SÁCH NÀY LUÔN BÁM SÁT DẠNG ĐỀ THI ĐẠI SỐ TRƯỜNG ĐHBK ĐÀ NẴNG.VỚI NHỮNG DẠNG BÀI ĐẦY ĐỦ VA THỦ THUẬT GIẢI NÓ LÀ ĐIỀU MÀ MỖI SINH VIÊN CẦN CHÚ Ý.ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CỦA TRƯỜNG BÁCH KHOA SẼ LUÔN LẶP DẠNG TRONG NHỮNG NĂM LẠI ĐÂY CHÍNH VÌ VẬY CHINH PHỤC ĐIỂM ĐẠI SỐ LÀ VẤN ĐỀ KHÔNG KHÓ.CỐ LÊN CÁC BẠN NHÉ.
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÃ NẴNG MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - - -TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI TRƯỜNG ĐHBK ĐÀ NẴNG TỪ NĂM 2010-2017 -CÁC ĐỀ THI NĂM 2018 CỦA CÁC TRƯỜNG THÀNH VIÊN -THAM KHẢO CẤU TRÚC RA ĐỀ NĂM 2018 -CÁC DẠNG CHẮC CHẮN SẼ RA TRONG NĂM NAY -TRÊN ĐIỂM LÀ MỤC TIÊU TỐI THIỂU MÀ CUỐN SÁCH SẼ MANG LẠI CHO BẠN -CÁC PHƯƠNG PHÁP LẠ ĐỂ CHINH PHỤC 10Đ NGƯỜI VIẾT:TRẦN QUỐC ĐẠT ĐÀ NẴNG,THÁNG 5/2018 Bài tập Hỏi tập có không gian hay không ? {( a, 0, 0) a ∈ } = {( a,1,1) a ∈ } a) W1 = b) W2 ĐS: a) W1 không gian ( a, b ∈ ) với k ∈ bất kỳ, ta có u + v = ( a + b, 0, 0) , ku = ( ka, 0, ) ∈ W1 b) W2 không không gian ( a, b ∈ ) với k ∈ với u = ( a, 0, ) , v = ( b, 0, ) ∈ W1 với u = ( a,1,1) , v = ( b,1,1) ∈ W2 , k ≠ , bất kỳ, ta có u + v = ( a + b, 2, ) , ku = ( ka, k, k ) ∉ W2 Cho khoâng gian vectơ V a vectơ cố đònh thuộc V Chứng minh tập không gian vectơ V hợp W = ka k ∈ { } ĐS: Với u = ha, v = ka ∈ W ( h, k ∈ u + v = ( h + k ) a, αu = ( αh ) a ∈ W Trong ) vaø α ∈ bất kỳ, ta có , cho vectơ u1 = (1, −2, 3) , u = ( 0,1, −3) Xét xem vectơ u = ( 2, −3, 3) có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u hay không ? ⎧ k1 ⎪ ĐS: Xét hệ ⎨−2k1 ⎪ 3k ⎩ = + k2 = −3 , ta coù − 3k = ⎛1 2⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ : = + : = + ( ) ( ) ( ) → 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) ( ) ( ) →⎜0 1 ⎟ ⎜ −2 −3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ −1 ⎟ ⎜ −1 −3 ⎟ ⎜ 0 −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Hệ vô nghiệm : u không tổ hợp tuyến tính u1 , u Trong , xeùt xem vectơ u có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u , u không a) u1 = (1, 0,1) , u = (1,1, ) , u = ( 0,1,1) , u = (1, 2,1) b) u1 = ( −2,1, ) , u = ( 3, −1,1) , u = ( 2, 0, −2 ) , u = ( 0, 0, 0) ⎧ k1 ⎪ ĐS: a) Xét heä ⎨ ⎪k ⎩ + k2 k2 = + k3 + k3 = , ta coù = ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ) : = ( ) − (1 ) ): = ( ) + ( ) ( ( → ⎜ 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜0 ⎜ 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜1 1⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Hệ có nghiệm ( 0,1,1) : u tổ hợp tuyến tính u1 , u , u 1⎞ ⎟ 2⎟ 2 ⎟⎠ ( u = 0u1 + u + u ) b) Xét hệ ⎛ −2 ⎜ ⎜ −1 ⎜ ⎝ ⎧−2k1 + 3k + 2k = ⎪ − k2 = , ta coù ⎨ k1 ⎪ k − 2k = ⎩ ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1) ∼ ( ) ) : = ( ) + (1 ) ( ( 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ −2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜0 ⎜ 0 −4 ⎝ ( ): = ( 3) − ( ) 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ Hệ có nghiệm ( 0, 0, 0) : u tổ hợp tuyến tính u1 , u , u ( u = 0u1 + 0u + 0u ) Trong không gian vectơ ma trận vuông cấp hai M2 ( ) , cho bốn vectơ ⎛ 3⎞ ⎛1 0⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 1⎞ u=⎜ ⎟ , u1 = ⎜ ⎟ , u2 = ⎜ ⎟ , u3 = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝1 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ Hỏi vectơ u có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u , u khoâng ? ⎧ k1 + k = ⎪ k2 + k3 = ⎪ ĐS: Xét hệ ⎨ , ta có + k3 = ⎪ k1 ⎪ k3 = ⎩ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) → ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜1 2⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 2⎟ ⎜ 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 3⎟ ): = ( 3) + ( ) ( ):= ( ) − 12 ( 3) ⎜ 1 ⎟ ( ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜0 4⎟ ⎜0 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 2⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Hệ có nghiệm ( 0,1, ) : u tổ hợp tuyến tính u1 , u , u ( u = 0u1 + u + 2u ) Trong , cho vectơ u1 = (1, −2, 3) , u = ( 0,1, −3) Tìm m để vectơ u = (1, m, −3) tổ hợp tuyến tính u1 , u ⎧ k1 ⎪ ĐS: Xét hệ ⎨−2k1 ⎪ 3k ⎩ + k2 − 3k = = m , ta coù = −3 ⎛1 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ( ) : = ( ) + (1 ) ⎜ → ⎜ m + 2⎟ ⎜ −2 m ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ : 3 = − ( ) ( ) () ⎜ −3 − ⎟ ⎜ −3 −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ m+2 ⎟ = ⎜ m + 2⎟ ⎜ 0 −6 + ( m + 2) ⎟ ⎜ 0 3m ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Khi m = u tổ hợp tuyến tính u1 , u Khi m ≠ u không ( 3):= ( 3) + 3( 2) tổ hợp tuyến tính u1 , u Trong , hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính a) u1 = (1,1, ) , u = ( 0,1,1) , u = (1, 0,1) ( ) ( ) ( ) c) u1 = (1,1,1) , u = (1,1, 2) , u = (1, 2, 3) d) u1 = (1,1, ) , u = (1, 2, ) , u = ( 0,1, 3) b) u1 = 1,1, , u = 0,1,1 , u = 2, 3,1 ⎧ k1 ⎪ ĐS: a) Xét hệ ⎨k1 ⎪ ⎩ + k2 k2 + k3 = + k3 = = ⎛1 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ 2):= ( 2) − (1) 3) := ( ) − ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ( → ⎜ −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ −1 ⎟ : Heä độc lập tuyến Ta có ⎜ 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎝0 1 ⎠ ⎝ 0 −2 ⎠ tính ⎧ k1 ⎪ b) Xét hệ ⎨k1 ⎪ ⎩ + k2 k2 + 2k = + 3k = + k3 = ⎛1 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ( 2):= ( 2) − (1) ⎜ ( 3) := ( ) − ( ) ⎜ Ta coù ⎜ 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ 1 ⎟ : Hệ phụ thuộc tuyến ⎜0 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ tính ⎧ k1 ⎪ c) Xét hệ ⎨k1 ⎪k ⎩ + k2 + + k2 + 2k + 2k k3 + 3k = = = ⎛1 1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ( ) ∼ ( 3) ⎜ Ta coù ⎜ 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎟ : Hệ độc lập tuyến tính ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎜1 3⎟ ⎜ 2⎟ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧ k1 ⎪ d) Xét hệ ⎨ k1 ⎪2k ⎩ k2 + = + 2k k3 + + 5k + 3k = = ⎛1 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ) : = ( ) − (1 ) ): = ( ) − 3( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ( Ta coù ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 1 ⎟ : Heä phụ thuộc ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ 3⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ tuyến tính Chứng minh hệ vectơ v1 , v2 , , v r phụ thuộc tuyến tính có vectơ v i , i ∈ {1, 2, , r} tổ hợp tuyến tính vectơ lại ĐS: Chiếu thuận : Khi hệ vectơ v1 , v2 , , v r phụ thuộc tuyến tính, ta có hệ số không đồng thời cho k1 v1 + k v + + k r v r = Bấy giờ, k1 , k , , k r ∈ ( ) ( ) k k k1 ≠ v1 = − k v2 + + − k r v r , nghóa v1 tổ hợp tuyến tính 2 vectơ v , , v r Chiều đảo Giả sử v1 tổ hợp tuyến tính vectơ v , , v r , nghóa tồn hệ số k , , k r ∈ cho v1 = k v2 + + k r v r Do v1 − k v2 − − k r v r = với hệ số 1, k , , k r không đồng thời 0, ta suy hệ vectơ v1 , v , , v r phụ thuộc tuyến tính Trong không gian ma trận vuông cấp hai M2 ( ) , cho bốn vectơ ⎛1 0⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 1⎞ e1 = ⎜ ⎟ , e2 = ⎜ ⎟ , e3 = ⎜ ⎟ , e4 = ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎝1 1⎠ Chứng minh hệ {e1 , e2 , e3 , e4 } độc lập tuyến tính ⎧ k1 ⎪ ⎪ ĐS: Xét hệ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ + k2 k2 + k3 + k4 = k3 + k3 + k4 = + k4 = k4 = Ta suy heä độc lập tuyến tính 10 Mỗi hệ vectơ sau có sinh không ? a) v1 = (1,1,1) , v = ( 2, 2, ) , v = ( 3, 0, ) ( ) ( ) ( ) b) v1 = 2, −1, , v2 = 4,1, , v3 = 8, −1, ⎧ k1 ⎪ ĐS: a) Xét hệ ⎨k1 ⎪k ⎩ + 2k + 2k + 3k = a = b Ta coù = c ⎛1 a ⎞ ⎛1 a ⎞ ⎛1 a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ) : = ( ) − (1 ) ) ∼ ( 3) ( ( → ⎜ 0 −3 b − a ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −2 −3 c − a ⎟ ⎜ b ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ : = − ( ) ( ) () ⎜1 0 c ⎟ ⎜ −2 −3 c − a ⎟ ⎜ 0 −3 b − a ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Hệ phương trình luôn có nghiệm : hệ vectơ có sinh ⎧2k1 + 4k + 8k ⎪ b) Xét hệ ⎨− k1 + k − k ⎪ 3k + 2k + 8k ⎩ ⎛ a⎞ ⎛ −1 ⎜ ⎟ ⎜ 1) ∼ ( ) ( ⎜ −1 −1 b ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎜ c⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ = a = b Ta coù = c ⎛ −1 −1 b ⎞ −1 b ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ) : = ( ) + (1 ) ( a ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ 6 a + 2b ⎟ : = + ( ) ( ) () ⎜ 5 c + 5b ⎟ c ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 −1 ⎞ ⎛ −1 − ⎞ b b ⎟ ⎜ ⎟ ( 3):= ( 3) − 56 ( 2) ⎜ a + 2b a + 2b ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 6 ⎟=⎜ 6 ⎜ 0 c + 5b − ( a + 2b ) ⎟ ⎜ 0 c + 10 b − a ⎟ 6 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Hệ phương trình không luôn có nghiệm : hệ vectơ không sinh 11 Hệ vectơ hệ vectơ sau sở a) B1 = (1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) { } b) B = {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) , ( 0, 0, )} c) B = {(1,1, ) , (1, 2, ) , ( 0,1, 3)} d) B = {( −1, 0,1) , ( −1,1, ) , (1, −1,1) , ( 2, 0, )} ÑS: a) B1 không sở b) = 10 ≠ B2 sở 0 1 ( B1 khoâng sinh ) 1 c) = = B3 không sở 3 d) B4 không sở ( B4 không độc lập tuyến tính) 12 Tìm hạng hệ vectơ sau (trong không gian vectơ a) u1 = ( −1, 2, 0,1) , u = (1, 2, 3, −1) , u = ( 0, 4, 3, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) b) v1 = −1, 4, 8,12 , v = 2,1, 3,1 , v = −2, 8,16, 24 , v = 1,1, 2, ĐS: a) Biến đổi ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ( ) : = ( ) + (1 ) ⎜ ( 3) := ( ) − ( ) ⎜ → ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ ⎟ Rank = ⎜ −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜0 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b) Bieán ⎛ −1 ⎜ ⎜ ⎜ −2 ⎜⎜ ⎝1 đổi ⎛ −1 12 ⎞ ( ) : = ( ) + (1 ) ⎜ ⎟ 1⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ( ) : = ( ) + (1 ) ⎜0 16 24 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 3⎠ ⎝0 ⎛ −1 12 ⎞ ⎜ ⎟ ( 3):= ( 3) − ( 2) ⎜ 10 15 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 −2 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0 0 0⎠ ⎛ −1 12 ⎞ ⎟ ⎜ 19 25 ⎟ ( 3) ∼ ( ) ⎜ ⎯⎯⎯⎯→ ( ) ∼ ( 3) ⎜ 0 0⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 10 15 ⎠ ⎝0 12 ⎞ ⎟ 10 15 ⎟ 19 25 ⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ Rank = 13 Tìm số chiều sở cho không gian vectơ sinh vectơ v1 = (1, 2, 0, −1) , v = ( 0,1, 3, −2 ) , v = ( −1, 0, 2, ) , v = ( 3,1, −11, ) ĐS: Biến đổi ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜ −1 ⎜⎜ ⎝ 0 ⎛1 ⎛ −1 ⎞ −1 ⎞ −1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −2 ⎟ −2 ⎟ ( ) : = ( ) + (1 ) ( 3):= ( 3) − 2( 2) ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ( ):= ( ) + 5( 2) ⎜ 0 −4 ⎟ 4⎟ 3⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ −11 ⎠ ⎝ −5 −11 ⎠ ⎝ 0 −7 ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ −2 ⎟ ) : = ( ) + ( 3) ( ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ 0 −4 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0 0 ⎠ { } dim = vaø sở e1 = (1, 2, 0, −1) , e2 = ( 0,1, 3, −2 ) , e3 = ( 0, 0, −4,7 ) 14 Xác đònh số chiều ⎧2x1 + x + ⎪ a) ⎨ x1 + 2x ⎪ x2 + ⎩ ⎧ x1 − 3x + ⎪ b) ⎨2x1 − 6x + ⎪3x − 9x + ⎩ ⎧ x1 ⎪ ⎪2x c) ⎨ ⎪3x1 ⎪2x ⎩ − 2x + x2 − 2x − 5x tìm sở cho không gian nghiệm hệ sau 3x3 = = x3 = x3 = 2x3 = 3x + x3 − x3 − x3 + x3 = − x4 + x5 = x4 + 2x + − 2x − 3x5 = − 2x5 = + 2x5 = ⎧3x1 ⎪ ⎪6x d) ⎨ ⎪9x1 ⎪3x ⎩ + 2x + x3 + 3x4 + 5x5 = + 6x + 5x3 + 7x4 + 4x + 3x3 + 2x + 4x + 5x4 + 4x + 7x5 = + 9x5 = + 8x5 = ĐS: a) Biến đổi ⎛ 3⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ 1) ∼ ( ) ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ( ( ) ∼ ( 3) → ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ : ( ) = ( ) + 3( ) ⎜0 1⎟ ⎜0 1⎟ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 1⎟ ⎜ 0 6⎟ ⎝ ⎠ dim = b) Biến đổi ⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ → ⎜ 0 ⎟ cho nghieäm ⎜ −6 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ : = − ( ) ( ) () ⎜ −9 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Khoâng gian nghieäm { ( ) ⎧k1 = 3m − n ⎪ ⎨ k = m , với m, n ∈ ⎪ k =n ⎩ {( 3m − n, m, n ) m, n ∈ } = ( 3,1, 0) , ( −1, 0,1) dim = ( )} sở e1 = 3,1, , e2 = −1, 0,1 c) Biến đổi ⎛ −2 −1 ⎞ ⎛ −2 ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎜ ⎟ ( 3):= ( 3) − 3(1) ⎜ ⎜ −1 −3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ( ):= ( ) − 2(1) ⎜ ⎜ −2 −1 −2 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ −5 −2 ⎠ ⎝ −1 ⎛ −2 −1 ⎞ ⎛ −2 ⎜ ⎟ ⎜ ( 3):= ( 3) + ( 2) ⎜ −1 ⎜ −1 −1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( ): = ( ) + ( ) ⎜ 0 ⎜ −4 −5 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ −3 −5 ⎠ ⎝0 −1 ⎞ ⎟ −3 −5 ⎟ ( 2) ∼ ( ) ⎯⎯⎯⎯→ −4 −5 ⎟ ⎟ −1 0 ⎟⎠ −1 ⎞ ⎟ −1 0 ⎟ ( ): = ( ) − ( ) → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ −8 −5 ⎟ ⎟ −8 −5 ⎟⎠ ⎛ −2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 −1 0 ⎟ ⎜ 0 −8 −5 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0 0 0 ⎠ ⎧ k1 = − 12 m + 78 n ⎪ ⎪k = − 18 ( 4m − 5n ) = − 12 m + 58 n ⎪ cho nghieäm ⎨ k = ( 4m − 5n ) = m − n , với m, n ∈ 8 ⎪ k4 = m ⎪ ⎪ k5 = n ⎩ Không gian nghiệm {( − = ) m + 78 n, − 12 m + 58 n, 12 m − 58 n, m, n m, n ∈ ( −1,1,1, 2, 0) , (7, 5, −5, 0, 8) } = (− , , ,1, 2 { ) , ( 78 , 58 , − 58 , 0,1) } dim = sở e1 = ( −1,1,1, 2, ) , e2 = ( 7, 5, −5, 0, ) d) Biến đổi ⎛3 ⎜ ⎜6 ⎜9 ⎜⎜ ⎝3 ⎛3 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜⎜ ⎝0 ⎛3 5⎞ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ 7⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) → ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜0 9⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 8⎠ ⎝0 ⎛3 5⎞ ⎟ ⎜ −1 −3 ⎟ 3) ∼ ( ) ( ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ ( ): = ( ) ⎜ 0 0⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 12 ⎠ ⎝0 1 0 0 1 −1 −2 3 −1 0 0 ⎧ k1 = − m + n 3 ⎪ k2 = m ⎪ ⎪ cho nghieäm ⎨ , với m, n ∈ k3 = ⎪ k = −3n ⎪ ⎪ k5 = n ⎩ Khoâng gian nghieäm {( − = ) m + 43 n, m, 0, −3n, n m, n ∈ ( −2, 3, 0, 0, 0) , ( 4, 0, 0, −9, 3) 5⎞ ⎟ −3 ⎟ ( 3) := ( 3) − ( ) → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ): = ( ) − 3( ) ( −6 ⎟ ⎟⎟ 3⎠ 5⎞ ⎟ −3 ⎟ 3⎟ ⎟ ⎟⎠ } = (− ,1, 0, 0, ),( , 0, 0, −3,1 { ) } dim = sở e1 = ( −2, 3, 0, 0, ) , e2 = ( 4, 0, 0, −9, 3) 15 Tìm tọa độ vectơ u sở tắc B sở B ′ = {f1 , f2 , f3} với f1 = (1, 0, ) , f2 = (1,1, ) , f3 = (1,1,1) ( ) ( a) u = 3,1, −4 ÑS: a) ⎣⎡ u ⎦⎤ B b) ⎣⎡ u ⎦⎤ B 16 Trong ⎧ k1 ⎛ 3⎞ ⎪ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ Heä ⎨ ⎪ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎩ ⎧ k1 ⎛1⎞ ⎪ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ Heä ⎨ ⎪ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎩ ) b) u = 1, 3,1 + k2 k2 + k2 k2 + k3 + k3 k3 + k3 + k3 k3 ⎧ k1 = ⎛ 2⎞ ⎪ ⎜ ⎟ = cho ⎨ k = vaø ⎡⎣ u ⎤⎦ ′ = ⎜ ⎟ B ⎪ k = −4 ⎜ −4 ⎟ = −4 ⎝ ⎠ ⎩ = = ⎧k1 = −2 ⎛ −2 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ = cho ⎨ k = vaø ⎡⎣ u ⎤⎦ ′ = ⎜ ⎟ B ⎪ k =1 ⎜1⎟ = ⎝ ⎠ ⎩ , xét tập W = ( a1 , a , a , a ) : a1 + a + a + a = { } a) Kiểm chứng W không gian vectơ Với u = ( 3, −2, ) , ta coù ⎣⎡ u ⎦⎤ = PB →C ⎣⎡u ⎦⎤ B C ⎡ f ( u )⎤ = ⎡ f ⎤ ⎡u ⎤ ⎣ ⎦B ⎣ ⎦B ⎣ ⎦B ⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ 1⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ = ⎜ −1 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ − 52 ⎟ vaø 2⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ − 52 ⎟ = ⎜ − 15 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ −2 ⎟⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Cho phép biến đổi tuyến tính f : ⎛1 ⎜ −1 A=⎜ ⎜2 ⎜⎜ ⎝0 → với ma trận sở tắc 1⎞ ⎟ 1⎟ 1⎟ ⎟ ⎟⎠ Xác đònh Ker f tìm sở ĐS: Ta có f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( x1 + 2x + x , − x1 + 2x2 + x , 2x1 + x + x4 , 2x + x4 ) Do Kerf = {( x , x , x , x ) f ( x , x , x , x ) = 0} , với f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) Do ⎧ x1 ⎪ ⎪− x =0⇔⎨ ⎪2x1 ⎪ ⎩ + 2x3 + 2x x3 + 2x3 + x4 = + x4 = + x4 = + x4 = 0 −1 = −2 ≠ nên hệ phương trình nhận hệ Cramer 1 0 Suy Kerf = {0} sở Cho ánh xạ tuyến tính f : → xác đònh f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( 2x1 + 3x2 + 5x + 6x , 3x1 + 4x2 + 6x + 7x , 3x1 + x + x3 + 4x ) Tìm sở Ker f sở Im f ĐS: Ta có Kerf = f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) {( x , x , x , x ) f ( x , x , x , x ) = 0} , với ⎧2x1 ⎪ = ⇔ ⎨3x1 ⎪3x ⎩ 4 + 3x2 + 5x3 + 6x = + 4x2 + 6x + 7x4 = + + x2 x3 Biến đổi + 4x4 = ⎛2 ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ − 12 ⎜ ⎟ ( 3):= ( 3) − 23 (1) ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝3 4⎠ ⎝0 − Cho x4 = m , với ⎛2 6⎞ ⎟ ⎜ ): = ( ) − ( ) ( −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ − 12 ⎟ ⎜ −5 ⎠⎟ ⎝0 − 23 − 13 m∈ Ta 6⎞ ⎟ −2 ⎟ ⎟ 5⎠ − 23 x = −5x4 = −5m ; x = −3x − 4x = 15m − 4m = 11m ; x1 = ( −3x2 − 5x3 − 6x4 ) = 12 ( −33m + 25m − 6m ) = 7m Kerf = {(7m,11m, −5m, m ) m ∈ } = (7,11, −5,1) Vậy sở cho Ker f Ta có Im f = {( a, b, c ) ∈ f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) {(7,11, −5,1)} ∃ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ ⎧2x1 ⎪ = ( a, b, c ) ⇔ ⎨3x1 ⎪3x ⎩ + 3x2 } , f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( a, b, c ) + 5x3 + 4x2 + 6x + + x2 x3 + 6x + 7x + 4x4 = a = b = c ⇔ ( a, b, c ) = ( 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 , 3x1 + 4x2 + 6x + 7x , 3x1 + x + x + 4x4 ) ⇔ ( a, b, c ) = x1 ( 2, 3, 3) + x ( 3, 4,1) + x ( 5, 6,1) + x ( 6,7, ) ta suy Im f = ( 2, 3, 3) , ( 3, 4,1) , ( 5, 6,1) , ( 6,7, ) ⎛2 3⎞ ⎜ ⎟ 1⎟ ( 2):= ( 2) − 23 (1) ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ( 3):= ( 3) − 52 (1) ⎜ 1⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎠⎟ ⎝0 ⎛2 3 ⎞ ⎜ 7⎟ ( ):= ( ) − 49 ( 3) ⎜ − − ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎛2 ⎜ ⎜3 ⎜5 ⎜⎜ ⎝6 − 12 Biến đổi ⎞ ⎛2 ⎜ ⎟ −2 ⎟ − 12 3) : = ( ) − 3( ) ( ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( ): = ( ) − ( ) ⎜ 0 − 13 ⎟ ⎜ ⎜ −5 ⎠⎟ ⎝0 − 23 −2 ⎞ ⎟ − 72 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎟ ( 2, 3, 3) , ( 0, − 12 , − 72 ) , ( 0, 0, ) = ( 2, 3, 3) , ( 0, −1, −7 ) , ( 0, 0,1) sở cho Im f {( 2, 3, 3) , ( 0, −1, −7 ) , ( 0, 0,1)} ta suy Im f = 10 Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → xác đònh f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − 2x + x3 , x2 + x , x1 + x − 2x3 ) Xác đònh số chiều tìm sở cho Ker f , Im f ĐS: Ta coù Kerf = {( x , x , x ) f ( x , x , x ) = 0} , với 3 ta nhận f ( x1 , x2 , x3 ) ⎧ x1 ⎪ =0⇔⎨ ⎪x ⎩ − 2x + x3 = x2 + x3 = x2 + − 2x = Biến đổi ⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ( 3) := ( ) − 3( ) ⎜ → ⎜ 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 1 −2 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ 0 −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ {( 0, 0, 0)} Vaäy dim Kerf = Ker sở Ta suy Kerf = Ta coù Im f = f ( x1 , x2 , x ) {( a, b, c) ∈ ∃ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ⎧ x1 ⎪ = ( a, b, c ) ⇔ ⎨ ⎪x ⎩ − 2x x2 + x2 + + } , f ( x1 , x2 , x ) = ( a, b, c ) x3 x3 − 2x3 = a = b = c ⇔ ( a, b, c ) = ( x1 − 2x + x , x + x3 , x1 + x2 − 2x ) ⇔ ( a, b, c ) = x1 (1, 0,1) + x2 ( −2,1,1) + x3 (1,1, −2) ta suy Im f = (1, 0,1) , ( −2,1,1) , (1,1, −2) Biến đổi ⎛1 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ) : = ( ) + (1 ) ): = ( ) − ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ( → ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜0 ⎟ ⎜ −2 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ 1 −2 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ 0 −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1, 0,1) , ( 0,1, 3) , ( 0, 0, −6) = (1, 0,1) , ( 0,1, 3) , ( 0, 0,1) ta nhận sở cho Im f {(1, 0,1) , ( 0,1, 3) , ( 0, 0,1)} ta suy Im f = vaø dim Im f = 11 Trong ma trận sau đây, ma trận chéo hóa ? Nếu chéo hóa được, xác đònh ma trận chéo hóa ma trận chéo nhận ⎛ −1 ⎞ ⎟ ⎝1 ⎠ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ c) A = ⎜ −1 ⎟ ⎜2 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −4 −8 ⎞ ⎜ ⎟ e) A = ⎜ −4 −4 ⎟ ⎜ −8 −4 ⎟ ⎝ ⎠ a) A = ⎜ ÑS: a) 1−λ −1 3−λ ⎛2 1⎞ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ d) A = ⎜ 6⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 −4 −5 ⎠ ⎛ 0 1⎞ ⎜ ⎟ f) A = ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ b) A = ⎜ = (1 − λ )( − λ ) + = λ − 4λ + = ( λ − ) = ⇔ λ = Ta trò riêng λ = Lúc không gian riêng V2 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số ⎛ −1 −1 ⎞ ( ) : = ( ) + (1 ) ⎛ − − ⎞ →⎜ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎟ 1 ⎝ ⎠ ⎝ 0⎠ Ta suy V2 = {( −m, m ) m ∈ } = ( −1,1) dim V2 = < = dim , ta suy ma trận không chéo hóa 2−λ b) = ( − λ )( − λ ) − = λ − 5λ + = ( λ − 1)( λ − ) = ⇔ λ = ∨ λ = 3−λ Ta hai trò riêng λ = λ = Với λ = , không gian riêng V1 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số ⎛1 1⎞ ( 2):= ( 2) − (1) ⎛ 1 ⎞ →⎜ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎟ ⎝1 1⎠ ⎝ 0⎠ Ta suy V2 = {( −m, m ) m ∈ } = ( −1,1) Với λ = , không gian riêng V1 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số ⎛ −2 ⎞ ( ) : = ( ) + (1 ) ⎛ − ⎞ →⎜ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎟ ⎝ −1 ⎠ ⎝ 0⎠ Ta suy V4 = {( m, 2m ) m ∈ } = (1, 2) Vì dim V1 + dim V4 = = dim gồm vectơ riêng C = nên ma trận chéo hóa Với sở {( −1,1) , (1, 2)} với ma trận đổi sở từ sở tắc ⎛ −1 ⎞ sang sở C , P = ⎜ ⎟ , ta có P ma trận chéo hóa A ma trận chéo ⎝ 2⎠ ⎛1 0⎞ nhận D = P −1 ⋅ A ⋅ P = ⎜ ⎟ ⎝0 4⎠ 1−λ 0 −1 − λ −1 − λ = (1 − λ ) ( − − λ ) = ⇔ λ = ± = (1 − λ ) c) 1−λ 1−λ Ta hai trò riêng λ = λ = −1 Với λ = , không gian riêng V1 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ 1) ∼ ( 3) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ( 2):= ( 2) − 12 (1) ⎜ ( ⎜ −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ta suy V1 = {( 0, m, 2m ) m ∈ } = ( 0,1, 2) Với λ = −1 , không gian riêng V−1 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ( 2):= ( 2) − 12 (1) ⎜ ( 3) := ( 3) − ( ) ⎜ → ⎜ 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( 3) : = ( 3) − ( ) ⎜ 2⎟ ⎜ 0 2⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ta suy V−1 = {( 0, m, 0) m ∈ } = ( 0,1, 0) Vì dim V1 + dim V−1 = < dim nên ma trận không chéo hóa d) 5−λ 5−λ 5−λ −4 −4 −5 − λ −4 − λ = (5 − λ ) −4 ( −5 − λ ) − 96 − 96 − ⎡⎣ −24 ( − λ ) − 24 ( − λ ) − 16 ( + λ ) ⎤⎦ ( = −λ + 5λ − 7λ + = ( λ − 1) −λ + 4λ − = ( λ − 1) ) ( −λ + 3) = ⇔ λ = ∨ λ = Ta hai trò riêng λ = λ = Với λ = , không gian riêng V1 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số ⎛ 4 6⎞ ⎛ 4 6⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ → 0 0⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) : = ( ) + (1 ) ⎜ ⎜ −4 −4 −6 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ta suy V1 = {( −m − ) n, m, n m, n ∈ }= ( −1,1, 0) , ( − 23 , 0,1) = ( −1,1, 0) , ( −3, 0, 2) Với λ = , không gian riêng V3 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số ⎛ 6⎞ ⎛2 ⎞ ⎛2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ( 3):= ( 3) + 46 ( 2) ⎜ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6 6 → − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → − − ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( 3) : = ( 3) + ( ) ⎜ −4 − − ⎟ ⎜0 4 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ta suy V3 = {( −m, −m, m ) m ∈ } = ( −1, −1,1) Vì dim V1 + dim V3 = = dim gồm vectơ riêng C = nên ma trận chéo hóa Với sở {( −1,1, 0) , ( −3, 0, 2) , ( −1, −1,1)} với ma trận đổi sở từ ⎛ −1 −3 − ⎞ ⎜ ⎟ sang sở C , P = ⎜ −1 ⎟ , ta coù P ma trận chéo hóa A sở tắc ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ −1 ma trận chéo nhận D = P ⋅ A ⋅ P = ⎜ ⎟ ⎜ 0 3⎟ ⎝ ⎠ e) 10 1−λ −4 −4 7−λ −8 −4 −8 − λ −4 −4 − λ −8 −4 − λ = (1 − λ ) ( − λ ) − 128 − 128 −4 − ⎡⎣64 ( − λ ) + 16 (1 − λ ) + 16 (1 − λ ) ⎤⎦ = −λ + 9λ + 81λ − 729 = − (9 − λ) ( λ + 9) Ta hai trò riêng λ = λ = −9 Với λ = , không gian riêng V9 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số ⎛ −8 −4 −8 ⎞ ⎛ − −4 − ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ( 2):= ( 2) − 12 (1) ⎜ (1):=− 14 (1) ⎜ → ⎜ 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 ⎟ ⎜ −4 −2 −4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = − : ( ) ( ) () ⎜ −8 −4 −8 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ta suy V1 = {( m, −2m − 2n, n ) m, n ∈ } = (1, −2, 0) , ( 0, −2,1) Với λ = −9 , không gian riêng V−9 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số ⎛ 10 −4 −8 ⎞ ⎛ 10 −4 −8 ⎞ ⎛ 10 −4 −8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ : = + ⎜ ⎟ ( ) : = ( ) + (1 ) ( ) ( ) ( ) 72 →⎜ − 36 → ⎜ 72 − 36 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −4 16 −4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 5 ( 3) : = ( 3) + ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −8 −4 10 ⎟ 36 18 ⎜0 − ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝0 5 ⎠ ⎝ ⎛ 10 −4 −8 ⎞ ⎟ ( 2):= 365 ( 2) ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −1 ⎟ ⎜0 0⎟ ⎝ ⎠ {( 2m, m, 2m ) m ∈ } = ( 2,1, 2) Ta suy V3 = Vì dim V1 + dim V3 = = dim gồm vectơ riêng C = nên ma trận chéo hóa Với sở {(1, −2, 0) , ( 0, −2,1) , ( 2,1, 2)} với ma trận đổi sở từ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ sở tắc sang sở C , P = ⎜ −2 −2 ⎟ , ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛9 ⎜ −1 ma trận chéo nhận laø D = P ⋅ A ⋅ P = ⎜ ⎜0 ⎝ −λ f) Xeùt −λ 1−λ −1 − λ haøm f ′ ( x) = ⇔ x = số 3 ta có P ma trận chéo hóa A 0⎞ ⎟ ⎟ −9 ⎟⎠ − λ = −λ (1 − λ ) − (1 − λ ) − λ = −λ + 2λ − λ − −1 f ( x ) = − x + 2x − x − ∨ x = , với f ( )=− 31 27 Ta có f ′ ( x ) = −3x2 + 4x − ; , f (1) = −1 ta có bảng biến thiên 11 x f ′ ( x) f ( x) 1 −∞ − + 31 − 27 +∞ +∞ − −1 −∞ Bảng biến thiên cho thấy phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( −∞, − ) Từ suy ma trận A có trò riêng không gian riêng tương ứng có số chiều ≤ < = dim Do A không chéo hóa 12 Cho B = {e1 , e2 , e3} sở không gian vectơ V Phép biến đổi tuyến tính ϕ : V → V có ma trận sở A Hãy tìm sở V cho sở ma trận f ma trận chéo ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ a) A = ⎜ −2 −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ b) A = ⎜ −7 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠ ĐS: a) Chéo hóa ma trận A, ta có − λ −2 − λ −2 −2 − λ −2 −2 − λ = −λ ( − λ )(1 − λ ) − ( − λ ) + 4λ −2 −λ −2 ( ) = −λ λ − 3λ + + 8λ − = −λ + 3λ + 6λ − = − ( λ − 1)( λ + )( λ − ) Ta ba trò riêng λ = , λ = −2 vaø λ = Với λ = , không gian riêng V1 tương ứng không gian nghiệm hệ soá ⎛ −2 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ( ) : = ( ) + (1 ) ⎜ ⎜ −2 −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎜ −2 − ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ Ta suy V1 = hệ phương trình tuyến tính có ma trận −2 ⎛ −2 ⎞ 0⎞ ⎟ ⎟ ( 3):= ( 3) − 12 ( 2) ⎜ −4 −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −4 −2 ⎟ ⎜0 0 ⎟ −2 −1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ {( 2m, m, −2m ) m ∈ } = ( 2,1, −2) Với λ = −2 , không gian riêng V2 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số ⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ( 2):= ( 2) + 12 (1) ⎜ ( ): = ( ) + ( ) ⎜ → ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ta suy V−2 = {( ) m, m, m m ∈ }= ( ,1,1 ) = (1, 2, 2) Với λ = , không gian riêng V4 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số 12 ⎛ −2 −2 ⎞ ⎛ −2 −2 ⎞ ⎛ − −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ( 3) := ( 3) − ( ) ⎜ → ⎜ −1 −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −1 −2 ⎟ ⎜ −2 −3 −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ −2 −4 ⎟ ⎜ −2 −4 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ta suy V4 = {( 2m, −2m, m ) m ∈ } = ( 2, −2,1) Vì dim V1 + dim V−2 + dim V4 = = dim gồm vectơ riêng C ′ = nên ma trận chéo hóa Với sở {( 2,1, −1) , (1, 2, 2) , ( 2, −2,1)} với ma trận đổi sở ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ sang sở C ′ , P = ⎜ −2 ⎟ , ta có P ma trận chéo từ sở tắc ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ −1 hóa A, ma trận chéo nhận D = P ⋅ A ⋅ P = ⎜ −2 ⎟ ⎜0 4⎟ ⎝ ⎠ Khi đó, với sở V C = f1 = ( 2e1 + e2 − 2e3 ) , f2 = ( e1 + 2e2 + 2e3 ) , f3 = ( 2e1 − 2e2 + e3 ) { } với ý ϕ ( e1 ) = 2e1 − 2e2 ; ϕ ( e2 ) = −2e1 + e2 − 2e3 ; ϕ ( e3 ) = −2e2 , ta coù ϕ ( f1 ) = ϕ ( 2e1 + e2 − 2e3 ) = 2ϕ ( e1 ) + ϕ ( e2 ) − 2ϕ ( e3 ) = ( 2e1 − 2e2 ) + ( −2e1 + e2 − 2e3 ) − ( −2e2 ) = 2e1 + e2 − 2e3 = f1 ϕ ( f2 ) = ϕ ( e1 + 2e2 + 2e3 ) = ϕ ( e1 ) + 2ϕ ( e2 ) + 2ϕ ( e3 ) = ( 2e1 − 2e2 ) + ( −2e1 + e2 − 2e3 ) + ( −2e2 ) = −2e1 − 4e2 − 4e3 = −2f ϕ ( f3 ) = ϕ ( 2e1 − 2e2 + e3 ) = 2ϕ ( e1 ) − 2ϕ ( e2 ) + ϕ ( e1 ) = ( 2e1 − 2e2 ) − ( −2e1 + e2 − 2e3 ) + ( −2e2 ) = 8e1 − 8e2 + 4e3 = 4f Điều cho thấy ⎡⎣ ϕ ( f1 ) ⎤⎦ C ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; ⎣⎡ ϕ ( f2 ) ⎦⎤ = ⎜ −2 ⎟ ; ⎡⎣ ϕ ( f3 ) ⎤⎦ = ⎜ ⎟ C C ⎜ 0⎟ ⎜4⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎡⎣ ϕ⎤⎦ = ⎜ −2 ⎟ C ⎜0 4⎟ ⎝ ⎠ b) Chéo hóa ma trận A, ta có 13 5−λ −6 5−λ −6 −7 − λ −7 − λ = ( − λ )( −7 − λ )(1 − λ ) − 72 − 72 6 −6 −6 1−λ −12 ( −7 − λ ) + 12 ( − λ ) + 36 (1 − λ ) = −λ − λ + λ + = − ( λ + 1) ( λ − 1) Ta hai trò riêng λ = λ = −1 Với λ = , không gian riêng V1 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số ⎛ −6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ): = ( ) − 3( ) ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ( 2):= ( 2) − 23 (1) ⎜ ( → −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −1 ⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( 3):= ( 3) − 23 (1) ⎜ ⎜ −6 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ta suy V1 = {( m, m, m ) m ∈ } = (1,1,1) Với λ = −1 , không gian riêng V−1 tương ứng không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính ⎛ −6 ⎞ ⎛6 ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ ⎜ ( → ⎜ −6 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎜ −6 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ Ta suy V−1 = có ma trận hệ số −6 ⎞ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎠ {( m, n, −3m + 3n ) m ∈ } = (1, 0, −3) , ( 0,1, 3) Vì dim V1 + dim V−1 = = dim gồm vectơ riêng C ′ = nên ma trận chéo hóa Với sở {(1,1,1) , (1, 0, −3) , ( 0,1, 3)} với ma trận đổi sở từ sở ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ tắc sang sở C , P = ⎜ 1 ⎟ , ta có P ma trận chéo hóa A ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 ⎞ ⎜ ⎟ −1 ma trận chéo nhận D = P ⋅ A ⋅ P = ⎜ −1 ⎟ ⎜ 0 −1 ⎟ ⎝ ⎠ Khi đó, với sở C = f1 = ( e1 + e2 + e3 ) , f2 = ( e1 − 3e3 ) , f3 = ( e2 + 3e3 ) { với ý ϕ ( e3 ) = 2e1 + 2e2 + e3 , ta coù ϕ ( e1 ) = 5e1 + 6e2 + 6e3 ; ϕ ( f1 ) = ϕ ( e1 + e2 + e3 ) = ϕ ( e1 ) + ϕ ( e2 ) + ϕ ( e3 ) = ( 5e1 + 6e2 + 6e3 ) + ( −6e1 − 7e2 − 6e3 ) + ( 2e1 + 2e2 + e3 ) = e1 + e2 + e3 = f1 14 } ϕ ( e2 ) = −6e1 − 7e2 − 6e3 ; ϕ ( f2 ) = ϕ ( e1 − 3e3 ) = ϕ ( e1 ) − 3ϕ ( e3 ) = ( 5e1 + 6e2 + 6e3 ) − ( 2e1 + 2e2 + e3 ) = −e1 + 3e3 = − f2 ϕ ( f3 ) = ϕ ( e2 + 3e3 ) = ϕ ( e2 ) + 3ϕ ( e3 ) = ( −6e1 − 7e2 − 6e3 ) + ( 2e1 + 2e2 + e3 ) = −e2 − 3e3 = − f3 Điều cho thấy ⎡⎣ ϕ ( f1 ) ⎤⎦ C ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; ⎣⎡ ϕ ( f2 ) ⎦⎤ = ⎜ −1 ⎟ ; ⎡⎣ ϕ ( f3 ) ⎤⎦ = ⎜ ⎟ C C ⎜ 0⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎡⎣ ϕ⎤⎦ = ⎜ −1 ⎟ C ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1 ⎠ 15 Bài tập Trong không gian cho sở e1 = (1, 2, 3) , e2 = ( 0, 2, ) , e3 = ( 0, 0, 3) Haõy trực chuẩn hóa sở ĐS: Dùng phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt, ta xây dựng sở trực giao k −1 e , v ( vk ) xaùc đònh v1 = e1 vk = ek − ∑ vk, v i vi , với k = 2, 3, i =1 i i Ta coù v1 = e1 = (1, 2, 3) ; v2 = e2 − v3 = e3 − e3 , v1 v1 − v1 , v1 e3 , v2 v2 , v2 e2 , v1 v1 , v1 v1 = ( 0, 2, ) − v2 = ( 0, 0, 3) − 14 (1, 2, 3) + 70 (1, 2, 3) = ( − 72 , 107 , − 76 ) ; ( −2,10, −6) = ( − 109 , 0, − 1027 ) Suy sở trực chuẩn ( u k ) , với u1 = v1 u2 = v2 v1 v2 vaø u = (1, 2, 3) ; = 14 = 140 v3 = v3 (− 10 18 , 10 , − 7 (− )= 27 , 0, − 10 10 ( −2,10, −6) ) = ( −1, 0, −3) Trong khoâng gian 35 cho sở e1 = (1, 0,1, ) , e2 = ( −1, 0,1, ) , e3 = ( 0, 0, 2,1) , e4 = ( 0,1,1,1) Hãy trực chuẩn hóa sở ĐS: v1 = e1 = (1, 0,1, 2) ; v = e2 − v = e3 − ( e3 , v1 v1 , v1 22 , − = 0, 0, 15 15 v = e4 − v1 − ) e4 , v1 v1 , v1 = ( 0,1,1,1) − ( v1 − e3 , v2 v2 , v2 e4 , v v2 , v2 e2 , v1 v1 , v1 v1 = ( −1, 0,1, 2) − v = ( 0, 0, 2,1) − v2 − e4 , v v3 , v3 v3 ) Suy sở trực chuẩn ( u k ) , với v1 u2 = v2 v1 v2 = = (1, 0,1, 2) ; 30 (− , 0, 13 , 23 )= 30 ( −5, 0,1, 2) (1, 0,1, 2) = ( − 53 , 0, 13 , 23 ) ; (1, 0,1, 2) + 152 ( −5, 0,1, 2) (1, 0,1, 2) − 101 ( −5, 0,1, 2) − 167 ( 0, 0, 22, −1) = − 14 ,1, − 758 , 21 80 80 u1 = u3 = v3 v3 vaø u = = v4 v4 15 485 ( 0, 0, = 80 575.406 22 , − 15 15 (− )= 485 ( 0, 0, 22, −1) ) ,1, − 758 , 21 = 80 80 575.406 ( −20,1, −758, 21) Tìm ma trận trực giao đưa dạng toàn phương dạng tắc a) 5x12 + 9x 22 + 9x23 − 12x1 x − 6x1 x b) 5x12 + x22 − x23 + 2x1 x2 − 2x1 x − 4x x c) 3x12 + 3x 22 + 3x23 + 2x1 x2 − 4x1 x + 4x2 x3 ( ĐS: a) Ta có 5x12 + 9x 22 + 9x 32 − 12x1 x − 6x1 x3 = x1 ⎛ −6 −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ x ) ⎜ −6 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ x2 − λ −6 −3 − λ −6 −6 − λ −6 − λ = ( − λ )( − λ ) − ( − λ ) − 36 ( − λ ) − λ −3 −3 ( = ( − λ ) ⎡⎣( − λ )( − λ ) − 45⎤⎦ = ( − λ ) λ − 14λ ) cho trò riêng λ = , λ = vaø λ = 14 ⎛ −6 ⎛ −6 −3 ⎞ ⎜ ⎟ ( ) : = ( ) + (1 ) ⎜ λ = cho ⎜ −6 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜0 ( 3):= ( 3) + 53 (1) ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ − 18 ⎝ −3 ⎠ ⎝ ( ) ( ⎛ −6 −3 ⎞ −3 ⎞ ⎟ ) := ( ) + ( ) ⎜ ⎟ ( 18 − ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ −2 ⎟ 2):= 59 ( 2) ( ⎟ ⎜ ⎟ 36 ⎟ ⎝0 0 ⎠ ⎠ ) cho nghiệm 3m, 2m, m vectơ rieâng 3, 2,1 ⎛ − −6 − ⎞ ⎛ −4 −6 −3 ⎞ ⎛ −4 − − ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ( 3):= ( 3) − 12 ( 2) ⎜ λ = cho ⎜ −6 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ →⎜ ⎟ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 ): = ( ) ( ( 3):= ( 3) − 43 (1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0⎟ 9 ⎟ ⎜ ⎝ −3 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) cho nghieäm 0, m, −2m vectơ riêng 0,1, −2 ⎛ −9 − − ⎞ ⎛ −3 −5 ⎞ ⎛ −3 − ⎞ 1) ∼ ( 3) ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ( → −5 10 ⎟ ⎜ −6 −5 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −6 −5 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎜ −3 −5 ⎟ ⎜ −9 −6 −3 ⎟ ⎜ −6 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ λ = 14 cho ⎛ −3 −5 ⎞ ⎟ ( 3):= ( 3) − 65 ( 2) ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ −1 ⎟ ( ): = ( ) ⎜0 0⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) cho nghieäm − m, 2m, m vectơ riêng − , 2,1 hay −5, 6, 3 { ( ) ( ) ( Với sở u1 = 3, 2,1 , u = 0,1, −2 , u = −5, 6, )} Chéo hóa sở này, ta nhận sở trực chuẩn vectơ riêng suy ma trận trực giao đưa dạng toàn phương dạng tắc ( b) Ta có 5x12 + x22 − x 23 + 2x1 x − 2x1 x − 4x2 x3 = x1 ⎛ −1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ x ) ⎜ 1 −2 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ −1 −2 −1 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ x2 5−λ −1 − λ 1 1−λ −2 1 − λ = ( − λ ) λ − + + − ( − λ ) − ( − λ ) + (1 + λ ) −1 −2 −1 − λ −1 −2 ( ) = −λ + 5λ + 7λ − 21 ( c) Ta coù 3x12 + 3x 22 + 3x32 + 2x1 x2 − 4x1 x + 4x2 x3 = x1 3−λ 1 3−λ −2 −2 − λ x2 ⎛ −2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ x3 ) ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 3 − λ = (3 − λ ) − − − (3 − λ ) − (3 − λ ) − (3 − λ ) − λ −2 = −λ + 9λ − 27λ + 27 − 12 − 27 + 9λ ( = −λ + 9λ − 18λ − = ( λ − ) −λ + 5λ + ) Dùng thuật toán Lagrange, đưa dạng toàn phương sau dạng tắc a) x12 + 2x 22 + 2x1 x2 + 4x x b) x12 + 4x 22 + x23 − 4x1 x + 2x2 x c) x12 + x22 + x 23 − 2x1 x + 2x1 x3 + 2x2 x3 d) 2x12 + x22 + 3x 23 − 4x1 x − 4x x e) x1 x2 + 3x1 x3 − 8x2 x3 f) −5x1 x2 + 4x1 x − 2x x ÑS: a) ( ) x12 + 2x 22 + 2x1 x + 4x x = x12 + 2x1 x + 2x 22 + 4x x = ⎡⎢( x1 + x ) − x22 ⎤⎥ + 2x22 + 4x2 x ⎣ ⎦ = ( x1 + x2 ) + x 22 + 4x x 2 = ( x1 + x2 ) + ( x + 2x3 ) − 4x 23 Đặt y1 = x1 + x ; y = x2 + 2x ; y = x3 Ta dạng tắc x12 + 2x22 + 2x1 x + 4x2 x = y12 + y 22 − 4y 23 b) ( ) x12 + 4x 22 + x 23 − 4x1 x2 + 2x2 x3 = x12 − 4x1 x2 + 4x22 + x23 + 2x x3 = ⎡⎢( x1 − 2x2 ) − 4x22 ⎤⎥ + 4x 22 + x 23 + 2x x ⎣ ⎦ = ( x1 − 2x ) + x23 + 2x x 2 = ( x1 + x ) + ( x + x ) − x 22 Đặt y1 = x1 + x ; y = x2 ; y = x2 + x Ta dạng tắc x12 + 4x 22 + x 23 − 4x1 x2 + 2x x = y12 − y 22 + y 23 c) ( ) x12 + x22 + x23 − 2x1 x2 + 2x1 x3 + 2x x = x12 − 2x1 x + 2x1 x + x 22 + x 23 + 2x2 x3 2 = ⎡⎢( x1 − x + x ) − ( x2 − x ) ⎤⎥ + x 22 + x23 + 2x x ⎣ ⎦ = ( x1 − x2 + x3 ) + 4x x Đặt x′2 = x + x ; x′3 = x − x3 ; Ta coù x = x′2 + x′3 ; x3 = x′2 − x′3 x12 + x22 + x32 − 2x1 x + 2x1 x + 2x x3 = ( x1 − x2 + x ) + vaø ( x′ − x′32 ) Đặt y1 = x1 − x2 + x ; y = x′2 = x2 + x ; y = x′3 = x2 − x3 Ta dạng tắc x12 + x22 + x32 − 2x1 x + 2x1 x + 2x x = y12 + d) ( y 22 − y 32 ) 2x12 + x22 + 3x 32 − 4x1 x2 − 4x x = x12 − 2x1 x2 + x22 + 3x 32 − 4x x = ⎡⎢( x1 − x2 ) − x22 ⎤⎥ + x22 + 3x 32 − 4x2 x3 ⎣ ⎦ = ( x1 − x ) − ⎡⎢ x22 + 4x2 x3 − 3x 32 ⎤⎥ ⎣ ⎦ 2 = ( x1 − x ) − ⎡⎢( x2 + 2x ) − 7x 32 ⎤⎥ ⎣ ⎦ ( ) Đặt y1 = x1 − x2 + x ; y = x2 + 2x ; y = x3 Ta dạng tắc 2x12 + x 22 + 3x 23 − 4x1 x2 − 4x2 x3 = 2y12 − y 22 + 7y 23 e) Đặt x1′ = x1 + x ; x′2 = x1 − x2 ; Ta coù x1 = x1′ + x′2 ; x2 = x1′ − x′2 vaø x1 x + 3x1 x − 8x2 x3 = x1′2 − x′22 + ( x1′ + x′2 ) x3 − ( x1′ − x′2 ) x3 = x1′2 − x′22 + 23 x1′ x3 + 23 x′2 x − 4x1′ x + 4x′2 x = x1′2 − x′22 − 52 x1′ x3 + ( ) 11 = x1′2 − 52 x1′ x − x′22 + ( ⎡ = ⎢ x1′ − ⎣ ( = ( x′ − = x1′ − ( = x1′ − Đặt y1 = x1′ − 5 x3 x3 x3 x3 = x1 + x − ) x3 − 25 16 11 x′2 x ⎤ x 23 ⎥ − x′22 + ⎦ ) − ( x′ − ) − ⎢⎣⎡( x′ − x′2 x3 2 2 ) − ( x′ − 2 ) 11 x′2 x − 11 11 11 x3 x3 ) ) 25 16 x 23 ⎤ − 121 x2 − 16 ⎥ ⎦ 2 x′2 x + 96 16 25 16 x 23 x23 x3 ; y = x′2 − 11 x = x1 − x − 11 x ; y = x3 Ta 4 dạng tắc x1 x + 3x1 x − 8x x = y12 − y 22 + 96 16 y 23 f) Đặt x1′ = x1 + x ; x′2 = x1 − x ; Ta coù x1 = x1′ + x′2 ; x2 = x1′ − x′2 vaø −5x1 x + 4x1 x − 2x x3 = −5x1′2 + 5x′22 + ( x1′ + x′2 ) x3 − ( x1′ − x′2 ) x3 = −5x1′2 + 5x′22 + 2x1′ x3 + 2x′2 x3 − x1′ x + x′2 x3 = −5x1′2 + 5x′22 + x1′ x + 3x′2 x ( ) = −5 x1′2 + 15 x1′ x3 + 5x′22 + 3x′2 x ( ⎡ = −5 ⎢ x1′ + ⎣ ( = −5 ( x ′ + = −5 x1′ + ( = −5 x1′ + 10 x3 ) x ⎤ + 5x′2 + 3x′ x − 100 3⎥ 2 ⎦ ( ) + x′22 + 53 x′2 x + x3 ) ) ⎡ + ⎢ x′2 + ⎣ x3 ) 10 x3 10 10 Đặt y1 = x1′ + 10 ( ( + x′2 + 10 10 x3 x3 = x1 + x + ) x3 ) 10 20 x 23 ⎤ x23 ⎥ − − 100 ⎦ − 111 80 25 16 x 23 x32 x ; y = x′2 + dạng tắc −5x1 x2 + 4x1 x − 2x x = −5y12 + 5y 22 − 111 y2 80 10 x = x1 − x + 10 x ; y = x Ta