Proper Pareto Nghiệm hữu hiệu Pareto

NGHIỆM HỮU HIỆU PROPERNguyễn Mạnh Trường Giang - 1411063 Nguyễn Thị Diệu Hậu - 1411082 Ngày 3 tháng 5 năm 2018 Tóm tắt nội dung Theo định nghĩa, một điểm hữu hiệu Pareto không cho phép t

NGHIỆM HỮU HIỆU PROPER

Nguyễn Mạnh Trường Giang - 1411063 Nguyễn Thị Diệu Hậu - 1411082 Ngày 3 tháng 5 năm 2018

Tóm tắt nội dung Theo định nghĩa, một điểm hữu hiệu Pareto không cho phép ta giảm giá trị của một mục tiêu này trong khi giữ lại giá trị tương tự của các mục tiêu khác Do đó, giá trị của một hoặc vài mục tiêu muốn giảm xuống thì buộc ít nhất một mục tiêu khác tăng lên Điều này được gọi là sự thoả hiệp (trade-offs) Những thoả hiệp giữa các mục tiêu có thể đo được bằng việc tính toán tỉ lệ của sự tăng lên của mục tiêu fi với phần đơn

vị giảm xuống của mục tiêu fj Trong một vài trường hợp, sự thoả hiệp này không bị giới hạn Đây là một tính chất không mong muốn của một nghiệm hữu hiệu Pareto Nhằm hạn chế điều này, Geoffrion1 - dựa trên khái niệm nghiệm hữu hiệu proper do Kuhn và Tucker2 đưa ra năm 1951

- đã mở rộng khái niệm nghiệm hữu hiệu proper trên Rn với nón Rn≥ Bài viết này sẽ cố gắng làm rõ 5 vấn đề, thể hiện qua 5 câu hỏi sau: Thế nào là nghiệm proper Pareto? Có bao nhiêu loại nghiệm Pareto proper? Mối quan hệ giữa Pareto/ Pareto yếu/ Pareto proper Mối quan hệ giữa các khái niệm Pareto proper và vì sao có nhiều khái niệm nghiệm Pareto proper được đưa ra?

1 Thế nào là nghiệm hữu hiệu proper Pareto?

Định nghĩa 1 (Nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Geoffrion (1968)) Điểm x ∈ Xđược gọi là nghiệm hữu hiệu proper Pareto nếu nó là nghiệm hữub hiệu Pareto và tồn tại một số thực M > 0 sao cho với mọi cặp i và x ∈ X thỏa

fi(x) < fi(bx) thì tồn tại một chỉ số j thoả fj(x) < fb j(x) và

fi(x) − fb i(x)

fj(x) − fj(x)b ≤ M Nếux ∈ X là nghiệm hữu hiệu proper Pareto thìb by = f (bx) là điểm hữu hiệu proper Pareto Tập các điểm hữu hiệu proper Pareto kí hiệu là: Yp−ef f

1 Geoffrion A M (1968) Proper efficiency and the theory of vector maximization Journal

of Mathematical Analysis and Application, 22(3): 618-630.

2 Kuhn, H W.; Tucker, A W Nonlinear Programming Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 481–492, University of California Press, Berkeley, Calif., 1951

Ví dụ 1 Xét bài toán:

(P )







min

x∈X(f1(x), f2(x))

f1(x) = x1

f2(x) = x2

X = {(x1, x2) ∈ R2: (x1− 1)2+ (x2− 1)2≤ 1, 0 ≤ x1, x2≤ 1}

Hình 1: Tập giá trị của bài toán (P )

Tập giá trị hữu hiệu Pareto của (P ) là:

Yef f = {(x1, x2) ∈ R2: (x1− 1)2+ (x2− 1)2= 1, 0 ≤ x1, x2≤ 1}

Từ Định nghĩa 1 ta sẽ chỉ ra:

Yp−ef f = {(x1, x2) ∈ R2: (x1− 1)2+ (x2− 1)2= 1, 0 < x1, x2< 1} Thật vậy, để chứng minh một nghiệm hữu hiệu bx = (xb1,xb2) là một nghiệm hữu hiệu proper Pareto của bài toán (P ) ta sẽ tìm một số thực M > 0 sao cho với mọi i ∈ {1, 2} và mọi x ∈ X thoả fi(x) < fi(x) thì tồn tại chỉ số j thoảb

fj(bx) < fj(x) và:

fi(x) − fb i(x)

fj(x) − fj(x)b ≤ M Đặt T = {(x1, x2) ∈ R2: (x1− 1)2+ (x2− 1)2= 1, 0 < x1, x2< 1}

Lấyx = (b bx1,bx2) bất kì trong T , ta có: 0 <bx1< 1 vàbx2= 1 −

q

1 − (xb1− 1)2 Xét i = 1, ta có: với mọi x ∈ X thoả x1<xb1thì f1(x) < f1(bx) và f2(x) < fb 2(x), khi đó:

f1(bx) − f1(x)

f2(x) − f2(x)b =

c

x1− x1

x2−cx2



1 − q

1 − (x1− 1)2



−



1 − q

1 − (bx1− 1)2



=

q

1 − (xb1− 1)2+

q

1 − (x1− 1)2 (1 − x1) + (1 −bx1) <

2 q

1 − (bx1− 1)2 2(1 −xb1) (vì x1<xb1)

Đặt M =

1 − (xb1− 1)2

(1 −bx1) > 0 ta suy ra:

f1(x) − fb 1(x)

f2(x) − f2(bx) < M Với i = 2 ta cũng tìm M bằng cách tương tự Tóm lại ta có: T = Yp−ef f Mặt khác, cũng từ định nghĩa ta sẽ chỉ ra x1= (1, 0) và x2= (0, 1) không phải

là nghiệm hữu hiệu proper Pareto (ví dụ này cũng cho ta thấy rằng một nghiệm hữu hiệu Pareto chưa chắc là một nghiệm hữu hiệu proper Pareto)

Để chứng minh x1= (1, 0) không phải là nghiệm hữu hiệu proper Pareto ta sẽ chỉ ra rằng với mọi số thực M > 0 thì có một chỉ số i ∈ {1, 2} và tồn tại x ∈ X thoả fi(x) < fi(bx) sao cho:

fi(x) − fb i(x)

fj(x) − fj(x)b > M với mọi j ∈ {1, 2} thoả fj(bx) < fj(x)

Xét i = 1 và xε= 1 − ε, 1 −√

1 − ε2
với 0 < ε < 1

Ta có: xε∈ X, f1(xε) < f1(bx), fj(bx) < fj(xε) và:

f1(x1) − f1(xε)

f2(xε) − f2(x1) =

x1− xε

xε− x1 = 1 − (1 − ε)

1 −√

1 − ε2 = ε

1 −√

1 − ε2 → ∞ khi ε → 0 Vậy x1= (1, 0) không phải là nghiệm hữu hiệu proper Pareto

Chứng minh tương tự cho x2= (0, 1)

Ví dụ 2 (Hirschberger (2002)) Cho Y = {(y1, y2) ∈ R2 : y1 < 0, y2 = 1

y1

} Chứng minh: Yp−ef f = ∅

Hình 2: Đồ thị Y

Chứng minh Nhận xét rằng Yef f = Y Lấyy = (a,b 1

a) ∈ Y với a < 0 Với mọi

ε > 0 xét yε=



−1

ε, −ε



∈ Y Khi đó tồn tại một ε0 > 0 sao cho ∀ε ≤ ε0 ta luôn có: −1

ε < a và −ε >

1

a, tức là: y

ε<yb1và yε>yb2, ∀ε ≤ ε0

Từ đó ta có:

b

y1− yε 1

yε−yb2

= a +

1 ε 1

a+ ε =

a2ε + a ε(1 + εa) → ∞, khi ε → 0 Suy ra ∀y ∈ Y thìb by /∈ Yp−ef f, hay nói cách khác Yp−ef f = ∅

2 Các dạng nghiệm hữu hiệu proper Pareto

Ngoài định nghĩa nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Geoffrion, ta còn

có các định nghĩa khác về nghiệm hữu hiệu proper Pareto như sau:

2.1 Nghiệm hữu hiệu proper Pareto - Borwein (1977)

Định nghĩa 2 (Nón tiếp xúc) Cho Y ⊂ Rn và y ∈ Y , nón tiếp xúc của Y tại

y ∈ Y là:

TY(y) := {d ∈ Rn: ∃{tk} ⊂ R, {yk} ⊂ Y sao cho yk → y, tk(yk− y) → d} Bằng cách đặt λk = 1

tk

→ 0 và dk = tk(yk− y) = yk− y

λk

, ta có: dk → d và

y + λkdk = y + yk− y = yk ∈ Y, ∀k ∈ N Do đó ta có thể định nghĩa nón tiếp xúc một cách tương đương như sau:

TY(y) = {d ∈ Rn: ∃tk → 0, ∃dk → d sao cho y + tkdk∈ Y, ∀k ∈ N} Định nghĩa 3 (Nghiệm hữu hiệu proper Pareto (theo nghĩa Borwein - 1977)) Một nghiệm hữu hiệu bx ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu proper (theo nghĩa Borwein) nếu:

TY +Rn

≥(f (x)) ∩b −Rn

≥
= {0}

Ví dụ 3 (Ví dụ nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Borwein) Xét bài toán:

(P )











min

x∈X(f1(x), f2(x))

f1(x) = x1

f2(x) = x2

X =(x1, x2) ∈ R2: x1+ x2≥ 0 ∪ (x1, x2) ∈ R2: x1≥ 1

∪(x1, x2) ∈ R2: x2≥ 1

Khi đó bx = (0, 0) là một nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Borwein Trước hết ta xác định TY +R2

≥(f (bx)) Nhận xét rằng: Y + R2

≥= Y Lấy u = (u1, u2) ∈ TY +R2

≥(f (x)) nghĩa là tồn tạib

tn→ 0, un= (u1n, u2n) → u sao cho ∀n ∈ N ta có:

f (x) + tb nun∈ Y + R2

≥

⇔ (tnu1n, tnu2n) ∈ Y + R2≥

⇔





tnu1n+ tnu2n ≥ 0

tnu1n≥ 1

tnu2n≥ 1

⇔





u1n+ u2n ≥ 0

u1n≥ 1/tn

u2n≥ 1/tn

Hình 3: Tập giá trị của (P ).

Cho n → ∞ ta được: u1+ u2≥ 0

Do đó ta có: TY +R2

≥(f (x)) ⊂b (u1, u2) ∈ R2: u1+ u2≥ 0

Ta chứng minh(u1, u2) ∈ R2: u1+ u2≥ 0 ⊂ TY +R2

≥(f (x)).b Lấy u = (u1, u2) ∈ R2thoả u1+ u2≥ 0 và chọn:







tn= 1

n → 0

u1n = u1, ∀n ∈ N

u2n = u2, ∀n ∈ N

⇒ u1n+ u2n≥ 0, ∀n ∈ N

⇒ tnu1n+ tnu2n≥ 0, ∀n ∈ N

⇒ (0, 0) + tn(u1n, u2n) ∈ Y + R2

≥, ∀n ∈ N Suy ra u ∈ TY +R2

≥(f (x)) Do đó Tb Y +R2

≥(f (bx)) =(u1, u2) ∈ R2: u1+ u2≥ 0 Như vậy TY +R2

≥(f (x)) ∩ −Rb 2≥
= {0} cho nên bx = (0, 0) là một nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Borwein

2.2 Nghiệm hữu hiệu proper Pareto - Benson (1979)

Định nghĩa 4 (Bao nón) Cho Y ⊂ Rn và y ∈ Y , bao nón của Y tại y ∈ Y là:

cone(y) := {αy : α ≥ 0, y ∈ Y } = ∪

α≥0αY Định nghĩa 5 (Nghiệm hữu hiệu proper Pareto (theo nghĩa Benson - 1979)) Một nghiệm hữu hiệu bx ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu proper (theo nghĩa Benson) nếu:

cl cone Y + Rn≥− f (x)b

∩ −Rn

≥
= {0}

Xét lại Ví dụ 1 ta thấy rằng x1= (1, 0) và x2= (0, 1) không phải là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Benson Thật vậy, xét x1= (1, 0) ta có:

cl cone Y + R2≥− f (1, 0)

= (x1, x2) ∈ R2: x2≥ 0

do đó:

cl cone Y + R2≥− f (1, 0)

∩ −R2

≥
6= {0}

Nhận xét tương tự cho x2= (0, 1)

(1951)

Trong tối ưu đa mục tiêu, ta thường gặp những bài toán mà tập phương án khả thi được cho dưới dạng những ràng buộc, nghĩa là:

X = {x ∈ Rn: (g1(x), , gm(x)) ≤ 0}

Xét bài toán:

min f (x) = (f1(x), f2(x), , fp(x)) với ràng buộc:

g(x) = (g1(x), g2(x), , gm(x)) ≤ 0 Trong đó các hàm số fi, gj với i = 1, n, j = 1, m là những hàm số khả vi liên tục Ta định nghĩa nghiệm hữu hiệu proper của bài toán trên như sau:

Định nghĩa 6 (Nghiệm hữu hiệu proper Pareto (theo Kuhn-Tucker (1951)) Một nghiệm hữu hiệu bx ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu proper (theo nghĩa Kuhn và Tucker) nếu nó là nghiệm hữu hiệu Pareto và không tồn tại d ∈ Rn

thoả:

h∇fk(x), di ≤ 0, ∀k = 1, , pb (1) h∇fi(x), di < 0, với một vài i ∈ {1, , p}b (2) h∇gj(x), di ≤ 0, ∀j ∈ J (b bx) = {j = 1, , m : gj(bx) = 0} (3)

Ví dụ 4 Xét bài toán:

(P )







min

x∈X(f1(x), f2(x))

f1(x) = −x2

f2(x) = x3

X = {x ∈ R : x ≥ 0}

b

x = 0 là nghiệm hữu hiệu của bài toán trên và nó cũng là nghiệm hữu hiệu proper theo Kuhn-Tucker Thật vậy, ta có:







∇f1(0) = f01(0) = 0

∇f2(0) = f02(0) = 0

∇g(0) = g0

1(0) = −1 suy ra không có d ∈ R để: ∇fi(bx)d < 0, i ∈ {1, 2}

Hình 4: Tập giá trị của (P ).

3 Mối quan hệ giữa các loại nghiệm hữu hiệu proper Pareto

Định lý 1

1 Nếux là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Benson thì nó cũng là nghiệmb hữu hiệu proper theo nghĩa Borwein

2 Nếu X là tập lồi và fk : Rn

→ R là những hàm lồi thì hai khái niệm nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Benson và Borwein trùng nhau Xét Ví dụ 3, x = (0, 0) là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩab Borwein nhưng nó không phải là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Benson vì:

cl cone(Y + R2≥− f (x)b
∩ −R2

≥
= A ∩ B 6= {0}

Với A =(x1, x2) ∈ R2: x1= 0, x2≤ 0 và B = (x1, x2) ∈ R2: x2= 0, x1≤ 0

Ví dụ này minh hoạ rõ cho Định lý 1 (để ý rằng X không phải là tập lồi) Định lý 2 Cho X ∈ Rn là tập các phương án khả thi của bài toán tối ưu đa mục tiêu với nón Rn

