HE TRUC TOA DO CO LOI GIAI CHI TIET

CHUYÊN ĐỀ TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT : I.TRỤC TỌA ĐỘ: Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) đường thẳng ta xác định r r r i i ( tức i = 1) điểm O vectơ đơn vị Hình 1.30 r Điểm O gọi gốc tọa độ , vec tơ i gọi vectơ đơn vị trục tọa độ Kí hiệu r (O ; i ) hay x 'Ox đơn giản Ox Tọa độ vectơ điểm trục: ur r r ur + Cho vec tơ u nằm trục (O ; i ) có số thực a cho u = a i với a �R Số a uu r r u i gọi tọa độ vectơ trục (O ; ) r uuur ur + Cho điểm M nằm (O ; i ) có số m cho OM = mi Số m gọi r tọa độ điểm M trục (O ; i ) uuur Như tọa độ điểm M trọa độ vectơ OM Độ dài đại số vec tơ trục : uuur Cho hai điểm A, B nằm trục Ox tọa độ vectơ AB kí hiệu AB gọi độ uuur dài đại số vectơ AB trục Ox uuur r Như AB = AB i Tính chất : + AB = - BA uuur uuu r + AB = CD � AB = CD ur + " A;B ;C �(O ; i ) : AB + BC = AC Hình 1.31 Trang II HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vng góc Ox Oy với hai vectơ đơn vị lần rr lượt i , j Điểm O gọi gốc tọa độ, Ox gọi trục hoành Oy gọi trục tung rr Kí hiệu Oxy hay ( O; i , j ) Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ rr r r r + Trong hệ trục tọa độ ( O; i , j ) u = xi + yj cặp số ( x; y ) gọi tọa độ r r r vectơ u , kí hiệu u = ( x; y ) hay u( x; y ) r x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ u rr uuur + Trong hệ trục tọa độ ( O; i , j ) , tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M, kí hiệu M = ( x;y ) hay M ( x; y ) x gọi hoành độ, y gọi tung độ điểm M Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K hình chiếu M lên Ox Oy uuur r r uuur uuur M ( x; y ) � OM = xi + yj = OH +OK uuur r uuur r Như OH = xi , OK = yj hay x = OH , y = OK Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác + Cho A(xA ;yA ), B (xB ;yB ) M trung điểm AB Tọa độ trung điểm M ( xM ; yM ) đoạn thẳng AB xM = xA + xB y + yB , yM = A 2 + Cho tam giác ABC có A(xA ;yA ), B (xB ;yB ), C ( xC ;yC ) Tọa độ trọng tâm G ( xG ; yG ) tam giác ABC xG = xA + xB + xC yG = yA + yB + yC Biểu thứ tọa độ phép toán vectơ r ur Cho u = (x;y) ; u ' = (x ';y ') số thực k Khi ta có : r ur 1) u = u ' � r x = x' � � � � �y = y ' r 2) u �v = (x �x ';y �y ') r 3) k.u = (kx;ky) Trang ur r r r 4) u' phương u ( u � ) có số k cho �x ' = kx � � � �y ' = ky uuur 5) Cho A(xA ;yA ), B(xB ;yB ) AB = ( xB - xA ; yB - yA ) Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  xA ; y A  B  xB ; yB  Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB là: x  xB y A  y B � ; � � �x  x y  y � B I � A B ; A B � � � �x  x y  y � C I � A B ; A B � � � �x  y x  y � D I � A A ; B B � � � � A I � A � Lời giải Chọn B Ta có: I trung điểm đoạn thẳng � x A  xB x  uur uur � x  x  x  x �I �I A B I AB � AI  IB � � �� �yI  y A  yB  yI �y  y A  yB �I �x  x y  y � Vậy I � A B ; A B � � � r r r r Câu 2: Cho vectơ u   u1 ; u2  , v   v1; v2  Điều kiện để vectơ u  v u1  u2 � u1  v1 � A � v1  v2 � B � u2  v2 � u1  v1 � C � u2  v2 � Lời giải u1  v2 � D � u2  v1 � Chọn C r r u  v1 � u2  v2 � Ta có: u  v � � Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  xA ; y A  B  xB ; yB  Tọa độ vectơ uuu r AB u uu r A AB   y A  x A ; yB  xB  uuur C AB   xA  xB ; y A  yB  uuu r B AB   x A  xB ; y A  yB  uuur D AB   xB  x A ; yB  y A  Lời giải Chọn D uuu r Theo công thức tọa độ vectơ AB   xB  xA ; yB  y A  Trang Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  xA ; y A  , B  xB ; yB  C  xC ; yC  Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: x  xB  xC y A  yB  yC � ; � 3 � � �x  x  x y  y  y � C G � A B C ; A B C � 3 � � � A G � A x  xB  xC y A  yB  yC � ; � � � �x  x  x y  y  y � D G � A B C ; A B C � � � � B G � A Lời giải Chọn C uuu r uuu r uuur uuur Ta có: G trọng tâm tam giác ABC � OA  OB  OC  3OG với O điểm Chọn O gốc tọa độ O Khi đó, ta có: x A  xB  xC � x  G � uuu r uuu r uuur uuur �x A  xB  xC  xG � OA  OB  OC  3OG � � �� y  y  y  y y  y B C G B  yC �A �y  A G � �x  x  x y  y B  yC � � G �A B C ; A � 3 � � Câu 5: Mệnh đề sau r A Hai vectơ u   2; 1 r B Hai vectơ u   2; 1 r C Hai vectơ u   2; 1 r D Hai vectơ u   2; 1 đúng? r v   1;  đối r v   2; 1 đối r v   2;1 đối r v   2;1 đối Lời giải Chọn C r r r r Ta có: u   2; 1    2;1  v � u v đối Câu 6: rr r r Trong hệ trục  O; i; j  , tọa độ vec tơ i  j là: A  1;1 B  1;0  C  0;1 Lời giải D  1;1 Chọn D r r Ta có: i  j   1;0    0;1   1;1 Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  5;  , B  10;8  Tọa độ vec uuu r tơ AB là: A  2;  B  5;6  C  15;10  Lời giải D  50;6  Chọn B uuu r Ta có: AB   10  5;8     5;6  Câu 8: Cho hai điểm A  1;0  B  0; 2  Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là: �1 � � � A � ; 1� � 1� B �1; � � 2� �1 � � � C � ; 2 � D  1; 1 Trang Lời giải Chọn A Ta có: Trung điểm đoạn thẳng AB là:  0  (2) � �1 �x  x y  yB � � � I  �A B ; A � � ; � � ; 1� � �2 � �2 � � Câu 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm gốc tọa độ O , hai đỉnh A B có tọa độ A  2;  ; B  3;5  Tọa độ đỉnh C là: A  1;  B  1; 7  C  3; 5 D  2; 2  Lời giải Chọn B x A  xB  xC � � 2   xC x  0 O � � �xC  1 � � 3 �� �� Ta có: �   yC yC  7 � �y  y A  y B  yC � 0 �O � 3 r Câu 10: Vectơ a   4;0  phân tích theo hai vectơ đơn vị nào? r r r A a  4i  j r r r r r B a  i  j C a  4 j Lời giải r r D a  4i Chọn D r r r r r Ta có: a   4;0  � a  4i  j  4i Câu 11: Cho hai điểm A  1;0  B  0; 2  Tọa độ điểm D cho uuur uuu r AD  3 AB là: A  4; 6  B  2;0  Chọn D C  0;  Lời giải D  4;6  � �xD  �xD   3   1 �� �� �yD  �yD  y A  3  yB  y A  �y D   3  2   r r r r Cho a   5;0  , b   4; x  Haivec tơ a b phương số x uuur uuu r �x  x A  3  xB  x A  �D Ta có: AD  3 AB � � Câu 12: là: A 5 B C 1 Lời giải D Chọn D r r r r Ta có: a rvà b phương a  k b � x  r r r Câu 13: Cho a   1;  , b   5; 7  Tọa độ vec tơ a  b là: A  6; 9  B  4; 5  C  6;9  D  5; 14  Lời giải Chọn C r r Ta có: a  b   1  5;     6;9  Trang uuur Câu 14: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3, BC  Độ dài vec tơ AC là: A B C Lời giải D Chọn B uuur Ta có: AC  AC  AB  BC  32  42  uuu r Câu 15: Cho hai điểm A  1;0  B  0; 2  Vec tơ đối vectơ AB có tọa độ là: A  1;  B  1; 2  C  1;  Lời giải D  1; 2  Chọn B uuu r uuu r Ta có vectơ đối AB BA    1; 2     1; 2  r r r r Câu 16: Cho a   3; 4  , b   1;  Tọa độ vec tơ a  b là: A  2; 2  B  4; 6  C  3; 8 D  4;6  Lời giải Chọn A r r Ta có: a  b    (1);(4)     2; 2  Câu 17: Khẳng địnhr trongr khẳng định sau đúng? A Hai vec tơ u   4;  v   8;3 phương r r B Hai vec tơ a   5;  b   4;0  hướng r r C Hai vec tơ a   6;3 b   2;1 ngượchướng r ur D Vec tơ c   7;3 vec tơ đối d   7;3 Lời giải Chọn B r r r 5r r4 r r r r r Câu 18: Cho a   x;  , b   5;1 , c   x;7  Vec tơ c  2a  3b nếu: A x  B x  15 C x  15 D x  Ta có: a  b suy a hướng với b Lời giải Chọn C r r r �x  x   5  � Ta có: c  2a  3b � � � x  15  2.2  3.1 � r r r r r r r Câu 19: Cho a  (0,1) , b  (1; 2) , c  (3; 2) Tọa độ u  3a  2b  4c : A  10; 15 B  15;10  C  10;15  D  10;15 Lời giải Chọn C r r r r Ta có: u  3a  2b  4c   3.0  2.(1)  4.(3);3.1  2.2  4.(2)    10;15  uuur uuur uuur r Câu 20: Cho A  0;3 , B  4;  Điểm D thỏa OD  DA  DB  , tọa độ D là: A  3;3 B  8; 2  C  8;  � � D �2; � � � Lời giải Trang Chọn B uuur uuur uuur r �x     xD     xD   �xD  �� 0 �yD  2 �D Ta có: OD  DA  DB  � � Câu 21: �y D     y D     y D  Tam giác ABC có C  2; 4  , trọng tâm G  0;  , trung điểm cạnh BC M  2;0  Tọa độ A B là: A A  4;12  , B  4;6  C A  4;12  , B  6;  B A  4; 12  , B  6;  D A  4; 12  , B  6;  Lời giải Chọn C � xB  (2) 2 � �xB  � �� � B  6;  Ta có: M  2;  trung điểm BC nên � yB  (4) yB  � � 0 � G  0;  trọng tâm tam giác ABC nên � x A   (2) 0 � �x A  4 � �� � A  4;12  � y A   (4) y A  12 � � 4 � r r r r r r Câu 22: Cho a  3i  j b  i  j Tìm phát biểu sai: uu r uu r r r A a  B b  C a  b   2; 3 r D b  Lời giải Chọn B r r r r r r r r r Ta có: a  3i  j � a  3; 4  , b  i  j � b  1; 1 � b  Câu 23: Cho A  1;  , B  2;6  Điểm M trục Oy cho ba điểm A, B, M thẳng hàng tọa độ điểm M là: A  0;10  B  0; 10  C  10;0  D  10;  Lời giải Chọn A Ta có: M trục Oy � M  0; y  uuu r uuuu r A, B, M thẳng hàng AB phương với AM Ba điểm uuu r uuuu r uuu r Ta có AB   3;  , AM   1; y   Do đó, AB phương với uuuu r 1 y  AM �  � y  10 Vậy M  0;10  3 Câu 24: Cho điểm A  1; 2  , B  0;3 , C  3;  , D  1;8  Ba điểm điểm cho thẳng hàng? A A, B, C B B, C , D C A, B, D Lời giải D A, C , D Chọn C Trang uuur uuu r uuur uuu r Ta có: AD  2;10  , AB  1;5  � AD  AB � điểm A, B, D thẳng hàng Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho B  5; 4  , C  3;7  Tọa độ điểm E đối xứng với C qua B A E  1;18 B E  7;15  C E  7; 1 Lời giải D E  7; 15 Chọn D Ta có: E đối xứng với C qua B � B trung điểm đoạn thẳng EC � xE  5 � �xE  � �� � E  7; 15 Do đó, ta có: � yE  y E  15 � � 4  � Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  1;3 , B  4;0  Tọa độ điểm uuuu r uuu r r M thỏa AM  AB  A M  4;  B M  5;3 C M  0;  D M  0; 4  Lời giải Chọn C uuuu r uuu r r  xM  1    1  � �xM  �� � M  0;   yM  3      �yM  � Câu 27: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  3;3 , B  1;  , C  2; 5  Tọa uuur uuur uuuu r độ điểm M thỏa mãn 2MA  BC  4CM là: �1 � � 5� �1 � �5 � A M � ; � B M � ;  � C M � ;  � D M � ;  � �6 � � 6� �6 � �6 � � Ta có: AM  AB  � � Lời giải Chọn C � xM  uuur uuur uuuu r �   x    x  �       M M � � �1 � �� � M � ; � Ta có: 2MA  BC  4CM � �   yM    5     yM   �6 � �y   � M � Câu 28: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A  3; 2  , B  7;1 , C  0;1 , D  8; 5  Khẳng định sau đúng? uuu r uuur uuu r uuur A AB, CD đối B AB, CD phương ngược hướng uuu r uuur C AB, CD phương hướng D A, B, C, D thẳng hàng Lời giải Chọn B uuur uuur uuur uuur Ta có: AB   4;3 , CD   8; 6  � CD  2 AB Trang Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  1;3 , B  4;0  , C  2; 5  Tọa độ uuur uuur uuuu r r điểm M thỏa mãn MA  MB  3MC  A M  1;18  B M  1;18 C M  18;1 Lời giải Chọn D uuur uuur uuuu r r �   xM     xM     xM   �xM  �� 0 �yM  18 � Ta có: MA  MB  3MC  � � Câu 30: D M  1; 18    y M     y M    5  y M  � Trong mặt phẳng Oxy , cho A  2;0  , B  5; 4  , C  5;1 Tọa độ điểm D để tứ giác BCAD hình bình hành là: A D  8; 5  B D  8;5 C D  8;5  D D  8; 5 Lời giải Chọn D Ta có: tứ giác BCAD hình bình hành uuur uuu r 5   2  xD � �x  BC  DA � � � �D    yD � �y D  5 Câu 31: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  2;  , B  1;  , C  5;1 Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành là: A D  8;1 B D  6;  C D  2;1 Lời giải Chọn C Ta có: tứ giác ABCD hình bình hành D D  8;1 uuu r uuur 1   5  xD � �x  2 AB  DC � � � �D    yD � �yD  Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy , gọi B ', B '' B ''' điểm đối xứng B  2;7  qua trục Ox , Oy qua gốc tọa độ O Tọa độ điểm B ', B '' B ''' là: A B '  2; 7  , B"  2;7  B"'  2; 7  B B '  7;  , B"  2;7  B"'  2; 7  C B '  2; 7  , B"  2;7  B"'  7; 2  D B '  2; 7  , B"  7;  B"'  2; 7  Lời giải Chọn A Ta có: B ' đối xứng với B  2;7  qua trục Ox � B '  2; 7  B '' đối xứng với B  2;7  qua trục Oy � B ''  2;7  B ''' đối xứng với B  2;  qua gốc tọa độ O � B '''  2; 7  Câu 33: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A  0;  , B  1;  Tìm tọa độ uuuu r uuu r điểm M thỏa mãn AM  2 AB là: A M  2; 2  B M  1; 4  C M  3;5  D M  0; 2  Trang Lời giải Chọn A uuuu r uuu r �x   2    �xM  2 �� � M  2; 2  �yM  2 �yM   2    r r r r r Câu 34: Cho a   4, 1 b   3,   Tọa độ c  a  2b là: r r r r A c   1;  3 B c   2;5  C c   7; 1 D c   10; 3 �M Ta có: AM  2 AB � � Lời giải Chọn B r r r Ta có: c  a  2b   4  2.(3);1  2.(2)    2;5  r r r r Câu 35: Cho a  (2016 2015;0), b  (4; x) Hai vectơ a, b phương A x  504 B x  C x  504 D x  2017 Lời giải Chọn B r r r r Ta có: a, b phương � a  k b � x  r uuu r � � Câu 36: Trong mặt phẳng Oxy , Cho A � ; 3 �; B(2;5) Khi a  4 AB  ? r A a   22; 32  � r B a   22;32  � r C a   22;32  r 11 � � D a  � ;8 � �2 � Lời giải Chọn A r uuu r � � Ta có: a  4 AB  4 �2  ;5  �  22; 32  � � r r r r Câu 37: Trong mặt phẳng Oxy , cho a  (m  2; 2n  1), b   3; 2  Nếu a  b A m  5, n  3 B m  5, n   C m  5, n  2 D m  5, n  Lời giải Chọn B m5 � r r m23 � � �� Ta có: a  b � � 2n   2 n � � � Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(2; 1) Điểm B điểm đối xứng A qua trục hoành Tọa độ điểm B là: A B (2;1) B B(2; 1) C B (1; 2) D B(1; 2) Lời giải Chọn A Ta có: B điểm đối xứng A qua trục hoành � B  2;1 Trang 10 r ur r Câu 39: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a  (2;1), b  (3; 4), c  (7; 2) Cho biết r r r c  m.a  n.b Khi 22 3 3 A m   ; n  B m  ; n  5 5 C m  22 3 ;n  5 D m  22 ;n  5 Lời giải Chọn C � 22 m r r r �  2m  3n � � c  m a  n b � � Ta có: � � �2  m  4n �n   � r r r r Câu 40: Cho vectơ a   4; 2  , b   1; 1 , c   2;5  Phân tích vectơ b theo r r hai vectơ a c , ta được: r r 1r 1r r r 1r 1r 1r r 1r 1r A b   a  c B b  a  c C b   a  4c D b   a  c 8 Lời giải Chọn A � m r r r � r 1  m  n � 1r 1r � �� Giả sử b  ma  nc � � Vậy b   a  c 1   m  n � � n � r r � 1�r r uur r Câu 41: Cho a  ( x; 2), b  �5; �, c   x;  Vectơ c  4a  3b � 3� A x  15 B x  C x  15 D x  5 Lời giải Chọn D �x  x  3.(5) r uur r � Ta có: c  4a  3b � � � x  5  4.2  � � Câu 42: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  m  1; 1 , B  2;  2m  , C  m  3;3 Tìm giá trị m để A, B, C ba điểm thẳng hàng? A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn B uuur uuur Ta có: AB    m;3  2m  , AC   4;  uuur uuu r Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB phương với AC  m  2m  � m  4 Cho hai điểm M  8; 1 , N  3;  Nếu P điểm đối xứng với điểm � Câu 43: M qua điểm N P