Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.. Gọi ;x x là các nghiệm của phương trình trên.. Kẻ đường kính AD của O.. Kẻ EG vuông góc với AD tại
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TR
Ư ỜNG Đ ẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Đ
ộc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2009
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 07 - 06 – 2009 Đề thi gồm: 01 trang
(Chú ý: Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liêu nào, CBCT không giải thích gì thêm)
Câu 1 (2 đ ) Cho biểu thức:
:
3
Câu 2 (2 đ ) Cho phương trình x 2 2 m 1 x 4m m 2 0, m là tham số
1 Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
2 Gọi ;x x là các nghiệm của phương trình trên Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2
thức : Ax 1 x 2
Câu 3 (2 đ ) Giải hệ phương trình:
0 4 2 4
0 2
2 2 2 2
y x y x
y x xy y
x
Câu 4 (3 đ ) Trên đường tròn (O;R) ta lấy hai điểm A và B tuỳ ý Giả sử C là một
điểm nằm phía trong đoạn AB (C khác A, C khác B) Kẻ đường kính AD của (O) Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H, cắt (O) tại M và N Đường thẳng qua M và D cắt AB tại E Kẻ EG vuông góc với AD tại G
1 Chứng minh BDHC và AMEG là tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh AM2 = AC.AB
3 Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R2
Câu 5 (1 đ ) Với x; y là những số thực thoả mãn điều kiện x + y + xy = 8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2
-
Trang 2-Đáp án MÔN TOÁN THI VÀO THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ HÀ NỘI
NĂM 2009
Thi ngày 07 – 06 – 2009 Người giải đề: Thầy giáo Nguyễn Cao Cường
Giáo viên Toán – Trường THCS Thái Thịnh – Hà Nội
Câu 1 (2 đ ) Cho biểu thức:
:
3
Giải:
:
3
Đặt 3 x t
:
:
2
3
2 t 2 t t 2 t 2t
2 t 4 2t t 4 2t t t 2t 2t t 2 t 2
A
2 t 4 2t t 2 t t 2t 2t
A
2 t 4 2t t t
t 2t 2t 2t t t 2t 2t
A 2 t
2t
t
Vậy giá trị của A = 2 không phụ thuộc vào x
Câu 2 (2 đ ) Cho phương trình x 2 2 m 1 x 4m m 2 0, m là tham số
1 Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
2 Gọi ;x x là các nghiệm của phương trình trên Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2
thức :
Ax x
Giải
x 2 m 1 x 4m m 0 (*)
1 Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Ta có
'
2 2
Δm14mm m 1 4m m
1 1 Δm14mm 2m 2m 1 2 m 0 m
2 4
Nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Trang 32 Gọi x x 1; 2 là các nghiệm của phương trình trên Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Ax x
Ta có 2 2 2
A x x x x 4x x
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (*) ( )
.
1 2
2
1 2
x x 2 m 1
x x 4m m
Do đó
min
2
2
2 2
2
A 2 m 1 4 4m m
A 4m 8m 4 16m 4m
1 1
A 8m 8m 4 8 m
2 4 1
2
A 2
1
2
Câu 3 (2 đ ) Giải hệ phương trình:
( )
x y 2 xy x y 0 2 xy x y 4x 2 y 4
x y 4x 2 y 4 0 x y 4x 2 y 4 0
xy x 2 y 2 0 x 2 y 1 0 1
x y 4x 2 y 4 0 x y 4x 2 y 4 0 2
Từ (1) ta có x = -2 hoặc y = 1
Với x = -2 thay vào (2) ta có: 2 y 0
y 2 y 0
y 2
Với y = 1 thay vào (2) ta có: 2 x 1
x 4x 3 0
x 3
Vậy hệ pt có nghiệm ( ; )x y 2 0; , 2 2; , 1 1; ; 3 1;
Câu 4 (3 đ ) Trên đường tròn (O;R) ta lấy hai điểm A và B tuỳ ý Giả sử C là một
điểm nằm phía trong đoạn AB (C khác A, C khác B) Kẻ đường kính AD của (O) Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H, cắt (O) tại M và N Đường thẳng qua M và D cắt AB tại E Kẻ EG vuông góc với AD tại G
1 Chứng minh BDHC và AMEG là tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh AM2 = AC.AB
3 Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R2
Gi i ải
1.Học sinh dễ dàng chứng minh dựa vào dấu
hiệu tổng hai góc đối của tứ giác
2 Xét (O):
Trang 4AD MN (gt)
H là trung điểm MN (qhệ vuông góc giữa
đường kính và dây)
AD là trung trực của MN
AM= AN
cungAM=cungAN (liên hệ giữa cung và dây)
gócM1=gócB1 (2 góc nội tiếp chắn hai cung
bằng nhau)
Xét AMC và ABM
 chung
gócM1=gócB1 (cmt)
AMC đồng dạng với ABM (g_g)
AM AC
AM2 = AB.AC (đpcm)
1 1
G
E H
M
N
D
O
3 Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R2
Chứng minh AGE đồng dạng với ABD (g_g)
AE AG
AD AB
AE.AB=AD.AG
Chứng minh tương tự: DE.DM = AD.GD
AE.AB + DE.DM = AD.AG + AD.GD= AD (AG + GD) = AD AD = AD2
AE.AB + DE.DM = 4R2
Câu 5 (1 đ ) Với x; y là những số thực thoả mãn điều kiện x + y + xy = 8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 2x2 và 4 ta có:
x 4 2 x 4 x 4 4x
Chứng minh tương tự:
2
y 4 4 y
2x 2 y 4xy
(x2 + 4) + (y2 + 4) + (2x2 + 2y2) (4x + 4y + 4xy)
3(x2 + y2) + 8 4(x + y + xy) (**)
3P + 8 4 8 (vì x + y + xy = 8)
P 8
Vậy Pmin = 8
2
2
x 4
y 4
x y 2 2x 2 y
x y xy 8