CÔNG THỨC cơ bản ôn THI THPT QG 2018 l12 EAROK

CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018 TRƯỜNG THPT EAROK Họ tên HS:……………………………………… Lớp:…… A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 PHẦN 1: HÀM SỐ Bài tốn 1: Khảo sát hàm số 1.Hàm số baäc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a0) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2  3ac /  hay y '  có nghiệm vơ /  hay y '  có nghiệm nghiệm Phân biệt Lập BXD y/ dấu với hệ số a KL: hàm số Đ B? NB? KL: a>0: hàm số Đ B a0 + Bảng biến thiên: x  y/ + y  x  x1 x2 + + + Có cực trò + Giới hạn : lim (ax4 x bx2 + Bảng biến thiên : x  + y/  + y + CT + c) = a>0 x y/ y+ (a 0) (a 0)  x1 0 + CT CÑ x2 + x1 x2 +  +  CÑ CT CÑ -  CT y/ y  + a b b>0 a< a< b>0 b f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến M là: y = f/(x0)(x x0) + y0 a>0 , coù CT; a0,không CT; a y/ <  x D y/ >  x D Hàm số cực trò Hàm số nghòch biến D Hàm số đồng biến D d ax b + Tiệm cận:  x = tiệm cận đứng xlimd /c = c cx d a ax b a y= tiệm cận ngang xlimd /c = c cx d c +Bảng biến thiên : x  d/c + x  d/c +    y/ y/ +  + y a/c  + a/c y a/c +  a/c + Vẽ đồ thò : Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến  đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k =  a + giả sử M(x0; f(x0)) tiép điểm => hệ số góc tiếp tuyến f/(x0) + Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ? + Phương trình tiếp tuyến y = k (x  x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc : k1.k2 = 1 + Hai đường thẳng song song : k1 = k2 Bài toán 3: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thò : + Giả sử phải biện luận số nghiệm Pt : F(x; m) = Trong đồ thò hàm số y = f(x) + Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m) + y = M đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thò (C) + Tuỳ theo M xét tương giao đồ thò (C) với đồ thò y = M Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác đònh khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số : + TXĐ D= ? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BXD (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) * y/ > hàm số Đ B ; y/ < hàm số NB x= d/ c TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CÔNG KHÔNG CÓ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG x= d/c + + +  CT x y/ y Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a0) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b) a,b dấu a, b trái dấu y/ =  x = y/ =  2x (2ax2 + b) = b  x= 0; x1,2= KL: Đ B? NB? 2a KL: Đ B? NB? Giá trò cực trò : y(0) = c b  Giá trò cực trò: y(0)= c ; y( ) = có cực trò 2a 4a y= a/c y= a/c CÔNG THỨC CƠ BẢN MÔN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018 + Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến khoảng Đònh lý (dùng để tìm giá trị m): a) f(x) tăng khoảng (a;b) f/(x)   x  (a;b) b) f(x) giaûm khoaûng (a;b) f/(x)   x  (a;b) Bài tốn 5: Cực trị hàm số  Dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BBT : (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số ĐB ( NB) (a;b) khơng có cực trị (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ = 3) x0 cực trị hàm số  / y (x ) 0 / y ( x ) đổi dấu qua x0  Daáu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y/ = ? y// = ? cho y/ = ( neáu có ) => x1 , x2 … + Tính y//(x1); y//(x2)…… Nếu y//(x0) > hàm số đạt CT x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < hàm số đạt CĐ x0 , yCĐ= ? Chú ý : dấu hiệu II dùng cho h/s mà y/ khó xét dấu * Nếu y = f(x) đa thức đường thẳng qua điểm cực trị là: y = phần dư phép chia f(x) cho f/(x) Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp tìm GTLN GTNN h/s [a;b]: + Miền xét [a;b] + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có )  x1 , x2 … chọn nghiệm thuộc [a;b] + Tính y(x1) ; y(x2) ……… So saùnh  KL y(a) ; y(b) + max