TRỌN BỘ ĐÁP ÁN CHI TIẾT TUYỂN SINH VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI ( TỪ 2006 ĐẾN 2018 ) DÀNH CHO HỌC SINH GIÁO VIÊN THAM KHẢO CẤU TRÚC ĐỀ VÀ NHẬN BIẾT CÁCH LÀM CỦA CÁC DẠNG BÀI TẬP GIÚP HỌC SINH ĐẠT THÀNH TÍCH TỐT TRONG KÌ THI TỐT NGHIỆP . NỘI DUNG UP LÊN DOC KHI NHÌN CÓ VẺ LỖI FONT CHÚT NHƯNG KHI CÁC BẠN TẢI VỀ DƯỚI DẠNG WORD THÌ KO HỀ CÓ CHÚT LỖI NÀO
(Từ đề đến 13) Đáp án – Hà Nội năm 2018 – 2019 (Đề 1) Bài 1: 1) x = � A 2) B 3) x 1 x x 3 94 1 3 1 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1) A x x 4 �۳5��� � : B x 1 x 1 x ( x x 3 2) ( x 1) x x 4(tmdk) Vậy x = Bài 2; - Gọi x (m) chiều dài hình chữ nhật (đk: < y < x < 14) y “ rộng “ xx yy 2(x y) 28 � 1010 - Theo đề ta có hệ pt sau: � 2 �x y 100 �x �x (loai) � - Giải hệ pt ta được: � (tmđk) �y �y Vậy Chiều dài chiều rộng hình chữ nhật 8m 6m Bài 1) Đặt: a = x; b = |y + 2| �0 4a b 8a 2b � � �� � a 2b a 2b � � - Ta có: � 9a � � � a 2b � a 1 � � b 1 � �x � Xét y -2 � �� �x � �� � �� Thay a = 1; b = ta có: � �y + = � y = -1 (tmdk) | y | � ��Xét y < -2 � �� � � - y - = � y = - (tmdk) � �� Vậy hệ pt có hai cặp nghiệp là: (1; -1) (1; -3) 2) a) Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm pt sau x2 = (m + 2)x + � x2 – (m + 2)x – = = (m + 2)2 + 12 �0 ( m) > nên (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị m b) Theo định lí Vi ét: x1 + x2 = m + x1.x2 = - x1, x2 số nguyên – = 1.(-3) = (-1).3 nên x1 + x2 = x1 + x2 = - - Xét x1 + x2 = � m + = � m = - Xét x1 + x2 = - � m + = - � m = - Vậy m = m = - (d) cắt (P) hai điểm có hồnh độ số nguyên “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Bài 1) Chứng minh điểm C, D, H,O, S nằm đường tròn CC AA SS HH BB OO DD � SDO � SHO � 900 Ta có: SCO � , SDO � , SHO � nhìn đoạn thẳng SO góc 900 Suy điểm C, Do đó: Các góc SCO D, H, O, S nằm đường tròn đường kính SO � ? 2) Tính độ dài đoạn thẳng SD theo R số đo góc CSD CC HH AA 2R 2R SS BB OO ?? RR DD - Theo định lí Py ta go SDO vng D, ta có: SD SO OD (đlí Py ta go) � SD (2R) R 3R R � - Số đo góc CSD là: Vậy � R � SinDSO � Sin300 � DSO � 30 SinDSO 2R � � � 600 CSD 2.DSO 2.300 600 � CSD 3) Chứng minh tứ giác ADHK nội tiếp đường tròn đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳng SC II SS AA CC J KK H J H BB OO DD - Chứng minh ADHK nội tiếp “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Ta có: � HSC � (đvị - AK // SC) (1) + HAK � HDC � HSC � (vì hai góc nội tiếp chắn cung HC � ) (2) + HDK � HDK( � � Từ (1) (2) Suy ra: HAK HSC) � , HDK � Do hai góc HAK nhìn đoạn thẳng HK Vậy tứ giác ADHK nội tiếp đường tròn - Chứng minh đường thẳng BK qua trung điểm đoạn SC Ta có: � KDA � � ) + KHA (góc nội tiếp chắn cung AK (1) � CDA � � ) + CBA (góc nội tiếp chắn cung AC (2) � � Từ (1) (2) Suy ra: AHK ABC (đvị) � HK // BC Vì HK // BC � AK = KJ (t/c đường TB tam giác ABJ) + Xét tam giác SBI có AK // SI theo hệ đlí Ta lét ta có: AK BK SI BI (3) + Tương tự: Xét tam giác CBI ta có: KJ BK IC BI AK KJ � SI IC Từ (3) (4) Suy ra: SI IC (4) Vậy đường thẳng BK qua trung điểm I đoạn SC 4) Chứng minh điểm S thay đổi tia đối tia AB điểm F ln thuộc đường tròn cố định CC SS AA HH FF OO � EE BB MM NN DD - Vẽ đường kính AN (O; R) Gọi M giao điểm EF BN EF AD � �� EF//ND hay ME // ND ND AD � - Xét BDN ta có: BE ED � �� BM MN EM // DN � Do đó: M trung điểm đoạn thẳng BN Vì hai điểm B, N cố định suy trung điểm M cố định A cố định � 900 , Suy điểm F thuộc đường tròn đường kính AM cố định Có