Đồ thị các ước của không của vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN LÊ HÀ ANH ĐỒ THỊ CÁC ƯỚC CỦA KHÔNG CỦA VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

LÊ HÀ ANH

ĐỒ THỊ CÁC ƯỚC CỦA KHÔNG

CỦA VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN GIANG NAM

HÀ NỘI – 2018

Sau một thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc cùng với sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đến nay khóa luận của em đã được hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô trong tổ Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận.

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS Trần Giang Nam đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2018

Tác giả khóa luận

Lê Hà Anh

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong Khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Giang Nam.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu

đã ghi trong phần Tài liệu tham khảo Vì vậy em xin khẳng định đề tài "ĐỒ THỊ CÁC ƯỚC CỦA KHÔNG CỦA VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN" không

có sự trùng lặp với đề tài của các tác giả khác.

Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2018

Tác giả khóa luận

Lê Hà Anh

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

LỜI MỞ ĐẦU

Vào năm 1988, Beck là người đầu tiên giới thiệu khái niệm đồ thịcác ước của không của một vành giao hoán Đến năm 1999, Andersonand Livingston đã định nghĩa lại khái niệm này Năm 2002, Redmond

đã mở rộng khái niệm này cho trường hợp vành không giao hoán, giớithiệu một vài định nghĩa về đồ thị các ước của không của một vànhkhông giao hoán Dựa trên [3] và [7], mục tiêu chính của khóa luậnnày là trình bày một số tính chất và ứng dụng của đồ thị các ước củakhông của vành Khóa luận được chia làm 02 chương:

Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị"

Chương 2: "Đồ thị các ước của không của vành không giaohoán"

Trong Chương 1, chúng tôi hệ thống lại một số khái niệm cơ sở vềvành và đồ thị có hướng để làm cơ sở cho Chương 2

Trong Chương 2, chúng tôi trình bày một số khái niệm và ví dụ về

đồ thị các ước của không của vành Đồng thời, chúng tôi trình bàymột số tính chất để cho đồ thị các ước của không của vành là đồ thịgiải đấu (Định lý 2.1.6) hoặc đồ thị lưới (Định lý 2.1.7) Từ các kếtquả này, chúng tôi liệt kê tất cả các đồ thị gồm ba đỉnh là đồ thị cácước của không của vành (Định lý 2.1.9) Hơn nữa, chúng tôi trình bàyđịnh lý phân loại các vành thông qua đồ thị của chúng (Định lý 2.2.6)

Tác giả khóa luận

Lê Hà Anh

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản

về vành, đồ thị có hướng Chương này được trình bày dựa trên các tàiliệu [1], [2] và [4]

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một tập hợp khác rỗng R được gọi

là một vành nếu trên R trang bị hai phép toán hai ngôi, gọi là phépcộng "+" và phép nhân ".", thỏa mãn các điều kiện sau:

i) R cùng với phép cộng là một nhóm Abel;

ii) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm;

iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng

Nhận xét 1.1.2 (1) Phần tử đơn vị của phép cộng thường kí hiệu

là 0 và gọi là phần tử trung lập

(2) Một vành R được gọi là giao hoán nếu R cùng với phép nhân

có tính chất giao hoán

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

(3) Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử đó gọi là phần

tử đơn vị vủa vành R và thường kí hiệu là e hay 1

Ví dụ 1.1.3 Tập hợp các số nguyên Z, Q, R, C và tập Zn cùng vớiphép cộng và phép nhân thông thường là một vành giao hoán có đơn vị

Định nghĩa 1.1.4 Cho R là một vành

(1) Phần tử x ∈ R được gọi là lũy linh nếu tồn tại n sao cho xn = 0.(2) Phần tử x ∈ R được gọi là ước của không nếu tồn tại y ∈ R\{0}sao cho xy = 0 hoặc yx = 0

(3) Phần tử x ∈ R mà không là ước trái của không thì được gọi

là phần tử chính quy trái Phần tử x ∈ R mà không là ước phải củakhông thì được gọi là phần tử chính quy phải Phần tử x ∈ R mà vừa làchính quy trái, vừa là chính quy phải thì được gọi là phần tử chính quy

Ví dụ 1.1.5 Cho vành Z4 Ta có Z4 = {0, 1, 2, 3} Khi đó, 2 là phần

tử lũy linh vì 22 = 0 Tập các ước của không của Z4 là {0, 2} Cácphần tử 1 và 3 là các phần tử chính quy

Định nghĩa 1.1.6 (1) Miền nguyên là một vành giao hoán có đơn

vị 1 khác 0 và không có ước của không khác 0

(2) Trường là một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác 0 đềukhả nghịch

Ví dụ 1.1.7 (1) Tập các số nguyên Z và tập Zp (p là số nguyên tố)

là một miền nguyên.

(2) Tập các số hữu tỉ Q, tập các số thực R và tập các số phức Ccùng với phép toán cộng và phép toán nhân các số thông thường lànhững trường

(3) Cho K là một trường và n là một số nguyên dương Kí hiệu

Mn(K) là tập các ma trận vuông cấp n trên K Khi đó Mn(K) cùngvới phép cộng và phép nhân ma trận thông thường là một vành cóđơn vị Vành này là giao hoán khi và chỉ khi n = 1

Định nghĩa 1.1.8 Đặc số của một vành R là số nguyên dương nhỏnhất n sao cho nx = 0 với mọi x ∈ R Nếu không tồn tại n như vậythì R được gọi là có đặc số 0

Nhận xét 1.1.9 Cho R là vành có đơn vị và n ∈ Z+ Khi đó, n làđặc số của vành R khi và chỉ khi n.1 = 0

Chứng minh: Vì n là đặc số của vành R nên theo Định nghĩa 1.1.8 tacó

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

Miền nguyên có đặc số là 0 hoặc số nguyên tố

Định nghĩa 1.2.1 (i) Một đồ thị có hướng là một bộ G = (V, E, r, s)trong đó V, E là hai tập hợp hữu hạn (độc lập), r, s : V → E là cácánh xạ Các phần tử của V được gọi là đỉnh và các phần tử của Eđược gọi là cạnh Đối với mỗi cạnh e ∈ E, s(e) được gọi là gốc và r(e)được gọi là ngọn của e

(ii) Một đỉnh v ∈ V mà s−1(v) = ∅ được gọi là đỉnh ngọn Một đỉnh

v ∈ V mà r−1(v) = ∅ được gọi là đỉnh gốc Một đỉnh v ∈ V vừa làđỉnh gốc, vừa là đỉnh ngọn được gọi là đỉnh cô lập

(iii) Cho v ∈ V Bậc đi ra của v là |s−1(v)| Bậc đi vào của v là

Khi đó, ta có

V = {v1, v2, v3, v4}, E = {e1, e2, e3, e4}

và r, s : V → E là các ánh xạ xác định bởi r(e1) = r(e2) = v2, r(e3) =

v3, r(e4) = v4, s(e2) = s(e3) = s(e4) = v2 Đồng thời, ta có v1 là đỉnhgốc thực sự với bậc đi ra là một; v3, v4 là các đỉnh ngọn thực sự vớibậc đi vào là một; v2 không là đỉnh gốc, không là đỉnh ngọn với bậc

đi vào là hai và bậc đi ra là ba

Định nghĩa 1.2.3 Cho đồ thị có hướng G = (V, E, r, s) Một đường

p trong G là một dãy các cạnh p = e1 en sao cho r(ei) = s(ei+1) ∀i =

1, n

Ví dụ 1.2.4 Cho đồ thị G như sau:

Trong đồ thị này có bốn đường dưới đây:

e1e2, e2e3, e3e1, e1e2e3.Định nghĩa 1.2.5 Một đồ thị có hướng G được gọi là giải đấu nếu

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

cho hai đỉnh phân biệt v và w của G thì có duy nhất một cạnh đi từ

v đến w hoặc có duy nhất một cạnh đi từ w đến v là cạnh của G

Ví dụ 1.2.6 (1) Đồ thị sau đây là giải đấu:

(2) Đồ thị sau đây không là giải đấu:

Định nghĩa 1.2.7 Một lưới là một đồ thị có hướng G thỏa mãn cácđiều kiện sau đây:

(1) Có một đỉnh gốc thực sự duy nhất α

Ví dụ 1.2.8 (1) Đồ thị sau đây là lưới:

(2) Đồ thị sau đây không là lưới:

Chương 2

ĐỒ THỊ CÁC ƯỚC CỦA

KHÔNG CỦA VÀNH KHÔNG

GIAO HOÁN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và ví dụ

về đồ thị các ước của không của vành Đồng thời, chúng tôi trình bàymột số tính chất để cho đồ thị các ước của không của vành là đồ thịgiải đấu (Định lý 2.1.6) hoặc đồ thị lưới (Định lý 2.1.7) Hơn nữa,chúng tôi trình bày định lý phân loại các vành thông qua đồ thị củachúng (Định lý 2.2.6) Chương này được trình bày dựa trên các tài liệu[3], [5], [6], [7], [8] và [9]

đấu (Định lý 2.1.6) hoặc đồ thị lưới (Định lý 2.1.7) Từ các kết quảnày, chúng tôi liệt kê tất cả các đồ thị gồm ba đỉnh là đồ thị các ướccủa không của vành (Định lý 2.1.9) Tiết này được trình bày dựa trêncác tài liệu [3], [5] và [7]

Định nghĩa 2.1.1 Cho R là một vành Đồ thị các ước của khôngcủa vành R, kí hiệu là Γ(R), được xác định như sau:

(i) Tâp đỉnh V là tập các ước khác không của không của vành R.(ii) Một cạnh đi từ đỉnh v đến đỉnh w nếu và chỉ nếu v 6= w và

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

(4) Xét R = M2(Z2) Ta có tập các ước của không của R là

tử là {0, a, b, a + b} Trên vành R, phép nhân được định nghĩa là

a2 = ab = a; b2 = ba = b Khi đó, tập các ước khác không của khôngcủa R là {a, b, a + b} Do đó, Γ(R) là đồ thị có hướng sau:

(2) Cho R là một vành có đặc số 2, gồm bốn phần tử là {0, a, b, a+b} Trên vành R, phép nhân được định nghĩa là a2 = ba = a; b2 = ab =

b Khi đó, tập các ước khác không của không của R là {a, b, a + b}

Do đó, Γ(R) là đồ thị có hướng sau:

Một trong những bài toán được quan tâm trong hướng nghiêncứu này là bài toán sau đây:

Bài toán 2.1.4 Nếu cho trước một đồ thị G thì có tồn tại một vành

R sao cho Γ(R) ∼= G không?

Phần còn lại của tiết này, chúng tôi chứng minh một vài định lýgiúp giải đáp được bài toán trên trong một số trường hợp đặc biệt

Định lý 2.1.5 Nếu R là một vành hữu hạn thì Γ(R) có số chẵn cáccạnh có hướng

Chứng minh:

• Xét Γ(R) = ∅: Kết quả này là đúng tầm thường

• Xét R có đặc số lẻ: Nếu Γ(R) có một cạnh đi từ x đến y thì Γ(R)cũng có một cạnh đi từ −x đến y Suy ra Γ(R) có số chẵn cáccạnh

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

• Xét R có đặc số chẵn Ta chỉ cần chứng minh bài toán trongtrường hợp R có đặc số 2:

+ Xét R là vành giao hoán: Nếu Γ(R) có một cạnh đi từ x đến ythì Γ(R) cũng có một cạnh đi từ y đến x Suy ra Γ(R) có số chẵncác cạnh có hướng

+ Xét R là vành không giao hoán:

Đặt

E := {(x, y) | xy = 0, yx 6= 0, x 6= 0, y 6= 0, x 6= y.};

A := {(x, y) ∈ E | y lũy linh}

Lấy (x, y) ∈ A và m là số nguyên dương bé nhất sao cho ym = 0

Ta chứng minh (x + ym−1, y) ∈ A Thật vậy, nếu x + ym−1 = 0thì y(x + ym−1) = yx = 0 Điều này là mâu thuẫn với định nghĩacủa tập E Do đó, ta có x + ym−1 6= 0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

suy ra y + yaxb là lũy linh

Nếu y + yaxb = 0 thì yx + yaxb+1 = yx = 0 Điều này là mâuthuẫn Ta suy ra y + yaxb 6= 0

Chứng minh tương tự như trường hợp của ánh xạ p ở trên, ta thuđược f2 = IdS Điều này suy ra S có số chẵn phần tử.

Đặt

T = P − S := {(x, y) ∈ P | ymxn 6= 0 ∀m, n}

Lấy (x, y) ∈ T Vì R là vành hữu hạn nên tồn tại số nguyên

N bé nhất và số nguyên t sao cho xN = xt với 1 ≤ t < N Tương tự, tồn tại số nguyên M bé nhất và số nguyên s sao cho

yM = ys với 1 ≤ s < M

Với các số nguyên dương a, b, i, ta dễ dàng chứng minh đượchai đẳng thức sau bằng quy nạp:

(x + yaxb)i = xi + ya.xb+i−1;(y + yaxb)i = yi + ya+i−1.xb

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

Ta chứng minh N là số nguyên bé nhất sao cho

(x + yM −1xt)N = (x + yM −1xt)t.Thật vậy, lấy các số nguyên r, u sao cho 1 ≤ u < r ≤ N (1) và

(x + yM −1xt)r = (x + yM −1xt)u.Khi đó, ta có xr + yM −1xt+r−1 = xu+ yM −1xt+u−1

⇔ xr + xu = yM −1xt+r−1+ yM −1xt+u−1 (2)

Vì N là nhỏ nhất để xN = xt (1 ≤ t < N ) (3) nên suy ra

xr+ xu 6= 0 nếu r < N hoặc r = N ; u < t (4)

Nhân vào bên trái hai vế của phương trình (2) ta được xr+1+

xu+1 = 0 Từ điều này cùng với (1) và (3) ta có

r = N, u = t hoặc r = N − 1, u = t − 1

Nếu r = N − 1 và u = t − 1 thì thay vào (2) ta có

xr + xu = yM −1xt+N −1−1 + yM −1xt+t−1−1 = 2yM −1x2t−2 = 0.Điều này mâu thuẫn với (4) Vì vậy r = N và u = t

Tương tự, ta cũng chứng minh được M là số nguyên bé nhấtsao cho:

(y + ysxN −1)M = (y + ysxN −1)s

Với m, n nguyên dương bất kì, ta có

Định lý 2.1.6 Cho R là một vành sao cho Γ(R) 6= ∅ Khi đó:

(i) Nếu R không có phần tử lũy linh khác không thì Γ(R) không

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

Gọi x, y là hai đỉnh của Γ(R) Nếu xy = 0 thì:

(yx)2 = (yx)(yx) = y(xy)x = 0 ⇒ yx = 0

Điều này có nghĩa là nếu Γ(R) có một cạnh đi từ x đến y thì Γ(R)cũng có một cạnh đi từ y đến x Do đó, Γ(R) không là một giải đấu.(ii) Nếu Γ(R) chứa đúng một đỉnh thì nó là một giải đấu Ta xétΓ(R) chứa nhiều hơn một đỉnh Giả sử Γ(R) là một giải đấu Theo (i)thì tồn tại x 6= 0 sao cho x2 = 0 Giả sử Γ(R) chỉ chứa hai đỉnh x, a

và một cạnh đi từ x đến a Ta chứng minh 2x = 0 Thật vậy, ta có 2x

là ước của không Vì 2x 6= x và 2x 6= a nên 2x = 0 Khi đó, ta có:

Giả sử Γ(R) có ít nhất ba đỉnh Ta xét ba trường hợp sau:

Trường hợp 1: x là đỉnh gốc

x = ax = a(bx) = (ab)x = 0.

