Sở GD & ĐT Thanh Hóa Trờng THPT Lê Văn Hu đề thithử vào đại học cao đẳng lần 25 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) Ngày thi: /2009 Họ và tên thí sinh: A. Phần chung cho tất cả các thí sinh (8,0 điểm) CU I (2 điểm) Cho hm s 2 6 9 2 x x y x + = + a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s. b) Tỡm tt c cỏc im M trờn trc tung sao cho t M k c tip tuyn vi th , song song vi ng thng 3 4 y x = CU II (2 điểm) Cho h phng trỡnh: 2 2 12 26 xy y x xy m = = + a) Gii h phng trỡnh vi m=2 b) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ h phng trỡnh ó cho cú nghim? CU III (2 điểm) a) Tớnh: 36 0 tan cos2 x I dx x = b) Trong mt phng vi h ta Oxy cho hỡnh phng D gii hn bi cỏc ng lny x= , 0y = , x e= .Tớnh th tớch khi trũn xoay to nờn khi quay D quanh trc Ox CU IV (2 điểm) T mt tp th 14 ngi gm 6 nam v 8 n trong ú cú An v Bỡnh,ngi ta mun chn mt t cụng tỏc gm 6 ngi.Tỡm s cỏch chn trong mi trng hp sau: a) Trong t phi cú c nam ln n. b) Trong t cú 1 t trng, 5 t viờn, hn na An v Bỡnh khụng ng thi cú mt trong t B. PHN T CHN (2 điểm) (Thớ sinh c chn mt trong 2 cõu sau) CU VA (2 điểm) Trong khụng gian vi h to Oxyz cho 3 ng thng: d 1 :x = 2 + t, y = t, z = -2 + 2t ; d 2 : 4 2 1 1 2 1 x y z = = ; d 3 : 5 1 2 2 1 1 x y z + + = = V mt cu: 2 2 2 ( ) : 2 2 2 1 0S x y z x y z+ + + + = a) Chng minh rng d 1 ,d 2 chộo nhau v vit phng trỡnh ng thng d ct d 1 ,ct d 2 v song song vi d 3 . b) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d 1 sao cho giao tuyn ca mt phng (P) v mt cu (S) l ng trũn cú bỏn kớnh r=1. CU VB (2 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a.Gi O l giao im hai ng chộo.Trờn na ng thng Ox vuụng gúc vi mt phng cha hỡnh vuụng,ta ly im S sao cho gúc 60SCB = a) Tớnh khong cỏch gia 2 ng thng BC v SD b) Gi ( ) l mt phng cha BC v vuụng gúc vi mt phng (SAD) .Tớnh din tớch thit din to bi ( ) v hỡnh chúp S.ABCD Giáo viên: Phạm Đình Huệ - THPT Lê Văn H u ĐÁP ÁN • CÂU I: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 2 6 9 ( ) 2 x x y C x − + = − + • TXĐ: D = R\ {2} 2 4 3 ' 2 ( 2) x x y x + − = − + • 1 ' 0 3 x y x = = ⇔ = • TCĐ: x = 2 lim 2x = ∞ → Ta có: 1 4 2 y x x = − + + − + • TCX: y = - x + 4 1 lim 0 2x x = = − + → ∞ • BBT: • Đồ thị: Cho x = 0 9 2 y⇒ = b) Gọi M(0, b) Oy∈ , tiếp tiếp qua M song song đường thẳng 3 4 y x= − có dạng: Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n H u (D): 3 4 y x b= − + (D) tiếp xúc (C) 2 6 9 3 (1) 2 4 2 4 3 3 (2) 2 4 ( 2) x x x b x x x x − + = − + − + ⇔ − + − = − − + co ùnghieäm (2) 2 4 0 0 4x x x x⇔ − = ⇔ = ∨ = Thay vào (1): 9 5 0 ; 4 2 2 x b x b= ⇒ = = ⇒ = Vậy : 9 5 (0; ), (0; ) 1 2 2 2 M