MATEMÁTICA CALCULO, PREVENCIÓN DE RIESGOS

CÁLCULO PARA PREVENCIÓN DE RIESGOS D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S Instituto Profesional Dr Virginio Gómez Indice Materia Unidad Nº1: Introducción a la Geometría Analítica Sistema de coordenadas en el plano Distancia entre dos puntos del plano ‘2 División de un trazo en una razón dada Pendiente entre dos puntos Línea recta Formas de la ecuación de la recta Tipos de rectas Distancia de un punto a una recta Cónicas Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola Unidad Nº2: Introducción al Cálculo Diferencial e Integral Límites Teorema sobre límites Límites laterales Continuidad Derivada Interpretación de la derivada Reglas de derivación Regla de la cadena Derivación implícita Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas Derivación logarítmica Derivada de funciones trigonométricas Derivada de funciones trigonométricas inversas Derivada de orden superior Aplicación de la derivada a) Gráfico de curvas b) Problemas de aplicación de máximos y/o mínimos c) Problemas de variaciones relacionadas Integral indefinida Integrales inmediatas Métodos de integración: a) Cambio de variable b) Integración de monomios en seno y coseno c) Integración por partes d) Sustitución trigonométrica Integral definida Area positiva y área negativa Areas en coordenadas rectangulares Area entre curvas VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas Página 11 15 19 22 24 28 33 38 47 49 54 58 68 70 71 76 79 82 84 87 90 93 97 105 109 115 115 118 124 128 133 139 141 145 150 Instituto Profesional Dr Virginio Gómez Introducción VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas El ámbito de desarrollo del Ingeniero de Ejecución en Prevención de Riesgos, exige que cuente las competencias necesarias para realizar Investigaciones Sistemáticas, respecto de la prevención de accidentes y enfermedades profesionales En esta filisofìa de trabajo se enmarca el presente manual, que busca proporcionar al alumno de Ingeniería la formaciòn necesaria en las àreas de las Ciencias Básicas El manual de trabajo se encuentra dividido en dos unidades: La Unidad 1, comprende una Introducción a la Geometría Analítica y la Unidad 2, una Introducción al Cálculo Diferencial e Integral Se recomienda que el alumno estudie el manual siguiendo la siguiente metodología de trabajo: Lea un desarrollo matemático Trabaje mediante los ejemplos ilustrativos Trabaje el problema seleccionado Revise las ideas principales de la sección (Conceptos) Realice los ejercicios asignados al final de cada sección Instituto Profesional Dr Virginio Gómez UNIDAD Nº1 INTRODUCCIĨN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas Instituto Profesional Dr Virginio Gómez Geometría Analítica Sistema de coordenadas en el plano l d l! VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas Está formado por dos ejes perpendiculares, orígenes comunes y graduados la misma unidad de longitud Estos ejes perpendiculares dividen al plano l2 en cuatro regiones iguales denominadas cuadrantes El eje horizontal se denomina eje de las abscisas X ! y el eje vertical recibe el nombre de eje de las ordenadas (Y) Eje Y (ordenadas) Eje X (abscisas) o Los elementos de este sistema se denominan pares ordenados Cada par ordenado tiene un orden establecido, la primera componente del par es una abscisa y la segunda componente del par es una ordenada, es decir, %Á &! Propiedades 1) Todos los puntos del eje X tienen ordenada nula, es decir: Eje X ~ ¸ %Á & !  l °& ~ ¹ 2) Todos los puntos del eje Y tienen abscisa nula, es decir: Eje Y ~ ¸ %Á & !  l °% ~ ¹ 3) En el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas existen cuatro cuadrantes ¢ C1 ~ ¸ %Á &!  l ° % €   & ạ C ~ % &! l ° %    &  ¹ C ~ ¸ %Á & !  l ° %    & ạ C ~ % & !  l ° % €   &  ¹ Instituto Profesional Dr Virginio Gómez Distancia entre dos puntos del plano l2 Sean A % Á & ! y B % Á & ! dos puntos del plano AC ~ % c % BC ~ & c & Por Teorema de Pitỏgoras  AB! ~ AC! b BC!  ~ %  c %  ! b & c &  !   ~ m %  c %  ! b &  c &  !  VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas AB ~  Así sí A²%Á & ³ y B( % Á & ³ son dos puntos del plano, entonces la distancia entre A y B, denotada por  A,B! es: ² (Á )³ ~ m % c % ! b & c & ! Instituto Profesional Dr Virginio Gómez Ejemplos ¢ ³ Calcular la distancia entre el punto A Á ! y B c Á c !  A,B! ~ m c  c ! b c  c ! ~ l b  ~ l ~  unidades VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas ³ Los vértices de un cuadrilátero son: A Á !Á B c Á !Á C c Á c ! y D Á c !À Calcular su perímetro P ~  A,B! b  B,C! b  C,D! b  D,A!  A,B! ~ m c  c ! b  c ! ~ l b  ~ l  B,C! ~ m c  b ! b c  c ! ~ l b  ~ l  C,D! ~ m  b ! b c  b ! ~ l b  ~ l  D,A! ~ m  c ! b b ! ~ l b  ~ l P ~  A,B! b  B,C! b  C,D! b  D,A! ~ l b l b l b l ~ l b l b l ³ Determine el valor de % en A %Á ! de modo que  A,B! ~ B Á c !  A,B! ~ m % c % ! b & c & ! ~ m  c % ! b c  c  !  ~ m  c %! b  ° !  ~  c %! b   ~  c % ! ¬ % ~  [unidades] Instituto Profesional Dr Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas VIRGINIO GOMEZ División de un trazo en una razón dada Sea P %Á &! un punto del plano que divide al trazo P1 P2 en una cierta razón k, es decir, P1 P ~ PP2 Se obtendrán las coordenadas del punto P %Á &! en función de los puntos dados P1 y P2 z P1 SP — z PRP2 P1 S P1 P ~ PR PP2 ¬ % c % % c % ¬ ¬ ¬ ¬ De igual forma SP P1 P ~ RP PP2 ¬ & c & & c & ¬ ¬ ¬ ¬ ~ % c % ~ % c % % b % ~ % b % %  b  ! ~ % b % % b % %~ b ~ & c & ~ & c & & b & ~ & b & &  b  ! ~ & b & & b & &~ b b % & b & Luego las coordenadas del punto P son:7 ² %b Á b ³ ,  £ c  ,  £ c  % & b & Si k ~ Á entonces: ² % b Á  ) lo que corresponde al punto medio  entre los puntos: P & 7À Instituto Profesional Dr Virginio Gómez Derivada VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas Sea & ~  %! una función real y sean % Á & ! y % Á & ! dos puntos de  %!À 3 es una recta secante a & ~  %!, luego la pendiente de 3 es ¢  ~ & c & % c %  ¬  ~ "& incremento de ordenadas ~ "% incremento de abscisas Como "% ~ % c % Á entonces % b "% ~ % & ~  % ! & ~  % ! ¬ & ~  % b "%! Así,  ~  % b "%! c  % ! "% Si se aproxima a , "% tiende a cero y la recta 3 recta secante! se transforma en la recta 3 , que es la recta tangente a & ~  %! en el punto % Á & !À Es decir, lim "% ¦   % b "%! c  % ! es la pendiente de la recta tangente a & ~  %! en el "% punto % Á & ! & ~  % ! 68 Instituto Profesional Dr Virginio Gómez Concepto de derivada de una función Si & ~  %! es una función, entonces la derivada de  en % es  lim "% Ư   % b "%! c  % ! "% si el límite existe Notación ¢ lim "% ¦   % b "%! c  % ! &  ~  Z %! ~ & Z ~ ~ "% % % Teoremas ¢ VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas Teorema1: & ~  %! es derivable en % si existe  Z %! Teorema 2: & ~  %! es derivable en el intervalo Á  ! si lo es en cada punto del intervalo Si & ~  %! es derivable en % ~  , entonces & ~  %! es continua en % ~ À Teorema 3: El cuociente "& se denomina Cuociente de Newton "% 69 Instituto Profesional Dr Virginio Gómez Interpretaciones de la derivada I) Geometría Analítica VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas &  % b "%! c  % ! ~ lim representa la pendiente "% % "% ¦  de la recta tangente a & ~  %! en el punto %Á  %!!À El punto %Á  %!! debe pertenecer a la función & ~  %! para ser el punto de tangencia Si % Á & ! es punto de tangencia de la curva & ~  %!Á entonces es posible establecer las ecuaciones de dos rectas ¢ a) Si & ~  %!, entonces la derivada Recta Tangente & c & ~ @8 & %  Á &  !A % c %  ! % Recta Normal r u t w c  w & c & ~ tt % c % ! w r & u % Á& ! s s % v   v La recta tangente y la recta normal son perpendiculares en el punto de tangencia b) Si & ~  %!, entonces cambio de & respecto a % II) "& & ~ lim % "% Ư  "% Fớsica Velocidad media  representa, ademỏs, la razón instantánea de Si ~ !! es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la velocidad del objeto en el intervalo !Á "!! es ¢ " ~ "! ! b "!! c "! !! Velocidad o velocidad instantánea ¢ Si ~ !! es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la velocidad del objeto en el tiempo ! es ¢ ! b "!! c !! # !! ~ Z !! ~ lim "! "! ¦  Rapidez ~ d # !!d 70 Instituto Profesional Dr Virginio Gómez Aceleración ¢ VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas Si ~ !! es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces su aceleración en el instante ! es ¢  !! ~ # Z !! ~ lim "! ¦  # ! b "!! c # !! "! Reglas de derivación 1) Si  %! ~  ,  una constante, entonces : & % ²³ ~ 2) Si  %! ~ % ,  un número racional, entonces ¢ &  % ²% ³ ~ %c 3) Si & ~  %! y  una constante, entonces ¢ & % ² ²%³³ & ~  % ² ²%³³ ~  Z ²%³ 4) Si  %! ~  %! b  %! b  %! b ÀÀÀ b  %!, entonces ¢ & ² ²%³³ ~ Z ²%³ b Z ²%³ b Z ²%³ b ÀÀ À % b Z ²%³ 5) Si & ~  %! h  %!, entonces ¢ & % ² ²%³ 6) Si & ~ h ²%³³ ~  Z ²%³ h ²%³ b  ²%³ h Z ²%³  %!  %! £ , entonces  %! &  ²%³ % ²%³ 7~  Z ²%³h²%³ c  ²%³hZ ²%³ ²²%³³ 71 Instituto Profesional Dr Virginio Gómez Ejemplos ¢ I) Obtener & en ¢ % ³  %! ~  & ~ % ³  %! ~ % c % b  & ~ % c  % ³  %! ~  4 % c 5  &   ~ % %  VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas & ~ % b !4% c 5 b 4% b % b 54% % ³  %! ~ % b % b ! % c ! & ~ % b % b % c % c  % ³  %! ~ & ~ %  c % c % % c % c  c %!4% c %5 c  c % c % ! % c ! % c %! ³  %! ~ 8l% c  ¬ & % b % c % b % b ~ % % c %!   b 98%° c b 9 % % &       ° ~ b 8% c b 9 b 8l% c  b 98 l% b  % : l% % ; % %  % & % b % ° b %° b % ° b  % b % c  ~ % % ³  %! ~ % c %   94% c % c 5 % b  & % c ! % b ! c % c %! %! % c % 4% c % c 5 b 4% c % ~: ;   b 9  % % % b ! & % ~ % b % b % c  %  b  ! 72 Instituto Profesional Dr Virginio Gómez % c % ! % c % b ! % c ! ³  %! ~ VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas 44% c % % c % b ! b % c % !4% c 55 % c ! c % c % ! % c % b !! ! & ~ % % c ! c % 4 % c  % b  % b % c  % b  5 & ~ % % c ! II) Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función en el punto de tangencia dado ³  %! ~ % b % Á ! & ~ % b  % & Á ! ~  ! b  ~  % ; ~  5 ~ c Recta tangente Recta normal & c  ~  % c ! & ~ % c  &c~ c  % c !    & ~ c %b    c % %b ³  %! ~    8Á c & c  % b ! c  c %! !  ~ ~ c  % % b ! % b  ! &    ~ c 8Á c ~ c %   b  ! ; ~ c   5 ~ Recta tangente &b   ~ c % c !  &~ c   %c     Recta normal &b   ~ % c !  &~   %c   73 Instituto Profesional Dr Virginio Gómez III) 1)La altura en el instante ! de una moneda que se deja caer es pies y ! medido en segundos Hallar ¢ !! ~ c  ! b   a) velocidad media en el intervalo ´ Á  µ ! ~ c  ! b   ~  ! ~ c  ! b   ~  "  c  ~ ~ c  À Así la velocidad media es de c  pies/seg "! c b) velocidad instantánea en ! ~  y ! ~  # !! ~  ~ c ! ! # ! ~ c  # ! ~ c  la velocidad instantánea en ! ~  es c  pies/seg y c  ! b   ~  ¬   ~  ! ¬ n en llegar al suelo tarda aproximadamente Á  segundosÀ   ~ ! ¬ ! — Á   2) La velocidad de un automóvil que parte del reposo es # !! ~ tras : a) segundos  !! ~ b) 10 segundos ! , # en m/seg Hallar la aceleración ! b  c) 15 segundos #  ! b  ! c ! !     ~ ~ ¬  ! ~ ~ Á    ! ! b  ! ! b  !  b  ! la aceleración a los segundos es de Á  m/seg2 À  ! ~    b  !  ~  — Á   la aceleración a los  segundos es aproximadamente de Á  m/seg2 À   ! ~    b  !  ~  — Á   la aceleración a los  segundos es aproximadamente de Á  m/seg2 À 74 medida en en ! ~  es c  pies/seg c) ¿cuánto tarda en llegar al suelo? !! ~  ¬ VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas ... Continuidad Derivada Interpretación de la derivada Reglas de derivación Regla de la cadena Derivación implícita Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas Derivación logarítmica Derivada de funciones... trigonométricas Derivada de funciones trigonométricas inversas Derivada de orden superior Aplicación de la derivada a) Gráfico de curvas b) Problemas de aplicación de máximos y/o mínimos c) Problemas de variaciones... Dr Virginio Gómez Introducción VIRGINIO GOMEZ Departamento de Ciencias Básicas El ámbito de desarrollo del Ingeniero de Ejecución en Prevención de Riesgos, exige que cuente las competencias necesarias