Apostila de algebra linear

Álgebra Linear Prof.: Denilson Paulo Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA1 Data: / _/ MATRIZES Definiỗóo: Conjunto de nỳmeros dispostos numa forma retangular (ou quadrada) Exemplo: A= B= −4 −3 C= −2 3x2 D = 3 −34 0, −2, 3x1 E= A matriz A é retangular 3x2, ou seja, possui linhas e colunas A matriz B é uma matriz-coluna 3x1, ou seja, possui linhas e coluna A matriz C é uma matriz quadrada _x _, ou seja, possui _ linhas e _ colunas A matriz D é uma matriz quadrada _x _, ou seja, possui _ linha e _ coluna A matriz E é uma matriz-linha _x _, ou seja, possui _ linha e _ colunas De uma forma geral, uma matriz A mxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suas dimensừes e sua representaỗóo genộrica ộ a seguinte: a 11 a 12 a 1n A= a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn mxn Usamos as palavras "tamanho" ou "dimensão" ou "ordem" para dizer quantas linhas e colunas uma matriz possui Use-se letra maiúscula para representá-la: A = a ij  mxn ou a ij  Cada elemento da matriz A é representada pela mesma letra em minúsculo e é seguido de dois números subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha onde o elemento se encontra e o segundo o número da coluna, ou seja, o elemento a 23 encontra-se na segunda linha e terceira coluna Exercício 1: Dadas as matrizes: A= −1 −2 D= −5 B= −4 −2 −2 −8 10 −1 1 −3 −3 −1 −1 −5 2 −2 C= −1 −3 4 −3 a) Determine a ordem de cada matriz acima b) Determine os elementos c 45 , c 16 , c 37 , d 51 , d 45 , a 34 , a 12 , b 32 e b 23 Aula Matrizes Especiais Matriz nula: é a matriz de qualquer tamanho com todos os seus elementos iguais a zero 0 0 Exemplo:A = 0 0 0 0 0 3x5 Um elemento qualquer de uma matriz nula é dado por a ij = para todos i e j Obs: Usa-se a notaỗóo A = para matriz nula Não confundir com o número zero!!! Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas Neste caso, diz-se que a matriz é de ordem n, onde n é o número de linhas e colunas da matriz Exemplo: A = −34 0, −2, Neste exemplo a matriz A é de ordem 3x3 Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos 0 Exemplo:A = 0 3x3 Um elemento qualquer de uma matriz diagonal é dado por: a ij = se i ≠ j d se i = j onde d ∈ R Obs: Os elementos a 11 , a 22 , a 33 , , a nn constituem a diagonal principal de uma matriz quadrada Exemplo: Marque os elementos da diagonal principal: A = −4 −9 3x3 Os elementos da diagonal principal podem ser quaisquer números, inclusive zero Porém, se a diagonal principal for constituída toda de zeros, matriz passará ser uma matriz nula Se A ộ uma matriz quadrada, entóo Traỗo ộ soma dos elementos da diagonal principal, isto é, a 11 + a 22 + a 33 + +a nn O traỗo nóo estỏ definido se a matriz A nóo for quadrada n Notaỗóo: trA = a 11 + a 22 + a 33 + +a nn = ∑ a kk k=1 Exemplo: Do exemplo acima: trA = + + = 12 Exercício 2: Encontre o traỗo da matriz B = −3 Aula Matriz identidade: é uma matriz diagonal que possui todos os seus elementos não-nulos iguais a É geralmente denotada pela letra I 0 Exemplo: Matriz identidade de ordem 3: I = 0 3x3 Um elemento qualquer de uma matriz identidade é dado por: a ij = se i ≠ j se i = j para i=1, , n e j = 1, ,n Exercício 3: Escreva as matrizes identidade de ordem , e I2 = I4 = I5 = Matriz transposta: a matriz transposta relativa a matriz A mxn ộ definida atravộs da seguinte relaỗóo: a Tij = a ji , para todo i e todo j Exemplo.: Seja a matriz A = −1 −2 AT = −1 −2 −4 −2 , então sua transposta será −4 −2 Exercício 4: Usando as matrizes exercício 1, determine: a) Os elementos da diagonal principal da matriz D b) O traỗo da matriz de D c) B T d) C T Aula Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos obedecem a seguinte relaỗóo: a Tij = a ji , isto é, A T = A Exemplo: A matriz A = −1 −1 5 é simétrica, pois A = A T Verifique encontrando a 3x3 matriz transposta de A, A T = Matriz anti-simétrica: a matriz anti-simétrica relativa a matriz A nxn é definida atravộs da seguinte relaỗóo: a ji = a Tij , isto é, A = −A T −1 −5 −4 Exemplo: Seja a matriz A = é uma matriz anti-simétrica 3x3 Observe que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica devem ser todos nulos Por quê??? Vetores: é um caso especial de matrizes, onde uma das dimensões é unitária (igual a 1) Exemplo: Neste caso, B = é um vetor coluna e E = −2 é um vetor linha 1x2 3x1 Matriz triangular Inferior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular inferior Exemplo: A = 0 −8 3x3 Um elemento qualquer de uma matriz triangular inferior é dado por: a ij = se i < j d se i ≥ j onde d ∈ R Matriz triangular Superior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular superior Aula Exemplo: B = −6 0 3x3 se i > j Um elemento qualquer de uma matriz superior é dado por: b ij = d se i ≤ j onde d ∈ R Propriedades: A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior Exercícios 5: Quais das matrizes são simétricas e quais são anti-simétricas? A= −4 4 B= C= −3 −3 2 0 D= E= 0 −3 −6 −7 Operaỗừes com Matrizes Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se a ij = b ij , elemento por elemento Exemplo: Se A = B e A = x eB = 2 Exercício 6: Dadas as matrizes A = x −4 eB = , então x = −4 Qual o valor de x para que A = B? Exercício 7: Calcule os valores de x ,y e z para que as matrizes A e B sejam iguais A= x − 5x y −1 e B= −z −1 Aula É possível a matriz C = x − 5x y2 se igual a A para algum valor de x e de y? Justique a sua resposta Soma e Subtraỗóo de Matrizes A soma de duas matrizes A e B só será possível se as duas matrizes tiverem a mesma dimensão e é definida como c ij = a ij + b ij , onde C é matriz obtida da soma das matrizes A e B A subtraỗóo de duas matrizes A e B é definida de modo análogo, onde c ij = a ij − b ij Exemplo: Considere as matrizes A = −1 −2 −4 2 −1 −4 eB = Calcule A + B e A − B A+B = A−B = −4 2 −1 −2 −4 −4 −1 2 −2 3 −1 + − −2 2 11 −2 −5 −1 −4 = = −3 −2 2 −4 11 Obs: Matrizes de dimensões diferentes não podem ser somadas ou subtraídas Propriedades: a) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) b) A + B = B + A (comutativa) c) A + = + A = A (0 é a matriz nula e elemento neutro da adiỗóo) Exercớcio 8: Dadas as matrizes A = −3 6 eB = Calcule A + B e A − B Aula Multiplicaỗóo por uma constante Multiplicar uma matriz por uma constante (k), implica em multiplicar todos os elementos da matriz pela constante, isto é, um elemento qualquer da matriz C = k ⋅ A será c ij = k ⋅ a ij para todo i e j Exemplo: Seja a matriz A = 2A = ⋅ A= −A = − 2 −1 −2 ⋅ −1 −2 −1 −2 = −1 −2 