SKKN 08-09

Phòng giáo dục tiên lãng Trờng thcs đoàn lập Sáng kiến kinh nghiệm đề tài: một số phơng trình ngiệm nguyên thờng gặp và cách giảI ********* Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS Ngời viết: nguyễn cảnh tuyên Đơn vị : trờng thcs đoàn lập Năm học: 2008 2009 a) Đặt vấn đề I) Sự cần thiết: Thực tế cho thấy trong chơng trình toán bậc THCS các bài toán giải phơng trình nghiệm nguyên là những bài toán không dễ với đa số học sinh. Hầu hết các em, và ngay cả các học sinh có học lực khá, giỏi khi gặp các bài toán này lần đầu đều cảm thấy lúng túng và không biết phải dùng các ph- ơng pháp nào đối với các bài toán cụ thể mà các em gặp. Chính vì vậy việc nêu ra và hệ thống hoá lại một số phơng pháp thờng dùng, kèm theo các ví dụ minh hoạ và hệ thống các bài tập rèn luyện kĩ năng là một việc rất cần thiết trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi nói chung. II) Mục đích: Với phân tích nh trên, bài viết sau đây xin giới thiệu một số ví dụ, qua đó giúp học sinh nắm đợc một cách có hệ thống một số phơng pháp hay gặp nhất khi giải các bài toán về phơng trình với nghiệm nguyên trong chơng trình Toán bặc THCS. III) đối t ợng, phạm vi, kế hoạch nghiên cứu 1) Đối t ợng : Là các học sinh có học lực khá, giỏi của các khối lớp 8 và 9, bậc học THCS 2) Phạm vi: Chỉ giới hạn trong việc hình thành và rèn luyện kĩ năng sử dụng các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên hay gặp nhất (phơng pháp xét ớc số nguyên, phơng pháp sử dụng tính chất không tồn tại số nguyên ở giữa hai số nguyên liên tiếp, phơng pháp sử dụng tính chất của số chính phơng, ph- ơng pháp sắp thứ tự các biến, phơng pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai) 3) Kế hoạch: Có thể đa vào giảng dạy từ nửa cuối của học kì 1 lớp 8 cho đến hết lớp 9, thời gian thực hiện trong khoảng 1 tháng. 4) Kết quả cần đạt: Sau khi hoàn thiện việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, thì các đối tợng đợc trực tiếp tham gia chơng trình học phải có đợc các kĩ năng thành thạo trong việc giải các phơng trình nghiệm nguyên thờng gặp nhất (nh đã nói ở trên) Giải đợc tối thiểu 8/18 bài tập trong phần bài tập áp dụng B) Nôi dung I) cơ sở lí luận: Nh đã nói ở trên, bài toán phơng trình với nghiệm nguyên là một mảng lớn và khó trong chơng trình Toán phổ thông, các bài toán dạng này thờng xuất hiện trong các kì thi HSG Toán, thi tuyển sinh vào lớp 10 các trờng THPT chuyên. Chính vì tính rộng lớn và phức tạp của nó mà việc giảng dạy các chuyên đề về phơng trình nghiệm nguyên cho học sinh cần đợc tiến hành một cách có hệ thống, theo từng bớc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp theo một trình tự hợp lí và có hệ thống. II) thực trạng của vấn đề: Hiện nay các sách Toán nâng cao viết về phơng trình nghiệm nguyên cũng rất ít có trên thị trờng, các chuyên đề của các thầy, Nguyễn Cảnh Tuyên Tr ờng THCS Đoàn Lập Năm học 2008 2009 2 Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS cô giáo viết về vấn đề này cũng không nhiều. Các bài toán về phơng trình nghiệm nguyên chỉ xuất hiện rải rác trong một số tài liệu Toán nâng cao, thực tế này cũng gây nhiều khó khăn cho các học sinh muốn tìm hiểu vấn đề một cách sâu sắc và có hệ thống. III) các giải pháp: Qua việc tìm hiểu, nghiên cứu, su tầm qua một số tài liệu tôi đã hệ thống hoá và giới thiệu với học sinh một số phơng pháp thờng gặp nhất để giải các phơng trình nghiệm nguyên trong chơng trình Toán bậc THCS. Mỗi phơng pháp sẽ đi kèm với một số lợng bài tập rèn luyện kĩ năng vừa đủ qua đó giúp các em học tập có chất lợng và hiệu quả hơn. Sau đây sẽ là nội dung các phơng pháp nh vậy. 1) Ph ơng pháp xét ớc số nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 2 2 499x x y+ + = (1) Lời giải: Ta biến đổi (1) 2 2 4 4 1996 4x x y+ + = 2 2 4 4 1 4 1995x x y+ + = 2 2 (2 1) (2 ) 1995x y+ = (2 2 1)(2 2 1) 1995y x y x + + = (2) Do x, y là các số nguyên dơng nên 2x + 2y + 1 > 0. Kết hợp với (2) suy ra 2y 2x 1 > 0. Vậy 2y + 2x + 1 > 2y 2x 1 > 0 Lại có 1995 = 1.1995 = 3.665 = 5.399 = 15.133, dẫn đến việc giải các hệ: 2 2 1 1995 2 2 1 1 y x y x + + = = ; 2 2 1 665 2 2 1 3 y x y x + + = = ; 2 2 1 399 2 2 1 5 y x y x + + = = ; 2 2 1 133 2 2 1 15 y x y x + + = = Từ đó giải bốn hệ phơng trình ta có đáp số { } ( ; ) (499;498);(167;165);(101;98);(37; 29)x y Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 3 2 2 10 4 0x y xy x y + + = ( 2 ) Lời giải: Ta biến đổi (2) 2 2 2( 1) 3 10 3 7x y x y y+ = 2 2 (3 1) ( 3) (3 10 3) 7x y x y x y y+ + + + + = 2 (3 1) ( 3) (3 1)( 3) 7x y x y x y y+ + + + + = ( 3 1) ( 3)( 3 1) 7x x y y x y+ + + + + = (x y 3)(x + 3y + 1) = -7 Từ đó dẫn đến đáp số { } ( ; ) ( 3;1);(7; 3);(3;1);(1; 3)x y 2) Ph ơng pháp sử dụng tính chất: Nếu x Z và x < a < x+1 thì a Z Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: Nguyễn Cảnh Tuyên Tr ờng THCS Đoàn Lập Năm học 2008 2009 3 Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS 2 ( 2006) ( 1)( 2)( 3)x y y y y = + + + (3) Lời giải: Ta biến đổi (3) 2 2 2 ( 2006) ( 3 )( 3 2)x y y y y = + + + Đặt 2 3y y t+ = và x 2006 = z. Ta có (3) 2 2 2z t t+ + Từ đó xét các trờng hợp: *) Nếu t > 0, suy ra 0 < 2t < 2t + 1 Suy ra 2 2 2 2 2 1t t t t t< + < + + Tức là 1t z t< < + . Vậy trong trờng hợp này z Z (loại ) *) Nếu 0t tức là 2 3 0y y+ ( 3) 0y y + 3 0y { } 3; 2; 1;0y Xét tiếp bốn trờng hợp ta có đáp số: { } ( ; ) (2006; 3);(2006; 2);(2006; 1);(2006;0)x y Ví dụ4: Tìm nghiệm nguyên không âm của phơng trình: 4 4 2 2 ( 1) ( 1)y y x x+ + = + + (4) Lời giải: Giả sử x, y là các số nguyên không âm, ta biến đổi: (4) 4 3 2 2 2 4 6 4 1 2 2 1y y y y x x+ + + + = + + 4 3 2 2 2 4 6 4 2 2y y y y x x+ + + = + 4 3 2 2 2 3 2y y y y x x+ + + = + 2 2 2 2 ( ) 2( ) 1 1y y y y x x+ + + + = + + 2 2 2 ( 1) 1y y x x+ + = + + Đặt 2 1y y t+ + = . Ta có t > 0. Khi đó: (4) 2 2 1t x x= + + . Lại xét hai trờng hợp: *) Nếu x > 0, suy ra 0 < x + 1 < 2x + 1 Suy ra 2 2 2 1 2 1x x x x x< + + < + + Từ đó có: x < t < x + 1. Vậy t Z ( loại) *) Nếu x = 0, ta tính đợc y = 0. Đáp số (x ; y) = (0 ; 0) 3) Ph ơng pháp sử dụng tính chất của số chính ph ơng Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 2 3 2x xy y x y + = (5) Lời giải: Giả sử x, y là các số nguyên, ta biến đổi: (5) 2 2 2 2 2 4 6 4 0x xy y x y + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2) ( 3) 9 0 0 3 1 2 2x y x y + + + = = + + = + + *) Trờng hợp 1: Xét 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2) ( 3) 9 0 0 3x y x y + + + = = + + . Trờng hợp này phơng trình vô nghiệm *) Trờng hợp 2: Xét 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2) ( 3) 9 1 2 2x y x y + + + = = + + . Lần lợt xét các trờng hợp: Nguyễn Cảnh Tuyên Tr ờng THCS Đoàn Lập Năm học 2008 2009 4 Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS Với 2 2 2 ( 2) 4 ( 3) 4 ( ) 1 x y x y = + = = ta tìm đợc 0 1 x y = = Với 2 2 2 ( 2) 4 ( 3) 1 ( ) 4 x y x y = + = = ta tìm đợc 0 2 x y = = Với 2 2 2 ( 2) 1 ( 3) 4 ( ) 4 x y x y = + = = ta tìm đợc 1 1 x y = = Đáp số: { } ( ; ) (0; 1);(0;2);(1; 1)x y Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 2 2 8 2x y x y xy = (6) Lời giải: *) Nhận xét : Phơng trình (6) có nghiệm (x ; y) = (0;0) *) Với x, y khác 0, ta biến đổi (6) 2 2 2 2 ( ) 7x y x y y+ = 2 2 2 ( ) ( 7)x y x y+ = Suy ra 2 7x phải là số chính phơng. Từ đó suy ra tồn tại số nguyên a để 2 2 7x a = hay 2 2 7x a = (x a)(x + a) = 7. Xét bốn trờng hợp: 7 1 x a x a = + = ; 1 7 x a x a = + = ; 7 1 x a x a = + = ; 1 7 x a x a = + = Đáp số: { } ( ; ) (0;0);(4; 1);(4; 2); ( 4;1);( 4; 2)x y 4) Ph ơng pháp sắp thứ tự các biến Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x + y + z = xyz (7) Lời giải: Do vai trò của x, y, z nh nhau nên giả sử: 1 x y z . Ta suy ra 2 1 1 1 3 1 yz xz xy x = + + . Từ đó có 2 3x nên x = 1. Thay vào (7) đợc: (7) 1 + y + z = yz y + z yz + 1 = 0 y(1 z) (1 z) = - 2 (y 1)(z 1) = 2 = 1.2 Lại vì y 1 z 1, nên 1 1 1 2 y z = = 2 3 y z = = Đáp số: Phơng trình có sáu bộ nghiệm là các hoán vị của (1;2;3) Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: Nguyễn Cảnh Tuyên Tr ờng THCS Đoàn Lập Năm học 2008 2009 5 Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS 5(x + y + z) = 4xyz 24 (8) Lời giải: Do vai trò của x, y, z nh nhau nên có thể giả sử 1x y z . Chia cả hai vế của (8) cho 5xyz (khác 0 ) ta đợc: (8) 1 1 1 24 4 5 5yz xz xy xyz + + + = Suy ra: 2 2 2 2 2 4 1 1 1 24 39 5 5 5z z z z z < + + + = . Vậy { } 1;2;3z *) Nếu z = 1. Thay vào (8) đợc: 5x + 5y 4xy = -29 x(5 4y) + 5y = -29 4x(5 4y) + 5.4y = -116 4x(5 4y) + 5.4y 5.5 = -141 (4x 5)(4y 5) = 141 = 47.3 = 141.1 Do 1 4 5 4 5 1x y x y . Vậy ta có 4 5 47 4 5 3 x y = = (I) hoặc 4 5 141 4 5 1 x y = = (II) Giải (I) đợc (x; y; z) = (13; 2; 1) Giải (II) Hệ phơng trình không có nghiệm nguyên *) Nếu z = 2. Lập luận tơng tự ta đợc (x; y; z) = (4; 2; 2) *) Nếu z = 3. Phơng trình (8) không có nghiệm nguyên dơng Đáp số: Phơng trình (8) có tất cả 9 bộ nghiệm là các hoán vị của hai bộ số (13; 2; 1) và (4; 2; 2) 5) Ph ơng pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của ph ơng trình bậc hai Ví dụ 9 : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 3( ) 8x xy y x y+ + = + (9) Lời giải: Ta có (9) 2 2 3 (3 1) 3 8 0x y x y y+ + = (9) Để (9) có nghiệm x, cần và đủ là 0 2 2 (3 1) 12(3 8 ) 0y y y 2 27 90 1 0y y 2 3(3 5) 76y Vì y Z nên { } 0;1;2;3y . Suy ra nghiệm của (9) là { } ( ; ) (0;0);(1;1)x y Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 5( ) 7( 2 )x xy y x y+ + = + (10) Lời giải: Vì x, y là các số nguyên nên 2 2 5( ) 5x xy y+ + M và 7( 2 ) 7x y+ M . Do đó tồn tại số nguyên m để 2 2 2 5 7 x y m x xy y m + = + + = Từ 2 5x y m+ = , suy ra x = 5m 2y. Thay vào phơng trình 2 2 7x xy y m+ + = và rút gọn, ta đợc 2 2 3 15 (25 7 ) 0y my m m + = (10) Nguyễn Cảnh Tuyên Tr ờng THCS Đoàn Lập Năm học 2008 2009 6 Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS Để (10) có nghiệm y, cần và đủ là 0 28 0 25 m Vì m Z nên { } 0;1m . Từ đó tìm đợc nghiệm nguyên của phơng trình (10) là: { } ( ; ) (0;0);(1; 2);( 1;3)x y IV) Bài tập áp dụng *) Đề bài: Giải các ph ơng trình nghiệm nguyên sau (Kí hiệu Bài 1 (1) nghĩa là bài 1 giải bằng phơng pháp 1) Bài 1 (1): 2 (5 ) 2 0x y x y + + + = Bài 2 (1): 2 5 25 3 8x xy y+ = + Bài 3 (1); 2 2 ( 2) 1y x y+ + = Bài 4 (1); x + xy + y = 9 Bài 5 (1); 2 2 2 2 1 2xy x y x y xy+ + + = + + Bài 6 (2); 6 3 4 3 1x x y+ + = Bài 7 (2); 2 3 3 1 x x x y+ + + = Bài 8 (3); 2 2 4 5 169x xy y + = Bài 9 (3); 2 2 2( )x y xy x y+ + = + . Với x, y dơng Bài 10 (3); 2 2 5 17 2x y xy+ = + Bài 11 (3); 2 2 2 2 8 10x y x y xy+ + = Bài 12 (3); 2 2 2 ( ) ( 9)x x y x+ + = + . Với x, y dơng Bài 13 (3); 2 ( 1) 4 ( 1)x x x y y+ + = + Bài 14 (4); 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x y z t + + + + . Với x, y, z, t dơng Bài 15 (4); 1 1 1 1 2x y z + + = . Với x, y, z dơng Bài 16 (5); 2 2 x y xy x y+ + = + Bài 17 (5); 2 2 2 5 1x xy y y + = + Bài 18) 2 2 2 2 x xy y x y+ + = *) Đáp số: 1) { } ( ; ) ( 1; 4);(0; 2);(2; 4);(3; 2)x y 2) { } ( ; ) ( 7; 2);( 5;0); ( 3; 10)x y 3) { } ( ; ) (0;1);(0; 1)x y 4) { } ( ; ) (0;9);(9;0);( 2; 11);( 11; 2);(1; 4);(4;1);( 3; 6);( 6; 3)x y 5) { } ( ; ) (2;1);(0;1)x y 6) { } ( ; ) (0;1);(0; 1)x y 7) { } ( ; ) (0;1);( 1;0)x y Nguyễn Cảnh Tuyên Tr ờng THCS Đoàn Lập Năm học 2008 2009 7 Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS 8) { } ( ; ) (26;13);(29;12);(19;12);(22;5)x y 9) { } ( ; ) (4;4);(4; 2);(2; 4)x y 10) { } ( ; ) (2;3);( 2; 1);(2;1);( 2; 3)x y 11) { } ( ; ) (0;1);(1;1);( 1; 1)x y 12) { } ( ; ) (8;7); (20;1)x y 13) { } ( ; ) (0;0);(0;1)x y 14) ( ; ; ; ) (2; 2; 2; 2)x y z t = 15) (3;7;42);(3;8; 24);(3;9;18);(3;10;15);(3;12;12);(4;5;20); ( ; ; ) (4;6;12);(4;8;8);(5;5;10);(6;6;6) x y z 16) { } ( ; ) (0;0);(0;1);(1; 0);(1;2);(2;1);(2; 2)x y 17) { } ( ; ) (1;0);( 1;0)x y 18) { } ( ; ) (0;0);(1; 1);( 1;1)x y V) kết quả: Đợc đa vào giảng dạy cho 30 học sinh của lớp 9A Trờng THCS Đoàn Lập trong khoảng thời gian từ 01/10/2008 cho đến 20/10/2008. Kết quả của việc giải các bài tập trong phần bài tập áp dụng nh sau: *) Có 21 học sinh giải đợc từ 8 đến 10 bài (70%) *) Có 5 học sinh giải đợc từ 11 đến 13 bài (16%) *) Có 3 học sinh giải đợc từ 14 đến 16 bài (11%) *) Có 1 học sinh giải đợc 18 bài (3%) Đánh giá chung: Với kết quả trên đây có thể nhận thấy hầu hết các em tham gia chơng trình học đều đã nắm kiến thức một cách tơng đối vững chắc. Từ đó có thể nhận định rằng việc hệ thống hoá kiến thức theo cách nh trên đã mang lại những hiệu quả nhất định, giúp cho việc học tập của các em đạt đợc hiệu quả và chất lợng cao hơn. vi) tài liệu tham khảo 1) Toán học Tuổi trẻ số 378 Tr1 (Bài toán tìm nghiệm nguyên của phơng trình dạng 2 2 0ax by cxy dx ey g+ + + + + = với 2 2 0a b+ > ) 2) Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học Tuổi trẻ Quyển 3 3) http://www.diendan3T.net 4) http://www.diendantoanhoc.org 5) Phơng trình nghiệm nguyên Phan Huy Khải NXB Giáo dục 6) Phơng trình và bài toán nghiệm nguyên Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục vii) một số h ớng nghiên cứu 1)Phơng trình Lebesgue (với k là số nguyên) 2 3 x k y+ = 2)Phơng trình Pythagore: Nguyễn Cảnh Tuyên Tr ờng THCS Đoàn Lập Năm học 2008 2009 8 Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS 2 2 2 x y z+ = 3)Phơng trình Pell (với d không là số chính phơng) 2 2 1x dy- = 4)Phơng trình dạng (với n, k là các số nguyên dơng) 2 1 1 (2 ) ( 1) n k i i i i i = = = + ồ ồ (Problem 2185 in Crux Mathematicorum (22 (1996), 319) ) 5)Phơng trình 2 2 1x dy- = - trong đó d không phải là số chính phơng 6) Xác định nghiệm nguyên của hệ sau: 2 16 12 uv xy xu yv - =ỡ ù ù ớ ù - = ù ợ (American Mathematical Monthly 1954 ) 7) Tìm tất cả các số nguyên a, b sao cho: 2 2 / 1ab a b+ + (E10316 in the American Mathematical Monthly ) 8) Chứng minh rằng: Tồn tại vô hạn tam giác có độ dài ba cạnh là số nguyên và diện tích tam giác là một số chính phơng ( E 6628 American Mathematical Monthly 1991 ) 9) Chứng minh phơng trình sau luôn có nghiệm nguyên dơng.(với p nguyên tố lớn hơn 7 cho trớc) 1 1 1 4 x y z p + + = (B i toán Erdos - Nh toán học Hungary - Hiện vẫn ch a có lời giải) c) kết luận Trên đây là một số kinh ngiệm mà tôi đã rút ra đợc trong quá trình giảng dạy. Qua thực tế tôi nhận thấy học sinh nắm kiến thức rất chắc chắn, có hệ thống, và từ đó cũng đã phần nào bồi dỡng đợc lòng say mê học toán của các em. Tuy đã có nhiều cố gắng nhng chuyên đề trên đây cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong sự góp ý, nhận xét, rút kinh nghiệm của các đồng chí trong Ban giám hiệu nhà trờng, các đồng chí chuyên viên Phòng Giáo dục và của các bạn đồng nghiệp để việc giảng dạy nói chung và bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng của tôi đạt đợc những kết quả cao hơn. Xin chân thành cảm ơn. Đoàn Lập, ngày 15 tháng 12 năm 2008 Ngời viết: Nguyễn Cảnh Tuyên Nguyễn Cảnh Tuyên Tr ờng THCS Đoàn Lập Năm học 2008 2009 9 Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS Danh sách các sáng kiến kinh nghiệm đã viết Stt Tên SKKN Thuộc thể loại Năm viết 1 Chứng minh các Bất đẳng thức bằng phơng pháp Hình học Bồi dỡng HSG môn Toán 9 2007 2 Đổi mới phơng pháp dạy học bằng việc áp dụng phơng pháp Chơng trình hoá Đổi mới phơng pháp dạy học môn Toán 2006 3 Một số bài toán về tính chia hết trên tập hợp các số nguyên Bồi dỡng HSG môn Toán7 2005 4 Giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ Bồi dỡng HSG môn Toán 9 2004 5 Nguyễn Cảnh Tuyên Tr ờng THCS Đoàn Lập Năm học 2008 2009 10 [...]... áp dụng *) Đề bài *) Đáp số V) kết qủa vi) tài liệu tham khảo vii) một số hớng nghiên cứu c) kết luận *) Danh sách các SKKN đã viết *) Bản cam kết *) Mục lục Nguyễn Cảnh Tuyên Trờng THCS Đoàn Lập Năm học 2008 2009 Trang 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 5 6 7 7 7 8 8 8 9 10 11 12 12 . kiến kinh nghiệm Toán THCS Danh sách các sáng kiến kinh nghiệm đã viết Stt Tên SKKN Thuộc thể loại Năm viết 1 Chứng minh các Bất đẳng thức bằng phơng pháp. luận *) Danh sách các SKKN đã viết . *) Bản cam kết *) Mục lục . 9 10 11 12 Nguyễn Cảnh