Khóa học TỐN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Chun đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao) Tài liệu giảng (Khóa Tốn 10) CÁC TÍNH BÀI TỐN CHỌNLỌC VỀ HÌNH OXY (P2) Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95 VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁCBÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vng ABCD có phương trình đường chéo AC : x + y − 13 = , điểm B thuộc trục tung, tia đối tia CB DC lấy điểm M N 15 11 cho BM = DN Biết K ; trung điểm MN tìm toạ độ đỉnh hình vng ABCD 2 Ví dụ [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang cân ABCD, ( AB / / CD ) , điểm 9 9 H ( 2; ) hình chiếu A đường thẳng CD, điểm M 0; trung điểm AD K 2; 2 4 điểm thuộc đoạn AC cho AC = AK Tìm toạ độ đỉnh hình thang ABCD Ví dụ [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân 1 giác trung tuyến qua đỉnh B d1 : x + y − = 0; d : x + y − = Điểm M 2; thuộc cạnh 2 15 AB bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC R = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu [ĐVH-1]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn ( C ) : ( x − 1) + y = 25 tâm I, trung tuyến AE đường cao CD cắt đường tròn (C) điểm thứ M ( −2; −4 ) N ( 4; −4 ) Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC viết phương trình đường tròn ( C ) biết B có tung độ âm Lời giải: Do tam giác ABC cân nên tâm I đường tròn ( C ) thuộc trung tuyến AE Do I trung điểm AM nên A ( 4; ) Phương trình đường thẳng AM: x − y − = Gọi H = AM ∩ CD trực tâm tam giác ABC Ta có : BAE = BCD ( phụ với góc ABC ) BN = BM Khi : BN = BM , lại có IN = IM nên IB trung trực MN Phương trình IB là: x = ⇒ B (1; t ) ⇒ t = 25 ⇒ B (1; −5 ) 19 Điểm C đối xứng với B qua AM nên C − ; − 5 19 Đáp số: A ( 4; ) ; B (1; −5 ) ; C − ; − điểm cần tìm 5 Câu [ĐVH-2]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vng C có phân giác AD với 7 7 D ; − thuộc BC Gọi E, F điểm thuộc cạnh AB AC cho AE = AF Đường 2 2 Tham gia khóa học TỐN 10 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! Khóa học TỐN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Chun đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao) 3 5 thẳng EF cắt BC K Biết E ; − , F có hồnh độ nhỏ phương trình đường thẳng 2 2 AK : x − y − = Viết phương trình cạnh tam giác ABC Lời giải: Gọi I giao điểm AD EF Do tam giác AEF cân A có phân giác AI nên AI phân giác đồng thời đường cao trung tuyến EK ⊥ AD ⇒ DF ⊥ AK Ta có: AC ⊥ KD −7 Do đương thẳng DF qua D ; vng góc với AK Ta có DF : x + y − = 2 Vì F thuộc DF nên ta gọi F t ; − 2t 2t + − 2t Mặt khác I trung điểm EF nên I ; − 2t 11 − 2t Ta có: IE = ; −3 + t , ID = ; −4 + t Khi đó, IE.ID = ⇔ ( − 2t )(11 − 2t ) + 16 ( t − 3)( t − ) = t = ⇔ 20t − 140t + 225 = ⇔ t = −11 ⇒F ; ( loai ) 2 −3 ⇒ F ; ⇒ I ( 2; −2 ) 2 x + y = x = PT đường thẳng AD : x + y = ⇒ A = AD ∩ AK ⇒ ⇔ ⇒ A (1; −1) x − y − = y = −1 Từ ta có AF : x + y + = 0, AE : x + y − = 0, BC : x − y − 14 = Câu [ĐVH-3]: Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC vuông cân với M trung điểm cạnh huyền BC, E điểm thuộc cạnh BC, gọi H ( −1; ) K hình chiếu vng góc B C đường thẳng AE, phương trình đường thẳng MK : x − y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết trung điểm AB thuộc trục tung tung độ điểm K nhỏ Lời giải: Dễ thấy AM ⊥ BC tứ giác ABMH AMKC tứ giác nội tiếp nên MHK = ABC = 450 AKM = ACB = 450 nên tam giác MHK vuông cân M Phương trình đường thẳng MH : x + y − = ⇒ M ( −3; ) Gọi K ( t ; t + ) ⇒ MK = MH ⇔ ( t + 3) = t = −1 ⇒ K ( −1; ) ( loai ) ⇔ ( t + 3) = ⇔ t = −5 ⇒ K ( −5; ) ⇒ AK : y = Gọi N ( 0; t ) trung điểm AB ta có : NM = NH = AB Khi : + ( t − ) = + ( t − ) ⇔ 4t = 20 ⇔ t = ⇒ N ( 0;5 ) 2 Do phương trình AB qua N vng góc với MN là: 3x + y − = ⇒ A (1; ) Tham gia khóa học TỐN 10 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! Khóa học TỐN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao) Phương trình BH : x = −1 ⇒ B ( −1;8 ) ⇒ C ( −5;0 ) Vậy A (1; ) ; B ( −1;8) ; C ( −5; ) điểm cần tìm Câu [ĐVH-4]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình AD : x + y − = 0, điểm I ( −3; ) thuộc đoạn BD cho IB = 2ID Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết D có hồnh độ dương AD = 2AB Lời giải: AB Ta có: sin ADB = Dựng IH ⊥ AD = AB + AD Khi đó: IH = d ( I ; AD ) = D sin ADB ⇔ ID = Gọi D ( t ;1 − 2t ) ta có: ID = ( t + 3) + ( −1 − 2t ) = 25 2 t = ⇒ D (1; −1) ( t / m ) ⇔ t = −3 ⇒ D ( −3; ) ( loai ) xB − = ( −3 − 1) Lại có: DB = 3DI ⇔ ⇔ B ( −11;8 ) ⇒ C ( −5; −4 ) yB + = ( + 1) Đ/s: A ( −5;11) , B ( −11;8) , C ( −5; −4 ) , D (1; −1) Câu [ĐVH-5]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, biết BAC = 1200 , M (1; ) trung điểm cạnh AC Đường thẳng BC có phương trình x − y + = Tìm tọa độ điểm A biết điểm C có hồnh độ dương Lời giải Gọi AC : a ( x − 1) + b ( y − ) = Ta có cos ( AC , BC ) = ⇒ a−b a2 + b2 = a−b a +b 2 = cos 300 ⇔ ( a − b ) = ( a2 + b2 ) ( ( ) ) a = −2 + b ⇔ a + 4ab + b = ⇔ a = −2 − b 2 ( ) ( ) Với a = −2 + b chọn a = −2 + 3, b = ⇒ AC : −2 + x + y − = ( ) ( ) Ta có C = BC ∩ AC ⇒ C − 3;3 − Do M trung điểm AC ⇒ A + 3; + ( ) ( ) Với a = −2 − b ⇒ a = −2 − 3, b = ⇒ AC : −2 − x + y + = Ta có C = BC ∩ AC ⇒ C ( ) ( ) ( 3;3 + Do M trung điểm AC ⇒ A − 3;1 − ( Vậy A + 3; + A − 3;1 − ) ) 27 có tâm I đường thẳng d : x + y + = Từ điểm M thuộc d kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn ( C ) (A, B Câu [ĐVH-6]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + ) = 2 Tham gia khóa học TỐN 10 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! Khóa học TỐN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao) tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M cho diện tích tam giác IAB 27 độ dài đoạn AB nhỏ Lời giải: Đường tròn ( C ) tâm I ( 3; −2 ) , R = 27 IH ⊥ AB Gọi MI ∩ AB = { H } → HA = HB Theo định lý Pytagore cho tam giác vng AIH có: AH = AI − IH → AH = AI − IH = R − IH Diện tích tam giác AIB tính theo cơng thức: 1 S ∆AIB = ⋅ IH ⋅ AB = ⋅ IH ⋅ AH = IH ⋅ AH = IH R − IH 2 S ∆AIB = 27 27 27 2187 ↔ IH R − IH = ↔ IH − IH = 8 64 IH = AB = → → → ABmin = ↔ IH = IH = AB = Gọi M ( t ; −t − 5) suy phương trình đường tròn tâm M bán kính MA 27 Vì AB trục đẳng phương hai đường tròn ( C ) , ( C ') Suy phương trình AB là: ( C ') : ( x − t ) + ( y + t + ) 2 = ( t − 3) + ( t + 3) − ( − 2t ) x + ( 2t + ) y + 10t + 21 = → d( I ; AB ) = IH = ↔ ( − 2t ) + ( 2t + ) 2 = 27 ( − 2t ) + ( 2t + ) 2 = = ↔ 8t = ↔ t = → M ( 0; −5 ) Vậy M ( 0; −5 ) điểm cần tìm Câu [ĐVH-7]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn CB = CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = AB Phương trình cạnh BC : x − y + 13 = 0, phương trình AC : x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A, B biết A có hoành độ nhỏ E (14;1) Lời giải: Tham gia khóa học TỐN 10 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao) Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn → ABC = CDE (Vì bù với ADC ) Xét hai tam giác ∆ABC ∆CDE có: ABC = CDE CE = CA → ∆ABC = ∆EDC → AB = DE CB = CD BCA = DCE Mà ta lại có ACE = ACD + DCE = ACD + BCA = BCD x − y −1 = x = Tọa độ điểm C nghiệm hệ ↔ → C ( 8; ) x − y + 13 = y = t = 14 → A ( 2;1) Gọi A ( t ; t − 1)( t < 3) có AC = CE = ↔ AC = 72 ↔ ( t − ) = 72 → t = CE = ( 6; −6 ) Nhận thấy → CE ⋅ AC = → CE ⊥ AC → ACE = 90o → BCD = 90o AC = ( 6;6 ) Mà BCD + BAD = 180o → BAD = 90o → BA ⊥ AD → BA ⊥ AE Ta có: phương trình AE : y − = → Phương trình đường thẳng AB qua A vng góc AE AB : x − = x − = Tọa độ B nghiệm hệ → B ( 2;5 ) Vậy A ( 2;1) , B ( 2;5 ) x − y + 13 = Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn Tham gia khóa học TỐN 10 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !