B GIO DC O TO THI TH I HC, CAO NG KHI A, B NM 2009 chớnh thc MễN: TON - Thi gian: 180 phỳt. (Thớ sinh c k trc khi lm bi) Cõu I(2 im): Cho hm s 3 2 2 ( 3) 4y x mx m x= + + + + cú th l (C m ) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C 1 ) ca hm s trờn khi m = 1. 2) Cho (d) l ng thng cú phng trỡnh y = x + 4 v im K(1; 3). Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m sao cho (d) ct (C m ) ti ba im phõn bit A(0; 4), B, C sao cho tam giỏc KBC cú din tớch bng 8 2 . Cõu II(2 im): 1) Gii phng trỡnh: cos2 5 2(2 - cos )(sin - cos )x x x x+ = 2) Gii h phng trỡnh: 3 3 3 2 2 8 27 18 4 6 x y y x y x y + = + = Cõu III(2 im): 1) Tớnh tớch phõn I = 2 2 6 1 sin sin 2 x x dx ì + 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m sao cho phng trỡnh sau cú nghim thc: 2 2 1 1 1 1 9 ( 2)3 2 1 0 x x m m + + + + + = Cõu IV(1 im): Cho hỡnh chúp S. ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) = 60 0 , ABC v SBC l cỏc tam giỏc u cnh a. Tớnh theo a khong cỏch t B n mt phng (SAC). Phn riờng : (Thớ sinh ch chn mt trong hai phn di õy lm bi) Phn I: Theo chng trỡnh chun: Cõu Va(1 im): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 9 và đ- ờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. Cõu VIa(1 im): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình 3 1 12 1 == zyx . Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Cõu VIIa( 1 im ) : Cho ba s thc dng a, b, c tha món abc = 1. Chng minh rng: 3 3 3 4 4 4 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) a b c b c c a a b + + + + + + + + Phn II:Theo chng trỡnh nõng cao: Cõu Vb(1 im): Trong mt phng Oxy cho im A(2;3), B(3;2), ABC cú din tớch bng 3 2 ; trng tõm G ca ABC thuc ng thng (d): 3x y 8 = 0. Tỡm bỏn kớnh ng trũn ni tip ABC. Cõu VIb(1 im): Trong khụng gian Oxyz cho ng thng (d) l giao tuyn ca 2 mt phng: (P): 2x 2y z + 1 = 0, (Q): x + 2y 2z 4 = 0 v mt cu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 4x 6y + m = 0. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m (S) ct (d) ti 2 im M, N sao cho di MN = 8. Cõu VIIb(1 im): Cho ba s thc dng a, b, c tha món abc = 1. Chng minh rng: 3 3 3 1 8 1 8 1 8 1 a b c c a b + + + + + Thớ sinh nghiờm tỳc lm bi. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! Đáp án ĐỀTHI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG KHỐI A, B NĂM 2009 Phần chung: Câu I(2 điểm): Cho hàm số 3 2 2 ( 3) 4y x mx m x= + + + + có đồ thị là (C m ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số trên khi m = 1. 2) Cho (d) là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 . Giải: Phương trình hoành độ điểm chung của (C m ) và d là: 3 2 2 2 2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 0 0 ( ) 2 2 0 (2) x mx m x x x x mx m x g x x mx m + + + + = + ⇔ + + + = = ⇔ = + + + = (d) cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. / 2 ( ; 1] [2;+ ) 2 0 ( ) 2 (0) 2 0 m m m a m g m ∈ −∞ − ∪ ∞ ∆ = − − > ⇔ ⇔ ≠ − = + ≠ 2 1 3 4 ( , ) 2 2 1 8 2 . ( , ) 8 2 16 256 2 KBC d K d S BC d K d BC BC ∆ − + = = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 2 2 ( ) ( ) 256 B C B C x x y y⇔ − + − = với , B C x x là hai nghiệm của phương trình (2). 2 2 2 2 ( ) ( 4 ( 4)) 256 2( ) 256 ( ) 4 128 B C B C B C B C B C x x x x x x x x x x ⇔ − + + − + = ⇔ − = ⇔ + − = 2 2 1 137 4 4( 2) 128 34 0 2 m m m m m ± ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = (thỏa ĐK (a)). Vậy 1 137 2 m ± = Câu II: 1) Giải phương trình: cos2 5 2(2 - cos )(sin - cos )x x x x+ = Giải: phương trình ⇔ (cosx–sinx) 2 - 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos - sin -1 cos - sin 5( cos - sin 2) x x x x loai vi x x = ⇔ = ≤ 2 2 2 sin( ) 1 sin( ) sin ( ) 4 4 4 2 x k x x k Z x k π π π π π π π = + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈ = + 2) Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 2 8 27 18 (1) 4 6 (2) x y y x y x y + = + = Giải: (1) ⇒ y ≠ 0 Hệ ⇔ 3 3 3 3 2 2 27 3 8 18 (2 ) 18 4 6 3 3 1 2 . 2 3 x x y y x x x x y y y y + = + = ÷ ⇔ + = + = ÷ Đặt a = 2x; b = 3 y . Ta có hệ: 3 3 3 18 1 ( ) 3 a b a b ab ab a b + = + = ⇔ = + = Hệ đã cho có 2 nghiệm 3 5 6 3 5 6 ; , ; 4 4 3 5 3 5 − + ÷ ÷ + − Câu III: 1) Tính tích phân I = 2 2 6 1 sin sin 2 π π × + ∫ x x dx Gii: I = 2 2 6 3 cos (cos ) 2 ì x d x . Đặt 3 cos cos 2 x u = ì I = 2 4 2 sin 2 3 udu = ( ) 3 2 16 + 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m sao cho phng trỡnh sau cú nghim thc: 2 2 1 1 1 1 9 ( 2)3 2 1 0 x x m m + + + + + = (1) Gii: k [-1;1]x , t t = 2 1 1 3 x+ ; [-1;1]x [3;9]t (1) tr thnh 2 2 2 2 1 ( 2) 2 1 0 ( 2) 2 1 2 t t t m t m t m t t m t + + + + = = + = Xột hm s f(t) = 2 2 1 2 t t t + , vi [3;9]t 2 / / 1 4 3 ( ) , ( ) 0 3 ( 2) t t t f t f t t t = + = = = Lp bng bin thiờn t 3 9 f / (t) + f(t) 48 7 4 (1) cú nghim [-1;1]x (2) cú nghim [3;9]t 48 4 7 m Cõu IV: Cho hỡnh chúp S. ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) =60 0 , ABC v SBC l cỏc tam giỏc u cnh a. Tớnh theo a khong cỏch t B n mt phng (SAC). Gii: Gi M l trung im ca BC v O l hỡnh chiu ca S lờn AM. Suy ra: SM =AM = 3 2 a ; 0 60 =AMS v SO mp(ABC) d(S; BAC) = SO = 3 4 a V(S.ABC) = 3 3 1 ( ). 3 16 a dt ABC SO = Mt khỏc, V(S.ABC) = 1 ( ). ( ; ) 3 dt SAC d B SAC SAC cõn ti C cú CS =CA =a; SA = 3 2 a dt(SAC) = 2 13 3 16 a Vy d(B; SAC) = 3 3 ( ) 13 V a dt SAC = Phn riờng: 1. Theo chng trỡnh chun: Cõu Va(1 im): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 9 và đờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. Từ phơng trình của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và ACAB => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 23 = IA 51 3 2 1 6 7 2 mm m m = = = = C S O M A B Cõu VIa. (1 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình 3 1 12 1 == zyx . Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HIAH => HI lớn nhất khi IA Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véctơ pháp tuyến. )31;;21( tttHdH ++ vì H là hình chiếu của A trên d nên . 0 ( (2;1;3)AH d AH u u = = uuur r r là véc tơ chỉ phơng của d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0 7x + y - 5z -77 = 0 Cõu VIIa( 1 im ) : Cho ba s thc dng a, b, c tha món abc = 1. Chng minh rng: Gii: 3 3 3 4 4 4 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) a b c b c c a a b + + + + + + + + 3 3 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 ; ; (1 )(1 ) 8 8 4 (1 )(1 ) 8 8 4 (1 )(1 ) 8 8 4 a b c a b c a b c a b c b c c a a b + + + + + + + + + + + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 4 2 4 4 a b c a b c abc b c c a a b + + + + = + + + + + + , du = xy ra khi a= b=c= 1 Suy ra pcm. Theo chng trỡnh nõng cao: Cõu Vb: Cho ABC cú din tớch bng 3/2; A(2;3), B(3;2), trng tõm G (d) 3x y 8 = 0. Tỡm bỏn kinh ng trũn ni tip ABC. Gii: Gi C(a; b) , (AB): x y 5 =0 d(C; AB) = 5 2 2 ABC a b S AB = 8(1) 5 3 2(2) a b a b a b = = = ; Trng tõm G ( ) 5 5 ; 3 3 a b+ (d) 3a b =4 (3) (1), (3) C(2; 10) r = 3 2 65 89 S p = + + (2), (3) C(1; 1) 3 2 2 5 S r p = = + Cõu VIb: Trong khụng gian Oxyz cho ng thng (d) l giao tuyn ca 2 mt phng: (P): 2x 2y z + 1 =0, (Q): x + 2y 2z 4 = 0 v mt cu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 4x 6y + m = 0. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m (S) ct (d) ti 2 im MN sao cho MN= 8. Gii: (S) tõm I(-2;3;0), bỏn kớnh R= 13 ( 13)m IM m = < Gi H l trung im ca MN MH= 4 IH = d(I; d) = 3m (d) qua A(0;1;-1), VTCP (2;1;2)u = r d(I; d) = ; 3 u AI u = r uur r Vy : 3m =3 m = 12( tha k) Cõu VIIb: Cho ba s thc dng a, b, c tha món abc = 1. Chng minh rng: 3 3 3 1 8 1 8 1 8 1 a b c c a b + + + + + Gii: 3 2 2 8 1 (2 1)(4 2 1) 2 1 cauchy c c c c c+ = + + + 2 3 2 1 8 1 a a c c + + Tng t, 2 2 3 3 ; 2 1 2 1 8 1 8 1 b b c c a b a b + + + + Ta s chng minh: 2 2 2 1 (1) 2 1 2 1 2 1 a b c c a b + + + + + ( t c/m) . (1 )( 1 ) 8 8 4 (1 )( 1 ) 8 8 4 (1 )( 1 ) 8 8 4 a b c a b c a b c a b c b c c a a b + + + + + + + + + + + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 3 3 (1 )( 1 ) (1 )( 1 ). 5 3 2( 2) a b a b a b = = = ; Trng tõm G ( ) 5 5 ; 3 3 a b+ (d) 3a b =4 ( 3) ( 1), ( 3) C(2; 1 0) r = 3 2 65 89 S p = + + ( 2), ( 3) C(1; 1) 3 2