y ? y ? [a;b] [a;b] TRƯỜNG THPT EAROK Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C1) tiếp xúc (C2) hệ pt f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) coù nghiệm Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận : *Tiệm cận đứng : lim f ( x) => x = x0 tiệm cận đứng x x Chú ý : tìm x0 điểm hàm số không xác đònh *Tiệm cận ngang : lim f ( x) y => y = y0 tiệm cận ngang x Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( đưa dạng phân thức ) bậc tử  bậc mẫu có tiệm cận ngang Phần 2: Hàm số mũ logarit Bài toán 1: Dùng cơng thức tính biểu thức có chứa hàm số mũ hàm số logarit m an = n ; a0 = ; a n n am ( m; n nguyên dương , n > 1) a  Các quy tắc: ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx x x y a a ax x y y x x y ax a a y a x b b a  Hàm số mũ : y = a x với a > ; a  TXĐ : D = R MGT : (0; + ) + a > ; h/s đồng biến : x x1 > x2  a > a x x + < a < ; h/s nghòch biến : x1 > x2  a < a x * Logarit:  = logaN  a = N logax = b  x= ab  Đặc biệt : a log x = x ; log a a x = x ; loga1 = a  Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > ; a  ta coù: log a (B.C) = log a B + log a C B = log a B  log a C log a B = log a B C  Công thức đổi số : với a , b , c > ; a , c  ta coù : logc b log c a.log a b = logc b  log a b logc a log a < a, b  : log a b = P/pháp tìm GTLN GTNN h/s (a;b) MXĐ : log a b + Miền xét (a;b) TXĐ Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/  Hàm số Logarit: y = log a x với a > ; a  + BBT: TXĐ : D = (0 ; + ) MGT : R * Nếu toàn miền xét h/s có CT GTNN + a > ; h/s đồng biến : x1 > x2 >  log a x1 > log a x2 giá trò CT y yCT [a;b] + < a < 1;h/s ngh bieán: x1 > x2 >  log a x1 ( eu)/ = u/.eu [a;b] x) / = ax.lna ( a > ( au)/ = u/.au.lna * Nếu hàm số tăng (giảm) (a;b) khơng có cực trị u khoảng (a;b) (lnx) / = x (0;+) > (lnu)/ = x u Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền xét ta tìm TXĐ u h/s : (logax) / = > (logau )/ = + TXĐ đoạn [a;b]hoặc khoảng ta dùng cách x ln a u.ln a + TXĐ khoảng dùng cách Bài tốn3: giải phương trình mũ logarit : Bài tốn : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng đường  Dạng bản: cong) f ( x) g ( x) = a  f(x) = g(x) a Cho hai đồ thò (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) f ( x ) Hoành độ giao điểm (C1) (C2) có = b ( với b > )  f(x) = log a b a nghiệm phương trình : f(x) = g(x) (1) f ( x) g ( x ) log a f(x) = log a g(x)   pt(1) vô nghiệm (C1) (C2) điểm chung f ( x) g ( x)  pt(1) có n nghiệm (C1) (C2) có n điểm chung * Số nghiệm (1) số giao điểm hai đường cong TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018 b  f(x) = ab loga f ( x) dx Sin2 x  Đặt ẩn phụ : f ( x) f ( x)  a + a + =0 ; Đặt : t = a f ( x) Ñk t > b f ( x) b f ( x) f ( x)  a + a + =0; Đặt : t = a Đk t > f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)  a + b +  = a.b = 1; Đặt: t = a ; =b t f ( x) f ( x) a f ( x) f ( x)  a + a.b +  b = ; Đặt t = b  Logarit hoá hai vế : Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ logarit  Dạng : f ( x) g ( x) a f ( x) g ( x) a > a  f ( x) g ( x) a a f ( x) >b  Nếu b  có nghiệm x Nếu b > f(x) > log a b neáu a > f(x) < log a b neáu < a < a TRƯỜNG THPT EAROK f ( x) < b  Nếu b  pt vô nghiệm Nếu b > ; f(x) < log a b neáu a > f(x) > log a b log a f(x) > log a g(x) log a f(x) > b log a f(x) < b   dx 1).dx Cos (ax = b) tg(ax+ b) + C a = Cotgx +C dx =  Cotg(ax+ b) + C a Sin2 (ax b) Bài toán 2: Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số Dạng 1: Tính I = f [u( x)].u '( x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) I= dt u '( x)dx f [u( x)].u '( x)dx f (t )dt Dạng 2: Tính I = f ( x)dx Nếu khơng tính theo dạng tích phân có chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: a2 x2 ; đặt x = asint a x2 đặt x = atant a2 x2 Bài tốn 3: Tìm nguyên hàm phương pháp phần: Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I u( x).v '( x)dx u( x).v( x) v( x).u '( x)dx a2 x2 ; Hay udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv neáu < a < sin ax a f x a f x (Cotg x = g x @ Dạng f ( x) cosax dx với f(x) đa thức: eax g x * Neáu a > : u bpt f(x) > a b * Nếu < a < bpt laø < f(x) < a b * Nếu a > : bpt < f(x) < a b Đặt dv f ( x) sin ax cos ax dx eax Sau thay vào cơng thức udv du f '( x)dx v sin ax cosax dx eax uv vdu để tính * Nếu < a < bpt laø f(x) > a b f ( x ) ln( ax b)dx @ Dạng 2: Lưu ý: a.dx *) trường hợp có ẩn số nên sử dụng cơng du u ln(ax b) thức sau để toán trở nên dễ dang ax b Đặt dv f ( x)dx f ( x) g ( x) v f ( x)dx a > a  (a1)(f(x)  g(x)) > log a f(x) > log a g(x)  (a1)(f(x)  g(x)) > Sau thay vào cơng thức udv uv vdu để tính *) Khi giải tốn bất phương trình mũ logarit phải nắm thật vững tính chất đơn điệu hai hàm số sin ax dx @ Dạng 3: eax *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao hai hay nhiều tập hợp số cosax Phần 3: Nguyên hàm Ta thực phần hai lần với u = eax Bài toán 1: Tìm nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm Phần 4: Tích phân hàm số bản) Định nghĩa dx x C (ax b) -1) f hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F nguyên (ax b) dx C ( Cho a( 1) x + C ( -1 ) x dx hàm f [a; b] Hiệu số F (b) F (a) gọi tích phân từ dx   = lnax+ b + C a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b] hàm số f ( x), kí ax b a dx = lnx + C ( x 0) b ax+b x e +C eax b dx f ( x ) dx hiệu a e x dx = ex + C a b a x b x ax b C a dx = a x dx = +C f ( x )dx F ( x ) a F (b ) F (a ) Vậy  ln a ln a a Cosx.dx = Sinx + C Cos(ax b).dx = Sin(ax+ b)+ C Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục không âm a Sinx.dx =  Cos x + C b f ( x)dx diện tích S hình thang [a; b] tích phân đoạn dx =  Cos(ax+ b)+ C Sin ( ax b ) dx = (tg x 1).dx = a a Cos x tgx+C TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CÔNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018 cong giới hạn đồ thị hàm số y TRƯỜNG THPT EAROK Bài tốn 2: Giải phương trình bậc Cho phương trình ax2 + bx + c = với  = b2  4ac f ( x) , trục Ox hai đường b thẳng x b Vậy S a, x f ( x ) dx Nếu  = phương trình có nghiệp kép x thực) a Tính chất tích phân a b f ( x)dx f ( x )dx f ( x )dx ( a a b Nếu  < phương trình có hai nghiệm phức x c ) b f ( x )dx (k số) k a a b b [ f ( x) g ( x)]dx a b f ( x) dx a g ( x) dx d a E Phần 5: Diện tích hình phẳng  thể tích vật thể tròn xoay Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng  Hình phẳng giới hạn : y hàm số y f ( x ) liên tục [a; b] trục hoành y 0; x a; x b Diện tích : S = b | f ( x) | dx a a Chú ý : thiếu cận a, b giải pt : f(x) =  Hình phẳng giới hạn : y hàm số y f ( x) liên tục [a; b] Điểm N b E' x Điểm M C' y=f(x) b B' II KHỐI ĐA DIỆN LỒI y=g(x) Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H) Khi đa diện giới hạn (H) xgọi đa diện lồi (Hình 2.1) S C' A' B' B x A f ( y) dy c A D B Hình 2.1 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac  bd)+(ad+bc)i c di 7) z = [(ac+bd)+(ad-bc)i] a bi a2 b2 E Công thức ƠLE: Trong đa diện lồi gọi Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt Đ+M=C+2 III KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Phần 6: Số phức Bài toán 1: Tìm số phức, tính mơđun,… Cho hai số phức a+bi c+di 1) a+bi = c+di  a = c; b = d a bi a b2 2) môđun số phức z 3) số phức liên hiệp z = a+bi z = a  bi a b2 * z+ z = 2a; z z = z C C b d D' A' f ( x) dx a * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường : hàm số x f ( y ) liên tục [c;d] quay quanh trục Oy trục tung x 0;y c; y d V=  C B a b | f ( x) g ( x) | dx a Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x) 2) Nếu tốn qua phức tạp ta vẽ hình để xác định hình phẳng tính thơng