Bài giảng Thuật toán đơn hình đối ngẫu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN Chào mừng quý thầy cô dự hội giảng mùa xuân Năm học 2015-2016 Giảng viên: Đào Thị Kim Chi   Chương III BÀI TỐN ĐỐI NGẪU VÀ THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU 3.3.THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU 3.3.1-Thuật tốn đơn hình đối ngẫu cho tốn có sở đối ngẫu: a.Bài tốn có sở đối ngẫu tốn có dạng Trong ma trận A có sở đơn vị lập bảng đ ơn hình đ ể tính ước l ượng có , c s đ ơn v ị g ọi c s đ ối ngẫu Nhận xét Nếu tốn (trên) có sở đối ngẫu đồng thời có sở xác định phương án tối ưu  b.Điều chỉnh phương án tốn có sở đối ngẫu Xét tốn có sở đối ngẫu khơng có , sở đối ngẫu cho ta “giả phương án” , ta phải điều chỉnh để có phương án tối ưu kết luận khơng có phương án Q trình điều chỉnh gồm bước: Bước 1: Xác định dòng quay dòng k ứng với Bước 2: Xác định phần tử quay với dòng k dòng quay, phần tử quay xác định bởi: Bước 3: Biến đổi sơ cấp xác định vectơ đơn vị đưa vào Quá trình làm giống thuật tốn đơn hình Ta biến đổi sơ cấp dòng ma trận bổ sung để đưa cột chứa phần tử quay đưa số  c.Dấu hiệu tối ưu Q trình điều chỉnh ln dẫn tốn có sở đối ngẫu tốn có sở đối ngẫu Lý điều cách chọn phần tử quay khiến ta ln có Định lý Với tốn có sở đối ngẫu ta có: a.Nếu sở đơn vị xác định phương án tối ưu b Nếu tồn để tốn có tập phương án rỗng Chứng minh a.Nếu tốn tốn tắc có sở đơn vị, theo dấu hiệu tối ưu thuật toán đ ơn hình nên sở đơn vị xác định phương án tồn tối ưu b.Nếu tồn hệ ràng buộc tốn có ràng buộc sau Rõ ràng buộc khơng xảy d Sơ đồ thuật tốn đơn hình đối ngẫu cho tốn có sở đối ng ẫu BEGIN TRUE   FALSE Kết luận PATU FALSE   Tồn Tồn tại có có TRUE Tập PA rỗng END   Ví dụ Giải tốn sau thuật tốn đơn hình đối ngẫu Đưa thêm ẩn phụ , ta có tốn: Ta có nên toán sở đối ngẫu Ứng với sở , , Cơ s 3 0 b 2 1 -1 0 11 -1 1 0 -8 -2 -1 -2 -2 -3 -1/2 -5 ½ 0 ½ 15 5/2 -1/2 -1/2 4 ½ -3/2 -1/2 12 0 -2 -2 -8 -1 0 -1 -1 0 2 1 -1 0 20 0 -4 -10 -3  Vậy tốn có phương án tối ưu với Trong bước ta có dòng quay ứng với , phần tử quay ứng với  Ví dụ 2: Giải tốn qui hoạch tuyến tính sau đây: +12 Đưa tốn dạng tắc đối dấu hai vế ràng buộc đẳng thức, ta nhận toán Giả phương án ban đầu Cơ sở 15 12 10 0 b -160 -3 -4 -2 0 -140 -1 -2 -3 -15 -12 -10 0 12 40 3/4 1/2 -1/4 0 -60 1/2 -2 -1/2 480 -6 -4 -3 12 25 7/8 -3/8 1/4 10 30 -1/4 1/4 -1/2 600 -7 0 -2 -2  Vậy tốn có phương án tối ưu với Từ kết tính tốn nêu trên, ta tìm lời giải toán đối ngẫu nhờ vận dụng quy tắc sau  Quy tắc B: Nếu sở ban đầu ma trận đơn vị để tìm phương án tối ưu