AFM Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x x x “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh �0 x - ĐK: �x � Nếu �t �1 t �t Có x �1 x; x �1; x �2x , �x �1 � P x x x �1 x 2x �2 ; �x �1 P Khi x = P = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = x = Đáp án - Hà Nội 2017 -2018 (Đề 2) Bài 1) Khi x = giá trị biểu thức A 2) B 20 x x 25 x 5 �B x 5 x 3) Với �0, x �25 , ta có: A B x x 2 x 5 � 3 5 35 x 20 x x 5 x 5 �x � x x � x x 5 x 5 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 �x x 9 � x 20 � � �� (tmdk) x � x 1 � Vậy x = x = giá trị cần tìm �1 x 2 Bài 2: Vận Thời XM A Ơtơ Gọi vận tốc gian Xe 120 km tốc Xe (36 phút = giờ) Ơtơ máy B máy x (km/h) (x > 0) x + 10 (km/h) từ A đến B 120 x (giờ) 120 (giờ) x 10 120 120 Ta có phương trình: x x 10 Giải phương trình được: x1 = 40 (tmđk); x2 = – 50 (Loại) Vậy vận tốc Xe máy 40 km/h Ơtơ 50 (km/h) Thời gian Ơtơ từ A đến B Bài 3: 1) ĐK: x �0, y �1 “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh � � � x 9 � x y 1 � x y 1 � � � Ta có: � � � x y 1 x y 1 � x y 1 � � � �x �x � x 1 � �� �� �� (thỏa mãn điều kiện) 1 y 1 �y � � y 1 Vậy Tập nghiệmcủa hệ phương trình 1;5 2) a) Thay x = 0, y = vào phương trình y = mx + 5, ta được: m.0 � (đúng với m) Vậy đường thẳng (d) qua điểm A(0; 5) với giá trị m b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x mx � x mx (*) Với x1 x cho |x1| > |x2| x1 x (do x1 x ) b m (theo hệ thức Vi-ét) Do x1 x nên x1 x � x1 x a Vậy m < giá trị cần tìm Bài 4: 1) Chứng minh điểm C, N, K, I thuộc đường tròn �1 C �1 (góc nội tiếp chắn hai cung MA � MB � ) Ta có N � ICK � (cùng nhìn đoạn thẳng IK) Do đó: KNI Vậy bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn 2) Chứng minh rằng: NB2 = NK.NM Ta có: � NMC � � NMB � � � �� NBC NMB � NMC � � NBC Xét NBK NMB có: � NMB � � NBK � �� NBK � BNMchung � � NMB (g.g) NB NK � NB2 NK.NM (đpcm) NM NB “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh 3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi - Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác CNKI ta có: � INC � � IKC � � � �� IKC ABC (đvị) � IK // HB (1) � � ABC INC � Tương tự: HI // BK (2) Từ (1) (2) Suy ra: Tứ giác BHIK hình bình hành (3) - Xét tam giác ABC ta có: �1 C �2 � MA � nên C Vì MB � Suy ra: CM tia phân giác góc ACB � Tương tự, AN tia phân giác góc BAC Hai đường phân giác AN CM cắt I � BI đường phân giác thứ ba phải qua I Vậy Hình bình hành BHIK có BI đường phân giác góc B nên hình thoi 4) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng - Xét đường tròn tâm (P) ta có: $ �1 (1) P1 2.M - Xét đường tròn tâm (O) ta có: � 2.M � (2) BDC Từ (1) (2) ta có: $ � (đvị) � PK // DQ (3) P1 BDC Tương tự ta có: PD // KQ (4) Từ (3) (4) Suy ra: Tứ giác PDQK hình bình hành Có E trung điểm đường chéo PQ, đường chéo thứ hai DK phải qua trung điểm E PQ Vậy ba điểm D, E, K thẳng hàng Bài 5: - Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 + b2 + c2 Ta có: (a b)2 �0 � a b �2ab “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Tương tự: b c �2bc ; c a �2ca c 2۳) 2(ab bc ca) P Suy ra: 2(a b� Dấu “=” xảy � a b c � ab bc ca � a b c Vậy MinP � a b c - Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a2 + b2 + c2 Vì a �1, b �1 nên: (a 1)(b 1) �0 � ab a b �0 � a b �ab Tương tự: b c �bc ; c a �ca Do đó: 2(a b c) �ab bc ca � 2(a b c) �12 � a b c �6 � (a b c) �36 (do a b c 0) � a b c 2(ab bc ca) �36 � P 2.9 �36 ۣ P 18 Dấu “=” xảy � ba số a, b, c có hai số Nhưng ba số a, b, c khơng thể đồng thời ab bc ca � Có hai số 1, số lại Vậy M ax P 18 � (a, b,c) � 4;1;1 , 1; 4;1 , 1;1; Đáp án - Hà Nội 2016 -2017 (Đề 3) Bài “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Thay x = 25 ta có A 25 7 13 Ta có : B B x x 3 x 24 x 9 ( x 3)( x 8) ( x 3)( x 3) 3) P A.B - Tìm x để P x 8 x 8 x 3 x ( x 3) x 24 ( x 3)( x 3) x +3=7 � x +3=-7 � x x 24 ( x 3)( x 3) x 8 x 3 x 3 (Với x �0, x �9) có giá trị nguyên x 3 x + = � x = - (Loại) x +3=-1 � x �U (7) �1; �7 x = - (Loại) x = � x = 16(tmđk) x = -10 (Loại) Vậy với x = 16 P có giá trị ngun Bài Gọi chiều dài hình chữ nhật x (m) (ĐK : x > 0) 720 (m) Chiều rộng hình chữ nhật x Theo đầu ta có pt sau : 720 (x 10)( 6) 720 � x 10x 1200 x Giải pt ta : x = 30 (tmđk) ; x = - 40 (Loại) Vậy Chiều dài hình chữ nhật 30 m Chiều rộng hình chữ nhật 24 m Bài x � u � � x 1 (x �1; y �2) 1) Đặt � �v � y2 3u 2v � � Ta có : � 2u v � 3u 2v 7u 14 u2 � � � �� �� � 4u 2v 10 2u v � � �v �x 2 � �x �x �� �� (tm) � �y 1 �y Vậy hệ pt có nghiệm (x ;y) = (2 ;-1) 2) a) Phương trình tọa độ giao điểm đường thẳng(d) parabol (P) : x2 = 3x + m2 – � x2 - 3x – (m2 – 1) = “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh = (-3)2 + 4.(m2 – 1) = 4m2 + > (mọi m) Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt m b) Ta có : (x1 + 1)(x2 + 1) = � x1x2 + (x1 + x2) = (1) Với x1 ; x2 giao điểm (d) (P) hai nghiệm pt : x2 - 3x – (m2 – 1) = x1 x � Theo đlí Vi ét ta có : � x1 x m � Thay vào pt (1) ta có : - m2 + = � m2 = � m � Bài : (Bài hình khơng phải đề thi Tuyển sinh vào 10 Hà Nội năm 2016 -2017) 1) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Xét tam giác MAB ta có : � (t/c tiếp tuyến) - MI tia phân giác góc AMB � � BI � ) - AI tia phân giác góc MAB (vì AI - Hai tia phân giác MI AI cắt I Vậy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB dd MM RR II HH 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn MA, MB cung nhỏ AB + Theo đlí Py ta go ta có: MO MA AO2 AA RR OO BB MO (R 3) R 4R 2R + Hệ thức lượng tam giác MAO vng A ta có: 1 1 R � AH 2 2 2 AH AM AO 3R R 3R � AB = 2.AH = R = R - Diện tích tứ giác MAOB ta có: SMAOB = 1 MO.AB = 2R R = R2 (đvdt) 2 - Diện tích hình quạt AOB là: SquatAOB R 1200 R (đvdt) 3600 - Diện tích hình giới hạn MA, MB cung nhỏ AB là: S = SAMBO - Squạt AOB = R2 - R = ( )R (đvdt) 3 Đáp án - Hà Nội 2015 - 2016 (Đề 4) “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Bài I: 1) Thay x = ta có P 2) Rút gọn biểu thức : Q 93 12 32 x ( x 2) x x ( x 1).( x 2) x x4 x4 ( x 2)( x 2) x 2 x x 2 P x 3 x �2 (Theo bdt Côsi) Dấu xảy x = Q x x P Vậy giá trị nhỏ 6060km Q km Ngược Ngược 3) Bài II: CC AA BB 4848km km - Gọi x (km/h) vận tốc Tàu nước yên lặng (đk: x > 2) Vận tốc Tàu ngược dòng A đến B (x – 2) km/h Thời gian Tàu ngược dòng A đến B Xi Xi 60 (h) x2 Vận tốc Tàu xi dòng B A (x + 2) (km/h) 48 (h) x2 60 48 � x 12x 220 - Theo đầu ta có pt sau: x2 x2 Thời gian Tàu xi dòng B A - Giải phương trình ta : x1 = 22 (tmđk) ; x2 = -10 (Loại) Vậy vận tốc Tàu tuần tra nước yên lặng 22 km/h Bài III: � 2(x y) x � 1) Giải hệ pt sau: � ; Đặt: u = x + y ; v x �0 (x y) x 5 � 2u v 6u 3v 12 7u u 1 � � � � �� �� �� Ta có : � u 3v 5 u 3v 5 u 3v 5 � � � �v �x y �x y �x �� �� � x 1 �x �y 2 Thay u = 1, v= ta có : � 2) Cho pt: x2 – (m + 5)x + 3m + = (x ẩn) a) (m 5)2 4(3m 6) m2 2m (m 1) �0, m Vậy phương trình ln có nghiệm với m b) Phương trình có hai nghiệm x1, x2 > m �1 Theo đlí Vi ét ta có x1 