skkn Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh tia nằm giữa hai tia

Trong chương trình Hình học 6 thì chủ đề “Chứng minh một tia nằm giữa hai tia’’ rất quan trọng, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh tính được số đo của các góc cũng như chứng minh được mộ

BÁO CÁO SÁNG KIẾN Phần I: Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến.

Mục đích của đổi mới giáo dục hiện nay là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học

Theo tinh thần đó, các yếu tố của quá trình giáo dục trong nhà trường phổ thông cần được tiếp cận theo định hướng đổi mới Việc xây dựng các chủ đề dạy học một cách hợp lý, khiến cho kiến thức môn học trở nên sinh động, hấp dẫn, có ưu thế trong việc tạo ra động cơ, hứng thú học tập cho học sinh Trong chương trình Hình học 6 thì chủ đề “Chứng minh một tia nằm giữa hai tia’’ rất quan trọng, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh tính được số đo của các góc cũng như chứng minh được một tia

là tia phân giác của một góc Qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ, trao đổi với các đồng nghiệp bản thân tôi nhận thấy các em học sinh còn nhiều lúng túng khi chứng minh một tia nằm giữa hai tia, bởi trong sách giáo khoa không đưa ra một phương pháp cụ thể nào, và không có một khuôn mẫu chung nào cho cách trình bày dạng toán này, vì vậy cách trình bày lời giải của các em rất đa dạng Do đó việc giúp các em nhận biết và hiểu được bản chất của việc chứng minh một tia nằm giữa hai tia

là rất quan trọng, từ đó có một lời giải chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Đồng thời tạo cho các em có hứng thú trong việc giải các bài toán hình học, cũng như đam mê khi học bộ môn Toán , nhất là với các em học sinh giỏi của trường

Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh hệ thống các phương pháp chứng minh một tia nằm giữa hai tia Trước hết là giúp các em hiểu được các kiến thức cơ bản được trình bày trong sách giáo khoa, đó là: nửa mặt phẳng là gì; tia nằm giữa hai tia; góc là gì; tia nằm trong góc; điểm nằm trong góc; đo góc; số đo góc; so sánh hai góc; khi nào thì xOy yOz xOz� +� =� ; thế nào là góc bẹt, góc vuông, góc tù , góc nhọn, hai góc kề nhau; hai góc phụ nhau; hai góc bù nhau, hai góc

kề bù; hai tia nằm trong cùng một mặt phẳng; hai tia nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau; trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox nếu xOy m xOz n� = 0;� = 0mà m < n0 0thì tia

Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz; tia phân giác của một góc là gì Từ đó giáo viên hình thành cho học sinh các phương pháp chứng minh một tia nằm giữa hai tia giúp các

em thấy được sự đa dạng và phong phú trong chứng minh hình học, đồng thời kích thích các em khám phá những kiến thức mới, say mê trong học tập, góp phần hình thành các năng lực cho học sinh theo tinh thần đổi mới giáo dục phổ thông hiện nay

Đó chính là lí do tôi lựa chọn đề tài :“Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh tia nằm giữa hai tia nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán 6” để nghiên cứu, với hy vọng nó sẽ giúp học sinh học tốt các dạng toán chứng minh

của hình học lớp 6 và qua đó góp phần nâng cao chất lượng của bộ môn Toán nói chung

Phần II Mô tả giải pháp.

1) Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy: khi tính số đo góc hay chứng minh một tia là tia phân giác của một góc có liên quan đến việc chứng minh một tia nằm giữa hai tia; các em gặp rất nhiều lúng túng, và khó khăn nhất trong bước này; do đó nhiều em bỏ qua không chứng minh một tia nằm giữa hai tia, dẫn đến có nhiều sai sót trong lời giải cũng như một lời giải không hoàn chỉnh Nguyên nhân có thể do các em quên kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến thức một cách hợp lý vào chứng minh một tia nằm giữa hai tia Các em mới chỉ biết vận dụng vào các bài toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp các phương pháp vào giải các bài toán khó với yêu cầu cao hơn

2) Mô tả giải pháp sau khi áp dụng sáng kiến:

Từ thực trạng đó, qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu tài liệu cũng như dự giờ các đồng nghiệp, trao đổi cùng học sinh, tôi đề xuất một số giải pháp để áp dụng đối với các em học sinh của nhà trường THCS Lê Quý Đôn trong dạy chứng minh một tia nằm giữa hai tia, cụ thể như sau:

* Đối với học sinh đại trà: Cung cấp các phương pháp đơn giản để chứng minh

tia nằm giữa hai tia

* Đối với học sinh khá, giỏi: yêu cầu phải chứng minh một tia nằm giữa hai tia

bằng lập luận chặt chẽ, logic hơn

Với mỗi phương pháp, đều được trình bày theo các nội dung:

- Phương pháp giải chung: giúp học sinh định hình được cách thức áp dụng phương pháp trong giải toán

- Các ví dụ mẫu: Được phân tích cách làm, chỉ ra một số sai lầm hay mắc phải hoặc lưu ý khi làm bài

Sau khi trỡnh bày cỏc phương phỏp tụi đưa ra một số bài tập tổng hợp nhằm củng

cố cỏc phương phỏp đó học cũng như sự linh hoạt khi làm bài của học sinh

2.1 Phương phỏp chứng minh tia nằm giữa hai tia suy ra từ việc điểm nằm giữa hai điểm:

a)Phương phỏp:

Cho ba tia Ox, Oy, Oz chung gốc Lấy điểm M bất kỡ trờn tia Ox, lấy điểm N bất kỡ trờn tia Oy ( M và N đều khụng trựng với điểm O).

-Nếu tia Oz cắt đoạn thẳng MN tại một điểm nằm giữa M và N (hay tia Oz cắt đoạn thẳng MN) ta núi tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy:

(Như vậy mọi tia chung gốc đều nằm giữa hai tia đối nhau)

- Nếu tia Oz khụng cắt đoạn thẳng MN ta núi tia Oz khụng nằm giữa hai tia Ox

và Oy:

b)Cỏc vớ dụ:

Vớ dụ 1.1 : : Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB Vẽ

điểm N nằm giữa M và B Lấy điểm O nằm ngoài đờng thằng AB Giả sử AOB=� 110 ;0

� 60 ;0

AOM = MON =� 20 ;0 Tính số đo NOB� ?;

Hướng dẫn giải:

Vì điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên M nằm giữa hai điểm

A và B , suy ra tia OM nằm giữa hai tia OA và OB, do đó ta có:

AOM MOB AOB+ = hay 600 +MOB� =1100 �MOB� =1100- 600 =500.

Vì điểm N nằm giữa hai điểm M và B, nên tia ON nằm giữa hai tia OM và OB,

do đó ta có:

MON NOB MOB+ = hay 200 +MOB� =500 �NOB� =500- 200 =300

Vậy NOB =� 300.

Ví dụ 1.2 : Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, điểm D thuộc tia BC và

không trùng B, điểm O nằm ngoài đường thẳng AC Trong ba tia OA, OB, OD tia nào nằm giữa hai tia còn lại? (Bài 39 - trang 67/sách nâng cao và phát triển toán 6 tập 2)

Hướng dẫn giải:

-Ta có: Điểm B nằm giữa hai điểm A và C nên suy ra hai tia BA và BC là hai tia đối nhau (1)

-Vì điểm D thuộc tia BC nên hai tia BD và BC là hai tia trùng nhau (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai tia BA và BD là hai tia đối nhau Nên điểm B nằm giữa hai điểm A và D Mà O nằm ngoài đường thẳng AC hay AB Do đó trong ba tia

OA, OB, OD tia OB nằm giữa hai tia còn lại; Tia OA không nằm giữa hai tia còn lại; tia OD không nằm giữa hai tia còn lại