M • CÂU II: Cho 2 2 12 26 xy y x xy m − = − = + Giải hệ khi m=2. Ta có: Hệ phương trình ( ) 12 ( ) 26 y x y x x y m − = ⇔ − = + ( ) 12 (1) (26 ) (2) 12 y x y m y x − = ⇔ + = Thế (2) vào (1) ta được : 2 (14 ) 144 (*)y m+ = Với m= 2: Phương trình (*) trở thành : 2 16 144y = 2 9 (2) 3 7 (2) 3 7 y y x y x ⇔ = = → = ⇔ = − → = − Vậy khi m= 2 hệ có nghiệm : 7 7 3 3 x x y y = = − ∨ = = − b) Tìm m để hệ có nghiệm: Ta có: Hệ có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm. 14 0 14 m m ⇔ + > ⇔ > − • CÂU III: a) Tính 6 3 0 cos2 tg x I dx x ∏ = ∫ Đặt t= tgx 1 2 cos dt dx x ⇒ = Đổi cận : Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n H u 0 0 3 6 3 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 3 3 6 6 2 2 2 2 cos sin cos (1 ) 0 0 3 3 3 3 3 1 2 2 1 1 0 0 3 3 2 1 1 1 2 2 ln 1 ln 2 2 6 2 3 0 tg x tg x I dx dx x x x tg x t dt t dt t t t t π π ⇒ = = ∫ ∫ − − = = − + ÷ ∫ ∫ ÷ − − ÷ = − − − = − − ÷ b) Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi y= lnx, y= 0, x= e quay quanh Ox. Đồ thị y= lnx cắt Ox tại điểm có hoành độ x= 1 Do đó: e 2 ln 1 V xdx π = ∫ Đặt ln 2 ln 2 x u x du dx x = ⇒ = dv = dx, chọn v = x ( ) e e 2 . ln 2 ln 1 1 e e 2 ln 1 V x x xdx xdx π π ⇒ = − ∫ = − ∫ Xem e ln 1 J xdx= ∫ Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n H u Đặt 1 lnu x du dx x = ⇒ = dv = dx, chọn v = x ( ) e e ln 1 1 1 J x x dx⇒ = − = ∫ Vậy: (e 2)V π = − (đvtt) • CÂU IV: Có 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình. Lập tổ công tác 6 người. Tìm số cách chọn: a) Có cả nam lẫn nữ: • Số cách lập tổ công tác không phân biệt nam nữ là: 6 14 C . • Số cách lập tổ công tác toàn nam là: 6 6 C . • Số cách lập tổ công tác toàn nữ là: 6 8 C . Suy ra số cách lập tổ công tác có cả nam lẫn nữ là: 6 6 6 ( ) 2974 14 6 8 C C C− + = (cách). b) Có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt: Có 3 trường hợp xảy ra: • Trường hợp 1: Trong tổ không có An lẫn Bình. Như vậy còn lại 12 người. Số cách chọn tổ trưởng :12 cách. Số cách chọn tổ viên: 5 11 C . ⇒ Số cách chọn tổ trong đó không có An lẫn Bình là: 5 12. 5544 11 C = (cách). • Trường hợp 2: Trong tổ không có An và không có Bình. Như vậy có 13 người trong đó có An nhưng không có Bình. Nếu An là tổ trưởng thì số cách chọn 5 tổ viên trong 12 người còn lại là: 5 12 C . Nếu An là tổ viên thì số cách chọn 1 tổ trưởng và 4 tổ viên còn lại trong 12 người còn lại là: 4 12. 