ĐÂY LÀ HƯỚNG DẪN LÀM BÀI TẬP PHẦN GIỚI HẠN . ĐỀ THI QUA CÁC NĂM ĐÁP ÁN CHI TIẾT, ĐẦY ĐỦ ĐƯỢC CHỌN LỌC . ĐÂY LÀ TÀI LIỆU MÌNH SƯU TẦM RẤT HAY VA CẦN THIẾT CHO CÁC BẠN CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THPT QUỐC GIA. CHÚC CÁC BẠN ĐẠT KẾT QUẢ TỐT TRONG KÌ THI .
Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le * Một số giới hạn lim 1 x x e x 0 1 lim 1 x x x 0 e ln(1 x) lim x 0 x ex 1 lim 1 x 0 x Sin x lim 1 x 0 x x lim 1 x 0 s in x a x 1 lim ln a x 0 x a a Chú í , (a ) x a x a x a x a x 0 x 0 Vdu x 0 x 0 Đối với dạng giới hạn 0 Các dạng giới hạn hay gặp 0 0. - 1 00 0 Phần Lớn e dùng kĩ thuật Loppitan Đạo hàm tử/đạo hàm mẫu, lốp đến khơng lốp thơi ,và sau thay cận vào,tùy phải loppitan lần lần Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le VÍ DỤ Tính A= lim x 0 x s inx x3 Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le e thay cận vào nhận thấy tử tiến o , mẫu số tiến o, dạng 0/0, lim x 0 x sinx L ( x sinx)' cosx L (1 cosx)' Sinx lim lim lim lim 1/ 3 ' 2 ' x 0 x 0 x 0 x 0 x (x ) 3x (3x ) x Dạng giới hạn = lim x 0 ln x Ví DỤ A= lim x 0 x x lim x = x0 x Sin x CHÚNG TA ĐÃ DÙNG KI THUẬT LOPPITAN LẦN BÀI TOÁN NÀY SỬ DỤNG CẢ CƠNG THỨC PHÍA TRÊN lim Dạng 1 ta áp dụng cơng thức sau: A= lim [ u(x)v(x) ]= elim [ u(x) 1].v(x) u ( x) q trình v( x) với Ví dụ Tính A= lim x1 x Các e thay cận nhận thấy số hàm u(x) tiến số mũ hàm v(x) x 1 tiến đến 1/0 tiến vơ Vậy A= e lim x 1 x1 1 x e lim 1 x1 e1 í lim hằm số em Ví dụ A= lim 1 x ln x x 0 Mà lim x ln x lim x 0 x 0 lim 1 x 1ln x e x 0 ln x x lim x ln x = e x 0 Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le = lim x lim x = x0 x 0 x Do lim 1 x ln x x 0 Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le = e0 = Đối với dạng 00 0 xét A= lim [ u(x)] v(x) Các em thay cận vào đánh giá hàm u(x) tiền o , hàm số v(x) tiến o gọi dạng 00 Các e đánh giá hàm u(x) tiền hàm số v(x) tiến o gọi dạng Cách giải A= thuộc 0/0 Blim v(x).ln (u(x)) elimv(x).ln(u(x)) VÀ TÍNH B , tính B e đưa dạng quen SAU ĐĨ ĐẶT lim ln(sinx).x VD TÍNH A lim (s inx) x e x0 x 0 Đây dạng 00 đặt ln(sinx L ln(sinx)' ) lim ' x0 x0 1 x x B limln(sinx ).x lim x0 TA CÓ B CHÍNH LÀ DẠNG TA DÙNG LOPPITAN NHÉ CÁC EM cosx.(-x ) cosx.(-2 x) x sinx lim sau e dùng Kĩ thuật vô bé tương x 0 x 0 sinx cosx đương , e cần lốp lần A= e0 , lốp lần để tính B B lim 0. - Các e tìm cách nhân liên hợp học lớp , tìm cách Vò đầu dứt tai đưa dạng 0 Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le Ví dụ Tính A= lim x Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le x3 x x , tưởng tượng Đơn giản nhé, , x , nghĩa x số lớn , đời làm quần quật mở ước làm tỉ phú, chọn x=10 tỷ đô 10 ty 10 ty 1nghin số tiền lớn, x3 x2 1so tien lon số tiền lớn, x3 x2 + , dẤu – tính giới hạn giữ nguyên, x ngẫu nhiên ctiến x dạng - hiểu chưa Bắt đầu xử sử dụng a b a b3 a ab b A= lim x chia tử mẫu số cho x thu Được kết 1/3 Dạng : Tính 1 A= lim x x0 x e 1 = lim ex 1 x ex 1 0 lim = x x x x e xe x(e 1) = lim ex = x x x e e xe x0 x0 Dạng : VÍ DỤ Tính A= lim x ln x x 0 ln x lim x ln x = lim = lim x = lim x = x 0 x 0 x 0 x 0 x x x2 1 ( x3 x 1)2 ( x3 x2 1).x x2 ta Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le Vơ bé (VCB) Định nghĩa: Hàm (x) gọi vô bé (VCB) q trình Chú í lim (x) = VCB hàm bị chặn cho kết giới hạn =0 Ví dụ: Tính A= lim x.sin x0 x x VCB Khi x ta có x.sin VCB x sin x lim x.sin x0 =0 x tương tự e xử A lim x 0 sin x x í x o nghĩa x>0 e 1 So sánh VCB Cho (x) (x) hai VCB trình q trình đó: (x ) = (x) gọi VCB bậc cao (x) (x) (x ) Nếu lim = k (x) (x) hai VCB cấp (x) Nếu lim Trong trường hợp k = (x) (x) hai VCB tương đương, ký hiệu (x) (x) VCB tương đương (i) Các VCB tương đượng bản: Theo định nghĩa VCB tương đương công thức giới hạn hàm số sơ cấp phần trước, VCB sau tương đương với x 0: sinx x ; tanx x ; arc sinx x ; arc tanx x cos ax (ax ) ; ln (1 + x) x ; ex 1 x Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le Ví dụ: So sánh bậc VCB x 0: (x) = sinx – tanx (x) = – cosx sin x sin x tan x cos x (x ) Ta có: lim = lim = lim cos x x0 (x) x0 cos x x0 = lim x0 sin x =0 cos x Suy (x) = sinx tanx VCB bậc cao (x) = cosx x0 ( x) x x ( x) esinx cosx Ví dụ So sánh bậc VCB sau x 0 Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định : Cho (x) (x) hai VCB trình q trình đó: (x) (x) (x) (x) lim (x) (x) lim (x) (x) Thật vậy: lim (x) (x) (x) (x) ( x) (x) lim lim lim (x) (x) (x) (x) (x) (x) Ví dụ: Tính A lim x 0 1 cos x ln 1 x x sin x Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le x2 ; ln 1 x x 1 cos x Khi x x3 sin x x3 x x3 x2 1 cos x ln 1 x lim x A lim x 0 x 0 x3 sin x x3 KĨ THUẬT NÀY SV HAY NHẦM LẪN CÁC EM PHẢI CHÚ Í NHÉ b Vô lớn (VCL) Định nghĩa: Hàm A(x) gọi VCL q trình q trình limA(x) = + Liên hệ VCL VCB Định lý: Nếu trình (x) VCB (x)0 A(x) VCL (x) trình Ngược lại: A(x) VCL (x) VCB A( x ) So sánh VCL Cho A(x) B(x) hai VCL q trình q trình đó: Nếu lim A(x ) = B(x) VCL bậc cao A(x) B(x) Nếu lim A(x ) = k A(x), B(x) hai VCL bậc B(x) Trong trường hợp k = A(x) B(x) hai VCL tương đương Ký hiệu A(x) B(x) VCL tương đương Tương tự VCB tương đương, ta có: Nếu A(x) VCL bậc cao B(x) A(x) + B(x) A(x) A( x ) A(x ) Nếu A(x) A( x) B(x) B ( x) thì: lim = lim B(x) B ( x) Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le Các VCL tương đương x + ax x x n ax VCL bậc cao xn (a > 1), nghĩa lim x x ln p x x VCL bậc cao lnpx (|R, > 0, p|R), nghĩa lim Đa thức Pn(x)= an xn an1 x n1 a1 x a0 anxn e x x2 Ví dụ: Tính A lim x x3 x Giải Giới hạn có dạng vơ định x x x + e x e 3 x x 1 x e x x2 ex A lim lim x x3 x 1 x x3 BÀI TẬP TỰ LUYEN Bài Tính giới hạn sau x3 a A= lim x x b A= lim x.ln x x 0 gợi í dạng o đưa dạng Gợi í sử dụng lopbitan A=0 0 Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le c.A= lim x0 x 2017 2018 2018x 2019 x x Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le x d A= lim x x.e x ex Gợi í chia tử mẫu số cho x x.e , sau đánh giá Gợi í chia tử mẫu cho x a x 1 ln a x 0 x Sử dụng công thức lim sử dụng kĩ thuật lopptan Đáp số A=0 2017 2018 Đáp sốA= 2018 ln 2019 ln Bài Tính giới hạn sau b A= lim Sin2 x a A= lim Sinx tag 2 x tagx x 0 x Gợi í dạng 1 Dạng 00 ĐSố A=1 ĐS tagx sin3 x ) s inx Dạng Gợi í dạng 1 ĐS Bài d A= lim e x 3x c A= lim( x 0 e x 0 x dạng 1 Đáp số A=4 e Tính giới hạn sau Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le ln(1 x) a A= lim esin x arctagx x 0 Gợi í thay vơ bé tương đương cho mẫu số sau dùng loppitan A=-1/2 arctagx s inx x 0 x.ln(1 x ) b A= lim Thay vô bé tương đương cho mẫu kết A=-1/12 2 Các em quy đồng thay vô bé tương đương cho mẫu số sau x 0 cosx x c A= lim loppitan kết 1/6 quy đồng thay vô bé tương đương cho mẫu số kết -1/6 x.s inx x d A= lim x 0 e A= lim x tagx dùng vô bé tương đương cho mẫu số sau loppitan kết 1/6 x.ln x g A= lim x s inx dùng vô bé tuơng đương cho mẫu số sau loppitan -1/18 x ln(1 3x) x 0 x 0 e x x x3 h A= lim x 0 ln(1 x3 ) Thêm bớt vào tử số tách thành giới hạn kết -1 e x x x3 lim x 0 ln(1 x ) I A= tương tự câu h kết 3/2 Bài Tính giới hạn sau 10 Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le x a A= xlim x x arctagx Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le x cos x sin gợi í ngắt bỏ số hạng tử số mẫu số kết A=2 x x Sin x cos lim b A= c 1 x x A= lim x x.ln(1 ) x d 2.ln(cosx) x A lim x 0 x sin( x x ) x x x 3x -arctag x tương tự câu a đáp số 1/ 3 Gợi í đặt 1/x=t sau quy đồng dùng loppitan đáp số -1/6 Bài T ính giới hạn sau x.e x s inx lim a A= x 0 x.sin x x.e x tanx b A= lim x 0 x.(c osx-1) s inx e x x x 0 x e x ln(1 x) b A= lim 2.arcsin x sin x x 0 x3 d A= lim cosx e x x g A= lim 2 x x 0 x e ln(1 x ) i A= lim ( x cosx).arctan x h lim x x3 i A= lim 2arctagx ln x x x 0 x ln(1 x) x14 ( x cosx).arcsin l A= lim x v A= lim x 0 11 x3 cosx cos x sin x x x 1 Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le Bài Tính giới hạn Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le x2 1 a lim x 2 x x x2 b lim x x x c lim arctgx d lim x e lim x 0 arcsin(2 x) ln 1 x tan x x 0 x arcsin sin x 2 g lim x2 x x 1 x f lim x x x x h lim x 4 x 2 x 5x ` m lim tan x 1 x o lim x arcsin x 1 4x 1 x 1 n lim x x p lim x 0 x 3 sin x tan x 4x x CHÚC CÁC EM HỌC TỐT 12 q lim x 1 2x x 1 ... x3 x Giải Giới hạn có dạng vơ định x x x + e x e 3 x x 1 x e x x2 ex A lim lim x x3 x 1 x x3 BÀI TẬP TỰ LUYEN Bài Tính giới hạn sau x3 a A=... ln(1 x3 ) Thêm bớt vào tử số tách thành giới hạn kết -1 e x x x3 lim x 0 ln(1 x ) I A= tương tự câu h kết 3/2 Bài Tính giới hạn sau 10 Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri... v A= lim x 0 11 x3 cosx cos x sin x x x 1 Bạn Cũng Làm Được Như THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le Bài Tính giới hạn Kênh youtube Góc Học Tập Tri Tri Le x2 1 a lim x 2 x x x2 b lim x