≥ Khi đó:

b

x ∈ X là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Geoffrion khi và chỉ khi nó

là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Benson

Nhận xét rằng, định nghĩa của Benson và Borwein về nghiệm hữu hiệu proper không bị giới hạn bởi nón Rn

≥ Nghĩa là nón Rn

≥ trong khái niệm của Benson

và Borwein có thể được thay thế bởi một nón lồi, đóng bất kì Khái niệm của Geoffrion được xây dựng trên nón Rn≥, do vậy tập nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Benson trùng với tập nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Geoffrion khi bài toán tối ưu đa mục tiêu xét trên nón Rn

≥ Ví dụ 1 cho ta thấy rõ điều này Mối quan hệ giữa nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Geoffrion và Kuhn-Tucker thể hiện qua định lý sau:

Định lý 3 Giả sử fi, gj) : Rn → R (i = 1, n, j = 1, m) là những hàm lồi và khả vi liên tục Nếu x là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Kuhn-Tucker thìb

nó cũng là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Geoffrion

Xét lại Ví dụ 4 và để ý rằng f1(x) = −x không phải là hàm lồi Ta có b

x = 0 là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Kuhn-Tucker, nhưngx không phảib

là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Geoffrion Thật vậy, với i = 1 và  > 0

ta có f1(x) < f1(x) và:b

f1(bx) − f1(ε)

f2(ε) − f2(x)b =

0 − (−ε2)

ε3− 0 =

1

ε → ∞ Định nghĩa 7 (Tiêu chuẩn ràng buộc Kuhn-Tucker) Một bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm mục tiêu và hàm ràng buộc khả vi thoả tiêu chuẩn ràng buộc Kuhn-Tucker tại bx ∈ X nếu với mọi d ∈ Rn thoả h∇gj(bx), di , j ∈ J (x) thìb

có một số thực t > 0, một hàm số θ :0, t → Rn và một số thực α > 0 sao cho:







θ(0) =xb

g (θ(t)) ≤ 0, ∀t ∈0, t

θ0(0) = αd Định lý 4 Nếu một bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm mục tiêu và hàm ràng buộc khả vi thoả tiêu chuẩn ràng buộc Kuhn-Tucker tại x ∈ X vàb x làb nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Geoffrion thì nó cũng là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Kuhn-Tucker

Ví dụ 5 (Tamura và Arai (1982)) Xét bài toán:

(P )











min

x∈X(f1(x), f2(x))

f1(x) = −3x1− 2x2+ 3

f2(x) = −x1− 3x2+ 1

X =n(x1, x2) ∈ R2: −x1≤ 0, −x2≤ 0, (x1− 1)3+ x2≤ 0o

Hình 5: Tập các phương án khả thi và tập giá trị của bài toán (P )

Ta sẽ chứng minhbx = (1, 0) là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo Geoffrion nhưng nó không phải là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo Kuhn-Tucker

Thật vậy, với i = 2 và ∀x ∈ X thoả f2(x) < f2(x) ta có fb 1(bx) < f1(x) và:

f2(bx) − f2(x)

f1(x) − f1(x)b =

0 + x1+ 3x2− 1

−3x1− 2x2+ 3

≤ x1+ 3(1 − x1)

3

− 1

−3x1− 2(1 − x1)3+ 3 (do x2≤ (1 − x1)3)

= 3(1 − x1)

3

− (1 − x1)

−2(1 − x1)3+ 3(1 − x1)

= 3(1 − x1)

2

− 1

−2(1 − x1)2+ 3 ≤ 2 (∀x1∈ [0, 1]) Mặt khác, ta có:

∇f1(bx) = (−3, −2)

∇f2(bx) = (−1, −3)

