CHUYÊN đề tự LUẬN HÌNH học KHÔNG GIAN 11 kỳ II

CHUN ĐỀ HÌNH QUAN HỆ VNG GĨC Câu a) Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABC  B, ta lấy điểm M cho MB  2a Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI   MBC  b) Tính góc hợp đường thẳng IM với mặt phẳng ( ABC ) c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  MAI  M H I B A a) Tam giác ABC cạnh a , a IB  IC   AI  BC (1) BM   ABC   BM  AI (2) Từ (1) (2) ta có AI   MBC  b) BM   ABC   BI hình chiếu MI  ABC  c)     MB    MI ,( ABC )   MIB , tan MIB IB AI   MBC  (cmt) nên  MAI    MBC   MI  ( MAI )  ( MBC )  BH  MI  BH  ( MAI )  d ( B,( MAI ))  BH 1 1 17 2a 17       BH  2 17 BH MB BI 4a a 4a C Câu Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  ABCD hình thang vuông tại, AB  BC  a ,  ADC  450 , SA  a a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Tính góc  SBC   ABCD  c) Tính khoảng cách AD SC a) Hướng dẫn giải CM mặt bên tam giác vuông SA  AB  SA   ABCD     SAB SAD vuông A SA  AD  BC  AB, BC  SA  BC   SAB   BC  SB   SBC vuông B  SB2  SA2  AB  2a2  a2  3a2 ; SC  SB  BC  3a2  a2  4a2 hạ CE  AD  CDE vuông cân E nên EC  ED  AB  a  CD  a  AD  AE  ED  BC  ED  2a  SD  SA2  AD  a2  SC  CD  a2  a2  a2  SD nên tam giác SDC vng C b) Tính góc  SBC   ABCD   SA  (SBC )  ( ABCD )  BC , SB  BC , AB  BC  (SBC ),( ABCD )   SBA  tan  SBA   AB Tính khoảng cách AD SC  Ta có SC  (SBC ), BC  AD  d ( AD, SC )  d ( A,(SBC ))  c)  Hạ AH  SB   AH AB a  Vậy d  AD, SC    SA2  AH   AB SA AB  SA  2a 3a2  6a a  AH  Câu       Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB  a , AD  b , AE  c Gọi I trung điểm đoạn BG Hãy     biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a , b , c Hướng dẫn giải        AI  ( AB  AG )   AB  AB  AD  AE  2     1 1   2a  b  c   a  b  c 2 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA  a 1) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông 2) Chứng minh rằng: ( SAC)   SBD  3) Tính góc SC mp  SAB  4) Tính góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  Hướng dẫn giải 1)  SA   ABCD   SA  AB, SA  AD  Các tam giác SAB, SAD vuông A  BC  SA, BC  AB  BC  SB  SBC vuông B  CD  SA, CD  AD  CD  SD  SCD vuông D 2) BD  AC, BD  SA  BD   SAC    SBD    SAC   BC   SAB    SC ,(SAB)   BSC    SAB vuông A  SB  SA  AB  3a2  SB  a BC  SBC vuông B  tan  BSC    BSC  60 SB 3) Gọi O tâm hình vng ABCD  Ta có: (SBD )  ( ABCD )  BD , SO  BD, AO  BD   (SBD),( ABCD)   SOA  SA  SAO vuông A  tan SOA  2 AO  Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA=OB  OC  a , I trung điểm BC 1) Chứng minh rằng:  OAI     ABC  Câu 2) Chứng minh rằng: BC    AOI  3) Tính góc AB mặt phẳng  AOI  4) Tính góc đường thẳng AI OB Hướng dẫn giải A 1)  OA  OB, OA  OC  OA  BC (1)  OBC cân O, I trung điểm BC  OI  BC (2) Từ (1) (2)  BC   OAI    ABC    OAI  2) Từ câu 1)  BC   OAI   BC   OAI    AB,( AOI )   BAI   C I BC a  BI   2  