Để học tốt Hình học 11, phần này giúp bạn giải các bài tập cơ bản Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Hình học 11. Dưới đây làmột số bài tập Hình học 11 chương 1. 1) Các bài tập tìm ảnh của 1 điểm, đường thẳng, đường tròn. 2) Các bài tập tìm ảnh của 1 hình qua phép đồng dạng 3) Chứng minh hai hình đồng dạng, hai hình bằng nhau
ÔN TẬP HÌNH 11 CHƯƠNG Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v = (1; −3) đường thẳng d có phương trình x − y + = Viết phương trình đường thẳng d ' ảnh d qua phép tịnh tiến Tv Giải: Cách Lấy điểm M ( x; y ) tùy ý thuộc d : x − y + = (*) Gọi M ' ( x '; y ') = Tv ( M ) x ' = x + x = Áp dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến y ' = y + y = Thay vào (*) ta phương trình ( ) − ( ) + = = Vậy ảnh d đường thẳng d ': Cách Sử dụng tính chất phép tịnh tiến Gọi Tv ( d ) = d ' , nên d ' song song trùng với d => phương trình đường thẳng d ' có dạng + c = (*) Lấy điểm M ( ; ) d Khi M ' = Tv ( M ) = ( ; ) Do M ' d ' , thay tọa độ M’ vào (*) ta được: ………………………………………=> c = …… Vậy ảnh d đường thẳng d ': Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình x + y + x − y − = Tìm ảnh ( C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 2; −3) Giải: Cách Lấy điểm M ( x; y ) tùy ý thuộc đường tròn ( C ) : x2 + y + x − y − = (*) Gọi M ' ( x '; y ') = Tv ( M ) x ' = x + x = Áp dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến y ' = y + y = Thay vào phương trình (*) ta ( ) + ( ) + ( ) − ( ) − = 2 Vậy ảnh ( C ) đường tròn ( C ') : Cách Gọi ( C ') = Tv ( ( C ) ) Dễ thấy ( C ) có tâm I ( ; ) bán kính R = ( C ') có tâm I ' ( x '; y ') bán kính R ' = R = x ' = I ' ( ; ) Ta có: Tv ( I ) = I ' y ' = Phương trình đường tròn ( C ') là: Nguyễn Hoài Nam 0334338222 Câu 3: Tìm ảnh đường thẳng d : x − y + 15 = qua phép quay Q O;900 ( ) Giải: Gọi Q 0;900 ( d ) = d ', d ' ⊥ d nên phương trình d’ có dạng: + c = ( ) Lấy M ( ; ) d , ta có Q 0;900 ( M ) = M ' ( .; ) ( ) Do M ' d ' ,khi đó: c = Vậy phương trình d ' : Câu 4: Tìm ảnh đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + ) = qua phép quay Q I ;900 với I ( 3;4 ) 2 ( ) Giải: Gọi Q I ;900 ( (C ) ) = (C ') ( ) Đường tròn ( C ) có tâm N ( .; .) , R = , Đường tròn ( C ') có tâm N ' ( x '; y ') , R ' = R = x ' = Ta có Q I ;900 ( N ) = N ' ( x '; y ') N ' ( ; .) ( ) y ' = Vậy phương trình ( C ') : Câu 5: Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y − = Tìm ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 Giải: Gọi V( O ;−2) (d ) = d Phương trình d’ có dạng d : (1) Lấy M ( ; .) d , : V(O;−2) ( M ) = M ( x '; y ') OM ' = −2OM Ta có: OM ' = ( ; .) OM = ( ; ) x ' = M '( ; .) y ' = Do M ' d ta có: c = Vậy phương trình d’ : ……………………………… Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) có phương trình ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = Phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 biến (C ) thành đường tròn nào? Giải: Gọi V(O ;−2) ((C )) = (C ') Đường tròn (C ) có tâm I ( ; ) bán kính R = Đường tròn (C’) cần tìm có tâm I ( x '; y ') bán kính R ' =| k | R = Khi đó: V(O;−2) ( I ) = I ' OI ' = −2OI Ta có: OI ' = ( ; ) OI = ( .; ) x ' = I '( ; .) y ' = Phương trình đường tròn (C’) có tâm I ( .; ) bán kính R ' = : Nguyễn Hoài Nam 0334338222 Câu 7: Trong mặt phẳng hệ trục Oxy Cho đường tròn (C) có phương trình: ( x − 1) + ( y − 5) = điểm I ( 2; −3) Gọi ( C) ảnh ( C ) qua phép vị tự V tâm I tỉ số k = −2 Viết phương trình (C’)? Giải: Gọi V( I ;−2) ((C )) = (C ') Đường tròn ( C ) có phương trình: ( x − 1) + ( y − ) = có tâm N ( ; .) , R = 2 Đường tròn (C’) cần tìm có tâm N '( x '; y ') , bán kính R ' =| k | R = Khi đó: V( I ;−2) ( N ) = N ' IN ' = −2 IN = N '( .; ) IN = ( ; ) = Phương trình đường tròn (C’) có tâm N '( ; .) bán kính R ' = :…………………………… Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho hai đường thẳng 1 có phương Ta có: IN ' = ( ; ) trình: x − y + = x − y + = , điểm I ( 