Đề thi tuyển sinh lớp 10 20152016 chuyên toán tỉnh Phú Thọ

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên   Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG CHUN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN (Dà nh cho thı́ sinh thi và o lớp chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu 1 (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n  n  16 các số nguyên tố thì n chia hết cho 5 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x  y ( x  y)  2( x  1) Câu 2 (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A   3   3  2  3  2  3 b) Tìm m để phương trình:  x   x  3 x   x  5  m có 4 nghiệm phân biệt Câu 3 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x  x   x  1  x   x  xy  10 y  b) Giải hệ phương trình:   x  y  10 Câu 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC  R cố định Điểm A di độ ng trê n cung lớn  sao cho tam giá c ABC nhọ n Gọ i E là điem đoi xứng với B qua AC và F là điem đoi xứng BC vớ i C qua AB Cá c đường trò n ngoạ i tiep cá c tam giá c ABE và ACF cắt nhau tại K (K khô ng trù ng A) Gọi H là giao điểm của BE và CF  và tứ giá c BHCK nộ i tiep a) Chứng minh KA là phâ n giá c trong gó c BKC b) Xá c định vị trı́ điem A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhat, tı́nh diệ n tı́ch lớn nhat củ a tứ giá c đó theo R c) Chứng minh AK luô n đi qua mộ t điem co định Câu 5 (1,0 điểm) 1 Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn:    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x y z thức: y2 z2 z x2 x2 y P   x  y  z  y  z  x2  z  x2  y  HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 1  Chương trình luyện thi lớp 10 chun   Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG CHUN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dà nh cho thı́ sinh thi và o lớp chuyê n Toá n) (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I Một số chú ý khi chấm bài  Hướng dan cham thi dưới đâ y dựa và o lời giả i sơ lược củ a mộ t cá ch, khi cham thi, cá n bộ cham thi can bá m sá t yê u cau trı̀nh bà y lời giả i đay đủ , chi tiet, hợp lô -gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm  Thı́ sinh là m bà i theo cá ch khá c vớ i Hướng dan mà đú ng thı̀ to cham can thong nhat cho điem tương ứng với thang điem củ a Hướng dan cham  Điểm bài thi là tổng điểm các câu khơng làm tròn số II Đáp án-thang điểm Câu 1 (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n  n  16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x  y( x  y )  2( x  1) Nội dung Điểm a) (0,5 điểm) Ta có với mọ i so nguyê n m thı̀ m chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4 0,25 + Nếu n chia cho 5 dư 1 thì  n2  5k   n2   5k   5; k  * nên n  khơng là số ngun tố + Nếu n chia cho 5 dư 4  n  5k   n  16  5k  20 5; k  * nên n  16 không là số nguyên tố Vậy n 5 hay n chia hết cho 5 b) (1,0 điểm) x  y( x  y )  2( x  1)  x  2( y  1) x  2( y  1)  (1) Để phương trình (1) có nghiệm ngun x thì  ' theo y phải là số chính phương 0,25 0,25 Ta có  '  y  y   y    y  y     y  1  0,25  ' chính phương nên  '  0;1;4 + Neu  '    y  1   y  thay và o phương trı̀nh (1) ta có : x  x2  x   x  x  4    x  + Neu  '    y  1   y   0,25 y  + Neu  '    y  1     y  1 + Với y  thay và o phương trı̀nh (1) ta có : x  x  16    x     x  Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 0,25 Trang | 2  Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên   Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai + Với y  1 thay và o phương trı̀nh (1) ta có : x   x  Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm ngun :  x; y    0;1 ;  4;1 ;  4;3 ;  0; 1 Câu 2 (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A   3   3  2  3  2  3 b) Tìm m để phương trình:  x   x  3 x   x  5  m có 4 nghiệm phân biệt Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) A 2(3  5) 4 62  2(3  5) 0,25 4 62  3 3  2    (  1)  (  1)2  (3  5)(5  5)  (3  5)(5   2 (5  5)(5  5)  20   Vậ y A  20   3 3    2          15   5   15   5   5)      25     b) (1,0 điểm) Phương trình  x   x   x   x    m  ( x  x  8)( x  x  15)  m 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặ t x  x    x  1  y  y   , phương trı̀nh (1) trở thà nh:  y   y  16   m  y  25 y  144  m  (2) Nhậ n xé t: Với moi giá trị y  thı̀ phương trı̀nh:  x  1  y có 2 nghiệ m phâ n biệ t, do đó phương trı̀nh (1) có 4 nghiệ m phâ n biệ t  phương trı̀nh (2) có 2 nghiệ m dương phâ n biệ t  '    '  4m  49  49     m  144   S    25  P  144  m    49   m  144 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Câu 3 (2,0 điểm) Vậy với  0,25 0,25 0,25 a) Giải phương trình: x  x   x  1  x   x3  xy  10 y  b) Giải hệ phương trình:  2  x  y  10 Nội dung a) (1,0 điểm) Đieu kiệ n: x  1 (*) 2 Ta có : x  x   x  1  x   x  x x   x   2( x  x  1)   Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Điểm 0,25 Trang | 3  Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên   Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đặt x  x   y (Đieu kiệ n: y  ** ), phương trı̀nh trở thà nh y  y    y  1 y  y     y  1 y  3    y  +Với y  1 khô ng thỏ a mã n đieu kiệ n (**) + Với y  ta có phương trı̀nh: x  x 1   0,25 x  x  x   x 1   x      x   x  2 x    6x  x  x  x  10   x   thỏ a mã n đieu kiệ n (*) Vậ y phương trı̀nh có nghiệ m x  b) (1,0 điểm)  x  xy  x  y y  (1)  x  xy  10 y     2 2 (2)  x  y  10  x  y  10 Từ phương trı̀nh (1) ta có x  xy   x  y  y   x  xy  x y  y   x  x y  x y  xy  xy  y    x  y   x  xy  y     x  2y  x  y   x  xy  y     2  x  xy  y  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 y  11 y  + Trường hợp 1: x  xy  y    x      x  y  2  Với x  y  khô ng thỏ a mã n phương trı̀nh (2) + Trường hợp 2: x  y thay và o phương trı̀nh (2) ta có : y 1 x  y  y  12  y     y  1  x  2 Vậ y hệ phương trı̀nh có 2 nghiệ m  x ; y    2;1 ;  2; 1 2 0,25 Câu 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC  R cố định Điểm A di độ ng trê n cung lớn  sao cho tam giá c ABC nhọ n Gọ i E là điem đoi xứng với B qua AC và F là điem đoi xứng với BC C qua AB Cá c đường trò n ngoạ i tiep cá c tam giá c ABE và ACF cắt nhau tại K (K khô ng trù ng A) Gọi H là giao điểm của BE và CF  và tứ giá c BHCK nộ i tiep a) Chứng minh KA là phâ n giá c trong gó c BKC b) Xá c định vị trı́ điem A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhat, tı́nh diệ n tı́ch lớn nhat củ a tứ giá c đó theo R c) Chứng minh AK luô n đi qua điem co định Nội dung Điểm Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 4  Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên   Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai E A F P Q H B O I M C N K a) (1,5 điểm) Ta có  AKB   AEB (vì cùng chắn cung  AB củ a đường trò n ngoạ i tiep tam giá c AEB)   Mà ABE  AEB (tı́nh chat đoi xứng) suy ra  AKB   ABE (1)   (vì cùng chắn cung  AKC  AFC AC củ a đường trò n ngoạ i tiep tam giá c AFC)   AKC   ACF (2) ACF  AFC (tı́nh chat đoi xứng) suy ra   ) (3) Từ (1), (2) , (3) suy ra AKB  Mặ t khá c  ABE   ACF (cù ng phụ với BAC AKC  hay KA là phâ n giá c trong củ a gó c BKC Gọi P, Q lan lượt là cá c giao điem củ a BE vớ i AC và CF vớ i AB 1   1200 ;  BAC  BOC  600 Trong tam giá c vuô ng ABP Ta có BC  R nên BOC có  ABE   ACF  300 APB  900 ;  BAC  600   ABP  300 hay  Tứ giác APHQ có    PHQ   1800  PHQ   1200  BHC   1200 (đoi đı̉nh) AQH   APH  1800  PAQ   300 (theo chứng minh phan a) AKC   ABE  300 ,  AKB   ACF  ABE Ta có     BKC   1800 AKC   AKB   AFC   AEB   ACF   ABE  600 suy ra BHC Mà BKC nên tứ giác BHCK nội tiếp b) (1,5 điểm) Gọi (O’) là đường trò n đi qua bon điem B, H,C, K Ta có dây cung BC  R 3,   600  BAC  nên bán kính đường tròn (O’) bang bá n kı́nh R củ a đường trò n (O) BKC 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Gọ i M là giao điem củ a AH và BC thı̀ MH vng góc với BC, kẻ KN vng góc với BC (N thuộc BC), gọ i I là giao điem củ a HK và BC 0,25 Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 5  Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên   Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Ta có SBHCK  S BHC  S BCK  1 BC.HM  BC.KN  BC  HM  KN  2 1 BC ( HI  KI )  BC.KH (do HM  HI; KN  KI ) 2 Ta có KH là dây cung của đường tròn (O’; R) suy ra KH  R (không đổi) nên SBHCK lớn nhất khi KH  R HM  KN  HK  2R S BHCK  0,25 R 3.2 R  R 0,25 Khi HK là đường kính của đường tròn (O’) thı̀ M, I, N trùng nhau suy ra I là trung 0,25  điem củ a BC nên ABC câ n tạ i A Khi đó A là điểm chính giữa cung lớn BC c) (0,5 điểm)   BKC   1800   120 ;  0,25 Ta có BOC BKC  600 suy ra BOC nê n tứ giá c BOCK nộ i tiep đường trò n    OC   BKO   CKO  hay KO là phâ n giá c gó c BKC Ta có OB=OC=R suy ra OB 0,25  nên K ,O, A thang hà ng hay AK đi qua O co định theo phan (a) KA là phâ n giá c gó c BKC Câu 5 (1,0 điểm) 1 Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn:    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z 2 2 y z z x x2 y P   x  y  z  y  z  x2  z  x2  y  Giá trị lớn nhất S BHCK  Nội dung Ta có P  1 Điểm 1     1   x   y    z    x  y  y  z z x 1 Đặt  a;  b;  c a , b, c  a  b  c  x y z a b c a2 b2 c2 P 2      b  c c  a a  b a 1  a  b 1  b2  c 1  c    Ap dụ ng bat đang thức Cô si cho 3 so dương ta có 2 1  2a   a   a  a 1  a   2a (1  a )(1  a )     2  27 a2 3  a (1  a )    a (1) a (1  a ) 3 b2 3 c2 3 Tương tự:  b (2);  c (3) 2 b(1  b ) c (1  c ) Từ (1); (2); (3) ta có P  3 3 a  b2  c2   Đang thức xả y ra  2 Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang | 6  Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên   Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  a bc  3 hay x  y  z  Vậy giá trị nhỏ nhất của P là HẾT Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 7  Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên   Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em u thích tốn và muốn thi vào lớp 10 các trường chun - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước những năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ơn luyện học sinh giỏi - Hệ thống bài giảng được biên soạn cơng phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết quả tốt nhất - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất - Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thơng qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chun của HỌC247  https://www.facebook.com/congdonglop10chuyen  Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 8  ...Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên   Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG CHUN HÙNG VƯƠNG... Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em u thích tốn và muốn thi vào lớp 10 các trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước những năm qua -... Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên   Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em u thích tốn và muốn thi