ABC  AI  K O B BC a a   2 AI   ABI vuông I  cos BAI    BAI  300   AB,( AOI )  300 AB 3) Gọi K trung điểm OC  IK / / OB   AI , OB    AI , IK    AIK  5a2  AOK vuông O  AK  OA  OK  6a  AI   IK  2 a2 IK  AIK vuông K  cos AIK   AI  Câu Cho hình chóp S ABC có ABC vng A , góc B  60o ; AB  a , hai mặt bên  SAB   SBC  vuông góc với đáy; SB  a Hạ BH  SA ( H  SA); BK  SC ( K  SC ) 1) Chứng minh: SB   ABC  2) Chứng minh: mp  BHK   SC 3) Chứng minh: BHK vng 4) Tính cosin góc tạo SA  BHK  1) S K B H 600  SAB    ABC    SBC    ABC    SB   ABC   SAB    SBC   SB C 2) CA  AB, CA  SB  CA   SAB   CA  BH Mặt khác: BH  SA  BH   SAC   BH  SC A Mà BK  SC  SC   BHK  3) Từ câu 2), BH   SAC   BH  HK  BHK vuông H 4) Vì SC   BHK  nên KH hình chiếu SA  BHK    SA,(BHK )    SA, KH    SHK Trong ABC , có: AC  AB tan B  a 3; BC  AB2  AC  a2  3a2  4a2 Trong SBC , có: SC  SB  BC  a2  4a2  5a2  SC  a ; SK  Trong SAB , có: SH  SB2 a  SA Trong BHK , có: HK  SH  SK   cos  SA,( BHK )   cos BHK  3a2 a 30  HK  10 10 HK 60 15   SH 10 SB2 a  SC Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA   ABCD  SA  2a 1) Chứng minh (SAC )  (SBD ) ; (SCD)  (SAD) 2) Tính góc SD ABCD ; SB  SAD  ; SB  SAC  3) Tính d  A,  SCD   ; d  B,  SAC   1)  BD  AC , BD  SA  BD   SAC    SBD    SAC  S  CD  AD, CD  SA  CD   SAD    DCS    SAD  H 2)  Tìm góc SD mặt phẳng  ABCD  A B SA   ABCD    SD,( ABCD )   SDA  O D C tan SDA   SA 2a  2 AD a  Tìm góc SB mặt phẳng  SAD  AB   ABCD   tan BSA   SB,(SAD )    BSA AB a   SA 2a  Tìm góc SB mặt phẳng  SAC  BO   SAC    SB,(SAC )   BSO  OB   a 3a OB , SO   tan BSO   2 OS 3)  Tính khoảng cách từ A đến  SCD  Trong SAD , vẽ đường cao AH Ta có: AH  SD, AH  CD  AH   SCD   d  A,  SCD    AH AH  SA  AD  4a  a  AH  2a 5  Tính khoảng cách từ B đến  SAC  BO   SAC   d  B,  SAC    BO  a 2  d ( A,(SCD ))  2a 5 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ,  BAD  600 SA  SB  SD  a a) Chứng minh  SAC  vuông góc với  ABCD  b) Chứng minh tam giác SAC vng c) Tính khoảng cách từ S đến  ABCD  a) Vẽ SH   ABCD  Vì nên SA  SB  SC  a HA  HB  HD  H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác S ABD A B H O Mặt khác ABD có AB  AD  BAD  600 nên ABD D Do H trọng tâm tam giác ABD nên C H  AO  H  AC Như vậy, SH  (SAC )  (SAC )  ( ABCD) SH  ( ABCD ) b) Ta có ABD cạnh a nên có AO  a  AC  a Tam giác SAC có SA  a, AC  a 3 Trong ABC , ta có: AH  AO  AC  a a2  AH  3 Tam giác SHA vng H có SH  SA2  AH  a2  HC  a2 a2  3 2a 4a a2 a2 AC   HC   SC  HC  SH    2a 3 3 SA2  SC  a  a2  3a2  AC  tam giác SCA vuông S c) SH  ( ABCD)  d (S ,( ABCD))  SH  a Câu Cho tam giác ABC vuông cân B , AB  BC  a , I trung điểm cạnh AC , AM đường cao SAB Trên đường thẳng Ix vng góc với mp  ABC  I , lấy điểm S cho IS  a a) Chứng minh AC  SB, SB   AMC  b) Xác định góc đường thẳng SB mp  ABC  c) Xác định góc đường thẳng SC mp  AMC  a)  AC  BI , AC  SI  AC  SB S  SB  AM , SB  