Calcule 2A, −2 A e −A 10 −4 14 12 1 − 12 −1 −2 −1 −3 −2 −4 −5 −7 −6 = = Exercício 9: Dadas as matrizes A = −3 eB = Calcule 2A + 3B e A 2B Multiplicaỗóo de matrizes Para multiplicar duas matrizes é sempre necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz A matriz resultante produto de duas matrizes terá sempre o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz, ou seja, a multiplicaỗóo A mxn B nxp terá como resultado uma matriz C mxp A Aula multiplicaỗóo de matrizes ộ definida como sendo: A mxn ⋅ B nxp = C mxp n Um elemento qualquer da matriz resultante C é dado por: c ij =∑ a ik ⋅ b kj , para i = 1, , m e k=1 j = 1, , p Exemplo: Dadas as matrizes A = eB = 8 Qual é a dimensão da matriz C, onde C = A ⋅ B? Qual é a dimensão da matriz D, onde D = B ⋅ A? Então, só será possível encontrar a matriz C, que será: C = A⋅B = ⋅ 8 = = Obs: A multiplicaỗóo de matrizes nóo é comutativa, ou seja, A ⋅ B ≠ B ⋅ A, em geral Multiplicaỗóo de matriz por vetor Esta operaỗóo segue a mesma regra da multiplicaỗóo de matrizes, uma vez que um vetor é um caso particular de uma matriz e dỏ como resultado uma matriz Multiplicaỗóo de vetores ẫ feita de maneira anỏloga a multiplicaỗóo de matrizes No caso da multiplicaỗóo de um vetor linha por um vetor coluna, o resultado será um número Propriedades: Sejam α e β dois números reais e A, B, C matrizes ( ou vetores) de ordem que permitam realizar as operaỗừes 1) A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ B ⋅ C (associativa) 2) A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C (distributiva esquerda) 3) A + B ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C (distributiva direita) 4) I ⋅ A = A ⋅ I = A (Ié matriz identidade e elemento neutro) 5) α ⋅ β ⋅ A = α ⋅ β ⋅ A 6) A ⋅ α ⋅ B = α ⋅ A ⋅ B 7) α ⋅ A + B = α ⋅ A + α ⋅ B 8) α + β ⋅ A = α ⋅ A + β ⋅ A Aula 9) A ⋅ B = para A ≠ e B ≠ (0 é a matriz nula) 10) A − A = 11) A ⋅ = ⋅ A = Das matrizes triangulares: 12) O produto de matrizes triangulares inferiores é superior 13) O produto de matrizes triangulares superiores é inferior Da matriz transposta: 14) A T  T = A 15) A + B T = A T + B T 16) k ⋅ A T = k ⋅ A T , para k uma constante real 17) A ⋅ B T = B T ⋅ A T 18) Se AB = AC com A ≠ 0, não implica que B = C, isto é, não vale a lei cancelamento Das matrizes simétricas: Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer, então: 19) A T é simétrica; 20) A + B é simétrica; 21) k ⋅ A é simétrica 22) Não é verdade, em geral, que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica 23) O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica, isto é, A T ⋅ A e A ⋅ A T sóo simộtricas Do traỗo: 24) trA + B = trA + trB 25) trk ⋅ A = k trA Potenciaỗóo Se A ộ uma matriz quadrada, definimos: A0 = I A1 = A A2 = A ⋅ A ⋮ n A =A ⋅ A ⋅ A⋯ ⋅ A, com n > n vezes Propriedades Seja A uma matriz quadrada de ordem n e r e s números inteiros, então: a) A r ⋅ A s = A r+s b) A r  s = A rs Exercício 10: Sejam as matrizes A = −1 ,B = −2 −1 ,C = e 11) 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 1 é uma base ℝ 12) 2, 1, 3, −1, 1, 2 é uma base ℝ 13) 1, 2 é uma base ℝ 14) 1, 3, −5 é uma base ℝ 15) , −4 −3 é uma base M 2x2 −12 −9 16) 0, 0 é uma base ℝ 17) 18) 0 1 , −4 −3 0 , 0 , , 0 −12 −9 , 0 1 é uma base M 2x2 é uma base M 2x2 0 OBS: No ℝ , um conjunto de dois vetores LI irão gerar o próprio ℝ , isto é, este conjunto forma uma base ℝ No ℝ , um conjunto de três vetores LI irão gerar o próprio ℝ , isto é, este conjunto forma uma base ℝ Exemplo: As seguintes bases sóo chamadas de base canụnica espaỗo vetorial dado 1) 1 ℝ 2) 1, 0, 0, 1 ℝ 3) 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 ℝ 4) 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1 ℝ 5) 0 , 0 , 0 , 0 M 2x2 OBS: Sejam V um espaỗo vetorial e S = v , v , … , v n  ⊂ V uma base qualquer de V com n elementos: a) Um conjunto com mais de n vetores é LD Veja os exemplos _ b) Um conjunto com menos que n vetores não gera V, logo não é base Veja os exemplos _ c) Qualquer conjunto LI com n vetores é base Veja os exemplos Todas as bases de um espaỗo vetorial tờm o mesmo nỳmero de vetores 87 DIMENSO Definiỗóo: O número de vetores de uma base de V é definido como sendo a dimensóo de V Notaỗóo:dimv = n Exemplos: V= entóo dimV = (por convenỗóo) dim = dimM 2x2 = 2x2 = dimM nxm = nxm dimℝ = dim0 = dimℝ = dimℝ = dimℝ n = n Sejam V um espaỗo vetorial real tal que dimV = n e S ộ um subespaỗo de V, entóo dimS ≤ n Se dimS = n, então S = V Exemplo: V= ℝ e dimℝ = Qualquer subespaỗo sú poderỏ ter 0,1,2 ou como dimensão, isto é, dimS = 0, então S =0, 0, 0 dimS = 1, então S é uma reta que passa pela origem dimS = 2, então S é um plano que passa pela origem dimS = 3, então S = V = ℝ Exercício 1: Analise para V = ℝ Reescrevendo: Sejam V um espaỗo vetorial de dimV = n e S = v , v , … , v n  ⊂ V uma base qualquer de V a) Um conjunto com mais de n vetores é LD b) Um conjunto com menos que n vetores não gera V, logo não é base c) Qualquer conjunto LI com n vetores é base 88 Exercício 2: Determinar S = x, y, z ∈ ℝ /2x + y + z = 0 Resp: dimS = a dimensão e uma base espaỗo vetorial Dica: Uma forma prỏtica para determinar a dimensóo de um espaỗo vetorial ộ verificar o nỳmero de variáveis livres de seu vetor genérico Esse número é a dimensóo espaỗo Definiỗóo: Seja B = v , v , … , v n  uma base de V Tomemos v ∈ V, sendo v = k v + k v +… +k n v n Os números k , k , … k n são chamados de componentes ou coordenadas de v em relaỗóo base B e se representa por: v B = k , k , … k n  A n-upla k , k , … k n  é chamada vetor-coordenada de v em relaỗóo base B Exercớcio 3: Seja B = 1, 2, 3, 0, 1, 2, 0, 0, 1 a) Mostre que é uma base ℝ b) Determine o vetor-coordenada de v = 5, 4, em relaỗóo a base B Resp:x = 5, y = −6, z = −11 89 c) Determine o vetor v cujo vetor-coordenada em relaỗóo base B é v B = 2, −3, 4 Resp: (2,1,4) Exercớcio 4: Determine uma base e a dimensóo espaỗo-soluỗóo sistema homogêneo x + 2y − 4z + 3t = x + 2y − 2z + 2t = 2x + 4y − 2z + 3t = Resp: dimensão e um exemplo de base: {(-2,0,1,2),(-2,1,0,0)} 90 Exercício de Revisão: O conjunto B = 2, −1, −3, 2 é uma base ℝ Escrever o vetor genộrico como combinaỗóo linear de B Resp: x, y = 2x + 3y2, −1 + x + 2y−3, 2 Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base ℝ ? Justifique a sua resposta a) 1, 1, −1, 2, −1, 0, 3, 2, 0 b) 1, 0, 1, 0, −1, 2, −2, 1, −4 c) 2, 1, −1, −1, 0, 1, 0, 0, 1 d) 1, 2, 3, 4, 1, 2 e) 0, −1, 2, 2, 1, 3, −1, 0, 1, 4, −1, −2 Resp: a, c Mostrar que o conjunto −1 , −1 −2 , −3 −2 −1 , −7 −2 é uma base