qua tổng hiệu nhiều hình Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay : * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường : hàm số y f ( x) liên tục [a; b] quay quanh trục Ox trục hoành y 0; x a; x b V=  D A hàm số y g ( x) liên tục [a; b] x a; x b Diện tích : S = i 2a B HÌNH HỌC 12 I Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần khơng gian giới hạn bới hình đa diện (H), kể hình đa diện c b k f ( x ) dx b b f ( x )dx a 2a b c b Nếu  > phương trình có hai nghiệm thực: x f ( x )dx a b a f ( x) dx a b (nghiệm 2a x A D' C' A' B' B D D C Hình 2.2.1 C A B Hình 2.2.2 Định nghĩa: Khới đa diện là khối đa diện lồi có tính chất sau: a) Mỗi mặt đa giác p cạnh b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018 Khối đa diện gọi khối đa diện loạij {p;q} Nhận xét: Các mặt khối đa diện đa giác Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó khối đa diện loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, loại {3,5} Tùy theo số mặt chúng, năm loại khối đa diện kể theo theo thứ tự gọi khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Tứ diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q} {3, 3} TRƯỜNG THPT EAROK a.ha a.b.c = a.b sin C 4R a b c với p S p.r p.( p Đặc biệt :* ABC vuông A : S a: S a)( p b)( p AB AC ,* c) ABC cạnh a2 b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diện tích hình thoi : S = d/ Diện tích hình thang : S (chéo dài x chéo ngắn) (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao Khối Lập Phương 12 {4, 3} Khối Tám Mặt Đều 12 {3, 4} Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3} Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5} *) ý: Trong khối đa diện loại {p,q} gọi Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt ta có: qĐ=2C=pM KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9-10 Hệ thức lượng tam giác vuông : Cho ABC vuông A ta có : A a) Định lý Pitago : BC AB AC BA2 BH BC; CA2 CH CB c AB AC = BC AH 1 d) 2 AH AB AC H e) BC = 2AM B b c b c a sin B , cosB , tan B ,cot B f) a a c b g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = b b , sin B cos C b = c tanB = c.cot C Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c * Định lý Sin: 2R sin A sin B sin C Các cơng thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: b) c) e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao R f/ Diện tích hình tròn : S Các hệ thức quan trọng tam giác đều: I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h với B: diện tích đáy h: chiều cao b a) M Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước C b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: a c a b a a V= Bh với B: diện tích đáy h: chiều cao h B TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: S  Độ dài đoạn thẳng cao hình trụ  Hình tròn tâm C' A' A VSABC VSA 'B'C' TRƯỜNG THPT EAROK SA SB SC SA ' SB ' SC ' AB  CD  h gọi chiều A , bán kính r  AD bán kính r  BC gọi đáy hình trụ Khối trụ tròn xoay, gọi tắt khối trụ, phần khơng gian giới hạn hình trụ tròn xoay kể hình trụ 3/ Cơng thức tính diện tích thể tích hình trụ  B' C B Cho hình trụ có chiều cao h bán kính đáy  Diện tích xung quanh hình trụ:  Diện tích tồn phần hình trụ: Chú ý: 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a 2, b2 c2  , 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = với r M khơng gian cách điểm O cố định O; R  điểm A bất kì, đó: +)Nếu OA  R  A  S O; R  Khi OA gọi bán Cho mặt cầu S kính mặt cầu B OA  R  A nằm mặt cầu +)Nếu OA  R  A nằm mặt cầu  Khối cầu S O; R  tập hợp tất +)Nếu O Cho mặt cầu S A hình chiếu r +)Nếu l D O O mặt cầu đến d  R  mp  P  tuyến đường tròn nằm +)Nếu mp  P  H mp  P   d  OH cắt mặt cầu mp  P  S O; R  có tâm r  HM  R  d  R  OH gọi A O; R  mp  P  Gọi khoảng cách từ tâm A A điểm M cho OM  R 3/ Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu khúc ABCD tạo thành hình, hình gọi hình trụ tròn xoay hay gọi tắt hình trụ Đoạn thẳng CD gọi đường sinh r 2/ Vị trí tương đối điểm mặt cầu đường gấp  ta đường tròn R gọi mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là: S O; R  Khi S O; R   M | OM  R ∆ AB  khoảng d Đường thẳng trụC vuông góc với trục r ) Khối cầu 1/ Định nghĩa Tập hợp điểm Khối Trụ 1/ Hình trụ tròn xoay   V  B.h   r h có tâm  có bán kính bán kính mặt trụ 1) Các cơng thức cần nhớ  Diện Sđ r2 tích đáy CVđ r  Chu vi đáy  Diện S xq rl tích xung quanh  Diện Stp S xq Sđ tích tồn phần  Thể Vnón rh tích khối nón l h2 r AB Thể tích khối tru: mp    r bán kính đáy  h chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến đáy)  l đường sinh hạn cạnh S xq  2 rh 4/ Tính chất:  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác Nón Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng r , đó: Stp  S xq  2.S Ðay  2 rh  2 r Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a2 B, hình tròn tâm d  R  mp  P  H theo giao bán kính (hình a) khơng cắt mặt cầu S O; R  (hình b) +)Nếu B d  R  mp  P    mặt cầu S O; R tiếp xúc r TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN C CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG có điểm chung Ta nói mp  P  Do đó, điều kiện cần CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018 đủ để mp  P  tiếp xúc với mặt cầu d O,  P    R S O; R  TRƯỜNG THPT EAROK AB = ( xB xA ; yByA;zB zA)  M chia đoạn AB theo tỉ số k1 ( MA = k MB ) Thì M: (hình c) x x M y z Hình a Hình b O; R  đường thẳng  Gọi H hình chiếu O đường thẳng  d M k x B k k y B k k z B k x Hình c 4/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho mặt cầu S M A y A z A x  I trung điểm AB I: y  OH khoảng cách từ y y A M Nếu d  R   không cắt mặt cầu S O; R   Nếu d  R   cắt mặt cầu S O; R  hai điểm z A M Nếu d  R   mặt cầu tiếp xúc (tại điểm nhất) Do đó: điều kiện cần đủ để đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu d Định lí: Nếu điểm A nằm ngồi mặt cầu  d  O,    R S O; R  thì: A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu S O; R   Qua  Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm Tập hợp điểm đường tròn nằm mặt  cầu S O; R  x x G  G trọng tâm tam giác ABC G: y G • Diện tích mặt cầu: SC  4 R • Thể tích khối cầu: VC   R3 Phần 2: Phương pháp tọa độ khơng gian Tính chaát :  a = x i + y j + z k Cho a = (a1;a2; a3) , b = (b1;b2; b3)  a  b =(a1  b1; a2  b2; a3  b3)  a k = (ka1;ka2;ka3) kR Tích vô hướng : a b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos  ab a b a b 11 2 33 Cos  = vớ i a, b 2 2 a a a b b2 b2 3 a b z G x B y y B A z z B A A x C y C z C  Đk đồng phẳng véc tơ : a , b , c đồng phẳng  [ a , b ] c =  ĐK để điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ AB , AC , AD không đồng phẳng [ AB , AC ] AD  [ AB , AC ]  Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = [ AB , AC ] AD   Diện tích tam giác ABC : SABC =  Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ] AA  5/ Diện tích thể tích mặt cầu a = (x;y;z) B phân biệt  B tâm O mặt cầu đến đường thẳng  Khi đó:  B z z x A M  a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = a phương b ; a   b = k a  [ a , b ] = Toạ độ điểm: Phần 3: Mặt cầu hệ tọa độ Oxyz Bài toán 1: xác định tâm bán kính mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R : (x a)2 + (y  b)2+ (zc )2 = R2 Phương trình tổng quát mặt cầu ( S): x2 + y2+ z2+ 2.ax+ 2.by + 2.cz + d = với a + b2 + c2d > có tâm I(A ;B;C) ; bán kính R = a b c d Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu  Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) qua M1(x1;y1;z1) + Bán kính R = IM1 = ( x a ) ( y b) ( z c) 1  Pt.mặt cầu (S) đường kính AB : x + Tâm I trung ñieåm AB => I( A x y B ; A y z