Điều này mâu thuẫn Một cách tương tự, ta cũng suy ra một điềumâu thuẫn nếu chúng ta giả sử rằng Γ(R) có một cạnh đi từ bđến a

Trường hợp 2: x là đỉnh ngọn

Chứng minh tương tự như Trường hợp 1, ta cũng suy ra điều mâuthuẫn

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

Trường hợp 3: x không là đỉnh gốc, không là đỉnh ngọn

Khi đó

ax = xb = 0; xa 6= 0, bx 6= 0,

Nếu Γ(R) có một cạnh đi từ b đến a thì ba = 0 và ab 6= 0 Tachứng minh b + x là đỉnh thứ tư của Γ(R) Thật vậy, ta có

x(b + x) = 0 = xb + x2 = 0và

b + x 6= x, b + x 6= b; b + x 6= x + x = 0 ⇒ b + x 6= 0

Mà b + x 6= a vì nếu b + x = a thì xa = xb + x2 = 0 (vô lý).Suy ra, b+x là đỉnh thứ tư của Γ(R) Nếu Γ(R) có một cạnh đi từ

a đến b + x thì a(b + x) = 0 Điều này là vô lý vì ab + ax = ab 6= 0.Tương tự, ta cũng suy ra điều vô lý nếu chúng ta giả sử rằng Γ(R)

Định lý 2.1.7 Cho R là một vành sao cho Γ(R) có nhiều hơn mộtđỉnh Khi đó:

(i) Nếu Γ(R) chứa một đỉnh ngọn ω và chứa duy nhất một đỉnhgốc α thì ω không là lũy linh Hơn nữa, nếu R hữu hạn thì α2 = 0.(ii) Nếu Γ(R) chứa duy nhất một đỉnh ngọn ω và chứa một đỉnhgốc α thì α không là lũy linh Hơn nữa, nếu R hữu hạn thì ω2 = 0.Chứng minh: (i) Ta chứng minh ω không lũy linh Thật vậy, giả sử

ω2 = 0, cho y ∈ Γ(R) sao cho y 6= ω Ta có

Khóa luận tốt nghiệp Đại học lê hà anh

Giả sử ωn = 0 và ωn−1 6= 0 Ta có

ωωn−1 = 0 ⇒ ω = ωn−1 ⇒ ω2 = 0

Điều này là mâu thuẫn Như vậy, ω không là lũy linh

Nếu R là hữu hạn thì theo [5, Hệ quả 1] ta có R không chứa bất kìphần tử nào mà vừa là ước trái của không, vừa là chính quy phải Vì

α là ước trái của không và là một đỉnh gốc nên ta có α2 = 0

Hệ quả 2.1.8 Cho R là một vành hữu hạn Khi đó Γ(R) không làmột lưới

Chứng minh: Nếu Γ(R) có ít hơn hai đỉnh thì kết quả là tầm thường.Giả sử Γ(R) là một lưới với nhiều hơn một đỉnh Cho α là đỉnh gốcduy nhất và ω là đỉnh ngọn duy nhất của Γ(R) Theo Định lý 2.1.8(i),

ω không là lũy linh Mặt khác, vì ω là đỉnh ngọn duy nhất nên theoĐịnh lý 2.1.8(ii), ω2 = 0 dẫn đến mâu thuẫn

Tiếp theo, chúng tôi xem xét Bài toán 2.1.4 trong trường hợp đồthị G có ba đỉnh phân biệt mà không chứa đỉnh không cô lập (đồ thịΓ(R) chứa đỉnh cô lập chỉ có thể là đồ thị gồm một đỉnh duy nhất)

Có tất cả 13 đồ thị có hướng sau đây là các đồ thị có ba đỉnh phânbiệt mà không chứa đỉnh cô lập:

Định lý 2.1.9 (1) Các đồ thị A, B, C, D được nhận ra như đồ thịcác ước của không của một vành.

(2) Các đồ thị còn lại trong hình trên không thể được nhận ra như

đồ thị các ước của không của một vành

Chứng minh: (1) Hình A là đồ thị các ước của không của vành trong

Ví dụ 2.1.3(1) Hình B là đồ thị các ước của không của vành trong

Ví dụ 2.1.3(2) Hình C là đồ thị các ước của không của vành Z8

(Ví dụ 2.1.2(3)) Hình D là đồ thị các ước của không của vành

Z2[X, Y ]/(X2, XY, Y2)

(2) Vì các đồ thị E, F, K, M, N có số lẻ các cạnh nên theo Định lý2.1.5, chúng không thể được nhận ra như đồ thị các ước của khôngcủa một vành