de M 2x2 Mostrar que os vetores v = 1, 1, 1, v = 1, 2, 3, v = 3, 0, 2 e v = 2, −1, 1 geram o ℝ e encontrar uma base dentre destes vetores Resp: uma das soluỗừes possớveis v , v , v  Determinar o vetor coordenada de v = 6, em relaỗóo s seguintes bases: Resp: (2,1) a) B = 3, 0, 0, 2 Resp: (6,2) b) B = 1, 0, 0, 1 Resp:( -2/3, 10/3) c) B = 1, 2, 2, 1 Resp: (2,6) d) B = 0, 1, 1, No espaỗo vetorial ℝ , consideremos a seguinte base: B = 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, −1, 1 Determinar o vetor coordenada de v em relaỗóo base B se: a) v = 2, −3, 4 b) v = 3, 5, 6 c) v = 1, −1, 1 Resp: a) (-2,1,4) b) (-3,11,6) c) (0,0,1) Sejam os vetores v = 1, 0, −1, v = 1, 2, 1, v = 0, −1, 0 ℝ a) Mostrar que B = v , v , v  é uma base ℝ b) Escrever e = 1, 0, 0, e = 0, 1, 0, e = 0, 0, como combinaỗóo linear dos vetores da base B Resp: (½, ½, 1), (0,0,-1) , (-½, ½, 1) a) b) c) d) e) 91 Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaỗos vetoriais: x, y, z /y = 3x x, y, z ∈ ℝ /y = 5xez = 0 x, y, z ∈ ℝ /x + y = 0 x, y, z ∈ ℝ /x = 3yez = −y x, y, z ∈ ℝ /2x − y + 3z = 0 f) x, y, z ∈ ℝ /z = 0 Resp: a) dim: b) dim: c) dim: As bases ficarão a cargo de cada aluno 92 d) dim: e) dim: f) dim: Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 11 Data: / _/ ESPAầO VETORIAL EUCLIDIANO Definiỗóo: Produto escalar ou produto interno de um espaỗo vetorial V ộ uma funỗóo V×V em ℝ que todo para de vetores (u,v)∈V×V associa um número real, indicado por u.v ou tal que: 1) u ⋅ v = v ⋅ u 2) u ⋅ v + w = u ⋅ v + u ⋅ w 3) αu ⋅ v = αu ⋅ v 4) u ⋅ u ≥ e u ⋅ u = ⇔ u = (elemento neutro) Exemplo: São chamados de produto interno usuais: 1) Para u = x , y  e v = x , y temos u ⋅ v = x x + y y no ℝ 2) Para u = x , y , z  e v = x , y , z  temos u ⋅ v = x x + y y + z z no ℝ Exercício 1: Calcular u ⋅ v, usando o produto interno usual ℝ 1) u = −3, 4 e v = 5, −2 2) u = 6, −1 e v =  12 , −4 3) u = 2, 3 e v = 0, 0 Resp: 1) − 23 2 3 Exercício2: Considere o ℝ munido produto interno usual Sendo v = 1, 2, 3, v = 3, −1, −1 e v = 2, −2, 0 Determine u ∈ ℝ tal que u ⋅ v = 4, u ⋅ v = e u ⋅ v = Resp: u = 3, 2, 93 Definiỗóo: Um espaỗo vetorial, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno, ộ um espaỗo vetorial euclidiano Definiỗóo: Sejam V um espaỗo vetorial euclidiano e v V A norma ou comprimento de um vetor é dado por: ‖v‖ = v⋅v = < v, v > Exemplo: São normas com produto interno usual: 1) V = ℝ ⇒ ‖v‖ = ‖x, y‖ = 2) V = ℝ ⇒ ‖v‖ = ‖x, y, z‖ = x2 + y2 x2 + y2 + z2 Exercício 3: Calcule a norma dos vetores dados, usando produto interno usual: 1) u = −3, 4 2) v = 5, −2 3) w = 6, −1 4) t =  12 , −4 5) s = 2, 3 6) r = 0, 0 Exercício 4: No ℝ Determine o componente k vetor v = 6, −3, k tal que ‖v‖ = OBS: Se ‖v‖ = 1, isto é, v ⋅ v = 1, o vetor é chamado de unitário Diz-se que v é normalizado Todo vetor não-nulo pode ser normalizado fazendo: v= v ‖v‖ 94 Exercício 5: Normalizar os vetores se eles não forem unitários 1) u = −3, 4 2 2) v =  , −  3) w = 1, −1 4) t =  12 , −4 5) r = −2, 1, 2 6) s = 1, 1, Definiỗóo: Distõncia entre dois vetores de um espaỗo vetorial euclidiano é dada por: du, v = ‖u − v‖ Exemplo: Distância entre dois vetores, usando o produto interno usual: 1) V = ℝ ⇒ du, v = ‖x , y  − x , y ‖ = x − x  + y − y  2) V = ℝ ⇒ du, v = ‖x , y , z  − x , y , z ‖ = x − x  + y − y  + z − z  Exercício 6: Calcule a distância entre os dois vetores: 1) u = −3, 4 e v = 5, −2 2) u = 6, −1 e v =  12 , −4 3) u = 2, 3 e v = 0, 0 4) u = 2, 1, 5 e v = 5, 0, −2 5) u = 0, 1, 0 e v = 1, 0, 0 95 Propriedades: Sejam V um espaỗo vetorial euclidiano, u, v V e ∈ ℝ 1) ‖v‖ ≥ para qualquer v ∈ V e ‖v‖ = ⇔ v = 2) ‖αu‖ = |α| ‖v‖ para qualquer v ∈ V 3) ‖u ⋅ v‖ ≤ ‖u‖ ‖v‖ para quaisquer u,v ∈ V ( Desigualdade de Schwarz) 4) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ (Desigualdade triangular) 5) ‖u + v‖ = u + v u e v sóo colineares Definiỗóo Sejam u e v vetores não-nulos de V A desigualdade de Schwarz pode ser escrita assim: ‖u ⋅ v‖ ≤1⇔ ‖u‖ ‖v‖ u⋅v ‖u‖ ‖v‖ ≤ ⇔ −1 ≤ u⋅v ≤1 ‖u‖ ‖v‖ Por este motivo, o ângulo entre dois vetores é dado por: u⋅v cos θ = ‖u‖ ‖v‖ onde 0≤ cos θ ≤ π Exemplo: Seja o produto interno usual no ℝ Determinar o ângulo entre os seguintes vetores: 1) u = −3, 4 e v = 5, −2 2) u = 6, −1 e v =  12 , −4 3) u = 2, 3 e v = 0, 0 4) u = 2, 1, 5 e v = 5, 0, −2 5) u = 0, 1, 0 e v = 1, 0, 0 Definiỗóo: Seja V um espaỗo vetorial euclidiano Diz-se que dois vetores u e v de V são ortogonais e são representados por u ⊥ v ⇔ u⋅v = Exemplo: Seja V = ℝ com produto interno usual Verifique se os vetores são ortogonais: 1) u = 3, −1 e v =  13 , 1 2) u = 3, −1, 2 e v = 1, 1, −1 96 3) u = 2, 3 e v = 0, 0 4) u = 2, 1, 5 e v = 5, 0, −2 Exercícios de revisão: 1) Consideremos, no ℝ , o produto interno usual Para que valores de m os vetores u e v são ortogonais? a) u = 3m, 2, −m e v = −4, 1, 5 b) u = 0, m − 1, 4 e v = 5, m − 1, −1 Resp; a) 2/17 b) ou -1 2) Seja V = ℝ com o produto interno usual Determinar um vetor u∈ ℝ ortogonal aos vetores Resp: u = α1, 7, −4 , α ∈ ℝ v = 1, 1, 2, v = 5, 1, 3, v = 2, −2, −3 3) Seja v = −1, 2, 5 Encontre todos os escalares k tais que ‖kv‖ = Resp: k=± 30 4) Encontre um vetor unitário ℝ que é ortogonal a ambos u = 1, 0, 1 e v = 0, 1, 1 Resp:± 5) Se u = , , 3 a1 b1 (esta reposta não é única, existem outras) ev= a2 b2 c1 d1 c2 d2 define um produto interno nesse espaỗo: são matrizes quaisquer de M 2x2 , a seguinte fórmula u ⋅ v = a1 a + b1b2 + c1 c + d d Dados os vetores: u = −1 ev = 1 Determinar: a) ‖u + v‖ b) ângulo entre u e v Resp:a) 21 b) θ = ar cos 42 6) Determinar o valor de m para que os vetores u = 2, m, −3 e v = m − 1, 2, 4 sejam ortogonais em relaỗóo ao produto interno usual 97 Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 12 Data: / _/ BASES ORTONORMAIS Definiỗóo:Seja V um espaỗo vetorial euclidiano Diz-se que um conjunto de vetores com mais que dois vetores v , v , … , v n  ⊂ V é conjunto ortogonal se dois vetores quaisquer distintos são ortogonais, isto é, v i ⋅ v j = para quaisquer i ≠ j OBS: Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos é LI A recíproca não é verdadeira, isto é, nem todo conjunto LI é um conjunto ortogonal Exemplo: No ℝ com produto interno usual, o conjunto 1, − 3, 3, 0, 1, 1, −5, −3 é um conjunto ortogonal Exercício 1: Verifique se os conjuntos dos ℝ e ℝ com produto interno usual são conjuntos ortogonais: a) 1, 32, 6 b) 2, −1, 3, 5 c)1, 0, −1, 1, 3, 5 d) 1, −1, 1, −1, 1, 1 e) 2, −1, 0, −1, 3, 0, 3, 5, 0 f) 2, 1, 3, 0, 0, 0, 1, 5, 2 g)1, 2, −1, 2, 4, −2, 1, 3, 0 h) 1, −1, −2, 