B ; A z B ) + Bán kính R = IA  Pt mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D: p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S) x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = (1) Thay laàn lượt toạ độ điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D  Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) tiếp xúc mặt phẳng () -> bán kính R = d(I; ()) Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng () : A x + B y + Cz +D = ; (S): (x a)2 + (yb)2 +(zc)2 = R2 M = (x;y;z) OM = x i + y j + z k TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG CÔNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018 TRƯỜNG THPT EAROK Tính d(I; ()) = ? Nếu: d(I;  ) > R   S điểm chung ( rời nhau) x  d(I;  ) = R   tiếp xúc với S (  mp tiếp diện) ()  (S) =M0 ; Cách viết mặt phẳng tiếp diện : () qua M0 nhaän IM laøm VTPT  d(I;  ) < R  cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) tâm H; bán kính r + Tâm H hình chiếu I lên mp   R2 + bán kính r = x a At (d) y z b Bt thay vào pt mp() => giải t =>toạ độ điểm H c Ct ( A; B; C) là: * (ABC): +) tính AB x0 ) B( y ? ; AC y0 ) C( z z0 ) * () có hai vectơ phương a, b n [nP , nQ ] [u a , AB] với A a; B  b [u a , ub ] +) VCTP  u [n , n ] +) Cho ẩn giải hệ ẩn lại tìm điểm M? =>  qua M có VTCP u [n , n ] *  hình chiếu đ.thẳng (d) lên mp () #) Viết phương trình mp(P) chứa (d) vng góc mp() +) chọn M đ.thẳng (d) +) VTPT (P) nP [ud , n ] [n P , n ] # ) cho ẩn x = giải hệ gồm ẩn y z PT hai mặt [n P , n ] [BC, AC ] = ? [BC, n] = ? [BC, AC ] = ? +) Tìm tọa độ VTCP trung trực là: u [BC, n] = ? +) Tìm tọa độ điểm M trung điểm đoạn thẳng BC => Đường trung trực cạnh BC ABC đường thẳng qua M PTmp ( ) PT ( d ) +) Hình chiếu H giao điểm () (D) nghiệm hệ * Tìm hình chiếu H M lên đường thẳng (d) +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u d [u a , AB] ( thay u a = a ) * () chứa đ.thẳng (d) () +) chọn M đ.thẳng (d) +) giải hệ gồm [ud , n ] * Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song với (d /) +) chọn M đ.thẳng (d) +) VTPT () nP ñgl *  giao tuyến hai mặt phẳng () () +) giải hệ gồm n ua +) VTPT () n z0 a3 +) Viết PT đ.thẳng (d) qua M có VTCP n [u a , AB] với B a *() qua điểm A B đồng thời chứa đ.thẳng a // a có VTCP a n z có VTCP u [BC, n] Bài tốn 3: Tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng đ.thẳng * Tìm hình chiếu H M lên () [nP , ud ] * () a VTPT n y0 a2 R) *  qua điểm A B =>  qua A có VTCP AB +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) n * () song song đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng * () //() VTPT n y (t => Viết PT đường cao AH qua A có VTCP u [BC, n] * Cách viết phương trình đường trung trực cạnh BC ABC [a, b] *() vng góc hai mặt phẳng (P) (Q) VTPT n *(A;a) VTPT n x0 a1 +) Tìm tọa độ VTCP đường cao AH là: u Mặt phẳng trung trực qua M có VTPT AB Nếu a cắt b n x +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) n +) Tính vectơ AB * (a,b) : a//b VTPT n a3t * Cách viết phương trình đường cao AH ABC [AB, AC ] => viết mặt phẳng qua A có VTPT n * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB +) Xác định trung điểm M đoạn thẳng AB n a2 t zo phẳng (P) ()=> M? =>  qua M có VTCP u ? +) VTPT (ABC) n yo z phương trình tắc d # ) VTCP  u A( x (d ) : y * qua A ()  qua A có VTCP n [d(I ; )]2 Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng Bài toán 1: cách viết phương trình mặt phẳng:  Phương trình mặt phẳng qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT P (d ) : a1t * qua A // (d) =>  qua A có VTCP u d Cách xác đònh H: + Lập pt đ thẳng (d) qua I nhận n làmVTCP n  Nếu a1a2a3 xo [ud , ud ] / => Viết PT mp(P) qua M có VTPT nP [ud , ud ] Bài tốn 2: viết phương trình đường thẳng  Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a (a1; a2 ; a3 ) : PTmp ( ) PT ( d ) +) Hình chiếu H giao điểm () (d) nghiệm hệ Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt mp * Đối xứng qua mp() +) Viết PT đ.thẳng (d) qua M có VTCP n / +) giải hệ gồm PTmp ( ) PT ( d ) +) Hình chiếu H giao điểm () (d) nghiệm hệ TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG CÔNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018 x +) Tọa độ điểm đối xứng A/ : y z 2x H 2y H 2z H x A y A z A * Đối xứng qua đường thẳng (d) +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u d +) giải hệ gồm PTmp ( ) PT d +) Hình chiếu H giao điểm () (d) nghiệm hệ x 2x x H A +) Tọa độ điểm đối xứng A/ : y y y H A z 2z z H A Bài tốn 4: xác định vị trí tương đối mp mp, đt đt, đt mp * Vị trí tương đối mp (P) mp(Q) (P) : Ax + By + Cz + D = ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = với n =(A;B;C) n =(A/; B/ ; C/ ) A B C D (P)  (Q) = = = / / / A B C D/ A B C D (P) // (Q) = =  / / / A B C D/ (P) cắt (Q) A B B C C A      A/ B / B/ C / C / A/ Chú ý :   / n n = AA/ + BB/ + CC/ =   cắt / n n không phương * Vị trí tương đối đ.thẳng (d1) (d2) TRƯỜNG THPT EAROK * Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) (khơng có cơng thức tính chương trình phân ban ban bản) ta tính sau: +) lập PT mp(Q) qua A vng góc với (d) +) Tìm giao điểm H mp(P) đ.thẳng (d) +) Khoảng cách cần tìm đoạn thẳng AH * Khoảng cách hai đường thẳng song song (d) (d/) +) Chọn điểm M (d) +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u d +) Tìm điểm N giao điểm (d/ ) mp(P) ( cách giải hệ gồm PTcủa (d/) PT mặt phẳng (P) => nghiệm x,y,z tọa độ điểm N) +) Khoảng cách cần tìm độ dài đoạn thẳng MN * Khoảng cách hai đường thẳng chéo (d) (d /) * Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song với (d/) +) chọn M đ.thẳng (d) +) VTPT () nP n n n n cos = = [ud , ud ] /  A B B CC  2 2 2 B C A B2 C 1 2 (( mp (Q), mp ( P )) x x at * Góc đường thẳng d: y y bt z z ct mặt phẳng Ax+By+Cz+D = sin n ud P = n ud P = Với A a bB 2 B Góc hai đường thẳng (d1) : y z x x0/ a2t / y y0/ b2t / z / z C a cC  b2 c2 ( d ,( P )) x d theo t t/ (cho PTTS hai đ.thẳng = theo tùng thành phần ) +) Hệ có nghiệm t t/ d1 cắt d2 => giao điểm +) Nếu hệ VN d1 chéo d2 * Vị trí tương đối đ.thẳng (d) mặt phẳng (P) +) Thay PTTS đ.thẳng (d) vào PT mp(P) ta PT theo ẩn t +) Nếu PTVN (d)//mp(P) Nếu PTVSN (d)  mp(P) Nếu PT có nghiệm (d) cắt mp(P) =>giao điểm? Chú ý: u d nP phương  d   P  A2 Với Neáu :[ u , u / ]= hay u , u ' phương +) chọn M1 (d1) Nếu M1 d2 d1 // d2 Nếu M1 (d2) d1  d2 Ta giải hệ d1 / => Viết PT mp(P) qua M có VTPT nP Bài tốn 6: Tính góc * Góc hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = Xác định VTCP u =(a;b;c) , u / =(a/;b/; c/ ) ;Tính [ u , u / ] Neáu [ u , u / ]  hay u , u ' không phương [ud , ud ] x a1t y b1t Và (d2): z c1t c2t / u u cos = u u = a a b b cc  2 12 a b2 c2 a b2 c2 1 2 Với (d1, d ) Bài tốn 5: Tính khoảng cách * từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = d(A;()) = Ax By Cz D 0 A2 B C * (P)//(Q) d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với điểm A chọn tùy ý (P) * Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P) +) chọn điểm M (d) +) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P)) TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG ... ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ÔN THI THPT QG 2018 cong giới hạn đồ thị hàm số y TRƯỜNG THPT EAROK Bài toán 2: Giải phương trình bậc Cho phương... cạnh b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG CÔNG THỨC CƠ BẢN MÔN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018 Khối đa diện gọi khối đa diện loạij {p;q} Nhận xét:... (x;y;z) OM = x i + y j + z k TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018 TRƯỜNG THPT EAROK Tính d(I; ()) = ? Neáu: d(I;  ) > R