x2 m x1 x2 D 3m (Với x1 ; x2 > m > - 2) 2 Theo đầu : x1 x2 25 � ( x 1 x2 ) x1 x2 25 � (m 5) 2(3m 6) 25 � m 4m 12 J K � m = (tmđk); m = - (loại) F M N Vậy với m = x1, x2 độ dài hai cạnh Hgóc vng tam giác vuông I EA E C O B Bài IV “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Q Bài � � 900 � Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn 1/ Ta có : AMO ANO 2/ Ta có : ANB ACN (gg) AN AB AN 62 � AN AB.AC hay AC (cm) AC AN AB � BC AC AB 5(cm) 1� � � � MTN MON AON � � � 3/ �� MTN MIN (đvị) � MT // AC � � AON � AIN � Do : 4/ Xét AKO có AI vng góc với KO Hạ OQ vng góc với AK Gọi H giao điểm OQ AI H trực tâm AKO , nên KMH vuông góc với AO Vì MHN vng góc AO nên đường thẳng KMHN vng góc AO, nên KM vng góc AO Vậy K nằm đường thẳng cố định MN BC di chuyển Bài Từ giả thiết ta có: 1 1 1 ab bc ca a b c Theo BĐT Cơ si thì: �1 1� 1 �1 � 1 �1 � � �� ; � �� ; � �� �a b � ab �b c � bc �c a � ca �1 � 1 �1 � 1 �1 � � 1�� ; � 1�� ; � 1�� �a � a �b � b �c � c Cộng bất đẳng thức theo vế ta có: �1 1 � 3 �1 1 � �6 � � ��6 �2 � �a b c � 2 �a b c � 2 1 � �1 � � ��3 (đpcm) b c � �a Đáp án - Hà Nội 2012 - 2013 (Đề 7) “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Bài 1) Với x = 36, ta có : A 36 10 36 2) Với x �, x 16 ta có : � x ( x 4) 4( x 4) � x (x 16)( x 2) x 2 B� � x 16 x 16 � �x 16 = (x 16)(x 16) x 16 � � x 2� x 4 x 2� 3) Biểu thức B (A – 1) = = số nguyên � � � � x 16 � x 2 � x 16 x – 16 = 1 hay x – 16 = 2 x = 15 hay x = 17 hay x = 14 hay x = 18 Bài Gọi x (ngày) thời gian người thứ I hoàn thành công việc (đk: x > 0) Trong ngày, người thứ I làm (Công việc) x Thời gian người thứ II hồn thành cơng việc (x + 2) ngày Trong ngày, người thứ II làm (Công việc) x2 1 Ta có phương trình : x x 12 Giải phương trình ta : x = Vậy người thứ người thứ hai làm hồn thành cơng việc Bài � � x y � 1) Giải hệ pt: � Đặt: � 1 � x y � 2u v � � Ta có: � 6u 2v � 4u 2v � � � 6u 2v � u 1 ;v x y � 10u u � � �� � 2u v � � �v �1 � �x �x �� Thay u ; v ta có: � �y �1 �y 2) Phương trình : x – (4m -1)x + 3m2 – 2m = = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, m Do : Phương trình cho có nghiệm phân biệt m Theo đlí Viét: x1 + x2 = 4m – xd1d.x2 = 3m2 – 2m 2 Ta có: x1 x � (x1 + x2)2 – 2xQ1x2 = C (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = M 10m – 4m – = H 3 P m = hay m = E II Bài A K O B “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh � HKB � 900 � Tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn đường kính HB 1) Ta có : HCB � � � ABM(cungAM) 2) Ta có : ACM � � � � �� ACM ACK( ABM) � � ACK ABM(cungHK) � 3) Xét MAC EBC ta có : MA EB(gt) � � � � MAC EBC(cungMC) �� MAC EBC(cgc) � AC BC(gt) � � CM = CE Do : CME cân C (1) � � � Ta có : CME CEM 45 (BC 45 ) (2) Từ (1) (2) Suy :Tam giác CME vuông cân C 4) Ta có : AP.MB AP.MB OB AP MA R� � MA MA OB MB � PAM OBM (đlí Talét đảo) � ) � OBM � (chắn AM - Xét PAM OBM ta có : PAM Vì OBM cân O � PAM cân P Suy : PA = PM - Kéo dài BM cắt d Q Xét AMQ vng có PA = PM � PA = PQ - Vì HK // AQ theo hệ đlí Ta lét ta có : HI IK BI HI QP ( � � HI IK QP PA BP) IK PA Suy : I trung điểm HK Vậy đường thẳng BP qua trung điểm đoạn HK x y2 M Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức với x, y > x 2y xy x(2y) x2 y ( x2 y2 ) y Ta có (BĐT Cơ si) M 2(x2 y2 ) 4( x y ) 4( x y ) x(2y) 3y 3y � (Thay x =2y) � 2 2 2 2(x y ) 4(x y ) 4(4y y ) 20 5 Suy Max x = 2y, giá trị nhỏ M = đạt x = 2y M Đáp án - Hà Nội 2011 - 2012 (Đề 