43 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán

1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A l$ một số nguyên Bi 2.( 3 điểm) 1) Gọi x1 v$ x 2 l$ hai nghiệm của ph-ơng trình. x2 -(2m-3)x +1-m = 0 Tìm các giá trị của m để: x1 2+ x 2 2 +3 x1 .x 2 (x1 + x 2 ) đạt giá trị lớn nhất 2) Cho a,b l$ các số hữu tỉ thoả m;n: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003 Chứng minh rằng ph-ơng trình: x2 +2x+ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ. Bi 3. ( 3 điểm) 1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800. Tính tỉ số AB BC . 2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn v$ hai bán kính OA,OB vuông góc với nhau. Gọi I l$ trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đ-ờng thẳng song song với OB cắt cung trong ở C. Tính góc ACD.

Trang 1

NguyÔn Hång Qu©n 1 Tr−êng THCS §«ng TiÕn

43 §Ò thi tuyÓn sinh Vµo líp 10 Chuyªn To¸n

Trang 2

Nguyễn Hồng Quân 2 Trường THCS Đông Tiến

*Trường THPT Nguyễn Trãi

2 4 2 2

4 2

x x

Tìm các giá trị của m để: x12+ x22 +3 x1.x2(x1+ x2) đạt giá trị lớn nhất

2) Cho a,b là các số hữu tỉ thoả m;n: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chứng minh rằng phương trình: x2 +2x+ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ

với nhau Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ

đường thẳng song song với OB cắt cung trong ở C Tính góc ACD

Bài 4 ( 1 điểm)

Chứng minh bất đẳng thức:

c a b

a + ư + | ≤ | b-c|

với a, b,c là các số thực bất kì

Trang 3

*Trường năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150’)

Bài 1 ( 2 điểm) cho biểu thức: P(x) =

1 4 3

1 2

2

2 +

ư

x x

1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định Rút gọn P(x)

ư

x

m m x m x

(1)

a) Giải phương trình trên khi m =

3 2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thoả m;n x1 +2

x2=16

2

1 2

1 1

2

= + +

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả m;n 1≤ n≤ 2004 sao cho A là phân số chưa tối giản

của hai đường tròn tiếp xúc với (01) tại A, tiếp xúc với (02) tại B Tiếp tuyến của (01) tại P cắt (02)

tại điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R H;y chứng minh rằng:

1)Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đường tròn

2)Tam giác BPR cân

3)Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB

Bài 5 (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E sao

cho DB = BC = CE Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

Trang 4

NguyÔn Hång Qu©n 4 Tr−êng THCS §«ng TiÕn

Tr−êng TrÇn §¹i NghÜa - TP HCM

(n¨m häc: 2004- 2005 thêi gian: 150 phót

)

C©u 1 Cho ph−¬ng tr×nh x2 +px +1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt a1, a2 vµ

ph−¬ng tr×nh x2 +qx +1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt b1,b2 Chøng minh: (a1- b1)(

1 1

1

= +

+ +

+

b) Cho c¸c sè d−¬ng x;y;z tho¶ m;n x3+y3+z3 =1

1 1

2

2 2

y x

x

C©u 4 Chøng minh r»ng kh«ng thÓ cã c¸c sè nguyªn x,y tho¶ m;n ph−¬ng

tr×nh: x3-y3 = 1993

Trang 5

1 + và b=

3 2

1 +

a) Viết phương trình đường thẳng AB

b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho

tam giác MAB có diện tích max

Câu4(3,5đ):

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H Phân giác trong

của góc A cắt đường tròn (O) tại M Kẻ đường cao Ak của tam giác.Chứng minh:

a) đường thẳng OM đi qu trung điểm N của BC

b) các góc KAM và MAO bằng nhau

c) AH=2NO

Câu 5 (1đ):

tính tổng:

S= 1.2 +2.3 + 3.4 + …+n(n+1)

Trang 6

Đề thi học sinh giỏi quận tân phú TP.HCM

3) Bạn Đức đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145 Hỏi bạn Đức

đ; sử dụng bao nhiêu chữ số? Trong những chữ số đ; sử dụng thì có bao nhiêu chữ

số 0?

Bài 2 ( 2 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên

tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho AM = BN So sánh độ dài các đoạn thẳng BM

và AN

tia Ot nằm trong góc XOY sao cho YOT = 250

1) Chứng tỏ tia OT nằm giữa hai tia OZ và OY

2) Tính số đo góc ZOT

3) Chứng tỏ rằng OT là tia phân giác của góc ZOY

Trang 7

Môn toán 7 (thời gian làm bài 90 phút)

Bài 1 ( 3 điểm)

a) Tính

2004

3 2003

3 2002 3

2004

2 2003

2 2002 2

2005

5 2004

5 2003

5

2005

1 2004

1 2003

1

ư +

ư

ư +

b) Biết 13+ 23+… +103 = 3025 Tính S = 23+43+63+….+203

xy x

x

+

ư +

ư 2

2 2

3

4 25

, 0 3

Tính giá trị của A biết x = 1/2, y là số nguyên âm lớn nhất

Bài 2 (1 điểm) Tìm x biết : 3x+3x+1+3x+2 = 117

Bài 3 ( 1 điểm) Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con

đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy Thời gian thỏ đi trên

đồng cỏ bằng nửa thời gian đi trên đầm lầy Hỏi vận tốc của thỏ chạy trên đoạn

đường qua đầm lầy hay vận tốc của thỏ chạy trên đoạn đường qua đồng cỏ lớn hơn

và lớn hơn bao nhiêu lần?

Bài 4.( 2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các

tam giác đều ABD và ACE Gọi M là giao điểm của DC và BE Chứng minh rằng:

a) ∆ABE= ∆ADC

b) Góc BMC = 1200

Bài 5 ( 3 điểm) Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC

= 9 cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx sao cho

HA = 6 cm

a) Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó

b) Trên tia HC, lấy HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC

tại E Chứng minh rằng AE = AB

Trang 8

Đề thi học sinh giỏi thĩ x, Hà Đông ( 2003-2004)

a)Tính M(x) = f(x) -2 g(x) + h(x)

b) Tính giá trị của M(x) khi x = ư 0 , 25

c) Có giá trị nào của x để M(x) = 0?

có giá trị nguyên nhỏ nhất

Bài 4.(5) Cho tam giác ABC có AB<AC,AB=c,AC=b Qua M là trung điểm của

BC người ta kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A đường này cắt

các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D,E

a) Chứng minh BD=CE

b) Tính AD và BD theo b,c

trong của tam giác ABC sao cho góc DBC =100, góc DCB =200 Tính góc ADB?

Trang 9

+

1

2 3

2

x x

x

x x x

x

3

1 3 1

b) Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi x,y,z nguyên

Bài 3.( 4) Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hùng, Dũng, Cường ( mỗi

người bắn một viên), người báo bia cho biết có ba điểm khác nhau là 8,9,10 và thông

báo:

a) Hùng đạt điểm 10

b) Dũng không đạt điểm 10

c) Cường không đạt điểm 9

Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thông báo là đúng, h;y

cho biết kết quả điểm bắn của mỗi người

Bài 4(5) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= c,AC=b Lần lượt dựng trên AB,

AC bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E

a) Chứng minh rằng các điểm E, A, D thẳng hàng

b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông

c) Tính diện tích tứ giác BDEC

d) Đường thẳng EDcắt đường thẳng CB tại K Tính các tỉ số sau theo b,c

Bài 5(3) Cho tứ giác ABCD,M là một điểm trên CD( khác C, D)

Chứng minh rằng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn nhất

trong 2 giá trị CA+CB;DA+DB)

Trang 10

Đề thi học sinh giỏi quận hoàn kiếm (2003-2004)

Toán 7 (120’)

Bài 1( 4) Giải phương trình

0 4 107

309 105

311 103

313 101

315

= +

ư +

+ +

<

x z

z z y

y y

x

Bài 3(4) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

(2a+5b+1)(2|a|+a2+a+b)=105

Bài 4(3) Ba bạn A,B,C chơi một cỗ bài gồm 3 quân Trên mỗi quân bài có viết

một số tự nhiên( các số khác nhau và khác 0) Mỗi người được phát một quân bài và

được nhận số kẹo bằng đúng số đ; viết trên quân bài ấy Sau đó các quân bài được

thu lại, xáo trộn và phát lại Sau hơn 2 lần chơi, A nhận được 20 cái kẹo, B nhận được

10 cái kẹo, C nhận được 9 cái kẹo Hỏi số đ; ghi trên mỗi quân bài? Biết số lớn nhất

được viết trên các quân bài lớn hơn 9

đường thẳng cắt các cạnh tương ứng ở Dvà E sao cho góc CBD = 600 và góc BCE

=500 Tính góc BDE

Trang 11

Toán 8( 120 phút)

Bài 1(4)

Giải phương trình:

110 100

1

12 2

1 11 1

1 110

10

1

102 2

1 101

.

1

+ + +

3 5 1

ax x

a x

a

Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm không nhỏ hơn 1?

