phuong trinh vo ti

Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc MỤC LỤC PHẦN I – PHẦN MỞ ĐẦU Trang I/ Lí chọn đề tài Trang II/ Mục đích nghiên cứu đề tài Trang III/ Phạm vi nghiên cứu - đối tượng nghiên cứu Trang IV/ Các phương pháp nghiên cứu tiến hành Trang PHẦN II - NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Trang I/ Cơ sở lý luận Trang II/ Cơ sở thực tiễn Trang III/ Nội dung phương pháp nghiên cứu…… Trang Khái niệm phương trình vơ tỉ Trang Phương pháp chung Trang Phương pháp giải phương trình vơ tỉ Trang 3.1) Phương pháp nâng lên luỹ thừa Trang 3.2) Phương pháp đưa pt chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Trang 13 3.3) Phương pháp đặt ẩn phụ Trang 15 3.4) Phương pháp đưa hệ phương trình Trang 20 3.5) Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức Trang 25 3.6) Phương pháp chứng minh nghiệm Trang 28 3.7) Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp – Trục thức Trang 29 IV/ Kết Trang 31 PHẦN III KẾT LUẬN Trang 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 32 PHẦN I – PHẦN MỞ ĐẦU I- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Một vấn đề đại số khối THCS việc nắm phương trình sơ cấp đơn giản cách giải phương trình với đối tượng học sinh đại trà, mở rộng phương trình dạng khó hơn, phức tạp đối tượng học sinh - giỏi Thực trạng số lượng phương trình vơ tỷ SGK đơn giản thường đưa phương trình trị tuyệt đối bình phương đưa Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc phương trình bậc ẩn, song thực tế theo dõi kì thi học sinh giỏi lớp 9, đề thi vào lớp 10 THPT năm tơi nhận thấy chủ đề phương trình vơ tỉ thường xuyên xuất với số lượng tương đối nhiều thường khó, khơng đơn giản giải phương pháp thông thường Với phương trình vơ tỉ, tùy đặc điểm cụ thể có nhiều cách giải khác Có số phương trình vơ tỉ giải phương pháp nâng lên lũy thừa để làm thức thường dẫn đến phường trình bậc cao, mà phương trình bậc cao việc tìm nghiệm nhiều khơng đơn giản chút Với mong muốn tháo gỡ số khó khăn trình dạy hoc phương trình vơ tỉ, từ nâng cao chất lượng, hiệu giáo dục Sau tơi xin mạnh dạn trình bày suy nghĩ mà tơi tìm hiểu, tham khảo, áp dụng phương trình vô tỉ qua đề tài ''Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS '' kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến cho tơi để đề tài áp dụng rộng rãi II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: - Nhằm trang bị cho học sinh số kiến thức giải phương trình vơ tỉ từ phát triển lực tư duy, nâng cao chất lượng mơn tốn, giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo công cụ giải tập có liên quan đến phương trình vô tỉ - Tạo hứng thú học tập cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo giúp học sinh giải số tập - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm thường gặp giải phương trình vơ tỉ q trình dạy học - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp áp dụng thành thạo phương pháp vào giải tập - Thơng qua việc giải phương trình vơ tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học tốn học tốt tập phương trình vơ tỉ Đồng thời góp phần nâng cao chất lượng hiệu giáo dục III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Phát triển lực tư học sinh thơng qua tốn giải phương trình vơ tỉ học sinh THCS Đề tài áp dụng học sinh THCS chủ yếu học sinh khối luyện tập, ôn tập học kì, ơn tập cuối năm cho kì thi HSG, thi vào lớp 10 THPT Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc IV- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ TIẾN HÀNH : Phương pháp nghiên cứu: + Tham khảo thu thập tài liệu + Phân tích, tổng kết kinh nghiệm + Kiểm tra kết chất lượng học sinh + Đưa bàn luận theo tổ, nhóm chun mơn, thực + Phương pháp điều tra, trắc nghiệm + Ngồi tơi cịn sử dụng số phương pháp khác Phương pháp tiến hành: Thơng qua dạng phương trình vơ tỉ đưa phương pháp giải, hướng khắc phục sai lầm thường gặp đưa dạng tập tự giải PHẦN II- NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I- CƠ SỞ LÝ LUẬN: Như biết Tốn học mơn khoa học cơng cụ, giữ vai trò chủ đạo nhà trường ngành khoa học khác Toán học kho tàng tài nguyên vô phong phú q giá sâu tìm hiểu, khai thác thấy mê say, ham muốn khám phá thấy Toán học thú vị, lãng mạn môn khoa học khác Các bậc phụ huynh, thầy cô giáo, hệ học sinh mơ ước học giỏi môn Tốn, nhiên để đạt điều thật chẳng dễ dàng Hiện nay, nhà trường đặc biệt nhà trường THCS, việc dạy kiến thức cho HS việc dạy cách học, cách nghiên cứu phát triển kiến thức cho em trọng Với mong muốn giúp em học sinh hiểu ngày say mê mơn Tốn, thân người giáo viên phải tự tìm phương pháp giải cho phù hợp với đối tượng học sinh kích thích lịng ham muốn học Tốn em, từ tìm học sinh có khiếu mơn này, để bồi dưỡng em trở thành học sinh giỏi, có ích cho xã hội Phương trình mảng kiến thức quan trọng chương trình Tốn phổ thơng Giải phương trình tốn có nhiều dạng giải linh hoạt, với nhiều học sinh kể học sinh giỏi nhiều lúng túng trước việc giải phương trình, đặc biệt phương trình vơi tỉ Phương trình vơ tỉ đề tài lý thú vị Đại số, lôi nhiều người nghiên cứu say mê tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Tuy nghiên cứu từ lâu phương trình vơ tỉ mãi cịn đối tượng mà người đam mê Tốn học ln tìm tòi, học hỏi phát triển tư Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Mỗi loại tốn phương trình vơ tỉ có cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Bên cánh đó, tốn giải phương trình vơ tỉ thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi Tốn cấp THCS Vì vậy, việc trang bị cho học sinh kiến thức liên quan đến phương trình vơ tỉ kèm với phương pháp giải chúng quan trọng nên tơi xin trình bày đề tài: ''Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS '' Trong đề tài, tơi đưa số dạng phương trình vơ tỉ phương pháp giải, phù hợp với trình độ học sinh THCS Trang bị cho học sinh số dạng toán phương pháp giải phương trình vơ tỉ áp dụng để làm tập Rút số ý làm phương pháp Chọn lọc số tập hay, phù hợp cho phương pháp giải, cách biến đổi Vận dụng giải tốn có liên quan đến phương trình vơ tỉ Tơi hy vọng đề tài giúp ích cho học sinh trường THCS việc học giải phương trình vơ tỉ Qua em có phương pháp giải đúng, tránh tình trạng định hướng giải tốn sai cịn lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực đạt kết cao kiểm tra II- CƠ SỞ THỰC TIỄN: Trong chương trình Tốn THCS, tốn phương trình vơ tỉ đề cập đến khơng nhiều, lại có nhiều dạng có vai trị quan trọng tất kì thi Các tốn dạng đòi hỏi học sinh phải nắm vận dụng thật nhuần nhuyễn, có hệ thống số kiến thức khác như: phương trình bậc ẩn, phương trình tích, ĐK số loại biểu thức Nó nâng cao khả vận dụng, phát triển khả tư cho HS, ngồi cịn kiến thức sử dụng thi học kì, thi HSG, thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH dạng tập khó Trên thực tế, với kinh nghiệm thân nhiều năm giảng dạy Tốn ơn thi vào lớp 10 THPT thấy HS thường không giải mắc số sai lầm giải phương trình vơ tỉ như: - Thiếu sai ĐK phương trình (chủ yếu ĐK thức) - Chỉ giải dạng phương trình đơn giản SGK - Khi bình phương hai vế phương trình để làm CBH thường em khơng tìm ĐK để hai vế dương - Ở dạng phức tạp em chưa có điều kiện nghiên cứu nên kĩ giải hạn chế, em thường khơng có sở kiến thức để phát triển phương pháp giải - Có tài liệu đề cập sâu dạng phương trình - Khơng đồng nhận thức lớp nên việc phát triển kiến thức phương trình vơ tỉ tiết dạy khó Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Qua kết khảo sát, kiểm tra trước áp dụng đề tài với 35 học sinh thấy kết tiếp thu giải phương trình vơ tỉ sau: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 18 51.4 12 34.3 11.4 2.9 Một nguyên nhân dẫn tới khó khăn HS em chưa phân biệt dạng phương trình vơ tỉ phương pháp giải nó, việc tìm tịi, khám phá phương trình vơ tỉ gặp nhiều khó khăn tài liệu phương trình vơ tỉ chưa nhiều Để giúp em HS nắm đúng, nắm dạng phương pháp giải dạng từ phát triển lực tư nhằm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh, mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm ''Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS '' áp dụng cho khối THCS với hy vọng phần tháo gỡ khó khăn cho em HS gặp dạng phương trình tài liệu nhỏ để tham khảo bạn đồng nghiệp III- NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ: a) Khái niệm: Phương trình vơ tỉ phương trình chứa ẩn dấu b) Các ví dụ: a) x − = c) x − x + =3 b) 3x + − x + = d) x x −1 x2 −1 − x2 − =4 x +1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Để giải phương trình vơ tỉ ta tìm cách khử dấu Cụ thể: - Tìm ĐK phương trình - Biến đổi đưa phương trình dạng học - Giải phương trình vừa tìm - So sánh kết với ĐK kết luận nghiệm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CƠ BẢN: 3.1 Phương pháp 1: Phương pháp nâng lên luỹ thừa: a) Dạng 1: f ( x) = c (c số) (1) Đây dạng đơn giản phương trình vô tỉ Sơ đồ cách giải: - Nếu c < phương trình (1) vơ nghiệm Chun đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc - Nếu c = (1) ⇔ f(x) = Giải phương trình ta tìm nghiệm (1) - Nếu c > (1) ⇔ f(x) = c2 Giải PT ta tìm nghiệm (1) Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x + =  x = −3  x = −2 2 Gợi ý: Ta có: x + x + = ⇔ x + x + = ⇔  Vậy tập nghiệm phương trình S = { −3; −2} Ví dụ 2: Giải phương trình: x − 3x + = Gợi ý: Ta có:  3+ x = x − x + = ⇔ x − 3x + = 25 ⇔ x − x − 24 = ⇔   3− x =  105 105  + 105 − 105  ;  2    Vậy tập nghiệm phương trình là: S =  b) Dạng 2: f ( x) = g ( x) Sơ đồ cách giải:  g (x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔  f(x) = [ g (x) ] Ví dụ 1: Giải phương trình : x + = x − (1) x + ≥ x ≥  ⇔ Ta có: ( 1) ⇔ x + = x − ⇔  x − ≥ x + = x − 6x +   x + = ( x − 3) x ≥ x ≥  ⇔ ⇔   x = 1(loai) x − 7x + =  x =  Vậy phương trình có nghiệm là: x =6 Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x − = 13 (1) x −1 ≥  Ta có: (1) ⇔ x − = 13 − x ⇔ 13 − x ≥  x − = (13 − x)    x −1 ≥  x −1 ≥   ⇔ 13 − x ≥ ⇔ 13 − x ≥  x − 27 x + 170 =  x = 10     x = 17(loai ) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Vậy nghiệm phương trình x = 10 c) Dạng 3: f ( x) = g( x ) Sơ đồ cách giải:  f ( x) ≥  f ( x) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥  f ( x) = g ( x)  Ví dụ 1: Giải phương trình: x + = x − Gợi ý: Ta có:  x ≥ − 2 x + ≥    x + = x − ⇔ 4 x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x=5 2 x + = x −   x =   Vậy nghiệm phương trình là: x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x + = − x (1) Gợi ý: Ta có:   x ≤ −3   x ≤ −3    x + 5x + ≥   x ≥ −2   x ≥ −2  x = −1    x + x + = − x ⇔ 1 − x ≥ ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ ⇔   x = −5  x2 + 5x + = − x  x2 + x + =  x = −1        x = −5 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { −1; −5} Ví dụ 3: Giải phương trình: x + x + = x − x + Gợi ý: Ta có:  x2 + x + ≥  x + x + = x − x + ⇔ 2 x − x + ≥  x2 + x + = x − 5x +  x = ⇔ x2 − 6x + = ⇔  x = Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { 2; 4} Dạng : f ( x) + g( x ) = c (c số) (1) - Nếu c < phương trình (1) vô nghiệm  f (x) = g(x) = - Nếu c = Ta có: (1) ⇔ f ( x) + g( x) = ⇔  - Nếu c>0 Ta có: (1) ⇔  f (x) ≥  f ( x) + g( x) = c ⇔ g(x) ≥   f (x) + g(x) + f (x).g(x) = c Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc  f (x) ≥  f (x) ≥ g(x) ≥   ⇔ g(x) ≥ ⇔ c − f (x) − g(x) ≥   2 f (x).g(x) = c − f (x) − g(x)  4 f (x).g(x) =  c − f (x) − g(x)     f ( x) − g( x) = c ta giải sau: * Chú ý: Nếu ta có:   f (x) ≥  f ( x) = g( x) + c ⇔ g(x) ≥  f(x) = g( x ) + c f ( x) − g( x) = c ⇔ ( )  f (x) ≥  ⇔ g(x) ≥  f(x) = g(x) + c + 2c g (x)  f (x) ≥  f (x) ≥ g(x) ≥   ⇔ g(x) ≥ ⇔ f (x) − g(x) − c ≥   2c g (x) = f (x) − g(x) − c 4c g (x) =  f (x) − g(x) − c     Ví dụ 1: Giải phương trình: x + + x − = (1)  2 x + = x = − ⇔ (vô nghiệm) Gợi ý: Ta có: x + + x − = ⇔  x −1 =  x = Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: x − + x − = (1) x ≥ x −1 ≥  ⇔ Gợi ý: ĐK  ⇔ x ≥1 2 x − ≥  x ≥ Ta có: x −1 + 2x −1 = ⇔ ( x −1 + 2x −1 ) = 25 27 − x ≥ = 27 − 3x ⇔  2 4 ( x − 3x + 1) = ( 27 − 3x ) 1 ≤ x ≤ 1 ≤ x ≤  ⇔ ⇔  x = ⇔ x =  x − 150 x + 725 =   x = 145  ⇔2 ( x − 1) ( x − 1) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình: x + − x − x − = Gợi ý: Ta có: x + − x − x − = ⇔ x + = x − x − + Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc  x2 − x − ≥  ⇔ 2  x + = x − x − + ( )  − 13  x ≤  − 13   x ≤   + 13   x ≥   ⇔  + 13  ⇔  x ≥  x ≥ −8    2 4 x − x − = x + 16 ( x − x − 3) = x + 16 x + 64    − 13 −8 ≤ x ≤    − 13    −8 ≤ x ≤   x = + 13    x ≥ ⇔  ⇔  ⇔ + 13  x = −28 x ≥    15    x = 15 x − 32 x − 112 =  −28  x = 15   −28    15  Vậy tập nghiệm phương trình là: S = 4; e) Dạng 5: f ( x) + g( x ) = h( x) (1)  f (x) ≥  - Đặt điều kiện: g(x) ≥  h(x) ≥  - Bình phương hai vế (1), ta có: f (x) + g(x) + f(x).g(x) = [ h(x) ] ⇔ f (x) g(x) = [ h(x)] − f (x) − g(x) * Chú ý: Giải tương tự với dạng: Trở lại dạng f ( x) − g( x) = h( x) với điều kiện Ví dụ 1: Giải phương trình: x + + x + + x + − x + = f ( x ) ≥ h( x ) (1)   x + ≥  x ≥ −7  x ≥ −7  x ≥ −7    ⇔ x +1 ≥ ⇔ x +1 ≥ ⇔ x ≥ Gợi ý: ĐK:  x + + x + ≥ ⇔  x + ≥ x +     x2 + x − ≥  x ≤ −3  x +1− x + ≥    x ≥ Ta có: (1) ⇔ ( ) x + +1 + x +1− x + = Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc ⇔ x + +1+ x +1− x + = ⇔ x +1− x + = − x + 3 − x + ≥  x + ≤ ⇔ ⇔  x + − x + = + x + − x + 5 x + = 15 ⇔ x + = ⇔ x + = ⇔ x = 2(t/ m) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x − x + + x + = x + (1)  x2 − x + ≥  x ≥ −1  ⇔ ⇔ x ≥ −1 Gợi ý: ĐK:  x + ≥  x ≥ −2 x + ≥  Ta có: (1) ⇔ x − x + + x + + ( x − x + 1)( x + 1) = x + x + ⇔ x3 + = x + ⇔ x3 + = x + ⇔ x3 + = x + x + x =  ⇔ x − x − x = ⇔ x ( x − x − ) = ⇔  x = + 2 (t/ m) x = − 2  2 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { 0; + 2; − 2} g) Dạng 6: f ( x ) + g ( x ) = h( x )  f ( x) ≥  f ( x) ≥  g ( x) ≥  g ( x) ≥   ⇔ Sơ đồ cách giải: ⇔ h(x) ≥ h(x) ≥    f ( x ) + g ( x ) + f ( x).g ( x) = h( x) 2 f ( x).g ( x) = h( x) − f (x) − g(x)   Đến toán trở lại dạng Chú ý: Giải tương tự với dạng: Ta có: f ( x ) − g ( x ) = h( x ) f ( x) − g ( x ) = h( x) ⇔ h(x) + g(x ) = f(x) ⇒ Bài tốn trở lại dạng Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x + + x − = x (1) −4  x≥  3 x + ≥   Điều kiện:  x − ≥ ⇔  x ≥ ⇔ x ≥ x ≥ x ≥    Ta có: (1) ⇔ 3x + + x − + ( 3x + ) ( x − ) = 4x −4  x=  ⇔ x + ( 3x + ) ( x − ) = x ⇔ ( x + ) ( x − ) = ⇔ ⇔ x=4  x = Vậy phương trình có nghiệm x = Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS 10 Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Đến ta tìm u, v Thay u, v vào tìm x Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x + x + x − = 3x + x + 1 2 ( x + x ) ( x − 1) = x + ⇔ Gợi ý: ĐK: x ≥ Bình phương vế ta có: (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1)  1− v u = uv = u − v ⇔   1+ v u =  u = x + x Ta đặt:  ta có hệ: v = x − 1+ 1+ v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) Giải tiếp ta ìm x Vì u, v ≥ nên u = 2 Chú ý: Các phương trình dạng α u + β v = mu + nv giải VD4 VD c) Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn: ( ) 2 Ví dụ 1: Giải phương trình: x + − x + x = + x + (1) Gợi ý: Đặt t = x + ; t ≥ Ta có: t = (1) x + − ( + x ) x + − + x = ⇔ t − ( + x ) t − + x = ⇔  t = x − Nếu t = ⇔ x + = ⇔ x = ± Nếu t = x - ⇒ x ≥ + Ta có: x + = x − x + ⇔ x = −1 (loại) Ví dụ 2: Giải phương trình: ( x + 1) x − x + = x + Gợi ý: Đặt: t = x − x + 3, t ≥ 2 Ta có: (1) ⇔ ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = t = ⇔ x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔  t = x − Nếu t = ⇔ x − x + = ⇔ x − x + = ⇔ x − x − = ⇔ x = ± Nếu t = x - ⇒ x ≥ + Ta có: x2 – 2x + = x2 – 2x + ⇒ phương trình vơ nghiệm 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: x + 3x + = ( x + 3) x + (1) Gợi ý: Đặt t = x + 1; t ≥ t = x Phương trình (1) trở thành: t2 - (x + 3)t + 3x = ⇔ (t - x)(t - 3) = ⇔ t =  Nếu t = x ⇔ x + = x (vô nghiệm) Nếu t = ⇔ x + = ⇔ x = ±2 Vậy: x = ±2 d) Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích: Ví dụ 1: Giải phương trình: Gợi ý: 1− x + x + =1 ĐK: x ≥ -2 Đặt x + = t ≥ ⇒ x = t − Khi đó: 1− x = 3− t2 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 18 Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Phương trình (1) ⇔ 3− t2 + t = 1⇔ 3 − t = 1- t ⇔ 3- t2 = (1-t) ⇔ t3 - 4t2 + 3t + =0 t = t − =   ⇔ (t-2) ( t2 -2t -1) = ⇔  ⇔  t = + t − 2t − =   t = − ( loai ) + Với t = ⇒ x = + Với t = + ⇒ x = + 2 Vậy phương trình có nghiệm: x = 2; x = + 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: (4x-1) x + = 2(x2 + 1) + 2x - (1) Gợi ý: Đặt x + = y ; y ≥ ⇒ x2 + = y2 (1) ⇔ (4x-1)y = 2y2 + 2x -1 ⇔ 2y2 - (4x -1) y + 2x - 1= ⇔ ( 2y2 - 4xy + 2y) - ( y - 2x+1) = ⇔ (y- 2x+1) (2y- 1) =  y = 2x −  y − 2x + = ⇔ ⇔  y = ( loai ) 2 y − =  Với y = 2x - ta có: (ĐK: x ≥ ) x + = 2x -  x = 0( loai ) ⇔ x + = 4x - 4x + ⇔ 3x - 4x = ⇔  x =  2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình: ( + x − )( − x + ) = 2x Gợi ý: ĐK: -1 ≤ x ≤ (1) Đặt + x = u (0 ≤ u ≤ Ta có: ) ⇒ x = u2 - [ ] (1) ⇔ (u -1 ) ( − u + 1) = ( u2 -1) ⇔ (u -1 ) ( − u + ) − 2( u + ) = ⇔ (u-1) ( u − = − u − 2u − 1) = ⇔   − u − 2u − = + Với u-1 = ⇒ u =1 ( thoả mãn u ≥ ) suy x = thoả mãn (1) + Với − u − 2u − = ⇔ − u = 2u + (vì u ≥ nên 2u +1 >0) ⇔ − u = ( 2u + )2 ⇔ 5u + 4u − = Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS 19 Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc u = −1( loai ) ⇔ ( u + )( 5u − ) = ⇔  u =  1 − 24 + Với u = ta có: x = ( )2 - = thỏa mãn điều kiện (1) 5 25 Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = − 24 25 * Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp đưa phương trình tích để giải phương trình vơ tỉ ta cần ý bước sau + Tìm tập xác định phương trình + Dùng phép biến đổi đại số, đưa phương trình dạng f(x) g(x) ….= (gọi phương trình tích) Từ ta suy f(x) = 0; g( x) = 0;… phương trình quen thuộc + Nghiệm PT hợp nghiệm phương trình f(x) = 0; g(x) = 0;… thuộc tập xác định + Biết vận dụng, phối hợp cách linh hoạt với phương pháp khác nhóm số hạng, tách số hạng đặt ẩn phụ thay cho biểu thức chứa ẩn đưa phương trình dạng tích quen thuộc biết cách giải Bài tập áp dụng: x − x − = x − x − - x − x + = x − x(x+5) = x + x − − 2( x2 + 2x + 3) = x + 3x + 3x + 3.4 Phương pháp 4: Phương pháp đưa hệ phương trình: Các bước tiến hành: - Tìm điều kiện tồn phương trình - Biến đổi phương trình để xuất nhân tử chung - Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình việc giải hệ phương trình quen thuộc Ví dụ 1: Giải phương trình: 25 − x - 15 − x = Gợi ý: ĐK: ≤ x2 ≤ 15 Đặt: 25 − x = a (a ≥ 0) (* ); 15 − x = b ( b ≥ 0) ( ** ) Từ phương trình cho chuyển hệ phương trình: Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS 20 Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc  a = a − b = ⇔  ⇔  a + b = b =  a − b =  (1) ⇒ (a − b)(a + b) = 2(a + b) a + b ≠  + Với a = 49 51 ⇒ 25 - x2 = ⇔ x2 = ⇒ x = ± 51 (thỏa mãn) 4 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ± Ví dụ 2: Giải phương trình: Gợi ý: 51 (5 − x) − x + ( x − 3) x − 5− x + x−3 =2 (1) ĐK: ≤ x ≤  − x = u (u ≥ 0)  x − = t (t ≥ 0) Đặt  Phương trình (1) trở thành hệ phương trình: 2  u = u + t = ⇔ ⇔ ⇔ (1)  ut = t =   u − ut + t = + Với u = ⇒ − x = ⇒ x = (thỏa mãn) + Với t = ⇒ x − = ⇒ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm x =3; x= Ví dụ 3: Giải phương trình: − x + x − = Gợi ý: ĐK: x ≥ Đặt 3 − x = u   x − = t (t ≥ 0) Khi đó: u3 = - x ; t2 = x- nên u3 + t2 = u + t = 1( ) Phương trình cho đưa hệ:  u + t = 1( ) Từ phương trình (1) ⇒ u = - t Thay vào phương trình (2) ta có: t = t =0   ⇔  t = (2) ⇔ (1 - t)3 + t2 = ⇔ t( t2 - 4t + 3) = ⇔  t − 4t + =  t = + Với t = ⇒ x − = ⇒ x = (thỏa mãn) + Với t = ⇒ x − = ⇒ x = (thỏa mãn) + Với t = ⇒ x − = ⇒ x = 10 (thỏa mãn) Vậy: x= 1; x =2 ; x = 10 nghiệm phương trình cho Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS 21 Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Ví dụ 4: Giải phương trình: Đặt: x +1 = a ; a2 = ( x + 1) ; 3 ( x + 1) + ( x − 1) + x2 −1 = x − = b nên ta có: b2 = ( x − 1) ; ab = x − Ta phương trình: a2 + b + ab = (1) a = x + Ta có: b3 = x −  Ta phương trình: a3 - b3 = (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: a + b + ab = a + b + ab = ⇔  a − b = ( a − b )( a + b + ab ) = Từ hệ phương trình, ta suy ra: a - b = ⇒ b = a - Thay vào phương trình (1) ta được: 3.(a -1)2 = ⇒ a =1 Với a = 1, ta có: x + = ⇒ x = (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình là: x = Ví dụ 5: Giải phương trình: − + x = x x ≥  ⇒ ≤ x ≤ 12 Gợi ý: ĐK: 4 + x ≥  4 − + x ≥  x = − y  x = − y ⇔ y = + x Đặt ta có hệ phương trình:    y = + x  y = + x 2  x − y = − ( x − y ) ( x + y ) ( x − y + 1) = ⇔ ⇔  x = − y  x = − y  −1 + 13 x = x − y +1 = ⇒ x2 = − x − ⇔ x2 + x − = ⇒  Vì x + y ≠ nên ta có hệ:   −1 − 13 x = − y (loai) x =  Vậy phương trình có nghiệm là: x = −1 + 13 Ví dụ 6: Giải phương trình: ( 3x + 1) + ( 3x − 1) + x − = (1) Gợi ý: Đặt u = 3x + 1; v = 3x − 2  u + v + uv = ⇒ u−v = 2⇒u = v+2 Phương trình (1) trở thành hệ: u − v3 =  Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS 22 Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Do đó: ( v + ) + v + v ( v + ) = ⇔ 3v + 6v + = ⇔ ( v + 1) = ⇔ v = −1 ⇒ u = 2  3x + = ⇒x=0 Ta có:   3x − = −1 Vậy phương trình có nghiệm là: x = Chú ý: Đối với phương trình có dạng: n a − f (x) + n b + f (x) = c Ta thường đặt u = n a − f (x); v = n b + f (x) u + v = c Khi đó, ta hệ phương trình: u n +v n = a + b  Giải hệ ta tìm u v Từ ta tìm giá trị x Ví dụ 7: Giải phương trình: Gợi ý: ĐK: x ≤ 1 +x+ − x =1 2 (1) Đặt : u = + x ; v = − x ≥ v = u + v =  Ta hệ: u + v = ⇒ ( − v ) = − v ⇔ v ( v − 1) ( v − 3) = ⇔ v =  v = −1 −17  ;  2 2   Giải tiếp ta tìm tập nghiệm phương trình là: S =  ; Ví dụ 8: Giải phương trình: x − x = 2 x − (1) 2 Ta có (1) ⇔ ( x − 1) − = 2 x − Gợi ý: Điều kiện: x ≥  x − x = 2( y − 1) Đặt y − = x − ta đưa hệ sau:   y − y = 2( x − 1) Trừ hai vế phương trình ta được: ( x − y )( x + y ) = Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x = + Ví dụ 9: Giải phương trình: x − x − = x + (1) Ta có: ( 1) ⇔ x − 12 x − = x + ⇔ (2 x − 3) = x + + 11 Gợi ý: ĐK x ≥ − (2 x − 3) = y + ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = Đặt y − = x + ta hệ :  (2 y − 3) = x + Với x = y ⇒ x − = x + ⇒ x = + Với x + y − = ⇔ y = − x ⇔ −2 x − = x + (vô nghiệm) Kết luận: Nghiệm phương trình x = + Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS 23 Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Ví dụ 10: Giải phương trình: x − x + = (1) Gợi ý: ĐK: x ≥ −5 Ta có: (1) ⇔ x − = x + ; x ≥ (*) Đặt x + = t ≥ ⇒ t − = x  x − = t Kết hợp với (*) ta hệ:  t − = x Từ ta tìm nghiệm Ví dụ 11: Giải phương trình: 7x2 + 7x = 4x + ( x > 0) 28 4x + 4x + = t + 2at + a =t+a ⇒ 28 28 4x + 1 = t + t + ⇒ 7t + 7t = x + Chọn a = ta được: 28  7 x + x = t + Kết hợp với đầu ta hệ phương trình:  7t + 7t = x +  Gợi ý: Đặt Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm Nhận xét: Qua ví dụ cho ta thấy phương pháp đưa hệ phương trình có điểm sáng tạo đặc thù riêng, địi hỏi học sinh phải tư Do phương pháp thường áp dụng cho học sinh khá, giỏi Ta cần ý số điểm sau: + Tìm điều kiện tồn phương trình + Biến đổi phương trình để xuất nhân tử chung + Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình việc giải hệ phương trình quen thuộc Ngồi người học biết kết hợp phương pháp với phương pháp khác phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng đẳng thức Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1 + x − x2 =2 2 x − = x3+ 3 − x + + x =1 x − + x − 21 = x − − + x = x Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS 24 Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Phương pháp 5: Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức: Các bước: * Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(x) f(x) ≥ a; g(x) ≤ a (a số) Nghiệm phương trình giá trị x thỏa mãn đồng thời f(x) = a g(x) = a * Biến đổi phương trình dạng h(x) = m (m số) mà ta ln có h(x) ≥ m; h(x) ≤ m nghiệm phương trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy * Áp dụng bất đẳng thức: Côsi; Bunhia côpxki, a) Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị hai vế rời nhau, phương trình vơ nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình: Gợi ý: ĐK: x −1 - x − ≥  5 x − ≥ ⇔ 3 x − ≥  5x − = 3x − (1)  x ≥   ⇔ x≥1 x ≥    x ≥ Với x ≥ x < 5x x − < x − Suy ra: Vế trái (1) số âm, cịn vế phải số khơng âm Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: x − x + 11 + x − x + 13 + x − x + = + (1) Gợi ý: Ta có: (1) ⇔ Mà ( x − 3) + + ( x − 3) + + ⇒ VP = VT = + ( x − 3) + + ( x − 3) + + 4 ( x − 2) + = + ( x − 2) + ≥ + 4+1=3+ x − = x = ⇔ (vô nghiệm)  x − = x = Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài tập áp dụng: x − - x + = 2 x + = x - x − − x + x + = x2 - 6x +13 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vơ tỉ cấp THCS 25 ... kiến thức giải phương trình vơ tỉ từ phát triển lực tư duy, nâng cao chất lượng mơn tốn, giúp em ti? ??p thu cách chủ động, sáng tạo công cụ giải tập có liên quan đến phương trình vơ tỉ - Tạo hứng... tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc IV- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ TI? ??N HÀNH : Phương pháp nghiên cứu: + Tham khảo thu thập tài liệu + Phân tích, tổng kết kinh nghiệm... thực + Phương pháp điều tra, trắc nghiệm + Ngồi tơi cịn sử dụng số phương pháp khác Phương pháp ti? ??n hành: Thơng qua dạng phương trình vơ tỉ đưa phương pháp giải, hướng khắc phục sai lầm thường