toán đối ngẫu ta chọn từ bảng đơn hình đối ngẫu cuối của cột biến mà chúng biến sở bước lặp đ ầu tiên (bảng 1) cộng thêm với hệ số tương ứng Sau đổi dấu tổng tìm biến sở tương ứng ban đầu nhận giá trị âm Với ví dụ xét ta thấy biến sở bước lặp (bảng 1) , (, vectơ đơn vị) Lúc đầu biến nhận giá trị âm, nên PATƯ toán đối ngẫu xác định sau: Vậy =(2,2) *Ý nghĩa kinh tế tốn đối ngẫu   Ví   dụ: Xét toán lập kế hoạch sản xuất xí nghiệp Bây ta xét tốn khác đặt xí nghiệp tốn mua nguyên liệu dự trữ cho việc sản xuất sản phẩm nói Xí nghiệp sản xuất mặt hàng từ loại nguyên liệu với lượng dự Cần mua loại nguyên liệu với lượng yêu cầu Hãy lập kế hoạch trữ tương ứng Mỗi đơn vị sản phẩm có giá trị chi phí ngun liệu i Lập kế hoạch sản xuất xí nghiệp cho: a) b) Tổng giá trị sản phẩm lớn Lượng nguyên liệu sử dụng không vượt lượng dự trữ mua loại nguyên liệu cho a) b) Tổng số tiền mua nguyên liệu nhỏ Số tiền chi phí cho đơn vị sản phẩm khơng vượt q giá trị sản phẩm Gọi số lượng sản phẩm j cần sản xuất Với điều kiện a),b) ta có tốn quy hoạch tuyến tính Gọi đơn giá nguyên liệu loại i Tổng số tiền mua nguyên liệu Số tiền chi phí ngun liệu cho sản phẩm Như vậy, tốn mua nguyên liệu phát biểu sau  Bài toán (2) toán đối ngẫu toán (1) Như vậy, toán mua nguyên liệu toán đ ối ng ẫu c toán lập kế hoạch sản xuất Gọi PATƯ tốn (1), (2) Theo định lí độ lệch bù.Ta có: Nếu =0 hay , nghĩa sản phẩm thứ j số tiền chi phí ngun liệu cho đơn vị sản phẩm giá trị sản phẩm Nếu =0 hay , nghĩa nguyên liệu mua phải sử dụng hết   Ví dụ Giải tốn sau thuật tốn đơn hình đối ngẫu Đưa thêm ẩn phụ , ta có tốn: Đây tốn sở đối ngẫu Cơ s -7 0 b -10 -2 -3 3 1 -4 -1 0 0 -2 -5 -1/2 -4 3/2 -1/2 0 -2 -7/2 -5/2 1/2 0 -8 0 7/2 -1/2 3/2 12 -19 0 -6 10 -1 -1 38 -21 -7 -5 16 0 -7 -3 -2 20 0 -13 -4 -2  Trong bước ta thấy có nên tập phương án tốn rỗng XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! ...  Chương III BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU VÀ THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU 3.3.THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU 3.3.1 -Thuật tốn đơn hình đối ngẫu cho tốn có sở đối ngẫu: a .Bài tốn có sở đối ngẫu tốn có dạng... sản phẩm Như vậy, toán mua nguyên liệu phát biểu sau Bài toán (2) toán đối ngẫu toán (1) Như vậy, toán mua nguyên liệu toán đ ối ng ẫu c toán lập kế hoạch sản xuất Gọi PATƯ toán (1), (2) Theo... trên, ta tìm lời giải tốn đối ngẫu nhờ vận dụng quy tắc sau  Quy tắc B: Nếu sở ban đầu ma trận đơn vị để tìm phương án tối ưu tốn đối ngẫu ta chọn từ bảng đơn hình đối ngẫu cuối của cột biến mà