có tọa độ là: Trang 11 A  2;5 B  13; 3 C  11; 1 11 � � D � ; � �2 � Lời giải Chọn A Ta có: P điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N trung điểm đoạn thẳng PM �  xP 3 � �xP  2 � �� � P  2;5  Do đó, ta có: � (  1)  y y  P � P � 2 � Câu 44: Cho tam giác ABC với A  3; 1 , B  4;  , C  4;3 Tìm D để ABDC hình bình hành? A D  3;6  B D  3;6  C D  3; 6  D D  3; 6  Lời giải Chọn B Ta có: ABDC hình bình hành uuu r uuur 4   x D  � �x  3 � AB  CD � � � �D � D  3;    yD  � �yD  Câu 45: Cho K  1; 3 Điểm A �Ox, B �Oy cho A trung điểm KB Tọa độ điểm B là: A  0;3 �1 � � � C  0;  B � ;0 � D  4;  Lời giải Chọn A Ta có: A �Ox, B �Oy � A  x;0  , B  0; y  � 1 x � � � �x  � � Vậy B  0;3 A trung điểm KB � � 3  y � �y  0 � � Câu 46: Cho tam giác ABC với A  3;1 , B  4;  , C  4; 3  Tìm D để ABCD hình bình hành? A D  3;  B D  3; 4  C D  3; 4  D D  3;  Lời giải Chọn B Ta có: ABCD hình bình hành uuu r uuur    xD � �xD  3 � AB  DC � � �� � D  3; 4    3  y D � �yD  4 Trang 12 Câu 47: Cho M  2;0  , N  2;  , P  1;3 trung điểm cạnh BC , CA, AB ABC Tọa độ B là: A  1;1 B  1; 1 C  1;1 D  1; 1 Lời giải Chọn C Ta có: BPNM hình bình hành nên �xB  xN  xP  xM �xB    (1) �xB  1 �� �� � �yB    �yB  �yB  yN  yP  yM Câu 48: Các điểm M  2;3 , N  0; 4  , P  1;6  trung điểm cạnh BC , CA , AB tam giác ABC Tọa độ đỉnh A tam giác là: A  1; 10  B  1;5  C  3; 1 Lời giải D  2; 7  Chọn C Ta có: APMN hình bình hành nên �x A  xM  xP  xN �x    (1) �x  3 � �A � �A � �y A   (4)  �y A  1 �y A  yM  yP  yN Câu 49: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M  1; 1 , N  5; 3 P thuộc trục Oy ,trọng tâm G tam giác nằm trục Ox Toạ độ điểm P A  0;  B  2;0  C  2;  D  0;  Lời giải Chọn A Ta có: P thuộc trục Oy � P  0; y  , G nằm trục Ox � G  x;0  Trang 13 � 1  x � �x  � �� G trọng tâm tam giác MNP nên ta có: � ( 1)  (3)  y �y  � 0 � Vậy P  0;  Câu 50: Cho điểm A  2;1 , B  4;0  , C  2;3 Tìm điểm M uuuu r uuur uuu r CM  AC  AB A M  2; 5  B M  5; 2  C M  5;  biết D M  2;5  Lời giải Chọn A uuuu r uuur uuu r �x          �M Ta có: CM  AC  AB � � �yM     1    1 �xM  �� � M  2; 5  y   �M Trang 14 ... x;y ) hay M ( x; y ) x gọi hoành độ, y gọi tung độ điểm M Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K hình chi u M lên Ox Oy uuur r r uuur uuur M ( x; y ) � OM = xi + yj = OH +OK uuur r uuur r Như OH = xi... uuu r B AB   x A  xB ; y A  yB  uuur D AB   xB  x A ; yB  y A  Lời giải Chọn D uuu r Theo công thức tọa độ vectơ AB   xB  xA ; yB  y A  Trang Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho A... có: �   yC yC  7 � �y  y A  y B  yC � 0 �O � 3 r Câu 10: Vectơ a   4;0  phân tích theo hai vectơ đơn vị nào? r r r A a  4i  j r r r r r B a  i  j C a  4 j Lời giải r r