Khảo sát hàm số

¤n Thi TNPT 2009 Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ : HÀM SỐ BẬC BA , HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG x x 1. TXĐ : D = ? (chẵn, lẻ, tuần hoàn) 2. Giới hạn : lim f(x) ? lim f(x) ? 3. ĐH : : y BBT (tăng , giảm , cực trò Ca ) áp 1 Cấp : y2 →+ ∞ →−∞ = ∞ = ∞ ′ → ′ • • • ′ • ′ → y 0 x ? (y ?) ( Tìm điểm uốn ) 4. ĐĐB 5. ĐT ′ = ⇔ = = B.VÍ DỤ LOẠI 1 : HÀM SỐ BẬC BA 3 2 2 2 1 6 1 3 12 9 3 4 3 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x + 9x (C) Giải 1. TXĐ : D = 2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) . Đạo hàm : y = 3x x (x x ) ; →+ ∞ →− ∞ − − = +∞ = −∞ ′ ′ • − + = − + ¡ 2 1 0 4 3 0 3 x y = x x x  = ⇔ − + = ⇔  =  Bảng biến thiên Hàm số đã cho : Đồng biến trên : ( ;1) , (3;+ ) −∞ ∞g 3 Nghòch biến trên : (1; )g 1, 3 3, 1 CĐ CĐ CT CT Cực trò : x y ; x y = = = = −g 12 12 0 2 y = 6x ; y = 0 6x x Điểm uốn : I(2;1) ′′ ′′ • − ⇔ − = ⇔ = 4. Điểm đặc biệt : x 0 1 2 3 4 y 1− 3 1 1− 3 5. Đồ thò - 1 - x −∞ 1 3 +∞ y ′ + 0 − 0 + y 3 +∞ −∞ 1− ¤n Thi TNPT 2009 3 2 2 2 2 3 3 3 6 3 3 2 1 3 1 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x x (C) Giải 1. TXĐ : D = 2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) . Đạo hàm : y = 3x x (x x ) (x →+ ∞ →− ∞ − + − = −∞ = +∞ ′ • − + − = − − + = − − ¡ 2 0) , x≤ ∀ ∈ ¡ Hàm số đã cho : Nghòch biến trên : ( ;+ ) − ∞ ∞ 6 1 0 6 1 0 1 1 y (x ) ; y (x ) x Điểm uốn I(1; ) ′′ ′′ • = − − = ⇔ − − = ⇔ = − 4. Điểm đặc biệt : x 0 1 2 y 0 1− 2− 5. Đồ thò 3 2 2 3 3 1 3 6 3 2 0 3 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x (C) Giải 1. TXĐ : D = 2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) . Đạo hàm : y = 3x x x(x ) ; y = x →+ ∞ →− ∞ − + + = −∞ = +∞ ′ ′ • − + = − − ⇔ − ¡ 0 2 0 2 x (x ) x  = − = ⇔  =  Bảng biến thiên Hàm số đã cho : 2 Nghòch biến trên : (0; )g Đồng biến trên : ( ;0) , (2;+ ) −∞ ∞g 2, 5 0, 1 CĐ CĐ CT CT Cực trò : x y ; x y = = = =g 6 6 0 1 3 y = 6x ; y = 0 6x x Điểm uốn : I(1; ) ′′ ′′ • − + ⇔ − + = ⇔ = Gi¸o Viªn trÇn v¨n nªn - 2 - x −∞ +∞ y ′ − y +∞ −∞ x −∞ 0 2 +∞ y ′ − 0 + 0 − y +∞ 5 1 −∞ ¤n Thi TNPT 2009 4. Điểm đặc biệt : x 1− 0 1 2 3 y 5 1 3 5 1 5. Đồ thò 3 2 2 2 1 4 3 3 2 1 1 0 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x x (C) Giải 1. TXĐ : D = 2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) . Đạo hàm : y = x x (x ) , x →+ ∞ →− ∞ − + = +∞ = −∞ ′ • − + = − ≥ ∀ ∈ ¡ ¡ Bảng biến thiên Hàm số đã cho : Đồng biến trên : ( ;+ ) − ∞ ∞ 2 2 0 2 2 0 1 2 3 y x ; y x x Điểm uốn I(1; ) ′′ ′′ • = − = ⇔ − = ⇔ = 4. Điểm đặc biệt : x 0 1 2 y 0 2 3 2 3 5. Đồ thò 3 2 5 1 3 1 0 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x (C) Giải 1. TXĐ : D = 2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) . Đạo hàm : y = 3x , x →+ ∞ →− ∞ + − = +∞ = −∞ ′ • + > ∀ ∈ ¡ ¡ Bảng biến thiên Gi¸o Viªn trÇn v¨n nªn - 3 - x −∞ +∞ y ′ + y +∞ −∞ x −∞ +∞ y ′ − y +∞ −∞ ¤n Thi TNPT 2009 Hàm số đã cho : Đồng biến trên : ( ;+ ) − ∞ ∞ 6 0 6 0 0 1 y x ; y x x Điểm uốn I(0; ) ′′ ′′ • = = ⇔ = ⇔ = − 4. Điểm đặc biệt : x 1− 0 1 y 2− 1− 1 5. Đồ thò LOẠI 2 : HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 4 2 3 2 1 6 2 3 12 12 1 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = 3x x + (C) Giải 1. TXĐ : D = 2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) . Đạo hàm : y = 12x x x(x ) ; y = →+ ∞ →− ∞ − = +∞ = +∞ ′ ′ • − = − ¡ 2 0 0 12 1 0 1 x x(x ) x  = ⇔ − = ⇔  = ±  Bảng biến thiên Hàm số đã cho : 1 Đồng biến trên : ( ;0) , (1;+ ) − ∞g ; 1) , 1 Nghòch biến trên : ( (0; )−∞ −g 0, 2 1 , 1 CĐ CĐ CT CT Cực trò : x y ; x y = = = ± = −g 1 2 1 12 3 12 0 3 1 1 3 3 , y = 36x ; y = 0 6x x Điểm uốn : I ( ; ) ′′ ′′ • − ⇔ − = ⇔ = ± ± 4. Điểm đặc biệt : x 2− 1− 0 1 2 y 2 1− 2 1− 2 5. Đồ thò : Vì là hàm số chẵn nên đồ thò đối xứng qua trục Oy Gi¸o Viªn trÇn v¨n nªn - 4 - x −∞ 1− 0 1 +∞ y ′ − 0 + 0 − 0 + y +∞ 2 +∞ 1− 1− ¤n Thi TNPT 2009 4 2 3 2 2 2 1 3 4 4 1 0 4 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x + (C) Giải 1. TXĐ : D = 2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) . Đạo hàm : y = 4x x x(x ) ; y = x →+ ∞ →− ∞ + = +∞ = +∞ ′ ′ • + = + ⇔ ¡ 2 1 0 0(x ) x+ = ⇔ = Bảng biến thiên Hàm số đã cho : Đồng biến trên : (0 ;+ ) ∞g ;0) Nghòch biến trên : ( − ∞g 2 4 0 y = 12x , x nên đồ thò hàm không có điểm uốn . ′′ • + > ∀ ∈ ¡ 4. Điểm đặc biệt : x 1− 0 1 y 2 1− 2 5. Đồ thò : Vì là hàm số chẵn nên đồ thò đối xứng qua trục Oy 4 2 3 2 3 2 1 3 4 4 4 1 0 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x (C) Giải 1. TXĐ : D = 2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) . Đạo hàm : y = x x x(x ) ; y = →+ ∞ →− ∞ − + + = −∞ = −∞ ′ ′ • − + = − − ⇔ − ¡ 2 0 4 1 0 1 x x(x ) x  = − = ⇔  = ±  Bảng biến thiên Gi¸o Viªn trÇn v¨n nªn - 5 - x −∞ 0 +∞ ′ y − 0 + y +∞ +∞ 1− x −∞ 1− 0 1 +∞ y ′ + 0 − 0 + 0 − y 2 2 −∞ 1 −∞ ¤n Thi TNPT 2009 Hàm số đã cho : 1 Đồng biến trên : ( ; 1) , (0; ) −∞ −g 1;0) , Nghòch biến trên : ( (1; )− + ∞g 1, 2 0 , 1 CĐ CĐ CT CT Cực trò : x y ; x y = ± = = =g 2 2 1 2 1 12 4 12 4 0 3 1 14 9 3 , y = x ; y = 0 x x Điểm uốn : I ( ; ) ′′ ′′ • − + ⇔ − + = ⇔ = ± ± 4. Điểm đặc biệt : x 2− 1− 0 1 2 y 1 2 1 2 1 5. Đồ thò : Vì là hàm số chẵn nên đồ thò đối xứng qua trục Oy 4 2 3 2 4 2 2 3 4 4 1 0 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x + (C) Giải 1. TXĐ : D = 2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) . Đạo hàm : y = 4x x x(x ) ; y = →+ ∞ →− ∞ − − = −∞ = −∞ ′ ′ • − − = − + ⇔ ¡ 2 4 1 0 0x(x ) x− + = ⇔ = Bảng biến thiên Hàm số đã cho : 0 Đồng biến trên : ( ; ) −∞g 0; ) Nghòch biến trên : ( +∞g 2 4 0 y = 12x , x nên đồ thò hàm không có điểm uốn . ′′ • − − < ∀ ∈ ¡ 4. Điểm đặc biệt : x 1− 0 1 y 1− 2 1− 5. Đồ thò : Vì là hàm số chẵn nên đồ thò đối xứng qua trục Oy C.BÀI TẬP Gi¸o Viªn trÇn v¨n nªn - 6 - x −∞ 0 +∞ ′ y + 0 − y 2 −∞ −∞ ¤n Thi TNPT 2009 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 1 3 3 4 2 4 2 3 1 2 3 3 3 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : a) y = x x b) y = x x x c) y = x x d) y = x x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ + − − + − − + − − + − − 4 4 2 4 2 4 2 2 3 2 4 2 2 2 2 thò của hàm số : x a) y = x x b) y = x x c) y = x x + 2 d) y = x + − + + − − − − Vấn đề 2 : KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC x lim y ? Đứng Ngang ( hay xie 1. TXĐ : D = ? 2. Giới hạn , tiệm cận : 3. BBT : y BBT (tăng , giảm , cực trò ) ân) 4. ĐĐB 5. ĐT →±∞ ′ → • = • • LOẠI 1 : HÀM SỐ ax b y (c 0 và ad bc 0) cx d + = ≠ − ≠ + { } 1 1 2 1 1 1 x ( ) x ( ) x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x Giải 1. Tập xác đònh : D = \ 2. Tiệm cận : lim y và lim y nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận + − → − → − + + − = +∞ = −∞ − ¡ g đứng . 1 1 1 1 x x lim y và lim y nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang Tâm đối xứng I( ; ) →+∞ →−∞ = = − g g 3. Bảng biến thiên 2 1 0 1 1 Ta có : y = , x (x ) − ′ < ∀ ≠ − + Hàm số nghòch biến trên ( ; 1) và ( 1; )−∞ − − +∞ 4. Điểm đặc biệt x 2− 1− 0 y 0 2 5. Đồ thò Gi¸o Viªn trÇn v¨n nªn - 7 - x −∞ 1− +∞ y ′ − − y 1 −∞ +∞ 1 ¤n Thi TNPT 2009 { } 1 1 2 1 1 x x 2x 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x Giải 1. Tập xác đònh : D = \ 2. Tiệm cận : lim y và lim y nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng + − → → − − = −∞ = +∞ − ¡ g 2 2 2 2 x x . lim y và lim y nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang Tâm đối xứng I( ; ) →+∞ →−∞ = = − g g 3. Bảng biến thiên 2 2 0 1 1 Ta có : y = , x (x ) ′ > ∀ ≠ − Hàm số đồng biến trên ( ;1) và (1; )−∞ +∞ 4. Điểm đặc biệt x 2 1 0 y 0 4 5. Đồ thò LOẠI 2 : HÀM SỐ 2 ax bx c y (a 0,a 0) a x b + + ′ = ≠ ≠ ′ ′ + Gi¸o Viªn trÇn v¨n nªn - 8 - x −∞ 1 +∞ y ′ + + y +∞ 2 2 −∞ ¤n Thi TNPT 2009 { } 2 1 1 1 1 1 1 x x x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x Giải Viết lại : y = x + x 1. Tập xác đònh : D = \ 2. Giới hạn ,tiệm cận : lim y , lim y l →−∞ →+∞ − + − − = −∞ = +∞ ¡ g g 1 1 1 0 0 1 1 1 x x x x x im y và lim y nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng . lim [y x] lim và lim [y x] nên đường thẳng y = x là tiệm cận xiên x Tâm đối xứng I( ; ) + − → → →+∞ →∞ →−∞ = +∞ = −∞ − = = − = − − g g 3. Bảng biến thiên 2 2 2 2 1 1 1 0 1 1 0 0 2 1 1 (x ) Ta có : y = 1 ; y = (x ) x x (x ) (x ) − − ′ ′ − = ⇔ − − = ⇔ = ∨ = − − Hàm số đã cho : 0 Đồng biến trên : ( ; ) , (2; ) −∞ + ∞g 0;1) , Nghòch biến trên : ( (1; 2)g 0, 1 2 , 3 CĐ CĐ CT CT Cực trò : x y ; x y = = − = =g 4. Điểm đặc biệt x 1− 0 1 2 3 y 1 2 − 1− 3 7 2 5. Đồ thò Gi¸o Viªn trÇn v¨n nªn - 9 - x −∞ 0 1 2 +∞ y ′ + 0 − − 0 + y 1− −∞ −∞ +∞ +∞ 3 ¤n Thi TNPT 2009 { } 2 2 3 2 2 3 2 2 x x x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x Giải Viết lại : y = x x 1. Tập xác đònh : D = \ 2. Giới hạn ,tiệm cận : lim y , lim y li →−∞ →+∞ − − − − − = −∞ = +∞ ¡ g g 2 2 3 0 1 2 2 x x x x x m y và lim y nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng . lim [y x] lim = 0 và lim [y x] nên đường thẳng y = x là tiệm cận xiên x Tâm đối xứng I( ; ) + − → → →+∞ →+∞ →−∞ = −∞ = +∞ − − = − = − g g 4. Bảng biến thiên 2 3 0 2 2 Ta có : y = 1 , (x ) ′ + > ∀ ≠ − Hàm số đã cho : 2Đồng biến trên : ( ; ) , (2; ) −∞ + ∞ 4. Điểm đặc biệt x 1− 0 2 3 5 y 0 3 2 0 4 5. Đồ thò Gi¸o Viªn trÇn v¨n nªn - 10 - x −∞ 2 +∞ y ′ + + y +∞ −∞ +∞ −∞ [...]... (x − 1)2 −∞ < 0 ,∀ ≠ 1 1 − +∞ −∞ − +∞ +∞ −∞ Hàm số đã cho : Nghòch biến trên : ( − ∞; 1) , (1; + ∞) 4 Điểm đặc biệt x y 5 Đồ thò −1 1 0 −1 1 2 1 3 −1 Gi¸o Viªn trÇn v¨n nªn - 12 - ¤n Thi TNPT 2009 C.BÀI TẬP 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : x +1 x +1 x−2 a) y = b) y = c) y = x −1 2x + 4 x+2 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hà m số : a) y = x 2 + 2x − 1 x −1 b) y = − x + 2... 1)2 − 1 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 1 + 2 +∞ + −∞ 2 0 −2 − +∞ −∞ Hàm số đã cho : gĐồng biến trên : (0;1) , (1; 2) gNghòch biến trên : ( − ∞; 0) , (2; + ∞) gCực trò : x CĐ = 2, y CĐ = −2 ; x CT = 0 , y CT = 2 4 Điểm đặc biệt x y 5 Đồ thò −1 5/2 0 2 1 2 −2 3 − 9/2 Gi¸o Viªn trÇn v¨n nªn - 11 - ¤n Thi TNPT 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = Giải 2009 − x 2 + 2x + 1 x −1 2 x −1 1 Tập xác đònh...¤n Thi TNPT 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = Giải 2009 − x 2 + 2x − 2 x −1 1 x −1 1 Tập xác đònh : D = ¡ \ { 1} Viết lại : y = − x + 1 − 2 Giới hạn ,tiệm cận : g lim y = +∞ , lim y = −∞ x →−∞ x →+∞ g lim y = −∞ và lim . ¤n Thi TNPT 2009 Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ : HÀM SỐ BẬC BA , HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG x x 1. TXĐ : D =. của hàm số : x a) y = x x b) y = x x c) y = x x + 2 d) y = x + − + + − − − − Vấn đề 2 : KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM