số nguyên dương + f x c ( ) f x  0,  x  0;a ( )    b phân