D28 De+DA thi thuDH-D 2009

Sở GD & ĐT Thanh Hóa Trờng THPT Lê Văn Hu đề thi thử vào đại học cao đẳng lần 28 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) Ngày thi: /2009 Họ và tên thí sinh: I. PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu I. (2,0 im) Cho hm s y = x 3 3x 2 + mx + 4, trong ú m l tham s thc. 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho, vi m = 0. 2. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s ó cho nghch bin trờn khong (0 ; + ). Cõu II. (2,0 im) 1. Gii phng trỡnh: 3 (2cos 2 x + cosx 2) + (3 2cosx)sinx = 0 2. Gii phng trỡnh: 2 2 4 1 2 log (x 2) log (x 5) log 8 0+ + + = Cõu III. (1,0 im) Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y = x e 1+ , trc honh v hai ng thng x = ln3, x = ln8. Cõu VI. (1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA = SB = a, mt phng (SAB) vuụng gúc vi mt phng (ABCD). Tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp S.ABCD. Cõu V. (1,0 im) Xột cỏc s thc dng x, y, z tha món iu kin x + y + z = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 2 2 2 x (y z) y (z x) z (x y) P yz zx xz + + + = + + II. PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c chn lm mt trong hai phn 1. Theo chng trỡnh Chun: Cõu VIa. (2,0 im) 1. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) cú phng trỡnh: x 2 + y 2 6x + 5 = 0. Tỡm im M thuc trc tung sao cho qua M k c hai tip tuyn vi (C) m gúc gia hai tip tuyn ú bng 60 0 . 2. Trong khụng gian, cho im M(2 ; 1 ; 0) v ng thng d cú phng trỡnh: x 1 2t y 1 t z t = + = + = Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im M, ct v vuụng gúc vi ng thng d. Cõu VIIa. (1,0 im) Tỡm h s ca x 2 trong khai trin thnh a thc ca biu thc P = (x 2 + x 1) 6 2. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VIb. (2,0 im) 1. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) cú phng trỡnh: x 2 + y 2 6x + 5 = 0. Tỡm im M thuc trc tung sao cho qua M k c hai tip tuyn vi (C) m gúc gia hai tip tuyn ú bng 60 0 . 2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2 ; 1 ; 0) v ng thng d cú phng trỡnh: x 1 y 1 z 2 1 1 + = = . Vit phng trỡnh chớnh tc ca ng thng i qua im M, ct v vuụng gúc vi ng thng d. Cõu VIIb. (1,0 im) Tỡm h s ca x 3 trong khai trin thnh a thc ca biu thc P = (x 2 + x 1) 5 Giáo viên: Phạm Đình Huệ - THPT Lê Văn H u ……………………Hết…………………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: …………………… ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm I (2,0 điểm) 1. (1,25 điểm) Với m = 0, ta có hàm số y = – x 3 – 3x 2 + 4 Tập xác định: D = ¡ Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: y’ = – 3x 2 – 6x, y’ = 0 ⇔ x 2 x 0 = −   =  y’ < 0 ⇔ x 2 x 0 < −   >  y’ > 0 ⇔ – 2 < x < 0 Do đó: + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞ ; − 2) và (0 ; + ∞) + Hàm số đồng biến trên khoảng (− 2 ; 0) 0,50 • Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu tại x = – 2 và y CT = y(–2) = 0; + Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và y CĐ = y(0) = 4. • Giới hạn: x x lim , lim →−∞ →+∞ = +∞ = −∞ 0,25 • Bảng biến thiên: 0,25 • Đồ thị: Đổ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; 4), cắt trục hoành tại điểm (1 ; 0) và tiếp xúc với trục hoành tại điểm (− 2 ; 0) 0,25 2. (0,75 điểm) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞) ⇔ y’ = – 3x 2 – 6x + m ≤ 0, ∀ x > 0 ⇔ 3x 2 + 6x ≥ m, ∀ x > 0 (*) 0,25 Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 3x 2 + 6x trên (0 ; + ∞) Từ đó ta được : (*) ⇔ m ≤ 0. 