2;1) Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng 1 thành giá trị k ? Giải: Ta lấy điểm A (1;1) 1 Khi V( I ,k ) ( A) = A '( x ' y ') x = − k x = kx + (1 − k ) a x = k + (1 − k ) y = y = ky + (1 − k ) b y = k + (1 − k )1 Mà A 2 x − y + = − k − 2.1 + = k = Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD, I giao điểm đường chéo Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, CD, AM, AI Chứng minh APQ CNI đồng dạng Giải: A P M B Ta có: V( A;2) ( A) = V( A;2) ( P) = V( A;2) (Q) = Q Q I => V( A;2) (APQ) = Và : DI ( .) = DI ( ) = DI ( ) = => DI ( ) = D N C Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép V( A;2) DI biến APQ thành Vậy APQ CNI đồng dạng Câu 10: Cho hình vng ABCD tâm I, gọi M, N, P trung điểm AB, AD, DC Tìm phép dời hình biến MNI IPC Ta có: .( M ) = ( N ) = ( I ) = => ( MNI ) = Và : = I = P = C => ( ) = IPC Vậy phép dời hình có cách thực liên tiếp phép ………… …………… biến MNI thành IPC Nguyễn Hồi Nam 0334338222 Câu 11: Cho hình chữ nhật ABCD, AC cặt BD I Gọi H, K, L J trung điểm AD, BC, KC, IC Chứng minh hai hình thang JLKI IHAB đồng dạng với Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O tâm đối xứng Gọi I, K, L, M trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tìm ảnh tam giác AEO qua phép đồng dạng có từ việc thực lien tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IL phép vị tự tâm B tỉ số Câu 13: Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao kẻ từ A Tìm phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC Nguyễn Hoài Nam 0334338222 Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(1;-3), bán kính Viết phương trình ảnh đường tròn (I;2) qua phép đồng dạng có từ việc thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số phép quay tâm O góc quay 900 Giải: +) Gọi V( O ;3) ((C )) = (C ') Đường tròn ( C ) có tâm I ( ; .) , R = Đường tròn (C’) cần tìm có tâm I '( x '; y ') , bán kính R ' =| k | R = Khi đó: V(O;3) ( I ) = I ' OI ' = 3OI Ta có: OI ' = ( x '; y ') OI = ( .; .) x ' = I '( ; .) y ' = Phương trình đường tròn (C’) có tâm I ( ; .) bán kính R ' = :………………………… +) Gọi Q O;900 ( (C ') ) = (C ") ( ) Đường tròn (C”) cần tìm có tâm I ''( x ''; y '') , bán kính R " = R ' = Ta có : Q O ;900 ( I ') = I "( x "; y ") I "( .; ) ( ) Phương trình đường tròn (C”) có tâm I”(… ;……) bán kính R” = … là: Vậy phương trình ảnh đường tròn (I;2) qua phép đồng dạng có từ việc thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số phép quay tâm O góc quay 900 là: Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x + y + = Viết phương trình ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng có từ việc thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số phép phép quay tâm O góc quay 900 Giải: +) Gọi V(O;2) (d ) = d Phương trình d’ có dạng : + c = (1) Lấy M ( .; ) d , : V(O;2) ( M ) = M ( x '; y ') OM ' = 2OM x ' = M '( .; .) OM = ( ; .) y ' = Do M ' d , thay tọa độ M’ vào (1) ta có: c = Phương trình d’ : +) Gọi Q O ;900 ( d ') = d " Vì d ' ⊥ d " nên phương trình d” có dạng: + c " = (2) ( ) Ta có: OM ' = ( x '; y ') Ta có : Q 0;900 ( M ') = M " ( x "; y ") M "( ; .) ( ) Do M '' d " , thay tọa độ M’’ vào (2) ta có: c " = Phương trình d’ : Vậy phương trình ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng có từ việc thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số phép phép quay tâm O góc quay 900 Nguyễn Hoài Nam 0334338222 ... = − k x = kx + (1 − k ) a x = k + (1 − k ) y = y = ky + (1 − k ) b y = k + (1 − k )1 Mà A 2 x − y + = − k − 2 .1 + = k = Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD,... đường thẳng 1 có phương Ta có: IN ' = ( ; ) trình: x − y + = x − y + = , điểm I ( 2 ;1) Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng 1 thành giá trị k ? Giải: Ta lấy điểm A (1; 1) 1 Khi V(... = P = C => ( ) = IPC Vậy phép dời hình có cách thực liên tiếp phép ………… …………… biến MNI thành IPC Nguyễn Hoài Nam 0334338222 Câu 11 : Cho hình chữ nhật ABCD, AC cặt BD I Gọi H, K, L