∇g3(bx) = (0, 1), với g3(x) = (x1− 1)3+ x2

do đó với d = (4, −1) ∈ R2 ta có:

h∇f1(x), di = h(−3, −2); (4, −1)i = −10 < 0b h∇f2(x), di = h(−1, −3); (4, −1)i = −1 < 0b h∇g3(x), di = h(0, 1); (4, −1)i = −1 < 0b Vậyx = (1, 0) là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo Geoffrion nhưng nó khôngb phải là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo Kuhn-Tucker

Tóm tắt mối quan hệ giữa các loại nghiệm proper Pareto bằng sơ đồ như sau:

Hình 6: Mối quan hệ giữa các khái niệm nghiệm hữu hiệu proper Pareto

4 Mối quan hệ giữa nghiệm Pareto - Pareto yếu

và Pareto proper

Định lý 5 Nếu bx ∈ Rn là nghiệm hữu hiệu pareto theo nghĩa Borwein thì xb cũng là nghiệm hữu hiệu

Nhận xét: nếux là một nghiệm hữu hiệu proper Pareto (theo Geoffrion) thìb

nó cũng là nghiệm proper Pareto theo Benson (Định lý 2) và cũng là nghiệm proper Pareto theo Borwein (Định lý 1) Mặt khác ta có Xef f ⊂ Xw−ef f Từ

đó ta có quan hệ bao hàm sau:

Xp−ef f ⊂ Xef f ⊂ Xw−ef f

Ví dụ 6 Xét tập phương án khả thi của một bài toán tối ưu đa mục tiêu, với

Y = f (X):

X =(x1, x2) ∈ R2: x21+ x22≤ 1, y ≤ 0 ∪ (x1, x2) ∈ R2: x ≥ 0, −1 ≤ y ≤ 0 Khi đó:

Xp−ef f =(x1, x2) ∈ R2: x21+ x22= 1, x1< 0, x2< 0

Xef f = Xp−ef f ∪ {(0, −1); (−1, 0)}

Xw−ef f = Xef f∪(x1, x2) ∈ R2: x1≥ 0, x2= −1

5 Tại sao có nhiều khái niệm hữu hiệu proper Pareto?

Dựa vào định nghĩa của các loại nghiệm hữu hiệu proper Pareto Ta có thể thấy rằng, việc đưa ra nhiều khái niệm hữu hiệu proper Pareto nhằm mục đích giải quyết được nhiều lớp bài toán hơn Chẳng hạn, với khái niệm nghiệm proper Pareto theo Geoffrion hoặc Kuhn-Tucker, bài toán tối ưu trong trường hợp này chỉ xét trên nón Rn

≥ Với khái niệm của Benson hay Borwein, ta có thể xác định nghiệm hữu hiệu proper Pareto với một nón bất kì

Tài liệu

[1] Matthias Ehrgott, 2000 Multicriteria optimization.Springer verlag, Berlin [2] Matthias Ehrgott, 2005 Multicriteria optimization.Springer verlag, Berlin [3] Qamrul Hasan Ansari, Elisabeth K¨obis, Jen-Chih Yao, 2018 Vector Varia-tional Inequalities and Vector Optimization.Springer verlag, Berlin

[4] D.T.Luc, 1989 Theory of Vector Optimization.Springer verlag, Berlin [5] Regina S Burachik,M M Rizvi, 2014 Proper Efficiency and Proper Karush–Kuhn–Tucker Conditions for Smooth Multiobjective Optimization Problems

[6] Johannes Jahn, 2006 Introduction to the Theoryof Nonlinear Optimaza-tion.Springer verlag, Berlin

[7] Harold P.Benson, 1979 An Improved Definition of Proper Efficiency for Vec-tor Maximization with Respect to Cones Journal of Mathematical analysis and applications, Vol 71, pp232-241

[8] K.Tamura and S Arai, 1982 On Proper and Improper Efficient Solutions of Optimal Problems with Multicriteria Journal of Mathematical analysis and applications, Vol 38, No.2, pp191-205

[9] Y Sawaragi, H Nakayama, T Tanino, 1985 Theory of Multiobjective Opti-mization Mathematics in Science and Engineering, Vol 176