AC  SB   AMC  M SI   ABC    SB,( ABC )   SBI  b) A I C AC  2a  BI  a  SI  SBI SB   AMC   c) B  vuông cân   SBI  450   SC,( AMC)   SCM Tính SB  SC  a  BC  SBC đều, suy M trung điểm SB   SCM  30 Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a ,  BAD  600 , đường cao SO  a a) Gọi K hình chiếu O lên BC Chứng minh rằng: BC   SOK  b) Tính góc SK mp  ABCD  c) Tính khoảng cách AD SB a)  AB  AD  a,  BAD  600   BAD  BD  a S  BC  OK , BC  SO  BC   SOK  H D 60 A b) F C O K B Tính góc SK mp  ABCD   SK ,( ABCD)    SO   ABCD    SKO a  BOC có OB  , OC  OK  OB2  OC a  OK  a  tan SKO  SO  OK c) Tính khoảng cách AD SB  AD //BC  AD //  SBC   d ( AD, SB)  d ( A,(SBC ))  Vẽ OF  SK  OF   SBC   Vẽ AH // OF , H  CF  AH   SBC   d ( AD, SB)  d ( A,(SBC ))  AH  CAH có OF đường trung bình nên AH  2.OF  SOK có OK  a 1 a 57 2a 57 , OS  a     OF   AH  2OF  19 19 OF OS OK Câu 11 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác đều, SA   ABC  , SA  a M điểm  cạnh AB , ACM   , hạ SH  CM a) Tìm quỹ tích điểm H M di động đoạn AB b) Hạ AK  SH Tính SK AH theo a  a) S Tìm quỹ tích điểm H M di động AB  SA   ABC   AH hình chiều SH  ABC  Mà CH  SH nên CH  AH K A M H  AC cố định,  AHC  90  H nằm đường tròn đường kính  C E B AC nằm mp  ABC  Mặt khác: + Khi M  A H  A + Khi M  B H  E ( E trung điểm BC )  Vậy quĩ tích điểm H cung AHE đường tròn đường kính AC nằm mp  ABC  b) Tính SK AH theo a    AHC vuông H nên AH  AC.sin ACM  a sin   SH  SA2  AH  a  a2 sin2   SH  a  sin2   SAH vng A có SA  SK SH  SK  SA2 a  SK  SH  sin  Câu 12 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cạnh a , AD vng góc với BC , AD  a khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC a Gọi H trung điểm BC , I trung điểmv AH 1) Chứng minh đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng  ADH  DH  a 2) Chứng minh đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng  ABC  3) Tính khoảng cách AD BC 1) CMR: BC   ADH  DH  a D ABC đều, H trung điểm BC nên AH  BC , AD  BC  BC   ADH   BC  DH  DH  d  D, BC   a 2) CMR: DI   ABC  K  AD  a, DH  a  DAH cân D , mặt khác I trung điểm A B I AH nên DI  AH  BC   ADH   BC  DI H C  DI   ABC  3) Tính khoảng cách AD BC  Trong ADH vẽ đường cao HK tức HK  AD Mặt khác BC   ADH  nên BC  HK (1) (2) Từ (1) (2) ta suy d ( AD , BC )  HK  Xét DIA vuông I ta có: a 3 a2 a DI  AD  AI  a          2 a a 1 AH DI 2a  Xét ADH ta có: S  AH DI  AD.HK  d ( AD, BC )  HK   2 AD a b) Chứng minh (AEF)  (SAC) c) Tính tan  với  góc cạnh SC với ( ABCD) a) Vì SA  ( ABCD)  SA  BC , BC  AB  BC  ( SAB) SA  ( ABCD )  SA  CD, CD  AD  CD  (SAD) b) SA  ( ABCD), SA  a , tam giác SAB, SAD vuông cân  FE đường trung bình tam giác SBD  FE  BD BD  AC  FE  AC, SA  ( ABCD)  BD  SA  FE  SA FE  ( SAC ), FE  ( AEF )  ( SAC )  ( AEF )  c) SA  ( ABCD) nên AC hình chiếu SC ( ABCD)    SCA  tan   SA a      450 AC a 2 Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ; SA  ( ABCD) , SA  a Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB SD a) Chứng minh MN // BD SC  ( AMN ) b) Gọi K giao điểm SC với mp ( AMN ) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc c) Tính góc đường thẳng SC với mặt phẳng ( ABCD) a) SAD  SAB , AN  SD, AM  SB  SN SM   MN  BD SD SB               SC AN   AC  AS AN   AD  AB  AS AN  AD AN  AB AN  AS AN        AD  AS AN  SD AN   SC  AN               SC AM   AC  AS AM   AD  AB  AS AM  AD AM  AB AM  AS AM        AB  AS AM  SD AM   SB  AM Vậy SC  ( AMN ) b) SA  ( ABCD)  SA  BD, AC  BD  BD  (SAC )  BD  AK  (SAC ) AK  ( AMN ) , MN // BD  MN  AK  c) SA  ( ABCD)  AC hình chiếu SC ( ABCD)   SC , ( ABCD)   SCA  tan SCA SA a     SC , ( ABCD )   450 AC a Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , đường cao SO  a Gọi I trung điểm SO a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SCD) b) Tính góc mặt phẳng (SBC ) ( SCD) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD a) Gọi M , N lân lượt trung điểm CD CB S ABCD hình chóp tứ giác nên có: OM  CD , SM  CD => CD  (SOM) Vẽ OK  SM => OK  CD => OK  (SCD) I (*) trung điểm SO, H trung điểm SK  IH // OK  IH  ( SCD) (**) Từ (*) (**) ta suy IH  OK 1 a a     OK   d ( I , ( SCD))  IH  2 OK OM SO 3a b) SMC  SNC (c.c.c)  MQ  SC  NQ  SC  ( SCD )  ( SCB )  SC  (( SCD ), ( SCB ))  MQN SM  OM  SO  a  3a  4a 1 1 4a 2       MQ  SMC : MQ MS MC 4a a 4a 2   MQ  NQ  MN =   MQN   1200  cos MQN MQ.NQ c) AC  BD, AC  SO  (SBD) (do SO  ( ABCD)  AC  ( SBD) Trong  SOD hạ OP  SD có OP  AC 1 1 a 30       d ( AC , BD)  OP  2 OP SO OD 3a 2a 6a Câu 34 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA  ( ABC ) , S SA  a a) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: BC  (SAM) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (ABC) c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a) Tam giác ABC đều, M  BC , MB  MC  AM  BC SAC  SAB  c.g c   SBC cân S  SM  BC (1) (2) Từ (1) (2) suy BC  (SAM) b) (SBC)  (ABC) = BC, SM  BC  cmt  , AM  BC   ((SBC ), ( ABC ))  SMA AM  a   SA  , SA  a  gt   tan SMA AM c) Vì BC  (SAM) ==> (SBC)  (SAM) ( SBC )  ( SAM )  SM , AH  ( SAM ), AH  SM  AH  ( SBC )  d ( A, ( SBC ))  AH , 3a 1 SA AM a  2  AH   AH  2 3a AH SA AM SA  AM 3a  2 3a Câu 35 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với đáy a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Gọi H chân đường cao vẽ từ minh (SAC)  (SBH) B tam giác ABC Chứng c) Cho AB  a, BC  2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) a) SA  (ABC) => BC  SA, BC  AB (gt)=> BC  (SAB) => BC  SB Vậy tam giác SBC vuông B b) SA  (ABC) => BH  SA , mặt khác BH  AC (gt) nên BH  (SAC) BH  (SBH) => (SBH)  (SAC) c) Từ câu b) ta có BH  (SAC) => d ( B, (SAC ))  BH 1   2 BH AB BC BH  AB BC 2 10   BH  2 AB  BC 5 Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a , SA  SB  SC  SD  2a Gọi M , N trung điểm BC SO Kẻ OP vng góc với SA a) CMR: SO   ABCD  , b) CMR: SA   PBD  MN  AD c) Tính góc SA d) CMR: vec tơ mp  ABCD     BD, SC, MN đồng phẳng a) CMR: S  E D N SO   ABCD   OP  SA, M O OC  NBC 1 OP   PBD    Từ (1) (2) ta suy b) CMR: B A BD  SO  BD   SAC   BD  SA C P OB SA   PBD  SO  AC , SO  BD  SO   ABCD   BD  AC , F , SA   PBD  MN  AD  Đáy ABCD hình vng nên OB  OC , mà lượt hình chiếu NB NC  ABCD   NB  NC lần cân N, lại có M trung điểm BC (gt)   MN  BC  MN  AD (vì AD / / BC ) c) Tính góc  SA SO   ABCD  Vậy góc nên SA mp  ABCD  AO hình chiếu SA  ABCD  mặt phẳng  ABCD   SAO a AO cos SAO    SA 2a    d) CMR: vec tơ BD, SC, MN đồng phẳng  Gọi E , F trung điểm SD DC , dễ thấy EN , FM , FE đường trung bình tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN / / BD , FM / / BD , FE / / SC từ ta có M , M , E , F đồng phẳng     MN   MNEF  , BD / /  MNEF  , SC / /  MNEF   BD, SC , MN Câu 37 Cho hình chóp SA  ( ABCD ) , SA  S ABCD có đáy hình vng đồng phẳng ABCD cạnh a 1) Chứng minh rằng: mặt phẳng  SAB  vng góc với mặt phẳng  SBC  2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC 3) Tính góc mặt phẳng  SBD  với mặt phẳng  ABCD  a , 1) CMR:  SAB    SBC  S  SA   ABCD   SA  BC , BC  AB H  BC   SAB  , BC   SBC    SAB    SBC  B 2) Tính khoảng cách từ A O D  Trong tam giác C   AH  d  A, SC   AH  đến đường thẳng A SAC có SC AH  SC 1 2  2  2  2 AH SA OA 3a a 3a a 3) Tính góc mặt phẳng  SBD  với mặt phẳng  ABCD   Vì ABCD hình vng nên AO  BD , SO  BD   (SBD )  ( ABCD)  BD  ((SBD),( ABCD))  SOA  Tam giác SOA vuông a   SA     (SBD ),( ABCD )   60 A  tan SOA OA a 2 Câu 38 Cho hình chóp S ABC có mặt bên  SAB  ,  SAC  vng góc với  ABC  , tam giác ABC vuông cân C AC  a, SA  x a) Xác định tính góc SB b) Chứng minh Tính khoảng cách từ ( SAC)  (SBC) c) Tinh khoảng cách từ O  ABC  , SB  SAC  A đến  SBC  đến  SBC  ( O trung điểm d) Xác định đường vng góc chung SB AC AB ) a) Xác định tính góc  ABC  , SB   SAB    ABC   SAC    ABC  nên  ABC   SAC  SB SA   ABC   AB hình chiếu SB SA x   SBA  tan    SB,( ABC )    SB, AB    SBA   AB a  BC  AC , nên BC  SA BC   SAC   SC hình chiếu BC  SB, SC    SB,(SAC )   BSC  tan  BSC   ( SAC)  (SBC)  Hạ  AH  SC  AH  BC AH  SA2  AC  x2  c) Tính khoảng cách từ Gọi K a2 O trung điểm  d (O,(SBC )  OK   AH  BH x  a2   SBC    SAC   d ( A,(SBC ))  AH ax x  a2  OK / / AH   OK   SBC  OK  AH  Dựng mặt phẳng   qua AP  SB hạ đến  SBC  đến  SBC  ( O trung điểm AB ) ax PAC A (do BC   SAC  Vậy AH   SBC  d) Xác định đường vng góc chung  Trong tam giác a2  x Tính khoảng cách từ  Theo chứng minh ta có BC   SAC   SAC  a SC b) Chứng minh SB AC SB AC vng góc với PQ  AC  PQ  SB SB SB   PAC  P  CP  SB Như PQ đường vng góc chung SB AC Câu 39 1) CMR phương trình sau có nghiệm: x  10 x  2) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy góc 30o Tính chiều cao hình chóp 1) Xét hàm số  f ( x )  x  10 x   f (x) liên tục nên PT f (1)  1, f (0)  7  f (1) f (0)  , cạnh bên hợp với đáy a f (x)   có nghiệm c1   1;   f (3)  10, f (4)  17  f (3) f (4)   mà c1  c2 nên PT f ( x )  có nghiệm c2   3;  nên phương trình cho có nghiệm thực 2)  Hình chóp đường cao SO S  D C A hình AC  a  OC   O Đáy chóp tứ giác nên chân hình chóp O  AC  BD S ABCD SOC B  vuông cạnh a nên a 2 vng O , có OC  a  , SCO  300 a a SO  OC.tan SCO   Câu 40 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cạnh a , AD vng góc với BC , AD  a khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC a Gọi H trung điểm BC , I trung điểm AH 1) Chứng minh đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng  ADH  DH  a 2) Chứng minh đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng  ABC  3) Tính khoảng cách BC AD 1) CMR: BC   ADH  DH  a D ABC đều, H trung điểm nên AH  BC , BC AD  BC  BC   ADH   BC  DH  DH  d  D, BC   A K 2) CMR: DI   ABC  A B I H  AD  a , DH  a  DAH cân trung điểm AH nên DI  AH D , mặt khác I C  BC   ADH   BC  DI  DI   ABC  3) Tính khoảng cách  Trong ADH Mặt khác AD vẽ đường cao BC   ADH  nên BC HK tức BC  HK 2 Từ 1   ta suy d ( AD, BC )  HK  Xét ta có: DIA vng I HK  AD 1 a 3 a2 a DI  AD  AI  a2           Xét DAH ta có: 1 S  AH DI  AD.HK  2 Câu 41 a a AH DI a d ( AD, BC )  HK   2 AD a  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, BAD  60 , a 13 Gọi E trung điểm BC , F trung điểm BE SO  ABCD , SB  SD      a) Chứng minh: SOF vng góc SBC   b) Tính khoảng cách từ O A đến SBC       c) Gọi  mặt phẳng qua AD vng góc SBC Xác định thiết diện hình chóp bị cắt      Tính góc  ABCD     a) Chứng minh: SOF vng góc SBC S  CBD đều, E trung điểm BC nên DE  BC C' BED có OF đường OF  DE , DE  BC  OF  BC  B'  trung bình (1)   SO  ABCD  SO  BC (2) D H K C O A        Mà BC    SBC nên SOF  SBC E F  Từ (1) (2)  BC  SOF   b) Tính khoảng cách từ O A đến SBC B  Vẽ OH  SF ; SOF   SBC , (SOF)  (SBC )  SF , OH  SF  OH  (SBC )  d(O,(SBC ))  OH  OF   3a a 2 a , SO  SB  OB  SO  2 4 1 3a    OH  2 OH SO OF      Trong mặt phẳng ACH , vẽ AK  OH với K  CH  AK  SBC  d(A,(SBC ))  AK AK  2OH  AK  3a 3a  d (A,(SBC ))  4 c)  AD  (), ()  (SBC )  ()  (AKD)  Xác định thiết diện   Dễ thấy K  (), K  (SBC )  K  (a )  SBC Mặt khác AD  BC , AD  (SBC ) nên ()  (SBC )    K  ,   BC nên Gọi B '    SB,C '    SC  B C   BC  B C   AD Vậy thiết diện hình chóp S ABCD bị cắt bời () hình thang AB C D      SO  ABCD , OF hình chiếu SF ABCD nên SF  BC  SF  AD (*)  SF  OH , OH  AK  SF  AK (**)  Từ (*) (**) ta có SF  ()       SF  (a ), SO  ABCD  (),(ABCD)  (SF , SO )  OSF a O F    tan OSF     (),(ABCD)  300 SO 3a Câu 42 Cho tứ diện S ABC có ABC cạnh a,SA  (ABC ), SA   a) Chứng minh: SBC a Gọi I trung điểm BC  vng góc SAI    b) Tính khoảng cách từ A đến SBC  c) Tính góc SBC  ABC   a) Chứng minh: SBC S   vng góc SAI     SA  ABC  SA  BC , AI  BC  BC  SAI  SBC   SAI  H B A I   b) Tính khoảng cách từ A đến SBC    Vẽ AH  SI    (1) BC  SAI  BC  AH    (2) C   Từ (1) (2)  AH  SBC nên d  1 4 16 3a       AH  2 AH AI SA 9a 3a 9a  c) Tính góc SBC  ABC   (SBC )  (ABC )  BC , AI  BC , SI  BC  A, SBC   AH     (SBC ),(ABC )  SIA a SA    tan SIA     SIA  600 IA a Câu 43 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, OB  a , SO  (ABCD ) , SB  a a) Chứng minh: SAC vng SC vng góc với BD b) Chứng minh: (SAD )  (SAB ), (SCB )  (SCD ) c) Tính khoảng cách SA BD a) S  Chứng minh: SAC vuông + SO  SB  OB  a  H 3a 6a a  SO   SO  9 I K + OA  OC  BC  OB  a  A B O  tam giác SAC vuông S  Chứng minh D b) 3a a   SO BD  SO, BD  AC  BD  SAC   BD  SC C  Chứng minh: (SAD )  (SAB ), (SCB )  (SCD ) Gọi H trung điểm SA SA  OA  2a SA a  OH   3  OH  OB  OD  HBD vuông H  DH  BH (1)  SOA vuông cân O, H trung điểm SA  OH  SA  (2)   SO  ABCD  SO  BD, mặt khác AC  BD   BD  (SAC )  SA  BD      Từ (2) (3) ta suy SA  HBD  SA  HD  (3) (4)     Từ (1) (4) ta suy DH  SAB , mà DH   SAD nên SAD  SAB   Gọi I trung điểm SC , dễ thấy OI  OH  OB  OD  IBD vuông I  ID  BI (5) SO  OD2   SD  6a 3a   a  CD  DSC cân D, IS  IC nên ID  SC 9 (6)         Từ (5) (6) ta suy ID  SBC , mà ID  SCD nên SBC  SCD c) Tính khoảng cách SA BD OH  SA, OH  BD nên d(SA, BD)  OH  a Câu 44 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  a, SA vng góc với ABCD  Gọi I , K hình chiếu vng góc A lên SB, SD a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông     b) Chứng minh: SAC vuông góc AIK   c) Tính góc SC SAB   d) Tính khoảng cách từ A đến SBD a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng S    SA  ABCD nên SA  BC , AB  BC (gt)  BC  SAB  , BC   SB  SBC vuông B I K  H   SA  ABCD  SA  CD, CD  AD (gt) B  CD  SAD   CD  SD   SCD vuông D A O D    SA  ABCD nên SA  AB, SA  AD C  tam giác SAB SAD vuông A     b) Chứng minh: SAC vng góc AIK     SA  ABCD   SA  BD,  BD  AC   BD  SAC   SAB SAD vuông cân A, AK  SA AI   SB nên I K trung điểm AB AD  IK  BD       mà BD  SAC nên IK  SAC  AIK  (SAC )   c) Tính góc SC SAB     SC ,(SAB )  SC , SB   CSB    CB  AB (từ gt), CB  SA (SA  ABCD ) nên CB  SAB  hình chiếu SC SAB  SB   Tam giác SAB vng cân có AB  SA  a  SB  a  tan CSB    d) Tính khoảng cách từ A đến SBD    Hạ AH  SO , AH  BD BD  SAC  AH  SBD  1 1 a       AH  2 AH SA AO a a a    d A, SBD   a 3  BC  SB ... SB  SC  a  BC  SBC đều, suy M trung điểm SB   SCM  30 Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a ,  BAD  600 , đường cao SO  a a) Gọi K hình chiếu O lên BC Chứng... a.a 2.cos 450  a2 Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  a , SA   ABCD  Gọi I , K hình chiếu vng góc A lên SB, SD a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Chứng...  ( ABCD) nên AC hình chiếu SC ( ABCD)    SCA  tan   SA a      450 AC a 2 Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ; SA  ( ABCD) , SA  a Gọi M N hình chiếu điểm A