Giải các phương trình: a.. vuông góc với BC, đường thẳng này cắt AB ở E, cắt AC ở F.. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK có I J, lần lượt là giao điểm các đường chéo.. M là trung điểm
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN NGA SƠN
(§Ò thi gåm cã 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2017 - 2018
Môn thi: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 04/04/2018
Câu 1: (4.0 điểm)
2
a a
1 Rút gọn biểu thức P
2 Tìm tất cả các giá trị của a để 1
2
Q P nhận giá trị nguyên
3 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho 1
2
P
Câu 2: (5.0 điểm)
1 Giải các phương trình:
a 4x2 4x 31 2 x 3 0 b
3
3
3
2 0
x
n
n
, với a a0, , ,1 a n1,a n là các số
nguyên, a và b là các số nguyên
a Chứng minh rằng ( )f a f(b) chia hết cho a b
b Có thể xảy ra đồng thời f 5 7 và f 19 15 được không
Câu 3: ( 4.0 điểm).
1 Tìm các số thực dương a b c, , biết rằng :
38
2 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h Ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B
và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB
Câu 4: (5.0 điểm).
vuông góc với BC, đường thẳng này cắt AB ở E, cắt AC ở F Vẽ các hình chữ nhật
BDEH và CDFK có I J, lần lượt là giao điểm các đường chéo M là trung điểm của
AD
1 Chứng minh A là trung điểm của HK
2 Chứng minh I J M, , thẳng hàng và AD HJ KI, , đồng quy.
3 Khi D di chuyển trên cạnh BC thì M di chuyển trên đoạn thẳng nào
Câu 5: (2.0 điểm).
Cho a b c, , là các số dương có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T
§Ò chÝnh thøc
Trang 2Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGA SƠN
HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2017 - 2018 Môn: Toán
1
4.0đ
1 (1.5đ)
Điều kiện: a 0;a 2 (*)
Ta có: P = 22 . 2
4
2
a (0.5đ) Vậy P=
2 2
2 (1.5đ)
a
Q a 2
3 (1.0 đ)
P
a
0
a a
0.75đ 0.75đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.25đ 0.75đ
2
5,0đ
1 (3.0đ) Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
a (1.5đ)
1 2 x2 3 1 2 x 2 0 1 2 x 1 1 2 x 2 0
x x
x x x x
0 1 1 2 3 2
x x x
x
b (1.5đ)
ĐK: x 1
3
3
3
2 0
x
x x3 13x3+3x x2 12 2x 13=0
x2 x3 3x2 x2 x3- x 13 x 13
0.75đ
0.75đ
0.25đ 0.25đ 0.25đ
Trang 3 x2 x3 3x2 x2 3x2 x 1x 13
x2 x13 x 13 x2 x1 x 1
x 12 (vô lý) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm1 0
2 (2.0đ)
a (1.0đ)
Nhận thấy:
Do đó: f a f b chia hết cho a b (đpcm)
b (1.0đ)
Nếu xảy ra đồng thời f 5 7, f 19 15,
ta có f 19 f 5 8, mặt khác 19-5=14
Nếu theo kết quả trên thì 8 chia hết cho 14 vô lý
Vậy không thể xảy ra đồng thời f 5 7,f 19 15
0.25đ
0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.5đ 0.25đ
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
3
(4,0đ)
1 (2.0 đ)
Ta có :
38
a b c
Suy ra
a b c
7
a b c
=3 (Do a2 c2 b2 324 a2 b2 c2 303 21 )
Từ đó, ta có
6
a
a
Tương tự, ta có b4,c18
Vậy các số cần tìm là
4 4 18
a b c
2 (2.0).
Sau 15 phút, người đi xe máy gặp ôtô tại vị trí cách A là :
15.40
10
Sau khi gặp xe máy, ô tô đến A mất thời gian là : 10.60 12
(phút)
Sau khi nghỉ, ô tô bắt đầu khởi hành từ A trở lại B thi xe máy đã
Gọi quãng đường ô tô gặp xe máy (cách B 20 km) là x (km),
0.25đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.25đ
0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.25đ
Trang 4(x>28), ta có :
Thời gian ô tô đi từ A đến chỗ gặp nhau là :
50
x
, thời gian xe máy đi từ vị trí cách A một khoảng 28 km đến lúc gặp ô tô
40
x
Ta có phương trình :
50
x
40
x
, giải ra ta có x 140 (km)
Do đó quãng đường AB là : 20 + 140 =168 (km)
0.25đ
0.25đ 0.25đ 0.25đ
4(5.0đ)
-1 (2.0đ)
Vì BHED là hình chữ nhật nênIB ID suy ra IBD cân,
IBD IDB ACB DI / / AC
Tương tự, ta có JD/ / AB suy ra AIDJ là hình bình hành, suy ra
/ /
AJ ID và AJ ID hay AJ / /HI và AJ HI ,
suy ra AHIJ cũng là hình bình hành IJ / /AH và IJ AH (1)
Tương tự, ta có: IJ / / AK và IJ AK (2)
Từ (1) và (2) suy ra H A K, , thẳng hàng và AH AK,
tức là A là trung điểm của HK
2 (2.0đ)
Tứ giác AIDJ là hình bình hành nên các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
M là trung điểm của AD nên M cũng là trung điểm của IJ hay
, ,
I J M thẳng hàng.
Tam giác DHK có DA KI HJ, , là các trung tuyến nên đồng quy
3 (1.0đ)
Khi D di chuyển trên cạnh BC thì HK luôn qua A cố định, M là
trung điểm của AD nên M chuyển động trên đường trung bình PQ của
tam giác ABC
-Ta có: a b 2 0 a2 ab b 2 ab
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ 1.0 đ 1.0đ
-A
H
K
E
F J
I M
Trang 5(2,0đ)
a b a 2 ab b2 ab a b
( Vì a b, dương)
3 3
a b ab a b
a3 6b3 5b3ab a b
5b a 6b ab a b
3 3
2
5
2 3
b a
b a
ab b
(3) Hoàn toàn tương tự, ta có:
3 3
2
5
2 3
c b
c b
bc c
3 3
2
5
2 3
a c
a c
ac a
Từ (3), (4), (5) suy ra
T
3
a b c
Do đó maxT =1
1.0đ 0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.25đ
Chú ý:
1 Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
2 Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình.