Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 2; 2) đến mặt phẳng ( ) α : xyz + − −= 2 2 40 bằng: A. 3. B. 1. C. 13. 3 D. 1 . 3 Hướng dẫn giải 22 2 1. 2.y 2. 4 ( ,( )) 1. 1 2 ( 2) A AA x z d A α +−− = = + +− Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( )Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 2; 2) đến mặt phẳng ( ) α : xyz + − −= 2 2 40 bằng: A. 3. B. 1. C. 13. 3 D. 1 . 3 Hướng dẫn giải 22 2 1. 2.y 2. 4 ( ,( )) 1. 1 2 ( 2) A AA x z d A α +−− = = + +− Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( )Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 2; 2) đến mặt phẳng ( ) α : xyz + − −= 2 2 40 bằng: A. 3. B. 1. C. 13. 3 D. 1 . 3 Hướng dẫn giải 22 2 1. 2.y 2. 4 ( ,( )) 1. 1 2 ( 2) A AA x z d A α +−− = = + +− Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( )
TÁN ĐỔ TỐN PLUS VIP CHỦ ĐỀ 31 (CUỐI) GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Câu II –HƯỚNG DẪN GIẢI Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A (1; 2; ) đến mặt phẳng (α ) : x + y − z − = bằng: A B C 13 D Hướng dẫn giải 1.x A + y A − 2.z A − d ( A, (α )) = = 12 + 22 + (−2) Câu Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (α ) : x − y − z − = ( β ) : 2x − y − 2z + = A B C 10 D Hướng dẫn giải Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 2.2 − 1.0 − 2.0 + Ta lấy điểm H(2; 0; 0) thuộc (α ) Khi d (= = (α ),( β ) ) d= ( H ,( β ) ) 22 + (−1) + (−2) Câu Khoảng cách từ điểm M ( 3; 2; 1) đến mặt phẳng (P): Ax + Cz + D = , A.C.D ≠ Chọn khẳng định đúngtrong khẳng định sau: 3A + C + D A d ( M , ( P)) = A2 + C C d ( M , ( P )) = Câu 3A + C A +C 2 B d ( M , ( P)) = D d ( M , ( P)) = A + B + 3C + D A2 + B + C 3A + C + D 32 + 12 x= 1+ t Tính khoảng cách mặt phẳng (α ) : x − y − z − = đường thẳng d: y= + 4t z = −t B C D 3 Hướng dẫn giải Đường thẳng d song song với mặt phẳng (α ) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng Ta lấy điểm H (1; 2; ) thuộc đường thẳng d Khi đó: A d= (d , (α )) d= ( H , (α )) Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 2.1 − 1.2 − 2.0 − 4 = 2 + (−1) + (−2) Câu Khoảng cách từ điểm A ( 2; 4; 3) đến mặt phẳng (α ) : x + y + z + =0 ( β ) : x = d ( A, (α )) , d ( A, ( β )) Chọn khẳng định khẳng định sau: A d ( A, (α ) ) = d ( A, ( β ) ) B d ( A, (α ) ) > d ( A, ( β ) ) C d ( A, (α ) ) = d ( A, ( β ) ) D d ( A, (α ) ) = d ( A, ( β ) ) Hướng dẫn giải 2.x A + y A + 2.z A + )) d ( A, (α ) ) = ; d ( A, ( β= = 22 + 12 + 22 Kết luận: d ( A, ( β ) ) = 2.d ( A, (α ) ) Câu Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): x − y + 3z − = nhỏ nhất? A M ( 0; 2;0 ) Câu xA = 12 B M ( 0; 4;0 ) D M 0; ;0 C M ( 0; −4; 0) Hướng dẫn giải Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ M thuộc (P) Nên M giao điểm trục Oy với mặt phẳng (P) Thay x = 0, z = vào phương trình (P) ta y = − Vậy M(0; − 4;0) Cách giải khác Tính khoảng cách từ điểm M đáp án đến mặt phẳng (P) sau so sánh chọn đáp án Khoảng cách từ điểm M ( −4; −5;6 ) đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) bằng: A Hướng dẫn giải B C D d ( M , ( Oxy= ; d ( M , (Oyz= )) x= ) ) z= M M Câu Tính khoảng cách từ điểm A ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = , với A.B.C.D ≠ Chọn khẳng định đúngtrong khẳng định sau: A d ( A,( P) ) = Ax0 + By0 + Cz0 C d ( A,( P) ) = Câu Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + C B d ( A,( P) ) = Ax0 + By0 + Cz0 D d ( A,( P) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C A2 + B + C Tính khoảng cách từ điểm B ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (P): y + = Chọn khẳng định đúngtrong khẳng định sau: A y0 B y0 C y0 + D y0 + Câu 10 Khoảng cách từ điểm C ( −2; 0; ) đến mặt phẳng (Oxy) bằng: A B C Hướng dẫn giải Điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên d ( C ,(Oxy ) ) = D Câu 11 Khoảng cách từ điểm M (1;2;0 ) đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) Chọn khẳng định saitrong khẳng định sau: A d ( M ,(Oxz ) ) = B d ( M ,(Oyz ) ) = C d ( M ,(Oxy ) ) = D d ( M ,(Oxz ) ) > d ( M ,(Oyz ) ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Câu 12 Khoảng cách từ điểm A ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = , với D ≠ khi: A Ax0 + By0 + Cz0 ≠ − D B A ∉ ( P) − D C Ax0 + By0 + Cz0 = D Ax0 + By0 + Cz0 = Câu 13 Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (Q) Chọn khẳng định đúngtrong khẳng định sau: A (Q): x + y + z – = B (Q): x + y + z – = 0 D (Q): x + y + z – 3 = C (Q): x + y – z + = Hướng dẫn giải Dùng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, sau tính khoảng cách trường hợp chọn đáp án x= 1+ t Câu 14 Khoảng cách từ điểm H (1; 0;3) đến đường thẳng d1 : y = 2t , t ∈ R mặt phẳng (P): z − = z= + t d ( H , d1 ) d ( H , ( P)) Chọn khẳng định đúngtrong khẳng định sau: A d ( H , d1 ) > d ( H ,( P) ) B d ( H ,( P) ) > d ( H , d1 ) C d ( H , d1 ) = 6.d ( H ,( P) ) D d ( H ,( P) ) = Hướng dẫn giải Vì H thuộc đường thẳng d1 H thuộc mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ điểm H đến đường thẳng d1 khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (P) x= + t Câu 15 Tính khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d : y= + 3t , t ∈ R bằng: z =−2 − 5t B C D 35 35 35 Hướng dẫn giải + Gọi (P) mặt phẳng qua E vng góc với (P) Viết phương trình (P) + Gọi H giao điểm đường thẳng d (P) Tìm tọa độ H + Tính độ dài EH Khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d EH A Cách giải khác: Vì E thuộc đường thẳng d nên khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d Câu 16 Cho vectơ u ( −2; − 2; ) ; v 2; 2; Góc vectơ u vectơ v bằng: ( ) A 135° B 45° C 60° Hướng dẫn giải u v −2 − 2 + 2.0 Ta có cos(u, v) = = u v (−2)2 + (−2)2 + ( ) ( ) Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ D 150° = − + 22 ⇒ (u, v) = 135° x= + t x= − t Câu 17 Cho hai đường thẳng d1 : y =− + t d2 : y = Góc hai đường thẳng d1 d2 là: z =− + t z = A 30° Hướng dẫn giải B 120° C 150° D 60° Gọi u1 ; u2 vectơ phương đường thẳng d1; d2 u1 = (1; 1; 0); u2 = (−1; 0; 1) Áp dụng công thức ta có cos (= d1, d2 ) u1 u2 = u1 u2 cos = u1, u2 ( ) −1 = + 1 + ⇒ ( d1, d2 ) = 60° x y z Câu 18 Cho đường thẳng ∆ := = mặt phẳng (P): x + 11y + z − = Góc đường −2 thẳng ∆ mặt phẳng (P) là: A 60° B − 30° D − 60° C 30° Hướng dẫn giải Gọi u; n vectơ phương, pháp tuyến đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) u= 1; − 2; ; n ( ) = ( 5; 11; ) Áp dụng cơng thức ta có sin ( ∆,( P ) ) cos = u, n = ( ) ( u.n = u.n 1.5 − 11.2 + 1.2 = 2 2 2 + 11 + + + ) 30° ⇒ ∆, ( P ) = Câu 19 Cho mặt phẳng (α ) : x − y + = z − 0; ( β ) : x + y − 2= z − Cosin góc mặt phẳng (α ) mặt phẳng ( β ) bằng: A B − C 3 D − 3 Hướng dẫn giải Gọi nα , nβ vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) ( β ) Ta có nα (2; − 1; 2); nβ (1; 2; − 2) Áp dụng công thức: cos((α ),( β )) = cos(= nα , nβ ) nα nβ = nα nβ 2.1 − 1.2 − 2.2 = 22 + (−1)2 + 22 (12 + 22 + (−2)2 Câu 20 Cho mặt phẳng ( P ) : x + y + 5z + = đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x − 2= y + 0; ( β ) : x − 2= z − Gọi ϕ góc đường thẳng d mặt phẳng (P) Khi đó: A 60° Hướng dẫn giải B 45° C 30° D 90° Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ x = 2t Đường thẳng d có phương trình: y = + t , t ∈ R Suy VTCP d ud (2; 1; 1) − +t z = ud n 2.3 + 1.4 + 1.5 Ta có sin ( d= n ,( P ) ) cos u= , = = d 2 2 2 ud n +1 +1 + + ( ) 60° ⇒ (d ,( P )) = Câu 21 Cho mặt phẳng (α ) : x − y + z − = Điểm A(1; – 2; 2) Có mặt phẳng qua A tạo với mặt phẳng (α ) góc 45° A Vơ số B Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Gọi vectơ pháp nβ ( a; b; c ) nα nβ cos ( (α ),( β ) ) cos = = nα , nβ = nα nβ ( ) C tuyến D mặt 3.a− 2.b + 2.c phẳng = 2 2 + (−2) + a + b2 + c2 (β ) cần lập 2 ⇒ 2(3a − 2b + 2c)= 17(a2 + b2 + c ) Phương trình có vơ số nghiệm Suy có vơ số vectơ nβ (a; b; c) véc tơ pháp tuyến ( β ) Suy có vơ số mặt phẳng ( β ) thỏa mãn điều kiện toán [Phương pháp trắc nghiệm] Dựng hình Giả sử tồn mặt phẳng ( β ) thỏa mãn điều kiện toán (Đi qua A tạo với mặt phẳng (α ) góc 45° ) Gọi ∆ đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (α ) Sử dụng phép quay theo trục ∆ với mặt phẳng ( β ) Ta vô số mặt phẳng ( β ') thỏa mãn điều kiện toán Câu 22 Hai mặt phẳng tạo với góc 60° A ( P ) : x + 11y − 5z + = (Q) : x + y − z − = B ( P ) : x + 11y − 5z + = (Q) : − x + y + z − = C ( P ) : x − 11y + 5z − 21 = (Q) : x + y + z − = D ( P ) : x − 5y + 11z − = (Q) : − x + y + z − = Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính góc hai mặt phẳng nP nQ cos ( ( P ),(= Q) ) = = ° cos60 n n P Q Xác định vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) (Q) Thay giá trị vào biểu thức để tìm giá trị Dùng chức CALC máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính tốn nhanh Tài liệu KYS Ni dưỡng ước mơ Câu 23 Cho vectơ u(1; 1; − 2), v(1; 0; m) Tìm m để góc hai vectơ Một học sinh giải sau: − 2m Bước 1: Tính cos u, v = m + − 2m Bước 2: Góc u, v có số đo 45° nên = m + u, v có số đo 45° ( ) ⇔ −= 2m 3(m + 1) (*) 3(m + 1) Bước 3: Phương trình (*) ⇔ (1 − 2m)= m= − ⇔ m − 4m − = ⇔ m= + Bài giải hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Đúng Hướng dẫn giải Phương trình (*) bình phương hai vế biến đổi tương đương thỏa mãn − 2m ≥ Bài toán thiếu điều kiện để bình phương dẫn đến sai nghiệm m= + Câu 24 Cho hai điểm A(1; − 1; 1); B(2; − 2; 4) Có mặt phẳng chứa A, Bvà tạo với mặt phẳng (α ) : x − y + z − = góc 60° A B C Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] AB(1; − 1; 3), nα (1; − 2; 1) Gọi nβ (a; b; c) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( β ) cần lập nα nβ cos = = nα , nβ ( (α ),(β )) cos nα nβ ( D Vô số ) = 1.a− 2.b + 1.c = 12 + (−2)2 + 12 a2 + b2 + c2 ⇒ 2(a − 2b + c)2 = 3(a2 + b2 + c ) (1) Mặt khác mặt phẳng ( β ) chứa A, B nên: nβ AB = ⇔ a − b + 3c = ⇔ a = b − 3c (2) Thế vào (1) ta được: 2b2 −13bc + 11c = Phương trình (2) có nghiệm phân biệt Suy có vectơ nβ ( a; b; c ) thỏa mãn Suy có mặt phẳng [Phương pháp trắc nghiệm] Dựng hình Câu 25 Gọi α góc hai đường thẳng AB, CD Khẳng định sau khẳng định đúng: Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ AB.CD A cos α = AB CD AB.CD B cos α = AB CD AB.CD AB.CD C cos α = D cos α = AB, CD AB CD Hướng dẫn giải Áp dụng công thức lý thuyết Câu 26 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB ', CD, A ' D ' Góc hai đường thẳng MP C’N là: A 30o B 120o C 60o D 90o Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ cho A ≡ O(0; 0; 0) Suy B(a; 0; 0); C (a; a; 0); D(0; a; 0) A '(0; 0; a); B '(a; 0; a); C '(a; a; a); D '(0; a; a) a a a M a; 0; ; N ; a; ; P 0; ; a 2 2 a a a a ; ; ; NC ' ; 0; a MP.NC ' = − = ⇒ Suy MP = 2 2 ⇒ ( MP, NC ') = 90° Câu 27 Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB, AC, AD đơi vng góc ∆ ABC cân, cạnh bên a, AD = 2a Cosin góc hai đường thẳng BD DC là: A B − C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Chọn hệ trục tọa độ cho A ≡ O(0; 0; 0) Suy B(a; 0; 0); C (0; a; 0); D(0; 0; 2a) Ta có DB(a; 0; − 2a); DC (0; a; − 2a) DB DC = = cos(= DB, DC ) cos( DB ; DC ) DB DC Câu 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2, AC = ∆SAC vuông cân A K trung điểm cạnh SD Hãy xác định cosin góc đường thẳng CK AB? A 17 Hướng dẫn giải B 11 Vì ABCD hình chữ nhật nên AD = C 22 D 22 AC − CD = Chọn hệ trục tọa độ cho A ≡ O(0; 0; 0) z Suy B(0; 2; 0); C (1; 2; 0); D(1; 0; 0) S Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ K 1 5 S 0; 0; ; K ; 0; 2 Suy CK − ; − 2; ; AB ( 0; 2; ) CK AB = = CK , AB ) cos CK cos (= ; AB CK AB ( ) ( ) 22 Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A(−3; − 4; 5); B(2; 7; 7); C(3; 5; 8); D(−2; 6; 1) Cặp đường thẳng tạo với góc 60° ? A DB AC Hướng dẫn giải B AC CD C AB CB D.CB CA Tính tọa độ vectơ sau thay vào công thức: cos(d , d ') = cos(ud , ud ' để kiểm tra Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua A(2; 1; – 1) tạo với trục Oz góc 30° ? A 2( x − 2) + ( y − 1) − (z − 2) − = B ( x − 2) + 2( y − 1) − (z + 1) − = C 2( x − 2) + ( y − 1) − (z − 2) = D 2( x − 2) + ( y − 1) − (z − 1) − = Hướng dẫn giải Gọi phương trình mặt phẳng (α ) cần lập có dạng A( x − 2) + B( y − 1) + C (z + 1) = 0; n ( A; B; C ) Oz có vectơ phương k(0; 0; 1) n.k sin 30° Áp dụng công thức sin((α ),= Oz) = n.k Sau tìm vectơ pháp tuyến thỏa mãn, thay giá trị A vào để viết phương trình mặt phẳng Câu 31 Cho mặt phẳng (P ) :3 x + y + 5z + = Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x − 2= y + 0; ( β ) : x − 2= z − Góc d (P) là: A 120° Hướng dẫn giải B 60° C 150° D 30° Ta có nP (3; 4; 5) nd = nα , nβ (2; 1; 1) = nP ud Áp dụng công thức sin((= P ), d ) = nP ud Câu 32 Gọi α góc hai vectơ AB, CD Khẳng định sau đúng: AB.CD A cosα = AB CD AB.CD C sin α = AB , CD AB.CD B cos α = AB CD AB.DC D cosα = AB DC Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Hướng dẫn giải Áp dụng công thức lý thuyết Câu 33 Cho ba mặt phẳng (P ) : x − y + 2= z + 0; (Q) : x − y − z= − 1; ( R) : x + y + z= − Gọi α1; α ; α góc hai mặt phẳng (P) (Q), (Q) (R), (R) (P) Khẳng định sau khẳng định B α > α > α1 A α1 > α > α C α > α > α1 D α1 > α > α Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính góc hai mặt phẳng Sử dụng máy tính bỏ túi để tính góc so sánh giá trị với VẬN DỤNG Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng (α ) : x + y + z + m = vàđiểm A (1;1;1) Khi m nhận giá trị sau để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α ) 1? B − C − −8 5+ m m + =3 m =−2 = ⇔ 1⇔ Hướng dẫn giải: d ( A, (α ) ) = m + =−3 m =−8 A − D Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, mặt phẳng (α ) cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A ( −2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0; ) Khi khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ABC ) 61 12 Hướng dẫn giải A Cách 1: (α ) : Cách 2: B.4 C 12 61 61 D.3 x y z 12 61 + + =1 ⇔ x − y − z + 12 =0 ; d ( O, ( ABC ) ) = −2 61 Tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, 1 1 61 12 61 = 2+ + = ⇒ d ( O, ( ABC ) ) = 2 144 61 d ( O, ( ABC ) ) OA OB OC y = Oxyz cho điểm M (1;0;0 ) N ( 0;0; −1) , Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ 2 x − y − z − = mặt phẳng ( P ) qua điểm M , N tạo với mặt phẳng ( Q ) : x − y − = góc 45O Phương trình mặt phẳng ( P ) y = A 2 x − y − z − = 2 x − y − z + = C 2 x − y − z − = Hướng dẫn giải Gọi vectơ pháp tuyến mp ( P ) y = B 2 x − y − z + = 2 x − z + = D 2 x − z − = (Q ) nP ( a; b; c ) ( a + b + c ≠ ) , nQ ( P ) qua M (1;0;0 ) ⇒ ( P ) : a ( x − 1) + by + cz = ( P ) qua N ( 0;0; −1) ⇒ a + c =0 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ ( P) cos 45O hợp với ( Q ) góc 45O ⇒ cos nP , nQ =⇔ ( ) a = = ⇔ 2 a = −2b a −b 2a + b Với a = ⇒ c = chọn b = phương trình ( P ) : y = Với a = −2b chọn b =−1 ⇒ a =2 phương trình mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = Câu 37 Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −2; 0; 1) , đường thẳng d qua điểm A tạo với trục Oy góc 45O Phương trình đường thẳng d y z −1 x+2 2= = −1 A y z −1 x+2 = = −1 − y z +1 x−2 2= = −1 B y z +1 x−2 = = −1 − y z −1 x+2 = = −1 − D y z +1 x−2 2= = −1 x+2 2= C x−2 2= y z −1 = −1 y z +1 = −1 Hướng dẫn giải Cách 1: Điểm M ( 0; m;0 ) ∈ Oy , j ( 0;1;0 ) vectơ phương trục Oy , AM ( 2; −m; −1) cos AM , j = cos 45O ⇔ ( ) m m +5 x+2 = Cách 2: u1 2; 5; −1 ⇒ cos u1 , j ( ) ( ) = y = = ⇔m= ± nên có đường thẳng: z −1 x + y z −1 ; = = −1 −1 − ; u2 2; − 5; −1 ⇒ cos u2 , j = ( ) ( ) Đường thẳng d qua điểm A ( −2;0;1) nên chọn đáp án A Câu 38 Trong không gian Oxyz cho mặt ( P ) : x + y + z − =0 mặt phẳng ( R ) vng góc với mặt phẳng ( P ) ( Q ) cho ( Q ) : x − y + z − =0 Khi mặt phẳng khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( R ) phẳng , có phương trình A x − z − 2 = B x − z − 2 = C x − z + 2 = x − z + 2 = D x z 2 − − = Hướng dẫn: nP (1;1;1) , nQ (1; −1;1) ⇒ nP , nQ = ( 2;0; −2 ) Mặt phẳng ( R ) : x − z + D =0 ⇒ d ( O, ( R ) ) = D = =2 ⇒ D = −4 D Vậy phương trình mp ( R ) : x − z + 2= 0; x − z − 2= Câu 39 Tập hợp điểm M ( x; y; z ) không gian Oxyz cách hai mặt phẳng thoả mãn: ( P ) : x + y − z − =0 ( Q ) : x + y − z + = 10 A x + y − z + = B x + y − z + = C x + y − z + = D x + y − z − = Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ x + y − 2z − d ( M , ( P )) = d ( M , (Q )) ⇔ Hướng dẫn: M ( x; y; z ) Ta có x + y − 2z + = ⇔ x + y − 2z − = x + y − 2z + ⇔ x + y − 2z + = Câu 40 Tập hợp điểm M ( x; y; z ) không gian Oxyz mặt phẳng ( Q ) :2 x + y + z + = ( P ) : x − y − 2z − = cách hai mặt phẳng thoả mãn: x + 3y + 4z + = B 3 x − y − = D x + y + z + = A x + y + z + = C x − y − = Hướng dẫn giải Cho điểm M ( x; y; z ) , d ( M , ( P ) ) = d ( M , (Q )) ⇔ x + 3y + 4z + = ⇔ 3 x − y − = Câu 41 Trong không gian Oxyz cho điểm +1 −1 C ;0;0 ;0;0 2x + y + 2z + = M thuộc trục Oxcách hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z − =0 ( Oyz ) Khitọa độ điểm ;0;0 ;0;0 A 1+ −1 x − y − 2z − M ;0;0 ;0;0 B 1− 1+ 1+ D ;0;0 1− ;0;0 Hướng dẫn giải: Điểm M ( m;0;0 ) ∈ Ox ; d ( M , ( P= )) d ( M , ( P )) ⇔ m−3 = m m= m − = m 1+ ⇔ ⇔ m − =−m m = − x − y −1 z − Câu 42 Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 3; −2; ) đường thẳng d : = = Điểm M −2 thuộc đường thẳng d cho M cách A khoảng 17 Tọa độ điểm M A ( 5;1; ) ( 6; 9; ) B ( 5;1; ) ( −1; −8; −4 ) C ( 5; −1; ) (1; −5;6 ) D ( 5;1; ) (1; −5;6 ) Hướng dẫn giải Cách 1: M ( + 2t ;1 + 3t ; − 2t ) ∈ d ; AM ( + 2m;3 + 3m; −2 − 2m ) M ( 5;1; ) m = ⇒ AM = 17 ⇔ 17 (1 + m ) =17 ⇔ ⇒ m = −2 M (1; −5;6 ) Cách 2: Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng d có cặp điểm đáp án B C thuộcđường thẳng d Dùng cơng thức tính độ dài AM suy đáp án C thỏa mãn Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 11 Câu 43 Trong khơng gian Oxyz cho tứ diện ABCD có đỉnh A (1; 2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;1) D ( 0;3;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm A, B cho khoảng cách từ C đến ( P ) khoảng cách từ D đến ( P ) x − y + z − =0 A x + 3z − = B x + z − = C x + y + z − 15 = 0 x + y + z − 15 = D x + 3z − = Hướng dẫn giải: Trường hợp 1: ( P ) qua AB song song với CD , đó: ( P ) có vectơ pháp tuyến AB, CD =( −8; −4; −14 ) C ∉( P ) ⇒ ( P ) : x + y + z − 15 = Trường hợp 2: ( P ) qua AB cắt CD trung điểm I đoạn CD Ta có I (1;1;1) ⇒ AI ( 0; −1;0 ) , vectơ pháp tuyến ( P ) AB, AI = ( 2;0;3) nên phương trình ( P ) : x + 3z − =0 VẬN DỤNG CAO Câu 44 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng x −1 y + z tạo với trục Oy góc có số đo lớn Điểm sau thuộc mp ( P ) d:= = −1 −2 ? B M ( 3;0; ) A E ( −3;0; ) C N ( −1; −2; −1) D F (1; 2;1) Hướng dẫn giải: Gọi n ( a; b; c ) ; n ≠ VTPT ( P ) ; α góc tạo ( P ) Oy , α lớn sinα lớn Ta có n vng góc với u d nên n ( b + 2c; b; c ) = sin α cos = n, j ( ) b 2b + 5c + 4bc Nếu b = sinα = Nếu b ≠ sin α = 5c + + 5 b Khi đó, sinα lớn c = − b ⇒ chọn b = 5; c = − Vậy, phương trình mp ( P ) x + y − z + = Do ta có N ∈( P ) Câu 45 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 0; − 1; ) , N ( −1; 1; 3) Gọi ( P ) mặt góc có số đo nhỏ Điểm phẳng qua M , N tạo với mặt phẳng ( Q ) :2 x − y − z − = A (1; 2;3) cách mp ( P ) khoảng A B C 11 11 D Hướng dẫn giải: ( P ) có VTPT n vng góc với MN ( −1; 2;1) nên n ( 2b + c; b; c ) 12 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Gọi α góc tạo ( P ) ( Q ) , α nhỏ cosα lớn Ta có cosα = b 5b + 2c + 4bc Nếu b = cosα = Nếu b ≠ cosα = c + 1 + b Khi đó, cosα lớn c =− 1⇒ chọn b = 1; c = − b Vậy, phương trình mp ( P ) x + y − z + = Do d ( A, ( P ) ) = Câu 46 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ( P ) : x − y + z − =0 đường thẳng x +1 y z + x −1 y − z +1 = = ; ∆2 : = = 1 −2 Gọi M điểm thuộc đường thẳng ∆1 , M có toạ độ số nguyên, M cách ∆ ( P ) ∆1 : Khoảng cách từ điểm M đến mp ( Oxy ) A B 2 Hướng dẫn giải: Gọi M ( t − 1; t ;6t − ) , t ∈ D C M 0M , u Ta có d (= M , ∆2 ) d ( M , ( P )) ⇔ = d ( M , ( P )) u 11t − 20 với M (1;3; − 1) ∈∆ ⇔ 29t − 88t + 68 = t = t ∈ t =1 ⇔ 53 → t = 35 Vậy, M ( 0; − 1;3) ⇒ d ( M , (Oxy ) ) = Câu 47 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;5;0 ) ; B ( 3;3;6 ) đường thẳng x +1 y −1 z Gọi C điểm đường thẳng d cho diện tích tam giác ABC nhỏ d: = = −1 2 Khoảng cách điểm A C A 29 B 29 C 33 Hướng dẫn giải: Ta có đường thẳng AB d chéo Gọi C điểm d H hình chiếu vng góc C đường thẳng AB Vì S ABC = AB ⋅ CH = 11 ⋅ CH nên S ABC nhỏ CH nhỏ ⇔ CH đoạn vng góc chung đường thẳng AB và d 29 Ta có C (1; 0; ) ⇒ AC = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ D B A H C 13 Câu 48 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A (10; 2;1) đường thẳng d: x −1 y z −1 Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng d = = cho khoảng cách d ( P ) lớn Khoảng cách từ điểm M ( −1; 2;3) đến mp ( P ) 97 76 790 13 B C 790 13 15 Hướng dẫn giải: ( P ) mặt phẳng qua điểm A song song với đường A D 29 29 d thẳng d nên ( P ) chứa đường thẳng d ′ qua điểm A H song song với đường thẳng d Gọi H hình chiếu A d , K hình chiếu H ( P ) d' K Ta có d ( d , ( P= ) ) HK ≤ AH ( AH không đổi) ⇒ GTLN d (d , ( P)) AH A P ⇒ d ( d , ( P ) ) lớn AH vng góc với ( P ) Khi đó, gọi ( Q ) mặt phẳng chứa A d ( P ) vng góc với ( Q ) ⇒= n P u d , n= Q ( 98;14; − 70 ) ⇒ ( P ) :7 x + y − z − 77 = ⇒ d ( M , ( P ) ) = 97 15 Câu 49 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm d: A ( 2;5;3) đường thẳng x −1 y z − Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến = = 2 ( P) lớn Tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; − 1) đến mặt phẳng ( P ) 11 18 11 B C 18 18 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu A d ; K hình chiếu D A A A ( P ) Ta có d ( A, ( P= ) ) AK ≤ AH (Không đổi) ⇒ GTLN d (d , ( P)) AH ⟹ d ( A, ( P ) ) lớn K ≡ H K Ta có H ( 3;1; ) , ( P ) qua H ⊥ AH ⇒ ( P) : x − y + z − = Vậy d ( M , ( P ) ) = 14 P d' H 11 18 18 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ hai đường Câu 50 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = x= 1+ t x= − t ′ thẳng d : y = t ; d ' : y = + t′ z= + 2t z = − 2t ′ Biết có đường thẳng có đặc điểm: song song với ( P ) ; cắt d , d ′ tạo với d góc 30O Tính cosin góc tạo hai đường thẳng Hướng dẫn giải: A B C D Gọi ∆ đường thẳng cần tìm, nP VTPT mặt phẳng ( P ) Gọi M (1 + t ; t ; + 2t ) giao điểm ∆ d ; M ′ ( − t ′;1 + t ′;1 − 2t ′ ) giao điểm ∆ d' Ta có: MM ' ( − t ′ − t ;1 + t ′ − t ; − − 2t ′ − 2t ) M ∉( P ) MM ′ // ( P ) ⇔ ⇔ t ′ =− ⇒ MM ′ ( − t ; −1 − t ;3 − 2t ) MM ′ ⊥ nP −6t + t = Ta có= cos30O cos MM ′, u d= ⇔ ⇔ 36t −108t + 156 t = −1 ( ) = x 5= x t′ t ; ∆2 : y = −1 Vậy, có đường thẳng thoả mãn ∆1 : y =+ z = t′ 10 + t z = Khi đó, cos ( ∆1 , ∆ ) = − ) ; C (1; 2; 2 − ) Gọi ( P ) Câu 51 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;0;1) ; B ( 3; 2;0 mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến ( P ) lớn biết ( P ) khơng cắt đoạn BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ( P ) ? A G ( −2; 0; 3) B F ( 3; 0; −2 ) E( C 1;3;1 ) Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm đoạn BC ; điểm B′, , C′ I ′ B H( D 0;3;1 ) I hình chiếu B, , C I ( P ) C Ta có tứ giác BCC ′B′ hình thang II ′ đường trung bình ⇒ d ( B, , ( P ) ) + d ( C ( P ) ) = BB′ + CC ′ = II ′ B' Mà II ′ ≤ IA (với IA không đổi) Do vậy, d ( B, , ( P ) ) + d ( C ( P ) ) lớn I ′ ≡ A ⇒ ( P ) qua A vng góc IA với I ( 2;0; 1 − ) P I' C' A ⇒ ( P ) : 2 − x + z − = ⇒ E (1;3;1) ∈ ( P ) Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 15 Câu 52 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) b, c dương mặt phẳng ( P ) : y − z + =0 Biết mp ( ABC ) vng góc với mp ( P ) d ( O, ( ABC ) ) = , mệnh đề sau đúng? B 2b + c = C b − c = A b + c = 1 D 3b + c = Hướng dẫn giải: Ta có phương trình mp( ABC ) x y z + + = 1 b c 1 − = ⇒ b = c (1) b c 1 1 Ta có d ( O, ( ABC ) ) = ⇔ = ⇔ + =8(2) 1 b c 1+ + b c Từ (1) (2) ⇒ b = c = ⇒ b + c =1 ( ABC ) ⊥ ( P ) ⇒ Câu 53 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1; 2;3) ; B ( 0;1;1) ; C (1;0; − ) cho giá trị biểu thức T =MA2 + MB + 3MC nhỏ Điểm M ∈( P ) : x + y + z + = khoảng Khi đó, điểm M cách ( Q ) :2 x − y − z + = 121 54 Hướng dẫn giải: B 24 A C D 101 54 Gọi M ( x; y; z ) Ta có T = x + y + z − x − y + z + 31 2 2 2 145 ⇒ T= x − + y − z + + 3 3 ⇒= T MI + 145 2 1 với I ; ; − 3 2 ⇒ T nhỏ MI nhỏ ⇒ M hình chiếu vng góc I ( P ) 13 ⇒ M − ;− ;− 18 18 BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 54 Cho mặt phẳng (α ) : x + y −= = z − 0; ( β ) : x + y + 11 z − Góc mặt phẳng (α ) mặt phẳng ( β ) A 120° B 30° C 150° D 60° Câu 55 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x + y − = Điểm H(2; 1; 2) hình chiếu vng góc gốc tọa độ O mặt phẳng (Q) Góc hai mặt phẳng (P) (Q) A 45° B 30° C 60° D 120° π Câu 56 Cho vectơ= Gócgiữa vectơ v vectơ u − v bằng: u 2;= v 1; u= ,v A 60° B 30° C 90° D 45° ( ) 16 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ x − y +1 z −1 Câu 57 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , x − y − 3z + = ∆: Góc đường thẳng d đường thẳng ∆ − + + = x y z A 90° B 30° C 0° D 180° Câu 58 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − y − z − 10 = 0; đường x − 1− y z + thẳng d : = = Góc đường thẳng d mặt phẳng (α ) bẳng A 30° B 90° C 60° D 45° Câu 59 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua A(3; – 1;1), nằm x y−2 z = = (P): x – y + z – = góc 45 hợp với đường thẳngd: 2 x = x = 3+t + 3t A ∆1 : y =− + t , t ∈ R; ∆ : y =− − 2t , t ∈ R z= z= − 5t x = x = +2t + 15t B ∆1 : y =− + t , t ∈ R; ∆ : y =− + 38t , t ∈ R z= z= + 23t x = x = 3+t + 15t C ∆1 : y =− + t , t ∈ R; ∆ : y =− − 8t , t ∈ R z= z= − 23t x = x = 3− t + 15t D ∆1 : y =− − t , t ∈ R; ∆ : y =− − 8t , t ∈ R z = z = 1+ t − 23t Câu 60 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh Gọi M, N, P trung điểm cạnh A ' B ', BC , DD ' Góc đường thẳng AC’ mặt phẳng (MNP) A 30° B 120° C 60° D 90° x = + 2t Câu 61 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , gọi(P) mặt phẳng chứa đường thẳng d : y= − t z = 3t tạo với trục Ox góc có số đo lớn nhất.Khi đó, khoảng cách từ điểm A (1; −4; ) đến mp ( P ) 12 35 35 20 6 C D 3 Câu 62 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 2;1; −12 ) , N ( 3;0; ) Gọi ( P ) mặt A B góc có số đo nhỏ Điểm phẳng qua M , N tạo với mặt phẳng ( Q ) :2 x + y − z + = A ( 3;1;0 ) cách mp ( P ) khoảng A 13 13 B 22 11 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C D 22 17 Câu 63 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ( P ) : x + y − z − =0 hai đường thẳng x −1 y −1 z − x −2 y −3 z + = = ; ∆2 : = = 1 −5 Gọi M điểm thuộc đường thẳng ∆1 , M có toạ độ số dương, M cách ∆ ( P ) ∆1 : Khoảng cách từ điểm M đến mp( P ) A B C D Câu 64 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1; −4;3) ; B (1;0;5 ) đường thẳng x = −3t d : y= + 2t Gọi C điểm đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ z = −2 Khoảng cách điểm C gốc toạ độ O A B 14 C 14 Câu 65 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm d: D A ( 2;5;3) đường thẳng x −1 y z − Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng d = = 2 cho khoảng cách d ( P ) lớn Khoảng cách từ điểm B ( 2;0; − 3) đến mp ( P ) A B C D 18 18 x= + 3t Câu 66 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 4; −3; ) đường thẳng d : y= + 2t z =−2 − t Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến ( P ) lớn Tính khoảng cách từ điểm B ( −2;1; −3) đến mặt phẳng ( P ) A B C D 38 Câu 67 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1; 1; − ) ; B ( −1; 2; 1) ; C ( −3; 4; 1) Gọi ( P) mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến ( P ) lớn biết (P) không cắt đoạn BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ( P ) ? A F ( −1; 2;0 ) B E ( 2; 2;1 − ) C G ( 2;1; 3 − ) D 1; H ( −3;1) Câu 68 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; c ) Biết mp ( ABC ) vuông góc với mp ( P ) a, c dương mặt phẳng ( P ) :2 x − z + = d ( O, ( ABC ) ) = A a + c = , mệnh đề sau đúng? 21 B a + c = C a − c = D 4a − c = Câu 69 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( −2; 2; 3) ; B (1; −1; 3) ; C ( 3; 1; − 1) cho giá trị biểu thức T = MA2 + MB + 3MC nhỏ Điểm M ∈( P ) : x + z − = khoảng Khi đó, điểm M cách ( Q ) : − x + y − z − = 18 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ A B.2 C D 3 Câu 70 Tính khoảng cách từ điểm H(3; – 1;– 6) đến mặt phẳng (α ) : x + y − z + = B C 3 D 3 Câu 71 Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (P): x + y + z = (Q) x + y + z + = A 7 B C Câu 72 Khoảng cách từ điểm K(1;2;3) đến mặt phẳng (Oxz) A B C A D D x = + 5t Câu 73 Tính khoảng cách mặt phẳng (α ) : x + y + z + = đường thẳng d: y= − 2t z = −4t B C D 3 với trục Oz đến mặt phẳng Câu 74 Khoảng cách từ giao điểm A mặt phẳng ( R) : x + y + z − = (α ) : x + y + z + = A A B C D x = − 3t z − 0, (Q) : x = + y + z đường thẳng d: y= + t Câu 75 Cho hai mặt phẳng ( P) : x + y += z =−1 + t Gọi d (d , ( P)) , d (d , (Q)) , d (( P), (Q)) khoảng cách đường thẳng d (P), d (Q), (P) (Q) Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: A d (d , ( P)) = B d (d , (Q)) = C d (( P), (Q)) = D d (d , (Q)) = x= 1+ t Câu 76 Khoảng cách từ điểm C (−2;1;0) đến mặt phẳng (Oyz) đến đường thẳng ∆ : y= + t lần z= + 2t lượt d1 d Chọn khẳng định khẳng định sau: A B d1 = d d1 > d C d1 = D d =1 Câu 77 Khoảng cách từ điểm B(1;1;1) đến mặt phẳng (P) Chọn khẳng định đúngtrong khẳng định sau: A (P): x + y – z + = B (P): x + y + z – = 0 B (P): x + y + z – = Câu 78 Trong không gian Oxyz cho D (P): x + y + z – 3 = mặt phẳng (α ) :2 x − y + z + = mặt phẳng Tập hợp điểm M cách mặt phẳng (α ) ( β ) ( β ) :2 x − y + z + = A x − y + z + = B x − y − z + = C x − y + z − = D x + y + z + = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 19 (α ) : x − y + z + =0 ( β ) : x − y + z + =0 Tập hợp điểm cách mặt phẳng (α ) ( β ) Câu 79 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng x − y + = A 3 x + y + z + = x − y + = C 3 x − y + z + = mặt phẳng x − y + = B 3 x − y + z + = x + y + = D 3 x − y + z + = Contact us: SĐT: 099.75.76.756 Admin: fb.com/khactridg Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser 20 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... Hướng dẫn giải Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ M thuộc (P) Nên M giao điểm trục Oy với mặt phẳng (P) Thay x = 0, z = vào phương trình (P) ta y = − Vậy M(0; − 4;0) Cách giải khác Tính khoảng cách từ... = C (Q): x + y – z + = Hướng dẫn giải Dùng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, sau tính khoảng cách trường hợp chọn đáp án x= 1+ t Câu 14 Khoảng cách từ điểm H (1; 0;3) đến đường... Hướng dẫn giải Vì H thuộc đường thẳng d1 H thuộc mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ điểm H đến đường thẳng d1 khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (P) x= + t Câu 15 Tính khoảng cách từ điểm