11 C . ⇒ Số cách chọn tổ mà trong đó có An và không có Bình là: 5 4 12 4752 12 11 C C+ = (cách). • Trường hợp 3: Trong tổ có Bình và không có An: Tương tự trường hợp 2 có 4752 cách. • Tóm lại: Số cách chọn tổ trong đó có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt là: 5544 + 4752 + 4752 = 15048 (cách). • CÂU IV: a) 21 d;d chéo nhau. Ta có 1 d đi qua A(0, -2, -6) có VTCP (1,1,2) 1 a = uur 2 d đi qua B(4, 2, 1) có VTCP (1,2,1) 2 a = uur Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n H u Ta có: , ( 3,1,1) 1 2 , . 1 0 1 2 (4,4,7) a a a a AB AB = − ⇒ = − ≠ = uur uur uur uur uuur uuur Vậy: 21 d;d chéo nhau. • Phương trình đường thẳng d cắt 1 d cắt 2 d , song song 3 d . Ta có VTCP của 3 d là (2, 1, 1) 3 a = − − uur Gọi α là mặt phẳng chứa 1 d và song song 3 d . , (1,5, 3) 1 2 n a a α ⇒ = = − uuur uur uur ⇒ phương trình α : x + 5y - 3z – 8 = 0 Gọi β là mặt phẳng chứa 2 d song song 3 d . , ( 1,3, 5) 2 3 n a a β ⇒ = = − − uuur uur uur ⇒ Phương trình β : -x + 3y -5z -8 = 0. Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của α và β . ⇒ Phương trình d là: 5 3 8 0 3 5 3 0 x y z x y z + − − = − + − + = ( d khác phương 1 2 , dd ) b) • Mặt cầu (S) có tâm I(-1, 1, -1) và R= 2. • Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r= 1. ⇒ d(I,(P))= 2 2 3R r− = • Mặt phẳng (P) chứa 1 d nên phương trình có dạng: m(x – y – 2 ) + n(2x – z – 6 )= 0 ⇔ (m+2n)x-my-nz-2m-6n=0 Ta có: d(I,(p))= 3 2 2 2 2 2 6 3 ( 2 ) 2 2 2 4 7 3 ( 2 ) 2 2 2 2 16 49 56 6 15 12 2 2 10 34 44 0 2 2 5 22 17 0 m n m n m n m n m n m n m n m n m n mn m n mn m n mn m mn n ⇔ − − − + − − = + + + ⇔ − − = + + + ⇔ + + = + + ⇔ + + = ⇔ + + = Cho n= 1, ta có 2 5 22 17 0m mn+ + = 17 1 5 m m⇔ = − ∨ = − Vậy phương trình (P) là: 4 0 7 17 5 4 0 x y z x y z + − − = − + − = • CÂU Vb) Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n H u a) Khoảng cách giữa BC và SD. Ta có SO là trục hình vuông ABCD và ¼ 60SCB = ⇒ SA = SB = SC = SD = CB = a Và BC// (SAD) nên d(BC, SD) = d(I,(SAD)) Với I là trung điểm CB. Gọi H là trung điểm AD, ta có: ( )BC SHI⊥ . Veơ IJ SH⊥ ta có ( )IJ SAD⊥ ⇒ d(BC, SD) = IJ • Tam giác SIH có 2 . . 6 2 3 3 . 2 a a SO HI a IJ SH a = = = Vậy d(BC, SD) = 6 3 a . b) ( ) α Cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang BCFE. Do hình chóp đều nên BCFE là hình thang cân: (EF+BC).IJ E 2 S BCF = Ta có: 3 3 3 ; , 3 6 2 a a a HJ SJ SH= = = Do EF//AD nên: 3 EF 1 6 AD 3 3 2 a SJ SH a = = = 2 a EF⇒ = . Vậy 6 2 6 2 3 2 4 a a a a S BCEF + = = Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n H u . Thanh Hóa Trờng THPT Lê Văn Hu đề thi thử vào đại học cao đẳng lần 25 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) Ngày thi: /2009 Họ và tên thí sinh: . (SAD) .Tớnh din tớch thit din to bi ( ) v hỡnh chúp S.ABCD Giáo viên: Phạm Đình Huệ - THPT Lê Văn H u ĐÁP ÁN • CÂU I: a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị