Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương là phương pháp thường dùng trong chứng minh bất đẳng thức. Phương pháp dễ hiểu dễ áp dụng nhưng kết quả phương pháp mang lại không hề nhỏ, giúp giải được những bài toán tưởng chừng như phức tạp
Trang 1Dạng 1: Sử dụng cỏc phộp biến đổi, đỏnh giỏ thớch hợp
Để chứng minh A ≥ B, ta sẽ chứng minh A-B ≥ 0 (nghĩa là ta sử dụng
định nghĩa, tính chất cơ bản, để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức đúng hay một tính chất đúng hoặc có thể sử dụng bất đẳng thức đúng biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh)
Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c bất kì Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1)
b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) (2)
(ĐHQG TP HCM -1998)
Lời giải.
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a) (1) 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca
(a b) (b c) (c a) 0 lu�n lu�n ��ng
b) (2) a b b c c a a bc ab c abc 0
2a b 2b c 2c a 2a bc 2ab c 2abc 0
(ab-bc) (bc ca) (ca ab) 0
Ví dụ 2: Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) (1)
với mọi a, b, c, d, e
(ĐH Y dợc TP HCM-1999)
Lời giải.
(1) ab b ac c ad d ae e 0
b c d e 0 hi�n nhi�n ��ng
� � � � � � � �
�� � � � � � � ��
� � � � � � � �
1 1 1 Cho ba s� th�c a, b, c th�a m�n abc=1 v� a+b+c>
a b c a) Ch�ng minh r�ng: (a-1)(b-1)(c-1)>0 (1)
b) Ch�ng minh r�ng trong ba s� a, b, c c� ��ng m�t
V� d� 3:
s� l�n h�n 1
( ĐHTH TP.HCM -1993)
Lời giải.
a) Ta c�: (1)�abc-ab-ac-bc+a+b+c>0 (2)
1 1 1 ab+bc+ca
V� a+b+c> a+b+c>
a b c ab bc ca (v� abc=1)
V�y (2) ��ng Suy ra (1) ��ng
�
�
b) Ta c�: (a-1)(b-1)(c-1)>0
Suy ra ho�c c� ba s� a, b, c ��u l�n h�n 1
ho�c trong ba s� a, b, c c� ��ng m�t s� l�n h�n 1
N�u a>1, b>1, c>1 abc>1, m�u thu�n v�i gi� thi�t
V�y trong ba s� a, b, c c� ��ng m
�
�t s� l�n h�n 1
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
V� d� 4:
Trang 2trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 5/2004)
Lời giải.
3 3 1 3
4
(1)
3 3 3 3 2 2
Th�t v�y:
(1) 4(b +c ) b c 3b c 3bc
b c b c bc 0 b (b c) c (b c) 0
۳
(b-c)(b -c ) 0 (b-c) (b c) 0
۳� � (2) (2) ��ng�(1) ��ng
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 T��ng t�: c a (c a)
4 1
a +b (a+b)
4
Do ��:
b+c c a a b
b c c a a b
b+c c a a b 2(b c) 2(c a) 2(a b)
�
�
� �� ��
< =2 (4)
b c a c a b a b c (Do a+b>c; b+c>a; c+a>b)
T� (3) v� (4) suy ra �pcm
Bài tập tự luyện:
2 2
2 2
Cho x, y 0 Ch�ng minh: 4 3
B� i 1:
Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :
a) x + y + z xy+ yz + zx
b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
c) x + y + z+3 2 (x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu
x + y + z- xy – yz - zx
=.2 ( x + y + z- xy – yz – zx)
=đúng với mọi x;y;z R�
Vì (x-y)2 �0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 �0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 �0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx
Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu
x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz )
= x + y + z- 2xy +2xz –2yz
Trang 3=( x – y + z) đúng với mọi x;y;z R�
Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R�
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu
x + y + z+3 – 2( x+ y +z )
= x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1
= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0
Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a) ;b)
c) Hãy tổng quát bài toán
giải a) Ta xét hiệu
=
=
=
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu
=
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
Tóm lại các bớc để chứng minh AB tho định nghĩa
Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bớc 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+….+(E+F)
Bớc 3:Kết luận A B
Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)
Chứng minh m,n,p,q ta đều có
m+ n+ p+ q+1 m(n+p+q+1)
Giải:
(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi
phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
L u ý:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất
đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng Chú ý các hằng đẳng thức sau:
Trang 4
Ví dụ 1:
Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a)
b)
c)
Giải:
a)
(bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b)
Bất đẳng thức cuối đúng
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c)
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2
Chứng minh rằng:
Giải:
a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y Chứng minh
Giải:
vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y)
x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0
x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4:
1)CM: P(x,y)=
2)CM: (gợi ý :bình phơng 2 vế)
3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
(đề thi Lam Sơn 96-97)
Giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì< x+y+z theo gt)
2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng
Trang 5Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là
số lớn hơn 1
Ví dụ 1:
Chứng tỏ rằng với a b , � 0 thì:
( ax by bx ay )( ) ( � a b xy )2 (1)
Giải
2 2
2
ab x y
Bất đẳng thức luôn đúng vì a b , � 0.
Ví dụ 2:
Cho 0 a b c � � Chứng minh rằng:
b c a � a b c
Giải
a b c b c a
b c a a b c 1 2 2 2 2 2 2
( a c b a c b b c c a a b )
abc
1 ( a c b c ) ( b a a b ) ( c b c a )
2
1
1
1 ( )( )( ) 0
c a b ab b a c b a abc
b a ca cb ab c abc
b a c b c a abc
� �
Vì 0 a b c � � .
Vậy
b c a � a b c
Ví dụ 3:
Với a b c , , 0 chứng minh:
1 1 1 2( )
bc ca ab � a b c
Giải
1 1 1 2( )
bc ca ab � a b c
Trang 62 2 2
2 2 2
2 2 2 0
a b c bc ac ba do abc
2
( a b c ) 0
� � Hiển nhiên đúng.
Vậy
1 1 1 2( )
bc ca ab � a b c
Ví dụ 4: Chứng minh rằng mọi a,b,c,d thì :
2 2 2 2 1 (1)
a b c d � a b c d
Giải
2 2 2 2
Vậy : a2 b2 c2 d2 1 � a b c d
Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu: a b � 2 thì a3 b3 � a4 b4(1)
Giải
4 4 3 3
2 2 2 2
Suy ra điều phải chứng minh
Vì:
( 1) 0 ( 1) ( 1) 0
( 1) 0 ( 1) ( 1)
2 2 0
� �
� �
� � �