8) “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Bài 1: Với x ≥ x �25 ta có : 1) A A= x 10 x = x x 25 x 5 x ( x 5) 10 x 5( x 5) x 25 x 25 x 25 ( x 5) x x 10 x x 25 x 10 x 25 = = = ( x 5)( x 5) x 25 x 25 x 25 x 25 5 5 x 5 < x 15 x x 20 x 5 Vậy �x 100 x 5 x 5 2) x = A = 3) A < x 10 �x 100 Bài Gọi x (tấn) số hàng đội xe phải chở ngày theo kế hoạch (đk: x N*) Thời gian đội xe chở hết số hàng theo kế hoạch 140 (ngày) x Thực tế số hàng đội xe chở ngày (x + 5) Thời gian đội xe phải thực chở hàng 150 (ngày) x 5 140 150 1 x x 5 Giải pt ta có : x2 + 15x – 700 = � x1 = 20 (tmđk) ; x2 = - 70 (loại) 140 7(ngày) Vậy thời gian đội xe chở hết số hàng theo kế hoạch 20 Theo đầu ta có pt: Bài 1) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) m = là: x2 = 2x + x2 – 2x + = (x + 2) (x – 4) = x = -2 hay x = � y(-2) = 4, y(4) = 16 Vậy tọa độ giao điểm (d) (P) m = : A(-2; 4) B(4; 16) 2) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x2 = 2x – m2 + x2 – 2x + m2 – = (1) Phương trình có nghiệm phân biệt trái dấu > x1.x2 < hay a.c = m2 – < m2 < m < -3 < m < Bài � MEI � 900 � Tứ giác AMEI nội tiếp đường 1) Ta có: MAI tròn đường kính MI 2) Tứ giác ENBI nội tiếp đường tròn đường kính IN � EBI � (chắn EI � ) Ta có: ENI � ) � EAI � (chắn EI EMI � EBI � 900 (Vì AEB vng E) Ta có: EAB � INM � 900 � MIN � 900 Tương tự: IMN 3) Ta có: MAI � BNI � ) IBN (Vì AMI N G M A E I O B F AM AI AM.BN AI.BI (1) IB BN “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh 4) Gọi G điểm đối xứng F qua AB Ta có: AM + BN = 2OG = 2R (2) (Đường TB hình thang ABNM) Ta có : AI = R 3R , BI = 2 Từ (1) (2) AM + BN = 2R AM.BN = 3R Vậy AM, BN nghiệm phương trình X2 – 2RX + AM = 3R =0 R 3R BN = 2 Suy ra: MAI vuông cân A IBN vuông cân B MI R 3R 3R R R 3R 3R ; NI SMIN (đvdt) 2 2 2 Bài : Tìm giá trị nhỏ bểu thức : M 4x 3x 2011 (với x > 0) 4x ) 2010 Vì (2x – 1)2 �0; x 4x 4x 1 � M (2x 1) (x ) 2010 �2 x 2010 2011 4x 4x Giá trị nhỏ M = 2011 x = 2 Ta có: M (2x 1) (x �2 x 1 1(BĐT 4x Côsi) Đáp án - Hà Nội 2010 - 2011 (Đề 9) “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Bài 1: 1) Rút gọn biểu thức: A x x 3x ; x �0, x �9 x 9 x 3 x 3 x ( x 3) x ( x 3) (3x 9) 3( x 3) A x 9 ( x 3)( x 3) 2) Tính giá trị x A 3 � x � x � x 36 Ta có: x 3 3) Tìm giá trị lớn biểu thức A Biểu thức A có giá trị lớn x 3 Ta có: x �0 � x �3; x = A x 3 x đạt giá trị nhỏ 3 Vậy giá trị nhỏ A = đạt x = Bài 2: Gọi x (m) chiều dài hình chữ nhật (đk: x > 0) Chiều rộng hình chữ nhật (x – 7) m Theo đầu định lí Py ta go ta có pt: xx- -77 x2 + (x - 7)2 = 132 Giải pt: x2 + (x - 7)2 = 132 � x2 – 7x – 60 = = 49 + 240 = 289; 17 17 17 x1 12 (tmđk); x 5 (loại) 2 Vậy chiều dài hình chữ nhật 12m; chiều rộng hình chữ nhật 5m xx 1313 Bài 3: 1) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt – x2 = mx – � x2 + mx – = có > = m2 + > m Vậy giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt x1 x m � 2) Theo đlí Vi ét ta có: � x1 x 1 � 2 - Theo đầu bài: x1 x x x1 x1 x � x1 x (x1 x ) x1 x � - 1.