Bài 4(4)

Từ điểm O thuộc miền trong của hình thang cân ABCD( AB=CD) nối các đỉnh

của hình thang được 4 đoạn thẳng OA,OB,OC,OD Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng

nhận được, có thể dựng được một tứ giác nội tiếp hình thang này( mỗi đỉnh của tứ

giác nằm trên một cạnh của hình thang cân)

Bài 5(4)

Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a,CA=b Gọi Ib,Ic theo thứ tự là độ dài cảu

các đường phân giác của góc B và góc C Chứng minh rằng nếu b>c thì Ib<Ic

Trang 12

Đề thi vào chuyên 10( Hải Dương)

1 )

2 (

Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y là các số thực thoả m;n các đẳng thức sau: x+y=a,

x3+y3=b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên hệ giữa a,b,c không phụ thuộc x,y

nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên n

Bài 5(2,5) Cho đường tròn tâm O và dây AB( AB không đi qua O) M là điểm

trên đường tròn sao cho tam giác AMB là tam giác nhọn, đường phân giác của góc

MAB và góc MBA cắt đường tròn tâm O lần lượt tại P và Q Gọi I là giao điểm của

AP và BQ

1) Chứng minh rằng MI vuông góc với PQ

2) Chứng minh tiếp tuyến chung của đường tròn tâm P tiếp xúc với MB và

đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường thẳng cố định khi

M thay đổi

Trang 13

*Chuyên tỉnh Bà Địa – Vũng Tàu (2004-2005)

thời gian:150 phút

Bài 1:

1/iải phương trình:

4 2

1 2 2

5

x

x x x

2/chứng minh không tồn tại các số nguyên x,y,z thoả m;n:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , D là một điểm trên cung BC không

chứa đỉnh A Gọi I,K và H lần lượt là hình chiếu cuả D trên các đường thẳng

BC,AB,và AC Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn tại N ( N# D);

AB DI

BC

+

=

Trang 14

*Chuyên toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút) Bài 1 (3đ):

1 Giải pt: x+ 1 ư 3x = 2xư 1

2 Trong hệ trục toạ độ Oxy h;y tìm trên đường thẳng y= 2x +1 những điểm

M(x;y) thoả m;n điều kiện: y2 – 5y x+6x = 0

Bài 2(2,5đ):

1 Cho pt: (m+1)x2 – (m-1)x +m+3 = 0 (m là tham số)

tìm tất cả các giá trị của m dể pt có nghiệm đều là những số nguyên

2 Cho ba số x,y,z Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz Chứng minh các

phương trình sau đều có nghiệm:

t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0

Bài 3(3đ)

Cho tam giác ABC

1 Gọi M là trung điểm của AC Cho biết BM = AC Gọi D là điểm đối xứng

của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C chứng minh: DM vuông góc với BE

2 Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong tam giác ABC Các tia AO,BO,CO cắt các

cạnh BC,CA,AB theo thứ tự tại các điểm D,E,F chứng minh:

a)

CF

OF BE

OE AD

BE OD

Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất kỳ ba điểm nào

trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù

Trang 15

Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Hải Dương (2004-2005)

thời gian :150’

Bài 1: (3đ)

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*)

1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm:

gọi nghiệm của hệ phương trình là (x;y)

1/ Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

2/ Tìm giá trị của m thoả m;n 2x2 -7y =1

3/ Tìm các giá trị của m để biểu thức

y x

+

ư 3 2

nhận giá trị nguyên

Bài 3 (3đ)

Cho tam giác ABC (Aˆ = 90 0) Từ B dựng đoạn thẳng BD về phía ngoài tam giác

ABC sao cho BC=BD và A BˆC =C BˆD ; gọi I là trung điểm của CD; AI cắt BC tại E

9 3 4

2 4

3 5

+ +

+

ư

x x

x x x

với

4

1 1

+

+ x

x x

Trang 16

*Trường Chu Văn An và HN – AMSTERDAM(2005 – 2006)

(dành cho chuyên Toán và chuyên Tin; thời gian :150’)

Bài 1: (2đ)

Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) – abc với a,b,c là các số nguyên Chứng minh nếu a +b +c chia hết

cho 4 thì P chia hết cho 4

x , xét biểu thức P = x + y 2 + z 3

1 Chứng minh P ≥ x+2y+3z-3

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 4 (3đ):

Cho tam giác ABC, lấy 3 điểm D,E,F theo thứ tự trên các cạnh BC,CA,AB sao cho AEDF là tứ

giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D nằm giữa A&P) sao cho DA.DP = DB.DC

1 chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp và 2 tam giác DEF, PCB đồng dạng

2 gọi S và S’ lần lượt là diện tích của hai tam giác ABC & DEF, chứng minh:

s

Bài 5(1đ)

Cho hình vuông ABCD và 2005 đường thẳng thoả m;n đồng thời hai điều kiện:

• Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông

• Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỷ số diện tích là 0.5

Chứng minh trong 2005 đường thẳng trên có ít nhất 502 đường thẳng đồng quy

Trang 17

Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)

(toán 9 – bảng B – thời gian: 150’)

y

y x

x y

x

y x xy

y

) (

b)Giải phương trình: (( 5 ư 2 6)x + (( 5 + 2 6)x = 10

Bài 2

a) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình

bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0 H;y xác định giá trị của m để số đo đường cao

ứng với cạnh huyền của tam gíac là

5 2

b) Tìm Max & Min của biểu thức y=

1

3 4

2 +

+

x x

Cho hình thoi ABCD có góc B= 600 Một đường thẳng qua D không cắt hình

thoi, nhưng cắt các đường thẳng AB,BC lần lượt tại E&F Gọi M là giao của AF &

CE Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác

MDF

Trang 18

*Trường Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006)

(dành cho mọi đối tượng , thời gian: 150’)

Bài 1(2đ): Cho biểu thức P=

x

x x x

x x x x

1 Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A&B Chứng minh rằng khi đó

A&B nằm bên phải trục tung

2 Gọi xA&xB là hoành độ của A&B, tìm giá trị Min của biểu thức

T=

B A B

x + + +

1 4

Bài 4(3đ):

Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa của cung lớn

AB Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng

MI tại H và cắt tia BM tại C

1 Chứng minh các tam giác AIB & AMC là tam gíac cân

2 Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển trên một cung tròn cố

định

3 Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMC đạt Max

Bài 5(1đ):

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC và trung tuyến AM, góc ACB

=α ,góc AMB = β Chứng minh rằng: (sinα +cosα )2= 1+ sin β

Trang 19

Hồ Chí Minh năm học 2004-2005, lớp 7 (thời gian:90’) Bài 1(3đ): Tính:

1 1

3

1 3 3

1

1 12

1 20

1 30

1 42

1 56

1 72

1 90

1 10

b b

d c b a

b a

Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia

phân giác của góc C cắt AB tại E Các tia phân giác đó cắt nhau tại I Chứng minh ID

= IE

Trang 20

Thi học sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)

(Toán 9 – bảng A- thời gian:150’)

y

y x

x y

x

y x xy

2 2

+ +

+

x

x x

x

Bài 2:

a ( đề như ở bảng B)

b Vẽ các đường thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 trên cùng một hệ trục toạ độ

Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bơỉ các đường thẳng trên không có

điểm nguyên nào thuộc đường thẳng 3x + 5y = 7

Bài 3:

Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E & AB cắt CD tại F,

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn là:

EA.ED + FA.FB = EF2

Bài 4:

Cho tam giác ABC cân ở A, AB =(2/3).BC, đường cao AE Đường tròn tâm O

nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F

a chứng minh rằng BF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF

b Gọi M là giao điểm của BF với (O) Chứng minh: BMOC là tứ giác nội tiếp

Trang 21

Thi häc sinh giái tØnh HaØ D−¬ng (2004-2005)

( líp 9, thêi gian: 150’)

Bµi 1(3,5®):

1 Gäi x1, x2 la nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh x2 + 2004x + 1 = 0 vµ x3, x4 lµ nghiƯm

cđa ph−¬ng tr×nh x2 + 2005 x +1 =0 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: ( x1+x3)(x2+x3)(x1

-x4)(x2-x4)

2 Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc vµ a2 + b2 < 1 Chøng minh:ph−¬ng tr×nh (a2+b2-1)x2

-2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 lu«n cã nghiƯm

Bµi 2 (1,5®):

Cho hai sè tù nhiªn m vµ n tho¶ m;n

m

n n

m+ 1+ + 1

lµ sè nguyªn chøng minh r»ng:

−íc chung lín nhÊt cđa m vµ n kh«ng lín h¬n m = n

Bµi 3 (3®):

Cho hai ®−êng trßn (O1), (O2) c¾t nhau t¹i A & B TiÕp tuyÕn chung gÇn B cđa

hai ®−êng trßn lÇn l−ỵt tiÕp xĩc víi (O1), (O2) t¹i C & D Qua A kỴ ®−êng th¼ng

song song víi CD, lÇn l−ỵt c¾t (O1), (O2) t¹i M & N C¸c ®−êng th¼ng BC,BD lÇn

l−ỵt c¾t ®−êng th¼ng MN t¹i P & Q; c¸c ®−ßng th¼ng CM, DN c¾t nhau t¹i E Chøng

minh: a §−êng th¼ng AE vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng CD

Bµi 4 (2®):

Gi¶i hƯ ph−¬ng tr×nh: x+y = 1

x5 + y5 =11

Trang 22

Thi học sinh giỏi toán 6 (thời gian 90’) Bài 1(4đ):

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; chia

cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 13

Cho đoạn thẳng AB = 7cm; điểm C nằm giữa A & B sao cho AC = 2cm; các

điểm D,E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB Gọi I là trung diểm của DE Tính

độ dài của DE, CI

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	336,24 KB