De va dap an Chuyen Ngu Ha Noi 2009

Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.. Kẻ đường kính AD của (O)2[r]

(1)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2009 MƠN THI: TỐN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 07 - 06 – 2009 Đề thi gồm: 01 trang

(Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liêu nào, CBCT khơng giải thích thêm)

Câu (2đ) Cho biểu thức:

:

2 2

3 3 3

3

3 3 3 3 2 3

8 x x 2 x x 4

A 2 x

2 x 2 x x 2 x 2 x

   

 

     

       

Với x x ; 8 x 0;  Chứng minh giá trị A không phụ thuộc vào x

Câu (2đ) Cho phương trình x2  2 m x 4m m     2 0, m tham số

1 Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

2 Gọi x x1; 2 nghiệm phương trình Hãy tìm giá trị nhỏ biểu

thức : Ax1  x2

Câu (2đ) Giải hệ phương trình:

¿

x2+y2+2(xy +x + y)=0 x2+y2+4 x −2 y+4=0

¿{

¿

Câu (3đ) Trên đường tròn (O;R) ta lấy hai điểm A B tuỳ ý Giả sử C điểm nằm phía đoạn AB (C khác A, C khác B) Kẻ đường kính AD (O) Cát tuyến qua C vng góc với đường kính AD H, cắt (O) M N Đường thẳng qua M D cắt AB E Kẻ EG vng góc với AD G

1 Chứng minh BDHC AMEG tứ giác nội tiếp Chứng minh AM2 = AC.AB

3 Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R2

Câu (1đ) Với x; y số thực thoả mãn điều kiện x + y + xy = 8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y2

(2)

Đáp án MƠN TỐN THI VÀO THPT CHUN NGOẠI NGỮ HÀ NỘI NĂM 2009

Thi ngày 07 – 06 – 2009 Người giải đề: Thầy giáo Nguyễn Cao Cường

Giáo viên Toán – Trường THCS Thái Thịnh – Hà Nội Câu (2đ) Cho biểu thức:

:

2 2

3 3 3

3

3 3 3 3 2 3

8 x x 2 x x 4

A 2 x

2 x 2 x x 2 x 2 x

   

 

     

       

Với x x ; 8 x 0;  Chứng minh giá trị A không phụ thuộc vào x Giải:

:

2 2

3 3 3

3

3 3 3 3 2 3

8 x x 2 x x 4

A 2 x

2 x 2 x x 2 x 2 x

   

 

     

 

       

Đặt 3 x t

      

 

  

:

3 3 2

2

2 3 2

2 2

3

2 2 2

8 t t 2t t 4

A 2 t

2 t 2 t t t 2t

2 t 2t t 4 2t t t 2t 2t t t 2 A

2 t 2 t t 2 t t 2

2 t 2t t 2 t t 2t 2t A

2 t 4 2t t t t 2t 2t 2t t t 2t 2t A t

t t

2t

A 2

t

     

     

       

            

    

       

     

 

  

     

   

 

Vậy giá trị A = không phụ thuộc vào x

Câu (2đ) Cho phương trình x2  2 m x 4m m     2 0, m tham số

thức :

1 2

Ax  x

Giải

 

2 2

x  2 m x 4m m   0 (*)

Ta có

' ( ) ( )

'

2 2

Δ m 1 4m m

1 1

Δ 2m 2m m 0 m

2 4

   

  

          

 

 

Nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

(3)

thức :

1 2

Ax  x

Ta có    

2 2

2

1 2 1 2 1 2

A  x  x  x x  4x x

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (*)

( )

1 2

2 1 2

x x 2 m 1

x x 4m m

  

  

 

 

Do

   

min

2

2 2

2 2 2

2

2 2

2

A 2 m 1 4 4m m A 4m 8m 16m 4m

1 1 A 8m 8m m

2 4 1

A 8 m 2

2 A 2

1

A 2 m

2

    

    

  

        

 

 

 

    

 

 

   

Câu (2đ) Giải hệ phương trình:

   

( )( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2

x y 2 xy x y 0 2 xy x y 4x y 4 x y 4x y 0 x y 4x y 0

xy x y 0 x y 1 0 1 x y 4x y 0 x y 4x y 0 2

         

 

 



 

         

 

 

      

 

   

         

 

Từ (1) ta có x = -2 y =

Với x = -2 thay vào (2) ta có:

2 y 0

y 2 y 0

y 2

 

   

 

Với y = thay vào (2) ta có:

2 x 1

x 4x 0

x 3

 

    

 

Vậy hệ pt có nghiệm ( ; )x y   2 0; , 2 2; , 1 1; ; 3 1; 

Câu (3đ) Trên đường tròn (O;R) ta lấy hai điểm A B tuỳ ý Giả sử C điểm nằm phía đoạn AB (C khác A, C khác B) Kẻ đường kính AD (O) Cát tuyến qua C vng góc với đường kính AD H, cắt (O) M N Đường thẳng qua M D cắt AB E Kẻ EG vng góc với AD G

1 Chứng minh BDHC AMEG tứ giác nội tiếp Chứng minh AM2 = AC.AB

Gi iả

1.Học sinh dễ dàng chứng minh dựa vào dấu hiệu tổng hai góc đối tứ giác

(4)

2 Xét (O): AD  MN (gt)

H trung điểm MN (qhệ vng góc đường kính dây)

AD trung trực MN AM= AN

cungAM=cungAN (liên hệ cung dây) gócM1=gócB1 (2 góc nội tiếp chắn hai cung

bằng nhau)

Xét AMC ABM Â chung

gócM1=gócB1 (cmt)

AMC đồng dạng với ABM (g_g) 

AM AC

AB AM

AM2 = AB.AC (đpcm)

1

G

E H

M N

D

O

A C B

Chứng minh AGE đồng dạng với ABD (g_g) 

AE AG

AD AB

AE.AB=AD.AG

Chứng minh tương tự: DE.DM = AD.GD

AE.AB + DE.DM = AD.AG + AD.GD= AD (AG + GD) = AD AD = AD2 AE.AB + DE.DM = 4R2

Câu (1đ) Với x; y số thực thoả mãn điều kiện x + y + xy = 8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y2

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 2x2 ta có:

2 2 2

x  4 x 4  x  4 4x

Chứng minh tương tự:

2

y  4 y

2 2

2x 2 y 4xy

 (x2 + 4) + (y2 + 4) + (2x2 + 2y2)  (4x + 4y + 4xy)  3(x2 + y2) +  4(x + y + xy) (**)

 3P +  (vì x + y + xy = 8)  P 

Vậy Pmin = 

2 2

x 4 y 4

x y 2 2x 2 y

x y xy 8

  

 

  



 

   