(- m) + = � m = FF II EE CC Bài 4: DD AA OO BB “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh 1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp � FED � 900 � Tứ giác FCDE nội tiếp - Ta có : FCD đường tròn đường kính FD 2) Chứng minh rằng: DA.DE = DB.DC � DAB(cungBE) � � DCE � �� DCE : DAB(gg) � DBA(cungAC) � DEC � DC DE � � DB.DC DA.DE (đpcm) DA DB � OCB � 3) Chứng minh rằng: CFD IC tiếp tuyến đường tròn (O) � CEA(cùng � � � CFD CD) � � � �� CFD ABC (1) � ABC(cùng � � � CEA AC) � ABC( � OBC) � - Xét OBC cân O ta có: OCB (2) � OCD � Từ (1) (2) Suy ra: CFD (đpcm) FD (Trung tuyến FCD vuông C) � FCI � � ICF cân I Suy ra: CFI - Ta có: CI = IF = ID = � CFI � � OCD � � � �� OCD FCI (1) � � FCI CFI � � DCI � 900 (2) - Ta có: FCI � DCI � 900 � OC CI Từ (1) (2) Suy ra: OCD Do đó: Vậy IC tiếp tuyến đường tròn (O) � DF = R 4) Chứng minh tgAFB -Ta có: CBA CFD (gn – tg vuông) � CB AB 2R 2 CF FD R - Xét BCF vng C ta có: � tgCFB � CB tgAFB CF Bài 5: Giải phương trình sau: x 4x (x 4) x � (x 7) (x 4) x 4x Đặt: t x � t2 – (x + 4)t + 4x = = (x + 4)2 – 16x = (x – 4)2 �0 ; � (x 4) (x 4) t 4 � �1 �� �t (x 4) (x 4) x �2 =x–4 - Thay t = � x � x � x �3 -Thay t = x � x x � x x (voi x �0) � 0.x 7(vô ly) Vậy tập nghiệm pt S 3;3 Đáp án - Hà Nội 2009 - 2010 (Đề 10) “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Bài 1) Rút gọn biểu thức: A x x4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x x 2 x 2 x 2 x x 2 2) Tính giá trị A x = 25 - Thay x = 25 ta có: A 3) Tìm x để A - Thay A � 25 25 3 x 1 � x x � x � x � x (tmdk) x 2 Bài Gọi x, y (chiếc) số áo tổ I; II may ngày (đk: x, y nguyên dương) Số áo tổ I may ngày 3x (chiếc), tổ 2II may ngày 5y (chiếc), Cả hai tổ may 310 Ta có pt: 3x + 5y = 310 Trong ngày tổ I may nhiều tổ II 10 áo có pt: x – y = 10 3x 5y 1310 � �x 170 � � �x y 10 �y 160 Ta có hệ pt: � Vậy ngày tổ I may 170 (áo), tổ II may 160 (áo) Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 + = (ẩn x) 1) Giải phương trình cho m = Thay m = ta có pt: x 4x Vì + (- 4) + = 0, theo hệ thức Vi-ét : x1 1; x 2 2) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 x2 10 x2 – 2(m + 1)x + m2 + = (1) - PT có hai nghiệm ۳ Δ ' �x1 x2 2(m 1) - Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1) ta có: � �x1 x2 m � (m �� 1) �۳ (m 2) 2m m Ta có : x12 x22 10 � x1 x2 2x1 x2 10 m (tmdk ) � � 2(m 1) 2(m 2) 10 � m 4m � � m 5(loai ) � Vậy m = pt có hai nghiệm phân biệt “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Bài M 1) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp � ACO � 900 � Tứ giác ABOC nội tiếp ABO B P 2) Chứng minh: BE OA OE.OA = R2 K - Vì AB, AC hai tiếp tuyến đường tròn (O) nên AO đường phân giác góc A đường trung trực BC A O E Q Suy ra: AO BC � BE AO C - Theo hệ thức lượng ABO vuông B ta có: N OE.OA = OB2 = R2 3) Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC - T/chất hai tiếp tuyến ta có: QC = QK PB = PK - Chu vi tam giác APQ bằng: AP + AQ + PQ = AP + AQ + (PK + KQ) = (AP + PB) + (AC + CN) = AB + AC không đổi Vậy chu vi tam giác ABC không đổi K chuyển động cung nhỏ AB Bài 5: Giải phương trình sau: 1 1 � 1� x x x 2x3 x 2x � x �x � � x (2x 1) (2x 1) � � 4 � 2� � � x2 1 1 �� � � 1� 2 �� � x � ( 2x )( x ) x x x x �x � � � � � � �� � 2� � � 2� x �۳ x � ĐK: � � 2� � 1� x � 1� � 1� � 1� � 1� � 1� � � � 1� � �x � x � �x � �x �x � �x � x 1� �x �x � � � 2� � 2� � 2� � 2� � 2� � � � 2� � 1 � x 0 x �� �� (tmdk) �2 � x 0 � x 0 � �1 � �S � ; 0� �2 � 1� � 1� � 1� � 1� � 1� � 1� � �x � �x �x � �x � �x �x � �x �x � �x �x � 2� � 2� � 2� � 2� � 2� � 2� “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Đáp án - Hà Nội 2008 - 2009 (Đề 11) �1 � x : � � x 1�x x x Bài 1: Cho biểu thức P � �x � a) Rút gọn biểu thức: �1 P� �x � P x � x x x 1 : : � � x 1�x x x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x b) Tính giá trị P x = -Thay x = P 1 13 ; c) Tìm x để P Đkxđ: x > 13 x x 13 P x 3 x Đặt x t ; điều