THÔNG TIN TÀI LIỆU
Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) bất đẳng thức gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức Tính chất Điều kiện Nội dung a 0, c > a < b c < d ac < bd (4) 2n+1 2n+1 (5a) a có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x �0, x �x, x � x x �a � a �x �a a>0 � x �a x �a � � x �a � a b �a b �a b d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + a b c a b ; b c a b c ; c a b c a Chứng minh bất đẳng thức Chứng minh BĐT lập luận để khẳng định tính đắn BĐT Để chứng minh BĐT ta thường sử dụng: – Tính chất quan hệ thứ tự số – Tính chất bất đẳng thức 34 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí – Một số BĐT thơng dụng VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh Một số BĐT thường dùng: + A2 �0 + A2 B2 �0 + A.B �0 với A, B + A2 B2 �2AB Chú ý: – Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2 b2 c2 �ab bc ca b) a2 b2 1�ab a b Bài c) a2 b2 c2 �2(a b c) d) a2 b2 c2 �2(ab bc ca) e) a4 b4 c2 1�2a(ab2 a c 1) f) g) a2(1 b2) b2(1 c2) c2(1 a2) �6abc h) a2 b2 c2 d2 e2 �a(b c d e) HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 �0 b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 �0 a2 b2 c2 �ab ac 2bc c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 �0 d) (a b c)2 �0 e) (a2 b2)2 (a c)2 (a 1)2 �0 � a f) � � (b c) � �0 �2 � g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 �0 2 2 � �a � a � �a � �a h) � � b� � c � � d � � e� �0 �2 � �2 � �2 � �2 � Bài Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 b3 �a b � �� �; với a, b 2 � � a b � a2 b2 a) ab �� � �� �2 � b) c) a4 b4 �a3b ab3 d) a4 �4a e) a3 b3 c3 �3abc , với a, b, c > a6 b6 f) a4 b4 � ; với a, b b2 a2 g) 1 a � ; với ab h) (a5 b5)(a b) �(a4 b4)(a2 b2) ; với ab > ab 1 b 2 a b� (a b)2 a2 b2 �a b � (a b)2 HD: a) � ; �0 � �0 � � ab � �2 � �2 � b) (a b)(a b)2 �0 c) (a3 b3)(a b) �0 d) (a 1)2(a2 2a 3) �0 e) Chú ý: a3 b3 (a b)3 3a2b 3ab2 35 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí BĐT (a b c) � a2 b2 c2 (ab bc ca)� � ��0 f) (a2 b2)2(a4 a2b2 b4) �0 g) (b a)2(ab 1) (1 ab)(1 a2)(1 b2) �0 h) ab(a b)(a3 b3) �0 Cho a, b, c, d R Chứng minh a2 b2 �2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) a b4 c4 d4 �4abcd b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) �8abc Bài c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d2 4) �256abcd HD: a) a4 b4 �2a2b2; c2 d2 �2c2d2 ; a2b2 c2d2 �2abcd b) a2 1�2 a ; b2 1�2 b ; c2 1�2 c c) a2 �4 a ; b2 �4 b ; c2 �4 c ; d2 �4 d Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh a a a c (1) Áp dụng chứng minh b b b c bất đẳng thức sau: a b c a b c d 2 a) 1 b) 1 2 a b b c c a a b c b c d c d a d a b a b b c c d d a c) 3 a b c b c d c d a d a b HD: BĐT (1) (a – b)c < a a a c b b b a a) Sử dụng (1), ta được: ; ; a b c a b a b c a b c b c a b c c c c b a b c c a a b c Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm a a a b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: a b c d a b c a c b b b c c c Tương tự: ; ; a b c d b c d b d a b c d c d a a c d d d a b c d d a b d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm a b a b a b d c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: a b c d a b c a b c d Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Bài Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 �ab bc ca (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a b c)2 �3(a2 b2 c2) 2 a b c � b) a b c �� � � � � c) (a b c)2 �3(ab bc ca) d) a4 b4 c4 �abc(a b c) HD: (a b)2 (b c)2 (c a)2 �0 a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần 36 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 �a2b b2a ab(a b) (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 � a) 3 ; với a, b, c > a b abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc 1 �1; b) 3 3 3 với a, b, c > abc = a b 1 b c 1 c a 1 1 c) với a, b, c > abc = �1; a b b c c a HD: (1) (a2 b2)(a b) �0 Bài � a3 b3 abc ab(a b c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab bc ca �a2+b2 c2 a b b c a b c a b c c a c a c a Tương tự, chứng minh BĐT lại 1 b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > ta có: � x y x y 1 � Ta có: a b c b c a (a b c) (b c a) b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm 37 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí VẤN ĐỀ 2: Phương pháp làm trội Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn tích hữu hạn Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1 u un Ta biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: Khi đó: S = a1 a2 a2 a3 an an 1 a1 an 1 Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un u k ak ak 1 uk Ta biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: Khi đó: P= ak ak1 a1 a2 a a n a2 a3 an 1 an 1 Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta có: 1 1 1 n 1 a) b) n 1 n nn n 1 1 1 1 c) 1 d) 2 3 ( n ) n n 1 , HD: a) Ta có: với k = 1, 2, 3, …, n –1 n k n n 2n 2 2 k k , với k = 1, 2, 3, …, n b) Ta có: k k k k 1 1 1 , với k = 2, 3, …, n c) Ta có: k k k 1 k k 1 , với k = 2, 3, …, n d) Ta có: (k 1).n k k Bài VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si Bất đẳng thức Cô–si: a b + Với a, b 0, ta có: � ab Dấu "=" xảy a = b 2 Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn x = y + Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ x = y Bài Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: 38 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí a) (a b)(b c)(c a) �8abc bc ca ab b) �a b c ; với a, b, c > a b c ab bc ca a b c c) ; với a, b, c > � a b b c c a a b c d) � ; với a, b, c > b c c a a b HD: a) a b �2 ab; b c �2 bc; c a �2 ca đpcm 2 b) bc ca �2 abc 2c , ca ab �2 a bc 2a , ab bc �2 ab c 2b đpcm a b ab b c bc c a ac c) Vì a b �2 ab nên ab ab ab bc bc ca ca � Tương tự: � ; � a b ab b c c a ab bc ca ab bc ca a b c (vì ab bc ca �a b c ) � � a b b c c a 2 �a ��b �� c � 1� � 1� � 1� d) VT = � �b c � �c a � �a b � �1 1 � = (a b) (b c) (c a) � � 3 �b c c a a b � 2 Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b �x y � �z x � �z y � � 1� Khi đó, VT = � � � � � � � 3� (2 3) 2� �y x � �x z � �y z � � Bài Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: �1 1� a) (a3 b3 c3) � ��(a b c)2 �a b c � b) 3(a3 b3 c3) �(a b c)(a2 b2 c2) c) 9(a3 b3 c3) �(a b c)3 �a3 b3 � �b3 c3 � �c3 a3 � HD: a) VT = a2 b2 c2 � � � � � � �b a � �c b � �a c � a3 b3 �2 a2b2 2ab Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm b a b) 2(a3 b3 c3) � a2b b2a b2c bc2 c2a ca2 Chú ý: Chú ý: a3 b3 �ab(a b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm c) Áp dụng b) ta có: 9(a3 b3 c3) �3(a b c)(a2 b2 c2 ) Dễ chứng minh được: 3(a2 b2 c2) �(a b c)2 đpcm 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: � a b a b �1 1 1 � a) �2� �; với a, b, c > a b c �a b b c c a � � � 1 1 �2� b) �; với a, b, c > a b b c c a �2a b c a 2b c a b 2c � Bài Cho a, b > Chứng minh 39 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí 1 1 1 Chứng minh: �1 a b c 2a b c a 2b c a b 2c ab bc ca a b c d) ; với a, b, c > � a b b c c a 2xy 8yz 4xz �6 e) Cho x, y, z > thoả x 2y 4z 12 Chứng minh: x 2y 2y 4z 4z x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: �1 1 � 1 �2� � p a p b p c �a b c � �1 � HD: (1) (a b) � ��4 Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si �a b � 1 1 1 a) Áp dụng (1) ba lần ta được: � ; � ; � a b a b b c b c c a c a Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) � � 1 1 c) Áp dụng a) b) ta được: �4� � a b c �2a b c a 2b c a b 2c � 1 �1 � ab � � � d) Theo (1): � (a b) a b �a b � a b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c 12 đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c 1 4 � Áp dụng (1) ta được: p a p b ( p a) ( p b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm 1 Bài Cho a, b, c > Chứng minh � (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b c a b c �1 1 � a) (a2 b2 c2) � �� (a b c) �a b b c c a � x y z b) Cho x, y, z > thoả x y z Tìm GTLN biểu thức: P = x y z c) Cho a, b, c > thoả a b c �1 Tìm GTNN biểu thức: 1 P= 2 a 2bc b 2ac c 2ab 1 1 �30 d) Cho a, b, c > thoả a b c Chứng minh: 2 a b c ab bc ca �1 1� HD: Ta có: (1) (a b c) � ��9 Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si �a b c � 1 � a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a 2(a b c) c) Cho a, b, c > thoả VT 9(a2 b2 c2) 3(a2 b2 c2) � (a b c) 2(a b c) a b c 40 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí Chú ý: (a b c)2 �3(a2 b2 c2) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: �1 1 � x 1 y 1 z 1 P= = 3 � � x y z �x y z 1� 1 9 � Suy ra: P 3 Ta có: x y z x y z 4 Chú ý: Bài tốn tổng qt sau: Cho x, y, z > thoả x y z k số dương cho trước Tìm GTLN x y z biểu thức: P = kx ky kz 9 �9 c) Ta có: P a 2bc b2 2ca c2 2ab (a b c)2 d) VT 2 a b c ab bc ca � � 1 = �2 2 � �a b c ab bc ca ab bc ca � ab bc ca 9 � 30 (a b c)2 ab bc ca 1 1 Chú ý: ab bc ca � (a b c)2 3 Bài Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18 x a) y ; x b) y ; x x x1 3x x c) y d) y ; x 1 ; x x 2x x x 1 e) y f) y ; 0 x ; x 1 x x x2 x2 4x g) y h) y x ; x ; x x x HD: a) Miny = x = b) Miny = x = 3 30 30 c) Miny = x = x = d) Miny = 3 5 e) Miny = x f) Miny = x = 4 g) Miny = x = h) Miny = x = 27 Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y (x 3)(5 x); �x �5 b) y x(6 x); �x �6 Bài 41 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí c) y (x 3)(5 2x); �x � e) y (6x 3)(5 2x); �x � 2 HD: a) Maxy = 16 x = 121 c) Maxy = x = e) Maxy = x = d) y (2x 5)(5 x); f) y �x �5 x ; x x 2 b) Maxy = x = 625 d) Maxy = x = f) Maxy = x = ( x2 �2 2x ) 2 II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Định nghĩa Bất phương trình dạng ax b (hoặc ax b 0, ax b �0, ax b �0 ), a, b hai số cho, a 0, đgl bất phương trình bậc ẩn Hai qui tắc biến đổi bất phương trình Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: – Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương – Đổi chiều bất phương trình số âm Giải bất phương trình sau: a) 3(2x 3) �4(2 x) 13 b) 6x 1 (3x+9) �8x (2x 1) c) 8x 17 3(2x 3) �10(x 2) d) 17(x 5) 41x �15(x 4) e) 4(2 3x) (5 x) 11 x f) 2(3 x) 1,5(x 4) 3 x 83 18 ĐS: a) x �3 b) x � c) x � d) x � e) x f) x 73 5 Bài Giải bất phương trình sau: 2x x 5(x 1) 2(x 1) 1� a) b) 3(x 1) x 3x x �3 1� x c) d) 1 2x 22 7x 5 2x 5x x 2x x x e) f) 5 3 4 14 ĐS: a) x 20 b) x �15 c) x � d) x �5 e) x f) x 19 Bài Giải bất phương trình sau: a) (2x 3)(2x 1) 4x(x 2) b) 5(x 1) x(7 x) x2 Bài c) (x 1)2 (x 3)2 x2 (x 1)2 d) (2x 1)2 (3 x)2 42 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí (x 2)2 3(x 1)2 x2 x(1,5x 1) (2 x)2 5x f) � 2 10 ĐS: a) x b) x c) x d) x e) x f) x �2 10 Bài Giải bất phương trình sau: �8x � 2x 1 3x a) 8x 5� 3� b) 2x �5 � x x x 5x x x � 1 3 c) d) x 6 x 2x x e) 15 15 ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm Bài Với giá trị x thì: a) Giá trị biểu thức 3(x 1) không nhỏ giá trị biểu thức 2(x 3) x x lớn giá trị biểu thức x b) Giá trị biểu thức c) Giá trị biểu thức (x 1)2 không lớn giá trị biểu thức (x 3)2 e) x 2 x d) Giá trị biểu thức 2 nhỏ giá trị biểu thức x 14 ĐS: a) x � b) x 2 c) x � d) x Bài Giải bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x 1987 x 1988 x 1989 x 1990 x1 x x x x x a) b) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 x-1987 x 1988 x 1989 x 1990 x x x x x x c) d) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 ĐS: a) x 15 b) x 100 1 Bài a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Tìm số biết lớn 21 nhỏ 36 b) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 300 đến 400, biết số chia cho 3, 4, có số dư c) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 500 đến 600, biết số chia cho 5, 8, 10 có số dư 2, 5, ĐS: a) 31 b) 301 ( x chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 ( x chia hết cho 5, 8, 10) Bài Giải bất phương trình sau: a) 43 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí III PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa giá trị tuyệt đối � a a �0 a� a a � Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối C C �A �B �0 �B �0 A �0 Dạng A B � � �� hay � �A B hay � A B � � �A B �A B Dạng A B � A B hay A B Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối – Xét dấu biểu thức chứa ẩn nằm dấu GTTĐ – Chia trục số thành nhiều khoảng cho khoảng, biểu thức nói có dấu xác định – Xét khoảng, khử dấu GTTĐ, giải PT tương ứng trường hợp – Kết hợp trường hợp xét, suy số nghiệm PT cho Giải phương trình sau: a) 4x x b) x 3x c) 2x 5x 1 5x x x1 x 5x d) 2x 6x x e) f) 3 � 2� �9� �19 � �1� ; � ĐS: a) S � b) S 0 c) S � � d) S � e) S � � f) S � � �5 �7 �20 �8 Bài Giải phương trình sau: a) x2 2x x b) 2x2 5x 2x2 c) x2 4x x2 Bài d) 3x2 7x x2 5x � 1� 1; � c) S 3;1 d) S 2 b) S � �4 Giải phương trình sau: ĐS: a) S 0;1;3 Bài 44 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí a) 3x x 1 2x x2 6x x c) x 6 x2 36 2 2x2 7x x2 5x f) 4 x x 2x 5x2 7x x2 3x �4 � � 13� �3 � ;4� c) S � � d) S � ;3� e) S 4 f) S 4 ĐS: a) S 2 b) S � � �3 �5 Bài Giải phương trình sau: a) 2x x b) 5x 3x c) 1 4x 7x d) x2 4x b) 2x x e) d) 2x2 5x 10 2x2 e) x f) x2 3x x2 �1 3� �1 � � 9� � 1� ;1; � e) S 1;5 f) S � 1; � ĐS: a) S 2;0 b) S � ; � c) S � ;1�d) S � � 11 �2 �8 �4 Bài Giải phương trình sau: a) 2x 5x b) x x 1 c) x x d) x x x e) 2x x x 1 f) x x �1 3� � 1� � f) S � ĐS: a) S � b) S 4 c) �x �3 d) S � ; �e) S � �2 �2 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Giải bất phương trình sau: a) 3x �5x+12 b) 4x 15 24 7x x x x 2x �1 2x �(2x 1) d) e) 11 ĐS: a) x �10 b) x c) x �2 d) x � Bài c) x 1�7 2x x1 x x �x f) e) x � f) x �1 Bài a) Tìm tất nghiệm nguyên dương bất phương trình: 11x 8x b) Tìm tất nghiệm nguyên âm bất phương trình: x2 2x x2 x x2 x x c) Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: 4(2 3x) (5 x) 11 x d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: 2(3 x) 1,5(x 4) 3 x ĐS: a) 1;2 b) 3; 2; 1 Bài Giải bất phương trình sau: x x 15 x 2005 x 1995 1987 x 1988 x 27 x 28 x 4 a) b) 2005 1995 15 15 16 1999 2000 �1 1 � 1 c) � �x � 1.101 2.102 10.110 � 1.11 2.12 100.110 � ĐS: a) x 2010 Trừ vế cho b) x 1972 Trừ vế cho 1 �1 � 1 �1 � � c) x �10 Biến đổi � �, � k(100 k) 100 �k 100 k � k(k 10) 10 �k k 10 � Bài Giải phương trình sau: 45 Hoc360.net - Tài liệu giảng miễn phí a) x 5x b) x 2x c) 2x 11 x x2 8x 15 3x e) 7x 9x 7x f) 5x 2x2 9x �5� � 14� � 15� � 2� 4; �c) S 1;19 d) S � ; �e) S � ; �f) S 3 ĐS: a) S � � b) S � �4 �3 � �2 d) 4x 4x 9 4x 46 ... 19 87 x 19 88 x 27 x 28 x ? ?4 a) b) 2005 19 95 15 15 16 19 99 2000 ? ?1 1 � 1 c) � �x � 1. 1 01 2 .10 2 10 .11 0 � 1. 11 2 .12 10 0 .11 0 � ĐS: a) x 2 010 Trừ vế cho b) x 19 72 ... 3) ? ?4( 2 x) 13 b) 6x 1? ?? (3x+9) �8x (2x 1) c) 8x 17 3(2x 3) ? ?10 (x 2) d) 17 (x 5) 41 x �? ?15 (x 4) e) 4( 2 3x) (5 x) 11 x f) 2(3 x) 1, 5(x 4) 3 x 83 18 ĐS:... 1) �8abc Bài c) (a2 4) (b2 4) (c2 4) (d2 4) �256abcd HD: a) a4 b4 �2a2b2; c2 d2 �2c2d2 ; a2b2 c2d2 �2abcd b) a2 1? ??2 a ; b2 1? ??2 b ; c2 1? ??2 c c) a2 ? ?4 a ; b2 ? ?4 b ; c2 �4
Ngày đăng: 08/11/2018, 13:00
Xem thêm: