Để hình dung tốt hơn về khái niệm lược đồ Voronoi, ta xét bài toán sau. Mộtngười nào đó đang muốn đi đến một siêu thị để mua hàng, trong khi có quá nhiều siêu thị ở thành phố này. Người đó sẽ chọn siêu thị nào gần nhà nhất để thuận tiện trong việc đi lại và tiết kiệm thời gian, công sức. Khi đó, cần phải có một tấm bản đồ để chỉ ra siêu thị nào gần nhà người đó nhất. Trong khuôn khổ chương 1, luận văn sẽ giới thiệu cách để biết được siêu thị nào gần nhà nhất và ngược lại.
MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC BẢNG BIỂU DANH MỤC HÌNH ẢNH MỞ ĐẦU Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 10 1.1 Khái niệm lược đồ Voronoi 10 1.2 Xây dựng lược đồ Voronoi máy tính 15 1.2.1 Khái niệm dòng quét áp dụng vào việc xây dựng lược đồ Voronoi máy tính 16 1.2.2 Cấu trúc liệu sử dụng để xây dựng lược đồ Voronoi 19 1.3 Thuật toán 21 Chương VORONOI CHO TẬP CÁC ĐƯỜNG TRÒN 23 2.1 Vấn đề Apollonius thứ mười thơng qua điều chỉnh bán kính Mobius chuyển đổi 23 2.1.1 Cấu hình đường tròn Apollonius 24 2.1.2 Mobius chuyển đổi 28 2.1.3 Biến đổi điều chỉnh bán kính 33 2.1.4 Thuật toán 39 2.1.5 Một số ví dụ minh họa 39 2.2 Thuật tốn dòng qt xây dựng lược đồ Voronoi cho tập đường tròn mặt phẳng 40 2.2.1 Giới thiệu chung thuật toán 40 2.2.2 Ý tưởng thuật tốn dòng qt Fortune lược đồ Voronoi cho tập điểm 43 2.2.3 Áp dụng thuật tốn dòng qt xây dựng lược đồ Voronoi cho đường tròn 44 2.2.4 Các loại kiện thuật toán 47 Trang 2.2.5 Các thao tác cần xử lý thơng qua dòng qt 50 2.2.6 Thuật toán 57 2.2.7 Phân tích thời gian khơng gian thực thi thuật tốn 59 2.3 Một trường hợp đặc biệt lược đồ Voronoi cho tập đường tròn 62 2.3.1 Giải pháp 63 2.3.2 Các thuật toán 64 2.3.3 Đường tròn Apollonius 65 2.3.4 Các trường hợp thuật toán lật cạnh 66 2.3.5 Cạnh lược đồ Voronoi cho đường tròn đường tròn 69 2.3.6 Ví dụ minh họa 70 Chương LƯỢC ĐỒ VORONOI CHO ĐỒ THỊ 75 3.1 Phương pháp xấp xỉ đường ngắn 75 3.2 Lược đồ Voronoi đồ thị 75 3.2.1 Những khái niệm 76 3.2.2 Voronoi đồ thị 77 3.2.3 Lược đồ Voronoi đối ngẫu đồ thị 78 3.2.4 Thuật toán parallel Dijkstra 78 3.2.5 Đường lược đồ Voronoi đối ngẫu 80 3.2.6 Voronoi Sleeve 81 3.2.7 Thuật toán xấp xỉ 81 Chương CHƯƠNG TRÌNH MINH HỌA LƯỢC ĐỒ VORONOI CHO ĐỒ THỊ 94 4.1 Giao diện chương trình minh họa 94 4.2 Chức chương trình minh họa 95 KẾT LUẬN 100 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 Trang DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 2.1 Tất cấu hình “Vấn đề Apollonius thứ mười” 27 Bảng 2.2 Các quy tắc điều chỉnh bán kính 38 Bảng 3.1 Bảng thực nghiệm so sánh thời gian thực thi hai thuật toán 90 DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 1.1 Lược đồ Voronoi phân hoạch siêu thị thành phố 10 Hình 1.1 (a) Lược đồ Voronoi cho điểm 10 Hình 1.1 (b) Vùng Voronoi 11 Hình 1.2 Sự tạo thành lược đồ Voronoi cho trường hợp điểm khơng thẳng hàng 12 Hình 1.3 Đường tròn Cp(q) 15 Hình 1.4 Minh họa thời điểm thực thuật tốn dòng qt Fortune 16 Hình 1.5 Cách hình thành tính chất đường parabol 16 Hình 1.6 Đường beach Line tạo nhiều cung parabol cắt 17 Hình 1.7 Đường parabol sinh cấu trúc Beach Line thay đổi 17 Hình 1.8 (a) Hai điểm phân kỳ hội tụ l xuống 17 Hình 1.8 (b) Cấu trúc đường Beach Line bị chia tách 17 Hình 1.9 Hai điểm hội tụ tạo thành đỉnh q 18 Hình 2.1 Lược đồ Voronoi cho tập đường tròn 24 Hình 2.2 (a) Đường tròn tiếp xúc đường tròn phát tiếp xúc ngồi với 25 Hình 2.2 (b) Đường tròn phát nằm bên đường tròn tiếp xúc 25 Hình 2.2 (c) Đường tròn phát chứa đường tròn tiếp xúc 26 Hình 2.3 Đường tròn tiếp xúc qua z0 30 Hình 2.4 Các đường tròn tiếp xúc ánh xạ thành đường thẳng tiếp tuyến 31 Hình 2.5 Quy tắc điều chỉnh bán kính 34 Hình 2.6 Tập đường tròn cho trước mặt phẳng 40 Hình 2.7 Bốn vùng Voronoi 41 Hình 2.8 Một đường tròn tham gia vào hai vùng Voronoi 41 Hình 2.9 Bốn site S11, S12, S21, S22 tạo 44 Hình 2.10 Khoảng cách từ điểm p đến đường tròn g1 45 Trang Hình 2.11 Đỉnh, cạnh vùng Voronoi 46 Hình 2.12 Dòng qt S đường Beach Line B 46 Hình 2.13 (a) Đường chuẩn D cho cung parabol nằm ngồi đường tròn 47 Hình 2.13 (b) Đường chuẩn D cho cung parabol nằm đường tròn 47 Hình 2.14 Bốn loại kiện 48 Hình 2.15 Bốn cấu hình khác đường tròn Apollonius 49 Hình 2.16 Xử lý kiện điểm 50 Hình 2.17 Xử lý kiện kết hợp 52 Hình 2.18 Xử lý kiện chéo 54 Hình 2.19 Dòng quét S gặp kiện điểm E 56 Hình 2.20 Xử lý kiện đường tròn 56 Hình 2.21 Lược đồ Voronoi cho đường tròn đường tròn 62 Hình 2.22 Các bước hình thành lược đồ Voronoi 63 Hình 2.23 Đường tròn mate 63 Hình 2.24 Cấu trúc Voronoi ban đầu 64 Hình 2.25 Các trường hợp hình thành đường tròn tiếp xúc 65 Hình 2.26 Mobius chuyển đổi 66 Hình 2.27 Đường tròn tiếp xúc khơng cắt đường tròn mate 66 Hình 2.28 Đường tròn tiếp xúc cắt đường tròn mate 67 Hình 2.29 Chỉ có đường tròn tiếp xúc cho đỉnh v2 tồn cắt mate 68 Hình 2.30 Chỉ có đường tròn tiếp xúc cho đỉnh v2 tồn khơng cắt mate 69 Hình 2.31 Hai ví dụ đường tiếp tuyến tạo 70 Hình 2.32 Sơ đồ đầu tiên: tập đường tròn cho trước 70 Hình 2.33 Hình thành lược đồ Voronoi cho điểm 71 Hình 2.34 Cấu trúc Voronoi ban đầu với đường tròn đóng thêm vào 71 Hình 2.35 Cấu trúc đường tròn tiếp xúc ban đầu 72 Hình 2.36 Tâm đường tròn Apollonius 72 Hình 2.37 Phát sinh tham số cho đường cong Bezier 73 Hình 2.38 Thêm đường cong Bezier 74 Trang Hình 2.39 Lược đồ Voronoi cho đường tròn hồn chỉnh 74 Hình 3.1 Đồ thị có hướng 76 Hình 3.2 Ví dụ đường từ s đến t 84 Hình 3.3 Ví dụ minh họa cho bổ đề 3.3 84 Hình 4.1 Giao diện ứng dụng tìm đường ngắn xấp xỉ 94 Hình 4.2 Giao diện ứng dụng với đồ thị site 96 Hình 4.3 Giao diện ứng dụng với đồ thị vùng Voronoi 96 Hình 4.4 Giao diện ứng dụng với Voronoi dual 97 Hình 4.5 Giao diện ứng dụng với Voronoi sleeve 98 Hình 4.6 Giao diện ứng dụng với đường ngắn xấp xỉ 98 Hình 4.7 Giao diện ứng dụng với đường trùng với đường ngắn xấp xỉ 99 Trang MỞ ĐẦU Lược đồ Voronoi khái niệm đề xuất từ lâu Vào kỷ 17, Descartes chia vũ trụ thành “cơn lốc” (vortices), xem lược đồ Voronoi Descartes không định nghĩa rõ ràng “cơn lốc” ông ô Voronoi (xem hình bên dưới) Sau đó, vào kỉ 19, nghiên cứu nhà toán học Đức Lejeune Dirichlet dạng tồn phương đóng góp nhiều cho việc xây dựng lược đồ Voronoi Chính mà lược đồ voronoi gọi “cách lát đá hoa Dirichlet” Trước năm 1859, Dirichlet đưa khái niệm Voronoi không gian chiều chiều Vào năm 1908, M.G.Voronoi đưa khái niệm Voronoi không gian n chiều tên Voronoi Trước đây, lược đồ Voronoi coi thuộc lĩnh vực toán học, thuật toán để giải vấn đề hình học Do nhu cầu hoạt động nghiên cứu, phân tích thiết kế thuật tốn mà hình học tính tốn đời vào khoảng năm 1970 Hình học tính Trang tốn (computational geometry) nhánh khoa học máy tính nghiên cứu thuật tốn để giải tốn hình học Trong tốn học thiết kế kỹ thuật đại, hình học tính tốn có ứng dụng đồ họa máy tính, robot, thiết kế nhờ máy tính hỗ trợ, thống kê nhiều lĩnh vực khác Dữ liệu đầu vào cho tốn hình học tính tốn thường mô tả tập hợp đối tượng hình học, tập hợp điểm, tập hợp đoạn thẳng,… Phần lớn tốn hình học tính tốn có xét đến khoảng cách điểm Lược đồ Voronoi có nhiều ứng dụng ngành khoa học Bất ta quan tâm đến khoảng cách tập liệu phân biệt Voronoi tỏ hữu hiệu Đối với dự án khoa học lớn có trợ giúp máy tính, lược đồ Voronoi giúp giảm đáng kể phép tính làm tăng hiệu thuật tốn Chính vậy, phát triển độc lập nhiều ngành khoa học khác Chẳng hạn như, năm 1909, nhà khoa học người Nga tên BT Boldyrev sử dụng khái niệm “vùng ảnh hưởng đa giác” nghiên cứu ông Geology Năm 1911 Meteogology, Thiesen dùng lược đồ Voronoi để tính lượng mưa trung bình Năm 1927, nhà khoa học Đức – Paul Niggli ứng dụng lược đồ Voronoi ngành tinh thể học Năm 1933, hai nhà vật lý học EP Wigner F.Seitz tiến hành nghiên cứu quan trọng ứng dụng lược đồ Voronoi vật lý Sau đó, lược đồ Voronoi tiếp tục đóng vai trò quan trọng Vật lý học, Sinh thái học, Giải phẫu học Thiên văn học suốt năm 1900 Cho đến nay, lược đồ Voronoi phát triển thành nhiều loại khác tùy theo yêu cầu toán Một cách tổng quát, lược đồ Voronoi tập điểm (thường gọi trạm) mặt phẳng cách chia mặt phẳng thành vùng, vùng chứa (hoặc nhiều trạm), điểm vùng gần với trạm trạm khác Tuy nhiên, ứng dụng lược đồ Voronoi vào toán thực tế, đối tượng điểm không đáp ứng nhu cầu tốn Do đó, cần mở rộng lược đồ Voronoi cho tập đối tượng hình học khác đường tròn, đồ thị, elip,… Gần đây, có số nghiên cứu lược đồ Voronoi mở rộng lược đồ Voronoi cho tập đường tròn ứng dụng vào thiết kế cáp cho xe có động giúp Trang giảm thiểu nguyên liệu làm cáp nhiên liệu chứa cáp; lược đồ Voronoi cho đồ thị dùng để tìm đường ngắn từ điểm đầu đến điểm cuối; lược đồ Voronoi cho elip ứng dụng vào việc thiết kế thân tàu thủy, thân máy bay; lược đồ Voronoi mặt phẳng ba chiều để hình thành lược đồ Voronoi cho khối đa diện xử lý hình ảnh ba chiều… Với ứng dụng vô rộng rãi lược đồ Voronoi, nhóm chọn đề tài với mong muốn tìm hiểu khái niệm tính chất lược đồ Voronoi bản, với số lược đồ Voronoi mở rộng Luận văn khảo sát, nghiên cứu lý thuyết, tính chất quan trọng lược đồ Voronoi Dựa sở đó, luận văn sử dụng lược đồ Voronoi để tìm hiểu lược đồ Voronoi mở rộng Trong lược đồ Voronoi mở rộng trình bày trên, nhóm nhận thấy lược đồ Voronoi cho tập đường tròn lược đồ Voronoi cho đồ thị thú vị có đặc trưng riêng nên chọn hai loại lược đồ để nghiên cứu luận văn Luận văn kết cấu thành chương, chương trình bày định nghĩa tính chất quan trọng lược đồ Voronoi Trong chương này, luận văn trình bày thuật tốn hữu hiệu để xây dựng lược đồ Voronoi cấu trúc liệu cần thiết để biểu diễn lược đồ Voronoi Trong chương 2, luận văn khảo sát lược đồ Voronoi cho tập đường tròn cho trước mặt phẳng Chương trình bày “Vấn đề Apollonius thứ mười” Vấn đề đưa cách thức tìm đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn phát cho trước Đồng thời, chương phân tích thuật tốn dòng quét xây dựng lược đồ Voronoi mở rộng thành lược đồ Voronoi cho đường tròn đường tròn Nội dung chương đề cập đến lược đồ Voronoi cho đồ thị, giới thiệu, trình bày định nghĩa liên quan đến lược đồ Voronoi cho đồ thị, nêu thuật tốn để hình thành lược đồ Chương trình minh họa ứng dụng cho thuật tốn chương 3, giao diện chương trình ứng dụng hướng dẫn cách sử dụng chương trình trình bày chương Trang Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Để hình dung tốt khái niệm lược đồ Voronoi, ta xét toán sau Một người muốn đến siêu thị để mua hàng, có nhiều siêu thị thành phố Người chọn siêu thị gần nhà để thuận tiện việc lại tiết kiệm thời gian, cơng sức Khi đó, cần phải có đồ để siêu thị gần nhà người Trong khn khổ chương 1, luận văn giới thiệu cách để biết siêu thị gần nhà ngược lại Hình 1.1 Lược đồ Voronoi phân hoạch siêu thị thành phố 1.1 Khái niệm lược đồ Voronoi Trong khuôn khổ luận văn, tất đối tượng hình học xét mặt phẳng chiều Định nghĩa 1.1 Xét P={p1, p2,…, pn} tập hợp n điểm cho trước nằm mặt phẳng P p1 p4 Lược đồ Voronoi P cách phân hoạch mặt phẳng thành n vùng Mỗi vùng ứng với điểm P, cho điểm q thuộc vùng tương ứng với pi khoảng cách từ q tới pi nhỏ khoảng cách từ q tới pj với pj ≠ pi Nghĩa là: ∀pj ∈ P, j ≠ i, ta có: dist(q, pi) < dist(q, pj) Trang 10 p3 p2 p6 p7 p8 p5 p9 p10 p11 Hình 1.1(a): Lược đồ Voronoi Ở đây, khoảng cách điểm xác định theo khoảng cách euclide: dist ( p, q) pi p x q x 2 p y q y 2 Ta ký hiệu: - Vor (P) lược đồ Voronoi P - V(pi) vùng Voronoi ứng với trạm pi Hình 1.1 (b): Vùng Voronoi pi kí hiệu V(pi) Dễ dàng nhận thấy rằng, lược đồ Vorononoi tạo thành đường trung trực đoạn thẳng tạo hai điểm p, q; với p, q ∈ P Một đoạn đường trung trực tạo thành đường biên chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Để cho thuận tiện, ta kí hiệu: - Nửa mặt phẳng chứa p h(p, q) - Nửa mặt phẳng chứa q h(q, p) Ghi chú: Cho hai điểm p, q mặt phẳng Xét điểm r bất kỳ, ta thấy r thuộc nửa mặt phẳng chứa p, nghĩa r ∈ h(p,q) khoảng cách từ r tới p nhỏ khoảng cách từ r tới q, nghĩa là: dist(r, p) < dist(r, q) Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa vùng Voronoi pi (V(pi)), ta nhận thấy V(pi) giao nhiều (n −1) nửa mặt phẳng pi với pj, với i ≠ j Ta viết sau: V(pi) = ⋂ , ℎ( , ) Chứng minh ● V(pi) phần giao tối đa (n-1) nửa mặt phẳng Do xung quanh có tối đa (n-1) đỉnh nên có tối ta (n-1) cạnh ● Lược đồ Voronoi phần giao số nửa mặt phẳng Lược đồ Voronoi cho tập điểm thẳng hàng gồm (n-1) cạnh đường thẳng ngược lại, lược đồ Voronoi gồm (n-1) cạnh đoạn thẳng nửa đường thẳng Khi đó, tập n vùng V(pi) với i=1, … , ghép lại với tạo thành Vor(P) mặt phẳng P={p1, p2,…, pn} Trang 11 Mẫu (tương ứng với file 2.txt): 1000 đỉnh, 2000 cạnh, ứng với cạnh có trọng số Số site chọn 50 Mẫu (tương ứng với file 2.txt): 1000 đỉnh, 2000 cạnh, ứng với cạnh có trọng số chọn ngẫu nhiên từ tới 25 Số site chọn 50 Mẫu (tương ứng với file 2.txt): 5000 đỉnh, 10000 cạnh, ứng với cạnh có trọng số chọn ngẫu nhiên từ tới 25 Số site chọn 200 Bảng thực nghiệm thể thời gian thực thi chi phí đường thuật tốn Thời gian thực thi thuật toán đường xấp xỉ tính từ lúc tìm đường Voronoi đối ngẫu (vấn đề phân hoạch voronoi đồ thị tìm lược đồ voronoi đối ngẫu tính lần áp dụng cho nhiều lần sau, người dùng có ý muốn tìm đường cho cặp đỉnh khác) Thuật tốn tìm đường ngắn xấp xỉ cải thiện mặt thời gian tái sử dụng việc phân hoạch voronoi đồ sử dụng voronoi đối ngẫu để tính đường Bên cạnh việc tính đường thuật tốn này, tính thời gian thực thi thuật tốn Dijkstra phải tính từ lúc bắt đầu tới kết thúc thuật tốn Vì thuật tốn Dijkstra khơng thể tận dụng lại thời gian tính tốn cho lần thực tìm đường cho cặp đỉnh Phân tích bảng thực nghiệm này, với ba mẫu thử chia thành ba trường hợp thể cho trường hợp tốt nhất, xấu nhất, trung bình ứng với trường hợp, bảng thực nghiệm đưa kết chạy hai thuật tốn tìm đường ngắn xấp xỉ thuật toán Dijkstra, để người dùng thấy rõ khác biệt thời gian thực thi xấp xỉ chi phí đường cặp đỉnh Ở đây, tốt nhất, xấu xác định dựa tỷ số đường ngắn xấp xỉ Dijkstra chi phí lẫn thời gian thực thi Trường hợp tốt nhất: trình thực nghiệm, tập kết nhỏ kết có chi phí đường tính thuật tốn tìm đường ngắn xấp xỉ đạt chi phí đường tốt nhất, có nghĩa chi phí với kết mà thuật tốn Dijkstra tính tốn Kết tốt bảng thực nghiệm kết nhỏ tập kết trên, chọn ứng với chi phí hai thuật tốn thời gian Trang 87 tính tốn thuật tốn cải thiện khoảng 25 lần so với Dijkstra ứng với trường hợp Min cho mẫu thử 1, tập kết nhỏ nhiều đường cặp cạnh không lớn ứng với mẫu thử thứ ba, số lượng đỉnh, cạnh tăng cao, tập kết nhỏ thu lại đạt kết tương đương với đường tối ưu Trường hợp xấu nhất: Tương tứng với tập kết nhỏ tập kết lớn với chênh lệch chi phí hai thuật toán xấp xỉ hai lần Kết lớn bảng thực nghiệm kết lớn tập kết lớn cho thấy rõ chênh lệch chi phí bù lại cải thiện mặt thời gian ứng với trường hợp cho ba mẫu thử, nhận thấy chênh lênh mặt thời gian chi phí đường tương đương cho ba mẫu thử Trường hợp trung bình: tính tốn trung bình thời gian thực thi chi phí 100 cặp đỉnh ứng với mẫu thử Ứng với mẫu đưa chênh lệch chi phí thuật toán đường ngắn xấp xỉ gấp khoảng xấp xỉ 1.5 lần so với thuật toán Dijkstra Tuy nhiên mặt thời gian thực thi thuật toán đường xấp xỉ cải thiện khoảng 24 lần so với thời gian thực thi Dijkstra ứng với trường hợp cho ba mẫu thử, độ chênh lệch chi phí ln khơng vượt q 1.5 lần Trang 88 Min Max Trung bình Voronoi Dijkstra Voronoi Dijkstra Trung Trung Số Số Số Số Chi bình bình thứ Tỷ lệ đường đỉnh cạnh site phí thời Thời Chi Thời Chi Thời Chi Thời Chi thời tự Voronoi/Dijstra gian _ gian phí gian phí gian phí gian phí gian _ Voronoi Dijkstra 2.txt 1000 2000 50 1s 25s 1s 15 26s 1.19s 24.1s 1.36 ≡1 3.txt 1000 2000 50 1→25 1s 38 27s 38 1s 141 29s 74 1.23s 24.9s 1.41 4.txt 5000 10000 200 1→25 14s 59 371s 59 14s 139 391s 63 13.1s 389.9s 1.48 Bảng 3.1 Bảng thực nghiệm so sánh thời gian thực thi thuật toán đường ngắn xấp xỉ thuật toán Dijkstra Trang 90 Ba mẫu thử xếp tăng dần theo số đỉnh cạnh đồ thị Mẫu thứ ba lớn hẳn hai mẫu lại số lượng đỉnh cạnh đồ thị để thấy rõ khác biệt hai thuật tốn chênh lệch chi phí đường thời gian thực thi tương tự với hai mẫu thử lại Như vậy, qua bảng thực nghiệm trên, ta thấy ứng với mẫu thử, thời gian thực thi thuật tốn tìm đường ngắn xấp xỉ cải thiện hẳn so với thuật tốn Dijkstra Độ chênh lệch thuật tốn tìm đường ngắn xấp xỉ với thuật toán Dijkstra từ đến 1.5 Độ chênh lệch chấp nhận Trang 92 Chương CHƯƠNG TRÌNH MINH HỌA LƯỢC ĐỒ VORONOI CHO ĐỒ THỊ 4.1 Giao diện chương trình minh họa Hình 4.1 Giao diện ứng dụng tìm đường ngắn xấp xỉ Với chức sau: Cho phép người dùng tự tạo đồ thị site dùng để hình thành graph Voronoi Sau đó, chương trình tìm đường ngắn xấp xỉ đường xác Dijkstra, cho phép người dùng so sánh hai thuật toán Tương tự chức 1, người dùng mở file có chứa sẵn thơng tin đồ thị cho trước, Load đồ thị chương trình cung cấp sẵn để thực Sau đó, người dùng Save tạo file, để tiếp tục thực với đồ thị khác Trang 94 Ngồi hai chức trên, người dùng chọn smàu hiệu chỉnh đồ thị theo ý muốn Giao diện gồm menu, cơng cụ nút tiện ích: Thanh menu gồm: File: New, Open, Load, Save, Save as, Exit Format: color, background View: thị tên, chi phí, tọa độ Help: tác giả, cách sử dụng Thanh cơng cụ gồm: hình ảnh trực quan, giúp người dùng để sử dụng chức menu Các nút tiện ích gồm: tạo đỉnh, cạnh, tạo trọng số cho cạnh, tạo site, tạo nguồn đích, tìm đường ngắn xấp xỉ đường xác 4.2 Chức chương trình minh họa Để thực chức ta làm sau: Tạo đỉnh: click chuột lên vẽ, nhập tên đỉnh vào khung Tên đỉnh, sau nhấp nút Tạo Đỉnh bấm Enter Xóa đỉnh: chọn đỉnh danh sách nguồn, sau bấm nút xóa đỉnh Tạo Cạnh: chọn đỉnh đầu cuối cạnh danh sách nguồn đích, nhập trọng số vào chi phí, bấm nút tạo cạnh Xóa Cạnh: chọn đỉnh đầu cuối cạnh danh sách nguồn đích, sau bấm nút xóa cạnh Tạo Site: chọn site danh sách nguồn bấm tạo site Xóa Site: chọn site cần xóa danh sách đích bấm xóa site Tạo Nguồn, đích đường đi: chọn nguồn, đích đường danh sách nguồn, đích bấm tạo Nguồn, đích Trang 95 Hinh 4.2 Giao diện ứng dụng với đồ thị site Tạo graph Voronoi: bấm vào nút Graph Voronoi, graph Voronoi thị lên hình với vùng Voronoi chứa đỉnh màu với site Voronoi khác màu với vùng Voronoi khác Hình 4.3 Giao diện ứmg dụng với đồ thị với vùng Voronoi Trang 96 Tạo Voronoi dual: sau tạo graph Voronoi, bấm vào nút Voronoi dual, Voronoi dual thị lên hình gồm site Voronoi đối ngẫu cạnh đối ngẫu Hình 4.4 Giao diện ứng dụng với Voronoi dual 10 Tạo Voronoi sleeve: sau tạo Voronoi dual, bấm vào nút Voronoi sleeve, Voronoi sleeve thị lên hình đồ thị đồ thị ban đầu Trang 97 Hình 4.5 Giao diện ứng dụng với Voronoi sleeve 11 Tìm đường ngắn xấp xỉ: sau tạo Voronoi sleeve, bấm vào nút tìm đường ngắn xấp xỉ, đường lên hình với chi phí đỉnh trung gian cần qua Hình 4.6 Giao diện ứng dụng với đường ngắn xấp xỉ Trang 98 12 Tìm đường đúng: tìm đường ngắn xấp xỉ, bấm vào nút tìm đường để tìm đường xác, đường xác vẽ lên hình với chi phí đỉnh trung gian, tiện cho người dùng so sánh hai đường với hai thuật toán đường ngắn xấp xỉ Dijkstra Hình 4.7 Giao diện ứng dụng với đường trùng với đường ngắn xấp xỉ Trang 99 KẾT LUẬN Qua tháng nghiên cứu cài đặt chương trình ứng dụng minh họa, nhóm hồn thành luận văn với kết đạt sau: - Tìm hiểu làm rõ định nghĩa tính chất lược đồ Voronoi cho tập điểm cho trước mặt phẳng - Khảo sát hai loại lược đồ Voronoi mở rộng lược đồ Voronoi cho tập đường tròn lược đồ Voronoi đồ thị Đồng thời, đưa bảng thực nghiệm so sánh thời gian thực thi thuật toán đường ngắn xấp xỉ thuật tốn Dijkstra - Xây dựng chương trình minh họa ứng dụng để so sánh thời gian thực thi thuật toán đường ngắn xấp xỉ thuật toán Dijkstra Bên cạnh kết đạt được, thời gian có hạn, luận văn số hạn chế như: - Chưa cài đặt chương trình minh họa ứng dụng lược đồ Voronoi cho tập đường tròn - Chưa nghiên cứu lược đồ Voronoi mở rộng khác lược đồ Voronoi cho elip, lược đồ Voronoi cho mặt phẳng ba chiều,… với ứng dụng Đây hướng nghiên cứu nhóm thời gian tới Cụ thể, nhóm tiếp tục thực hiện: - Cài đặt chương trình minh họa ứng dụng lược đồ Voronoi cho tập đường tròn - Nghiên cứu nhiều loại lược đồ Voronoi mở rộng Voronoi cho elip, lược đồ Voronoi cho mặt phẳng ba chiều,… ứng dụng Trang 100 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Thị Diệu Huyền (2005), Lược đồ Voronoi toán tập điểm hai màu mặt phẳng [2] Nguyễn Thị Bích Ngân (2006), Nghiên cứu đánh giá thuật toán nén ảnh Bitmap Quadtree Tiếng Anh [3] Donguk Kim, Deok Soo Kim, Kokichi Sugihara (4-2005), “Apollonius tenth problem via radius adjustment and Mobius transformations”, Computer Aided design 38, tr 14-21 [4] li Jin, Donguk Kim, Lisen Mu, Deok Soo Kim, Shi Min Hu (11-2005), “A sweepline algorithm for Euclidean Voronoi diagram of circles”, Computer Aided design 38, tr 260272 [5] Donguk Kim, Deok Soo Kim, Kokichi Sugihara (4-2008), “Euclidean Voronoi Diagrams for Circles in a Circle”, Ian Livington [6] Christian Sommer, Michael E Houle, Marein Wolff and Shinichi Honiden (8-2008), “Approximate Shortest Path Queries in Graphs Using Voronoi Duals”, National Institute of Informatics [7] Martin Erwig (2000), “The graph Voronoi diagram with application”, Networks Một số địa website: [8] http://vi.wikipedia.org/wiki/Sơ_Đồ_Voronoi Trang 101 ... chất quan trọng lược đồ Voronoi Dựa sở đó, luận văn sử dụng lược đồ Voronoi để tìm hiểu lược đồ Voronoi mở rộng Trong lược đồ Voronoi mở rộng trình bày trên, nhóm nhận thấy lược đồ Voronoi cho tập... hình ảnh ba chiều… Với ứng dụng vô rộng rãi lược đồ Voronoi, nhóm chọn đề tài với mong muốn tìm hiểu khái niệm tính chất lược đồ Voronoi bản, với số lược đồ Voronoi mở rộng Luận văn khảo sát,... Xây dựng lược đồ Voronoi máy tính Như biết, lược đồ Voronoi có ứng dụng rộng rãi thực tế Ở mục trước, khảo sát số định nghĩa tính chất lược đồ Voronoi Trang 15 Nhưng lược đồ Voronoi áp dụng xây