0,50 II (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với phương trình : ( ) ( ) 3 sin x 2sin x 3 3sin x cos x 0 2 3sin x cos x 0  =  − + = ⇔   + =  0,50 Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n H u x y' y −∞ −∞ +∞ +∞ 2 − 0 0 0 0 4 − − + 4 3 − 2 − O 1 y x x y +∞ 0 +∞ 0 n x ( 1) n , n 3 x k , k 6 π  = − + π ∈  ⇔  π  = − + π ∈   ¢ ¢ 0,50 Câu Đáp án Điểm 2. (1,0 điểm) Điều kiện: x > – 2 và x ≠ 5 (*) Với điều kiện đó, ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2 2 2 2 log (x 2) x 5 log 8 (x 2) x 5 8 (x 3x 18)(x 3x 2) 0 + − = ⇔ + − = ⇔ − − − − =   0,50 2 2 x 3x 18 0 3 17 x 3; x 6; x 2 x 3x 2 0  − − = ± ⇔ ⇔ = − = =  − − =   Đối chiếu với điều kiện (*), ta được tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là: x 6= và 3 17 x 2 ± = 0,50 III (1,0 điểm) Kí hiệu S là diện tích cần tính. Vì ln8 x x ln3 e 1 0 x [ln3 ; ln8] nên S e 1dx+ > ∀ ∈ = + ∫ 0,25 Đặt x e 1+ = t, ta có 2 2tdt dx t 1 = − Khi x = ln3 thì t = 2, và khi x = ln8 thì t = 3 0,25 Vì vậy: 3 3 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2t dt dt dt dt 3 S 2 dt 2 2 ln t 1 ln t 1 2 ln t 1 t 1 t 1 t 1 2   = = + = + − = + − − + = +  ÷ − − − +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0,50 IV (1,0 điểm) Do SA = SB = AB (= a) nên SAB là tam giác đều. Gọi G và I tương ứng là tâm của tam giác đều SAB và tâm của hình vuông ABCD. Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD. Ta có OG ⊥ (SAB) và OI ⊥ (ABCD). 0,50 Suy ra: + OG = IH = a 2 , trong đó H là trung điểm của AB. + Tam giác OGA vuông tại G. 0,25 Kí hiệu R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD, ta có: 2 2 2 2 a 3a a 21 R OA OG GA 4 9 6 = = + = + = 0,25 V (1,0 điểm) Ta có : 2 2 2 2 2 2 x x y y z z P y z z x x y = + + + + + (*) Nhận thấy : x 2 + y 2 – xy ≥ xy ∀x, y ∈ ¡ Do đó : x 3 + y 3 ≥ xy(x + y) ∀x, y > 0 hay 2 2 x y x y y x + ≥ + ∀x, y > 0 0,50 Tương tự, ta có : 2 2 y z y z z y + ≥ + ∀y, z > 0 2 2 z x z x x z + ≥ + ∀x, z > 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được: P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1 3 . Vì vậy, minP = 2. 0,50 VI.a (2,0 1. (1,0 điểm) Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n H u A B C D H G O I S Viết lại phương trình của (C) dưới dạng: (x – 3) 2 + y 2 = 4. Từ đó, (C) có tâm I(3 ; 0) và bán kính R = 2 0,25 Suy ra trục tung không có điểm chung với đường tròn (C). Vì vậy, qua một điểm bất kì trên tục tung luôn kẻ được hai tiếp tuyến của (C). 0,25 Câu Đáp án Điểm Xét điểm M(0 ; m) tùy ý thuộc trục tung. Qua M, kẻ các tiếp tuyến MA và MB của (C) (A, B là các tiếp điểm). Ta có: Góc giữa 2 đường thẳng MA và MB bằng 60 0 · · 0 0 AMB 60 (1) AMB 120 (2)  = ⇔   =  0,25 Vì MI là phân giác của · AMB nên : (1) · 0 2 0 IA AMI 30 MI MI 2R m 9 4 m 7 sin30 ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ± (2) · 0 2 0 IA 2R 3 4 3 AMI 60 MI MI m 9 sin 60 3 3 ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = (*) Dễ thấy, không có m thỏa mãn (*) Vậy có tất cả hai điểm cần tìm là: (0 ; − 7 ) và (0 ; 7 ) 0,25 2. (1,0 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. 0,25 Vì H ∈ d nên tọa độ của H có dạng : (1 + 2t ; − 1 + t ; − t). Suy ra : MH uuuur = (2t − 1 ; − 2 + t ; − t) Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là u r = (2 ; 1 ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = 2 3 . Vì thế, MH uuuur = 1 4 2 ; ; 3 3 3   − −  ÷   . 0,50 Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng MH là: x 2 t y 1 4t z 2t = +   = −   = −  0,25 VII.a (1,0 điểm) Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có: P = 0 6 1 2 5 k 2k 6 k 5 10 6 12 6 6 6 6 6 C (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x − − + − + + − + + − +K K 0,25 Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, x 2 chỉ xuất hiện khi khai triển 0 6 6 C (x 1)− và 1 2 5 6 C x (x 1)− . 0,25 Hệ số của x 2 trong khai triển 0 6 6 C (x 1)− là : 0 2 6 6 C .C Hệ số của x 2 trong khai triển 1 2 5 6 C x (x 1)− là : 1 0 6 5 C .C− 0,25 Vì vậy, hệ số của x 2 trong khai triển P thành đa thức là : 0 2 6 6 C .C 1 0 6 5 C .C− = 9. 0,25 VI.b 1. (1,0 điểm) Xem phần 1 Câu VI.a. 2. (1,0 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. 0,25 (2,0 điểm) d có phương trình tham số là: x 1 2t y 1 t z t = +   = − +   = −  Vì H ∈ d nên tọa độ của H có dạng : (1 + 2t ; − 1 + t ; − t). Suy ra : MH uuuur = (2t − 1 ; − 2 + t ; − t) Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là u r = (2 ; 1 ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = 2 3 . Vì thế, MH uuuur = 1 4 2 ; ; 3 3 3   − −  ÷   . 0,50 Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: 0,25 Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n H u x 2 y 1 z 1 4 2 − − = = − − Câu Đáp án Điểm VII.b (1,0 điểm) Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có: P = 0 5 1 2 4 k 2k 5 k 4 8 5 10 5 5 5 5 5 C (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x − − + − + + − + + − +K K 0,25 Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, x 3 chỉ xuất hiện khi khai triển 0 5 5 C (x 1)− và 1 2 4 5 C x (x 1)− . 0,25 Hệ số của x 3 trong khai triển 0 5 5 C (x 1)− là : 0 3 5 5 C .C Hệ số của x 3 trong khai triển 1 2 4 5 C x (x 1)− là : 1 1 5 4 C .C− 0,25 Vì vậy, hệ số của x 3 trong khai triển P thành đa thức là : 0 3 5 5 C .C 1 1 5 4 C .C− = −10. 0,25 Đề này trích từ cuốn: “Cấu trúc đề thi môn TOÁN, VẬT LÍ, HÓA HỌC, SINH HỌC dùng để ôn thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 2009” của Nhà xuất bản giáo dục Tôi gửi lên cho các thầy cô và học sinh tham khảo. Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n H u . Thanh Hóa Trờng THPT Lê Văn Hu đề thi thử vào đại học cao đẳng lần 28 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) Ngày thi: /2009 Họ và tên thí sinh: . trích từ cuốn: “Cấu trúc đề thi môn TOÁN, VẬT LÍ, HÓA HỌC, SINH HỌC dùng để ôn thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 2009 của Nhà xuất bản