Đường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngĐường thẳng Newton mở rộngvv
Đường thẳng Newton mở rộng Nguyễn Văn Linh, lớp 12A2 toán, khối THPT chuyên ĐHKHTN-ĐHQGHN Tháng 9/2010 Mở đầu Trong hình học sơ cấp quen thuộc với định lý sau, gọi đường thẳng Newton tứ giác ngoại tiếp: " Cho tứ giác ngoại tiếp đường tròn (O) Khi O nằm đường thẳng nối trung điểm hai đường chéo tứ giác " Trong viết này, tổng quát định lý đưa hai hệ đặc sắc cho đường thẳng Newton mở rộng Định lý Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) P điểm mặt phẳng Các đường vng góc kẻ từ A, B, C, D tới P A, P B, P C, P D cắt tạo thành tứ giác XY ZT Khi O nằm đường thẳng nối trung điểm đường chéo tứ giác XY ZT Chứng minh Nếu P nằm (O) Ta có đường vng góc kẻ từ A, B, C, D tới P A, P B, P C, P D đồng quy điểm đối xứng với P qua O nên toán hiển nhiên Ta chúng minh toán trường hợp P nằm (O) (trường hợp P nằm chứng minh tương tự) Trước hết ta phát biểu chứng minh bổ đề: Bổ đề Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AC, BD, Q điểm mặt phẳng cho SAQB + SCQD = SBQC + SAQD = SABCD Khi M, N, Q thẳng hàng Chứng minh B A N E Q M I D F C Gọi I giao AB CD Lấy E đoạn IB cho AB = IE, F đoạn IC cho IF = DC Ta có SABCD = SAQB + SDQC = SIEQ + SIF Q = SIEQF Mặt khác N trung điểm BD nên SIEN D = SIEN + SIDN = SAN B + SDN C = SAN B + SDN C = SABCD Suy SIEQF = SIEN D hay SEN F = SEQF Từ N Q//EF Tương tự ta chứng minh M Q//EF Vậy M, N, Q thẳng hàng Trở lại toán X P' A B' H A' B T P D O Q D' Y Z C C' Gọi A , B , C , D giao điểm thứ hai (O) với T X, XY, Y Z, ZT Gọi H trung điểm BB suy OH ⊥ BB Đường thẳng kẻ từ B vng góc với XY cắt OP Q Ta có OH đường trung bình hình thang QB BP nên O trung điểm P Q Tương tự ta thu đường vng góc kẻ từ A , B , C , D tới cạnh T X, XY, Y Z, ZT đồng quy Q Do tứ giác QA XB nội tiếp nên QXT = A B Q = 90o − XB A Tương tự P XY = 90o − XAB Mà XAB = XB A tứ giác A AB B nội tiếp nên QXT = P XY (1) Tương tự ta có P Y X = QY Z(2), P ZY = QZT , QT Z = P T X Theo bổ đề O thuộc đường nối trung điểm hai đường chéo tứ giác XY ZT SXOY + SZOT = SXOT + SY OZ 1 Hay (SXP Y +SXQY +ST P Z +ST QZ ) = (ST P X +ST QX +SY P Z +SY QZ )(3) 2 Gọi P điểm đối xứng P qua B Ta có SXQY + SXP Y = SXQY + SXP Y = SXQY P = SQXP + SQY P = (XQ.XP sin QXP + Y Q.Y P sin QY P ) Từ (1) (2) suy QXP = T XY , QY P = XY Z Do XQ.XP sin QXP +Y Q.Y P sin QY P = XQ.XP sin T XY +Y Q.Y P sin XY Z Tương tự ta thu SXP Y +SXQY +ST P Z +ST QZ = (XQ.XP sin T XY + Y Q.Y P sin XY Z + QZ.P Z sin Y ZT + QT.P T sin ZT X) Tương tự với ST P X + ST QX + SY P Z + SY QZ suy (3) Vậy ta có đpcm Nhận xét 1: Khi P trùng O ta thu đường thẳng Newton Nhận xét 2: Hai điểm P, Q hai điểm liên hợp đẳng giác tứ giác XY ZT Vì ta có tổng quát hai điểm liên hợp đẳng giác tam giác lên thành tứ giác Ngược lại, tứ giác XY ZT có hai điểm P Q liên hợp đẳng giác, ta chứng minh tập hợp hình chiếu vng góc kẻ từ P, Q lên cạnh tứ giác XY ZT thuộc đường tròn có tâm trung điểm P Q Y A1 A2 X N P D1 B1 O Q D2 B2 T C2 M C1 Z Thật vậy, Gọi A1 , B1 , C1 , D1 hình chiếu P, A2 , B2 , C2 , D2 hình chiếu Q lên cạnh XY, Y Z, ZT, T X Ta có P ZY = QZT nên ZP B1 = ZQC2 Áp dụng tính chất tứ giác nội tiếp suy B1 C1 Z = C2 B2 Z hay điểm C1 , C2 , B1 , B2 đồng viên Tương tự điểm B1 , B2 , A1 , A2 đồng viên, A1 , A2 , D1 , D2 đồng viên, D1 , D2 , C1 , C2 đồng viên Nếu điểm khơng thuộc đường tròn trục đẳng phương đường tròn phải đồng quy điểm Nhưng XY trục đẳng phương (A1 A2 B2 B1 ) (A1 A2 D1 D2 ) Tương tự với Y Z, ZT, T X nên trục đẳng phương không đồng quy Vậy tập hợp hình chiếu P, Q lên cạnh tứ giác XY ZT phải thuộc đường tròn Mặt khác, gọi O trung điểm P Q, M, N trung điểm C1 C2 , A1 A2 M O, N O đường trung bình hình thang P QC2 C1 , P QA2 A1 Do OM, ON đường trung trực đoạn C1 C2 , A1 A2 hay O tâm đường tròn ngoại tiếp điểm A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 , D1 , D2 Nhận xét 3: Tổng quát hơn, cho đa giác X1 X2 Xn nội tiếp (O).P điểm mặt phẳng Các đường vng góc với P A1 , P A2 , , P An A1 , A2 , , An cắt tạo thành đa giác Y1 Y2 Yn Gọi Q điểm đối xứng với P qua O ta chứng minh P Q hai điểm liên hợp đẳng giác đa giác A1 A2 An Ứng dụng Sau hai ứng dụng đặc sắc đường thẳng Newton mở rộng: Hệ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).AC giao BD I Gọi P điểm mặt phẳng, O1 , O2 , O3 , O4 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AP B, BP C, CP D, DP A Khi trung điểm đoạn thẳng O1 O3 , O2 O4 , OI thẳng hàng Chứng minh: X B A O1 T Y K' O4 O2 K P L O H H' D C O3 Z Gọi X, Y, Z, T điểm đối xứng P qua O1 , O2 , O3 , O4 ; L, K, H, K , H trung điểm P O, O2 O4 , O1 O3 , Y T, XZ Ta có XAP = T AP = 90o nên X, A, T thẳng hàng Tương tự, X, B, Y thẳng hàng; Y, C, Z thẳng hàng; Z, D, T thẳng hàng Xét phép vị tự tâm P tỉ số 2: O1 → X, O2 → Y, O3 → Z, O4 → T nên K → K , H → H Mà L → O nên ta cần chứng minh K , O, H thẳng hàng Điều theo định lý đường thẳng Newton mở rộng với ý P A ⊥ T X, P B ⊥ XY, P C ⊥ Y Z, P D ⊥ ZT Hệ 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).P điểm mặt phẳng Gọi X, Y, Z, T, H, K chân đường vng góc kẻ từ P đến AB, BC, CD, DA, AC, BD Khi trung điểm đoạn XZ, Y T, HK thẳng hàng Chứng minh: Trường hợp 1: P nằm (O) B X A K H Z D C Y T M Áp dụng định lý đường thẳng Simson ta có ba điểm (X, H, Y ); (X, K, T ); (X, Z, Y ); (T, Z, H) thẳng hàng Khi trung điểm đoạn XZ, Y T, HK nằm đường thẳng Gauss tứ giác toàn phần XKY ZHT nên chúng thẳng hàng Trường hợp 2: P không nằm (O) B A X Y H T K P D Z C Ta có T XK = AXK − AXT = KP B − AP T = widehatAP B − T P K = AP B − ADB Tương tự Y XH = AP B − ACB Do T XK = Y XH Tương tự ta thu K H hai điểm liên hợp đẳng giác tứ giác XY ZT Theo nhận xét tập hợp hình chiếu K, H cạnh tứ giác XY ZT thuộc đường tròn tâm trung điểm KH Áp dụng đường thẳng Newton mở rộng ta trung điểm đoạn XZ, Y T, KH thẳng hàng Để kết thúc viết, mời bạn suy nghĩ tốn tiếng có liên quan đến đường tròn hình chiếu sau, gọi tốn "đường tròn điểm" : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có AC ⊥ BD Gọi X1 , Y1 , Z1 , T1 trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA; X2 , Y2 , Z2 , T2 hình chiếu X1 , Y1 , Z1 , T1 lên cạnh CD, DA, AB, BC Chứng minh điểm X1 , Y1 , Z1 , T1 , X2 , Y2 , Z2 , T2 thuộc đường tròn Tài liệu [1] Nguyễn Minh Hà, Hình học phẳng định hướng, 2008 [2] A V Akopyan, A A Zaslavsky, Geometry of Conics, Mathematical world, Vol.26 Email: lovemathforever@gmail.com ... X + ST QX + SY P Z + SY QZ suy (3) Vậy ta có đpcm Nhận xét 1: Khi P trùng O ta thu đường thẳng Newton Nhận xét 2: Hai điểm P, Q hai điểm liên hợp đẳng giác tứ giác XY ZT Vì ta có tổng qt hai... P Q hai điểm liên hợp đẳng giác đa giác A1 A2 An Ứng dụng Sau hai ứng dụng đặc sắc đường thẳng Newton mở rộng: Hệ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).AC giao BD I Gọi P điểm mặt phẳng, O1 , O2 ,... K → K , H → H Mà L → O nên ta cần chứng minh K , O, H thẳng hàng Điều theo định lý đường thẳng Newton mở rộng với ý P A ⊥ T X, P B ⊥ XY, P C ⊥ Y Z, P D ⊥ ZT Hệ 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).P