2, 1, 1, −1, 0, 3 i) 1, 2, −1, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 1, 98 Definiỗóo: Diz-se que uma base v , v , … , v n  de V é uma base ortogonal se os seus vetores são a ortogonais entre si Exemplo: O conjunto 1, − 3, 3, 0, 1, 1, −5, −3 é uma base ℝ Exercício 2: Verifique quais dos seguintes conjuntos ℝ e ℝ são bases ortogonais 1) 1, 0, 0, 1 2) 2, 3, 3, 5 3) ,− 2 , , 4) 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 5) 2, −1, 3, −1, 0, −2, 2, −3, 1 6) 2, 1, −1, −1, 0, 1, 0, 0, 1 7) , 12 , , Definiỗóo: Uma base B = v , v , … , v n de um espaỗo vetorial eucliadiano V é uma base ortonormal se B é uma base ortogonal e todos os seus vetores são unitário, isto é, vi ⋅ vj = para i ≠ j para i = j Exemplo: Verifique que , em relaỗóo ao produto interno usual: 1) 1, 0, 0, 1 é uma base ortonormal ℝ 2) , 12 , −1 , é uma base ortonormal ℝ 3) 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 é uma base ortonormal ℝ 4) 99  35 , 45 ,  −4 , 3 5 é uma base ortonormal Definiỗóo: Seja V um espaỗo vetorial euclidiano e B = v , v , … , v n  uma base ortogonal de V Para um vetor w ∈ V, tem-se: w = a v + a v +… +a n v n onde w⋅v a i = v ⋅ vi i i Exemplo: Sejam V = ℝ com produto interno usual e B = 2, −1, −1, 2 uma base ortogonal Encontrar as coordenadas de (4,7) em relaỗóo B Resp: (3,2) Exercício 3: Sejam V = ℝ com produto interno usual Encontrar as coordenadas vetor u em relaỗóo B 1) u = 1, em relaỗóo B = 1, 0, 0, 2) u = 1, em relaỗóo B = 2, 1, 1, 3) u = 1, em relaỗóo B = 1, 0, 0, 1 4) u = 1, em relaỗóo B = 2, 1, 1, 2 OBS: No caso da base ser ortonormal, os coeficientes são dados por: = w ⋅ vi pois v i ⋅ v i = Exemplo: Seja B=  35 , 45 ,  −4 ,  uma base ortonormal ℝ com produto interno usual 5 , − 14 Encontrar as coordenadas de (5,2) em relaỗóo base B Resp: 23 5 100 Exercớcio 4: Encontrar as coordenadas de u em relaỗóo base B 1) u = 1, em relaỗóo , 12 2) u = −1, 4 em relaỗóo , , 12 , −1 , , Exercícios de revisão 1) Dado conjunto B = a) b) ,− 1 , , Verifique que é uma base ortonormal ℝ com o produto interno usual Determinar o vetor coordenada de v = 2, em relaỗóo base B Resp: , 2) Dado conjunto B = 0, 1, 0,  −4 , 0, −3 ,  35 , 0, 45  O conjunto B é uma base ortonormal 5 ℝ com produto interno usual? Justifique a sua resposta 3) Dado o vetor v = 1, −1, 2 ℝ com produto interno usual Encontre o vetor coordenada de v em relaỗóo as seguintes bases: a) A base canônica ℝ b) B = 1, 0, 0, 0, , , 0, − ,  ] 2 2 4) Dado o vetor v = 3, 5 Encontre o vetor coordenada de v em relaỗóo as seguintes bases: a) A base canônica ℝ b) B = 2, 3, −1, 1 c) C = 101 ,− , − ,− 5 ... Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA Data: / _/ DETERMINANTES O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, onde: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A= a n1 a n2 a nn nxn é denotado... forma, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2: a 11 a 12 A= a 21 a 22 2x2 será definido pelo produto: detA = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 ⋅ a 22 − a 12 ⋅ a 21 E o determinante de uma... por 2, temos: D= −2 , então o detD = ⋅ ⋅ ⋅ detA = De uma forma geral, detk ⋅ A = k n ⋅ detA, onde k é uma constante real O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou duas colunas