kiện t > Phương trình (1) 3t 10t 0 ; Giải pt ta được: t1 = ; t - Với t = x 13 x x 10 x 0 (1) (tmđk) x 3 x 9 ; với t Bài � x 1 �x Gọi số chi tiết máy tổ I làm tháng đầu x (xN*; x < 900) Số chi tiết máy tổ II làm tháng đầu 900 - x (chi tiết máy) Số chi tiết máy tổ I làm tháng thứ hai Số chi tiết máy tổ II làm tháng hai 115 x 100 110 (900 x) 100 Tháng thứ hai hai tổ làm 1010 chi tiết máy Ta có pt sau : 1,15x + 1,1(900-x) = 1010 Gải pt : x = 400 (tmđk) Vậy tháng thứ tổ I sản xuất 400 chi tiết máy,tổ II sản xuất 500 chi tiết máy Bài Cho Parabol (P) y x đường thẳng (d) y = mx + 1) Chứng minh m đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm - Phương trình giao điểm (d) (P): x mx x 4mx 0 (*) ' ( 2m) 4m m PT (*) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt với giá trị m “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh 2) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB theo m (O gốc toạ độ) 3,5 2,5 B 1,5 y2 A 0,5 y2 -3 -2 D -1 O -x1 x2 C -0,5 -1 -1,5 Vì phương trình hồnh độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên đồ thị hai hàm số có dạng Gọi toạ độ điểm A(x1 ; y1 ); B(x ; y ) ; giả sử x1 < < x2 Hình chiếu vng góc A, B lên Ox D, C Ta có: OC x x ; OD x1 x1 ; CD OC OD x x1 ; BC y x ; AD y1 x12 4 Ta có S OAB S ABCD S OBC S OAD S OAB S OAB ( AD BC )CD 1 OC BC OD AD 2 1 2 x x1 x x1 1 1 4 x x 22 ( x1 ) x12 2 4 1 1 1 x 22 x12 x x1 x 23 x13 x12 x x 22 x1 x1 x x1 x 8 8 8 Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có: x1 x x1 x 4m; x1 x x1 x 4x1 x 16m 16 16 m 1 Ta có: � x1 x 16 m 1 m � x1 x 4 m Vậy x1 x 1 SOAB x1 x2 x1 x2 ( 4) m 2 m E (đvdt) 8 M A 1 I F N B O P Bài Q “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh K 1) Chứng minh KAF đồng dạng KEA - Xét KAF KEA ta có: � KEA( � � � KAF KEB) � �� KAF : KEA(gg) � Kchung � 2) Chứng minh đường tròn (I; IE) tiếp xúc với (O E) Ta có O, I, E thẳng hàng OI = OE – EI nên (I; IE) tiếp xúc với (O) - Chứng minh đường tròn (I; IE) tiếp xúc AB F: Ta có : EIF cân I EOK cân O � OKE( � � IFE (đồng vị) IF // OK OEK) � KB � (cmt) Vì AK � AOK 90 o OK AB Ta có IF // OK ; OK AB IFAB (I; IE) tiếp xúc với AB F 3) Chứng minh MN // AB Xét (O) ta có: � AEB 90 o (chắn nửa đường tròn) Xét (I; IE): � � MEN 90o (vì AEB 90 o ) MN đường kính (I; IE) EIN cân I Mà EOB cân O � EBO( � � ENI (đồng vị) IEN) MN//AB 4)Tính giá trị nhỏ chu vi KPQ theo R E chuyển động (O) Ta chứng minh tứ giác PFQK hình chữ nhật; Tam giác BFQ tam giác vuông cân Q Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ mà PK = FQ (PFQK hình chữ nhật) FQ = QB (BFQ vng cân Q) PK = QB PQ = FK (PFQK hình chữ nhật) Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ = QB + QK + FK = BK + FK Vì (O) cố định, K cố định (K điểm cung AB) Chu vi KPQ nhỏ = BK + FO E điểm cung AB Ta có EO = R Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác vng cân EOB tính BK R Chu vi KPQ nhỏ = R R R “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Bài Tính giá trị nhỏ biểu thức: A x 1 x 3 x 1 Đặt a = x – x – = a + 1; x – = a -1 A a 1 a 1 a 1 4 a 1 x 3 2 A (a 4a 6a 4a 1) (a 4a 6a 4a 1) 6(a 1) A 8a �8 Min A = a = x – = x = Vậy giá trị nhỏ A = x = Đáp án - Hà Nội 2007 - 2008 (Đề 12) Bài 1: Cho biểu thức: P = 1/ Rút gọn biểu thức: - Với x > x �1 ta có: P x ( x 1) 3( x 1) (6 x 4) x x x 1 x 1 Vậy P x 1 x 1 x 1 x 1 2/ Tìm x để P x 1 x 1 - Ta có: P < < - < x �x < x �1 x 1 x 1 Vậy với < x < x �1 P Bài 2: AA 24 24km km BB Gọi x (km/h) vận tốc