Ví dụ 1.3 : Cho tia Oc nằm giữa hai tia Oa và Ob không đối nhau, tia Om

nằm giữa hai tia Oa và Oc, tia On nằm giữa hai tia Oc và Ob Giải thích vì sao tia Oc nằm giữa hai tia Om và On? (Ví dụ 15- trang 66//sách nâng cao và phát triển toán 6 tập 2)

Hướng dẫn giải:

Lấy điểm A, B không trùng với điểm O sao cho A thuộc tia Oa, B thuộc tia Ob.Tia Oc nằm giữa hai tia Oa và Ob nên tia Oc cắt đoạn thẳng AB tại điểm

C nằm giữa hai điểm A và B, suy ra hai tia CA và CB là hai tia đối nhau(1)

Cũng vậy, tia Om cắt đoạn thẳng AC tại điểm M nằm giữa A và C nên hai tia CA và CM là hai tia trùng nhau(2); tia On cắt đoạn thẳng CB tại N nằm giữa

C và B nên hai tia CN và CB là hai tia trùng nhau(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra hai tia OM và ON là hai tia đối nhau nên điểm C nằm giữa hai điểm M và N, do đó tia Oc nằm giữa hai tia Om và On

Chú ý: -Bài toán trên vẫn đúng nếu Oa, Ob là hai tia đối nhau.

*Qua các ví dụ trên, giáo viên rèn cho học sinh:

-Kĩ năng vẽ hình

-Bài toán dạng này cốt lõi là phải chứng minh được điểm nằm giữa hai điểm vì vậy giáo viên cần củng cố và rèn cho học sinh các phương pháp chứng minh một điểm nằm giữa hai điểm

2.2 Phương pháp so sánh hai góc trên cùng một nửa mặt phẳng:

a)Phương pháp:

Sử dụng nhận xét : Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox có �xOy m xOz= 0;� =n0

mà m0<n0, thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.

b)Ví dụ :

Ví dụ 2 1:Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ hai tia OB, OC

sao cho BOA� =145 ,0 COA� =550.Tính số đo BOC� ? (Bài 27 trang 85/ SGK toán 6 tập 2)

Hướng dẫn giải:

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có: BOA� =1450<COA� =550 nên suy ra tia OC nằm giữa hai tia OA và OB Do đó ta có:

AOC COB BOA+ = �COB BOA AOC= - �COB= - =

Ví dụ 2.2: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

xy vẽ AOx=� 600 ; BOy=� 300 Chứng tỏ rằng AOB� là góc vuông

Hướng dẫn giải:

Vì điểm O thuộc đường thẳng xy nên hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau, suy

ra hai góc AOx� và AOy� là hai góc kề bù Do đó ta có:

�

0 0

180

60 120

AOx AOy

AOy 180

Vì hai góc AOx� và BOy� thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ xy nên hai tia OA

và OB thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ xy, mà BOy� =300<AOy� =1200 do đó tia

OB nằm giữa hai tia OA và Oy Suy ra:

AOB BOy AOy

AOB 120

Vậy AOB� là góc vuông

Chú ý:Với phương pháp này học sinh rất hay mắc sai lầm khi so sánh hai góc

mà không chú ý là hai góc đó có thuộc cùng một nửa mặt phẳng hay không Do

đó giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ năng nhận biết hai góc( hoặc hai tia) thuộc cùng một nửa mặt phẳng Đặc biệt là khi so sánh hai góc phải lưu ý hai góc đó phải nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh chung của hai góc

2.3 Phương pháp chứng minh tia nằm giữa hai tia được suy ra từ công thức cộng góc.

a) Phương pháp:

Để áp dụng phương pháp này, học sinh cần nắm chắc nội dung nhận xét sau:

Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì xOy� +�yOz=�xOz Ngược lại, nếu

xOy+yOz=xOz thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

b) Ví dụ:

Ví dụ 3.1 : Cho biết tia OI nằm giữa hai tia OA, OB Biết AOB =� 600;

4

. Tính BOI� ; AOI� ?( Bài 20/SGK toán 6 tập 2 trang 82)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4

; mà AOB=� 600 suy ra :

4

Vì tia OI nằm giữa hai tia OA và OB nên ta có: AOI BOI AOB� +� =�

Hay AOI 15� + 0=600�AOI� =600- 150=450

Vậy AOI =� 450.

Ví dụ 3.2: Cho hình vẽ, biết hai tia AM và AN đối nhau, MAP=� 330,

� 580

NAQ= , tia AQ nằm giữa hai tia AN và AP Hãy tính số đo x của PAQ� .( Bài 23/SGK toán 6 tập 2 trang 83)

Hướng dẫn giải:

Vì AM và AN là hai tia đối nhau nên MAP� và PAN� là hai góc kề bù, do đó ta có:

�

0 0

180 180

180 33 147

MAP PAN

PAN

Vì tia AQ nằm giữa hai tia AN và AP nên tao có :

� 1470 580 890

PAQ PAN QAN PAQ

Vậy x = 890

*Nhận xét : Ta thấy ở ví dụ trên không khó , học sinh có thể giải theo các cách khác

nhau nhưng giáo viên cần lưu ý học sinh cách lập luận cho chặt chẽ

2.4 Phương pháp chứng minh tia nằm giữa dựa vào hai góc kề nhau bù.

a)Phương pháp:

Nếu hai góc xOy� và yOz� là hai góc kề nhau mà:

+) xOy yOz� +� �1800 thì hai tia Ox và Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Oy nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

+) xOy yOz� +� >1800 thì hai tia Ox và Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia đối của tia Oy nên tia đối của tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

b)Ví dụ:

Ví dụ 4.1 Cho hai góc kề bù xOy� và yOz� , biết xOy� =3yOz�

a)Tính xOy� , yOz� ?

b)Vẽ góc zOt� kề với yOz� sao cho zOt=� 1350 Chứng tỏ rằng Oy và Ot là hai tia đối nhau?

Hướng dẫn giải:

a) Vì hai góc xOy� và yOz� là kề bù nên ta có:

0 0

180

xOy yOz yOz yOz

� 4yOz� =1800 � yOz 180� = 0:4 45= 0

Vậy yOz=� 450 và xOy=� 3.450=1350

b) Vì góc yOz� và zOt� là hai góc kề nhau nên hai tia Oy và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa cạnh chung Oz, do đó tia Oz nằm giữa hai tia Oy

và Ot, suy ra:

�

�

0

45 135 180

yOz zOt yOt yOt

yOt

Suy ra góc yOt� là góc bẹt Vậy hai tia Oy và Ot là hai tia đối nhau

*Nhận xét: Ở ví dụ này học sinh dễ mắc sai lầm là không chứng minh tia Oz

nằm giữa hai tia Oy và Ot mà sử dụng điều này một cách hiển nhiên

Ví dụ 4.2: Cho hai góc kề nhau AOB� và AOC� ,sao cho AOB=� 130 ;0

� 1100

AOC= Tính số đo góc BOC� ? (Ví dụ 9 trang 169- sách các dạng toán và phương

pháp giải toán 6 tập 2);

Hướng dẫn giải:

Vì hai góc AOB� và AOC� kề nhau mà AOB AOC� +� =1800+1100=2400>1800 suy ra hai tia OB và OC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia đối của tia

OA là tia OM, suy ra tia OM nằm giữa hai tia OB và OC

Vì hai tia OA và OM là hai tia đối nhau nên hai góc AOB� và BOM� là hai góc

kề bù, suy ra: AOB BOM� +� =1800�BOM� =1800- AOB� =1800- 1300=500.

Tương tự ta tính được COM =� 700

Vì tia OM nằm giữa hai tia OB và OC suy ra:

BOC BOM COM= + = + = Vậy BOC=� 1200.

2.5.Phương pháp chứng minh tia nằm giữa hai tia bằng cách áp dụng định nghĩa tia phân giác của một góc.

a)Phương pháp:Để áp dụng phương pháp này học sinh cần nắm vững định nghĩa tia phân giác của một góc:

Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.

b)Ví dụ:

Ví dụ 5.1: Cho hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một mặt phẳng có bờ chứa tia Ox.

Biết xOy� =30 ,0 xOz� =800 Vẽ tia phân giác Om của xOy� vẽ tia phân giác On của

�

yOz Tính mOn� (Bài 36 trang 87/SGK toán 6 tập 2)

Hướng dẫn giải:

+)Vì hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ có chứa tia Ox mà

� 300 � 800

xOy= <yOz= nên suy ra tia Oy nằm giữa hai Ox và Oz Do đó ta có:

 xOy yOz xOz� +� =� �yOz xOz xOy� =� - � =800- 300=500

 Và hai tia Ox và Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia

Oy (1)

+)Vì Om là tia phân giác của xOy� nên suy ra:

Và tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy suy ra hai tia Om và Ox cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ Oy(2)

+) Vì On là tia phân giác của yOz� nên suy ra:

Và tia On nằm giữa hai tia Oy và Oz, suy ra hai tia On và Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy(3)

Từ (1), (2) và (3) �hai tia Om và On thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Oy �tia Oy nằm giữa hai tia Om và On

� �mOn mOy yOn=� +� =150+250=400

Vậy mOn 40� = 0

Ví dụ 5.2: Cho hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox Biết

xOy 30 , xOz 120= =

a)Tính số đo góc yOz

b)Vẽ tia phân giác Om của �xOy , tia phân giác On của xOz� Tính số đo góc mOn .(Bài 36 trang 87/SGK toán 6 tập 2)

Hướng dẫn giải:

a)Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOy 30� = 0<xOz 120� = 0nên suy ra tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz, do đó ta có:

xOy yOz xOz

yOz xOz xOy 120 30 90

Vậy yOz 90� = 0

b) +)Vì Om là tia phân giác của xOy� nên suy ra:

Và tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy suy ra hai tia Om và Oy cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ Ox (2)

+) Vì On là tia phân giác của xOz� nên suy ra:

Và tia On nằm giữa hai tia Oy và Oz, suy ra hai tia On và Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox (3)

+) Vì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz, suy ra hai tia Oy và Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra hai tia Om và On thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox

Mà xOm 15� = 0<xOn 60� = 0 nên suy ra tia Om nằm giữa hai tia Ox và On Do đó ta có:

Vậy mOn 45� = 0

Nhận xét: Với bài này học sinh hay mắc sai lầm ở chỗ:

-Không đọc kĩ đề bài dẫn đến vẽ tia On là tia phân giác của góc �yOz hoặcvẽ đúng hình nhưng lại hiểu sai dẫn đến tính sai số đo góc mOn�

-Không chứng minh được hai tia Om và On thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ

Ox mà sử dụng điều này một cách hiển nhiên.(Đối với học sinh đại trà chúng ta

thường châm trước điều này)

-Học sinh thường so sánh hai góc �yOm và yOn� để suy ra tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, mà không để ý rằng hai góc này nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau

bờ chứa cạnh chung Oy

3.Một số bài tập tổng hợp:

Bài tập 1 (Trích đề thi cuối năm-năm học 2015- 2016/Phòng GD&ĐT Ý Yên):

Cho xOy 110� = 0.Vẽ hai tia Om, On nằm trong xOy� sao cho xOm yOn 25� =� = 0 Vẽ đường thẳng d cắt các tia Ox, Om, On, Oy lần lượt ở A, B, C, D

1) Chứng tỏ C nằm giữa B và D

2) Tính số đo góc BOC�

3) Tia phân giác của xOy� cắt d tại I Chứng tỏ rằng OI là tia phân giác của

�

BOC

Hướng dẫn giải:

1) Muốn chứng tỏ C nằm giữa B và D ta phải chứng tỏ tia On nằm giữa hai tia Oy

và Om Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh làm như sau:

+)Vì tia Om nằm trong góc xOy� nên suy ra tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy,

do đó ta có: xOm mOy xOy� +� =� �mOy xOy xOm 110� =� - � = 0- 250=850.