xe đạp từ A đến B (đk: x > 0) Thời gian xe đạp từ A đến B 24 (h) x Vận tốc xe đạp B trở A (x + 4) km/h Thời gian xe đạp B trở A 24 (h) x4 Theo đề ta có pt: Giải pt ta được: x = 12 Vậy vận tốc xe đạp từ A đến B 12 km/h Bài 3: Cho pt: x2 + bx + c = 1/ Khi x = - b = pt: x2 – 3x + = - PT có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2/ Tìm b, c pt có hai nghiệm phân biệt tích hai nghiệm 0 b 2; b � � b 4c b2 � � � � �� � � � c 1 c 1 c 1 � �x1 x � � “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Bài � EAH; � 1/ Chứng minh rằng: ABE ABH : EAH � EAH � (chắn cung AE) - Ta có: ABE � EAH � ) ABH : EAH (góc nhọn ABH 2/ Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp � AKE � 900 ) - Tứ giác AHEK nội tiếp (Vì AHE 3/ Xác định vị trí điểm H để AB = R - Xét AIB vng ta có: CC HH AA EE BB II KK OO � AI R : R cos300 � IAO � 300 cosIAO AO 2 � 300 cạnh đối diện góc 300 nửa cạnh huyền - Trong AHB vng có góc nhọn ABH � AH AB R R Vậy H cách A khoảng 2 Câu Đồ thị qua A (0; 2) cố định; a = m – = m =1 Gọi B điểm cắt truc hồnh Kẻ OH AB Trong tam giác vng OAB ta có: OH �OA Dấu “=” xảy H �A m – = m = Đáp án - Hà Nội 2006 - 2007 (Đề 13) Bài I: 1/ Rút gọn biểu thức A: - ĐK: a �1 a �0 ta có: � a3 a 2 a a �� P� : � a �� ( a 2)( a 1) � a 1 � � � a 1� � � ( a 2)( a 1) a ( a 1) �� a 1 a 1 :� � � ( a 2)( a 1) ( a 1)( a 1) �� ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) � � =� � ( a 1) a � a : � ( a 1) ( a 1) �( a 1)( a 1) � = � = ( a 1)( a 1) a 1 a 1 a a �P a 1 a 2/ Tìm a để � a a 1 a 1 �1 P a 1 �1 � ( a 3)2 �0 � ( a 3) �0 � a � a (Vì a �0) “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh 80 80km km Bài 2: AA BB CC 72 72km km Gọi x (km/h) vận tốc riêng ca nô (đk: x > 4) Vận tốc ca nơ xi dòng từ A đến B (x+ 4) km/h 80 (h) x4 Thời gian ca nơ xi dòng A đến B Vận tốc ca nơ ngược dòng B C (x – 4) km/h 72 (h) x4 72 80 Ta có phương trình : x4 x4 Thời gian ca nơ ngược dòng B C Giải pt ta có: x = 36 Vậy vận tốc thực ca nô 36 km/h (Lưu ý :Vận tốc Ca nô không thực tế) Bài -Tọa độ giao điểm hai đồ thị nghiệm pt sau : x2 = 2x + � x2 - 2x – = � x1 = - ; x2 = Khi x = -1 y = A(-1 ;1) Khi x = y = B(3 ; 9) - Diện tích hình thang ABCD : 99 1 (AD + BC).CD = (1 + 9).4 = 20 (đvdt) 2 SABCD = BB AA 11 DD -1,5 -1,5-1-1 OO Bài � BKH � 900 ) a) Tứ giác BCHK nội tiếp (vì BCH MM KAB (gn tam giác vuông) AC AH R � � AH.AK AB.AC 2R R AK AB KK b) CAH AA Vậy AH.AK = R2 c) Chứng minh tam giác BMN đều; ta có: KM + KN + KB = 2KN Ta có: K, O, N thẳng hàng CC 33 HH � OO CC BB NN � Max(KM+KN+KB)=4R Vậy K điểm cung BM Bài 5: Chứng minh : x2y2(x2 + y2) �2 với x, y dương x + y = ta có : �x xy y � 1 x y (x +y ) = xy [2xy.(x2 + y2)] � xy � � 2 � � 2 2 2 � ( x y)2 � �x y � � xy � = 2xy �2 � � �= 2 �2 � � � (Áp dung Cô si cho số dương x + y = ) “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh ... tháng thứ hai Số chi tiết máy tổ II làm tháng hai 115 x 100 110 (900 x) 100 Tháng thứ hai hai tổ làm 101 0 chi tiết máy Ta có pt sau : 1,15x + 1,1(900-x) = 101 0 Gải pt : x = 400 (tmđk) Vậy tháng... =x–4 - Thay t = � x � x � x �3 -Thay t = x � x x � x x (voi x �0) � 0.x 7(vô ly) Vậy tập nghiệm pt S 3;3 Đáp án - Hà Nội 2009 - 2 010 (Đề 10) “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn... MB cung nhỏ AB là: S = SAMBO - Squạt AOB = R2 - R = ( )R (đvdt) 3 Đáp án - Hà Nội 2015 - 2016 (Đề 4) “Mưa bão” Miền Trung - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh Bài I: 1) Thay x = ta