Đường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếp

Đường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếpĐường tròn tiếp xúc trong tứ giác ngoại tiếp

Đường tròn tiếp xúc tứ giác ngoại tiếp Nguyễn Văn Linh Giới thiệu Trong đợt tập huấn đội tuyển chuẩn bị cho kì thi tốn quốc tế năm 2014, bạn Nguyễn Huy Tùng, HS THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng, phát bổ đề thú vị Bài Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Khi tồn đường tròn tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EAD, EBC, F AB, F CD Bài viết đưa số cách chứng minh phát triển toán lạ Chứng minh Cách F B M X H A E I J Y D C K Gọi M điểm Miquel tứ giác toàn phần ABCDEF Từ M kẻ hai tiếp tuyến M H, M K tới (I) cho H, K ∈ (EBC) Theo định lý Poncelet suy HK tiếp xúc với (I) Qua I kẻ đường vng góc với M I cắt M H, M K X, Y Gọi (J) đường tròn tiếp xúc với M H, M K X, Y theo bổ đề Sawayama, (J) đường tròn M-mixtilinear tam giác M HK hay (J) tiếp xúc với (EBC) Chứng minh tương tự suy (J) tiếp xúc với đường tròn (EAD), (EBC), (F AB), (F CD) Cách (Ngô Quang Dương, HS 11A2 toán, THPT chuyên KHTN, Hà Nội) F B X A Y T I E D Z C Gọi X, Y, Z, T tiếp điểm AB, BC, CD, DA với (I) Xét phép nghịch đảo IIr biến (EAD), (EBC), (F AB), (F CD) thành đường tròn Euler tam giác T XZ, Y XZ, T XY, T ZY Do (EAD), (EBC), (F AB), (F CD) đồng quy điểm Miquel tứ giác tồn phần ABCDEF nên đường tròn Euler tam giác T XZ, Y XZ, T XT, T ZY đồng quy J Mặt khác đường tròn có bán kính r/2 nên đường tròn (J, r) tiếp xúc với đường tròn Euler Nghịch đảo ngược lại ta có đpcm Khai thác Đầu tiên ý đường tròn (EAD), (EBC), (F AB), (F CD) đồng quy điểm Miquel M tứ giác tồn phần ABCDEF , điều khiến nghĩ đến phép nghịch đảo tâm M Rất bất ngờ qua phép nghịch đảo, toán ban đầu trở thành tốn khác có trước tác giả Trần Quang Hùng, GV THPT chuyên KHTN, Hà Nội Bài Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD, AB giao CD E, AD giao BC F Gọi M điểm Miquel tứ giác toàn phần ABCDEF Xét phép nghịch đảo tâm M phương tích biến A, B, C, D thành A , B , C , D Khi A B C D tứ giác ngoại tiếp Hiển nhiên theo toán 1, tồn đường tròn ω tiếp xúc với đường tròn (M AB), (M BC), (M CD), (M DA) nên ảnh ω qua phép nghịch đảo tiếp xúc với đường thẳng A B , B C , CD, DA Ở giới thiệu lời giải khác cho toán MB MC BC M BC ∼ M AD nên = = MA MD AD MC MD BC M CD ∼ M BA nên = = MB MA AD AB BC CD DA Mặt khác, A B = k , B C = k , C D = k , D A = k M A.M B M B.M C M C.M D M D.M A AB CD DC DC Suy A B + C D = k + = k 1+ M A.M B M C.M D M D.M C AB Chứng minh Ta có (Do AB DC = ) M A.M B M D.M C BC BC 1+ M B.M C AD DC AB BC AD Ta có = = nên MD MA MB MA DC AB + DC BC AB AD 1+ = 1+ = A B + C D = k , B C + D A = k M A.M C AB M A.M C M A.M C AD AD + BC M A.M C Mà tứ giác ABCD ngoại tiếp nên AB + DC = AD + BC, suy A B + C D = B C + D A Tức tứ giác A B C D ngoại tiếp Tương tự, B C + D A = k Bài toán khiến tác giả nhớ tới tốn tương tự tác giả tìm từ lâu Bài Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD giao AC lần thứ hai X, đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD giao AC lần thứ hai Y Khi tứ giác BXDY ngoại tiếp Bản chất toán trường hợp đặc biệt toán sau Bài Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD AC giao BD P Phép nghịch đảo tâm P phương tích biến điểm A, B, C, D thành A , B , C , D Khi A B C D tứ giác ngoại tiếp A B x X J P T y Y t I D Z z C BC AB , B C = k , CD = Chứng minh Theo tính chất phép nghịch đảo, A B = k P A.P B P B.P C CD DA k , D A = k P C.P D P D.P A AB CD + Suy A B + C D = k P A.P B P C.P D k AB CD = sin ∠AP B + 1/2P A.P B sin ∠AP B 1/2P C.P D sin ∠DP C k AB CD + = sin ∠AP B SAP B SDP C Gọi tiếp điểm (I) với AB, BC, CD, DA X, Y, Z, T , AX = AT = x, BX = BY = y, CY = CZ = z, DZ = DT = t Từ A kẻ đường song song với DC cắt XZ J Dễ thấy ∠AXJ = ∠DZX = ∠AJX nên AX = AJ = x SAP B AP AJ x Suy = = = SBP C PC CZ z SAP B SBP C SCP D SDP A Chứng minh tương tự suy = = = = q xy yz zt tx AB CD x+y z+t 1 1 Từ + = + = + + + SAP B SDP C qxy qzt q x y z t 1 1 k sin ∠AP B + + + 2q x y z t Tương tự suy A B + C D = A D + B C Tức tứ giác A B C D ngoại tiếp Như A B + C D = Do tồn đường tròn γ tiếp xúc với đường thẳng A B , B C , C D , D A nên ảnh γ qua phép nghịch đảo tâm P tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác P AB, P BC, P CD, P DA Chúng ta có tốn Bài Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD Gọi P giao AC BD Chứng minh tồn đường tròn tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác P AB, P BC, P CD, P DA B A P I D C K F M J E A T X P A' D' B B' Y I C' D Z C Bây gọi X, Y, Z, T tiếp điểm (I) với AB, BC, CD, DA xét phép nghịch đảo tâm I, phương tích R2 , IIR : A → A , B → B , C → C , D → D , P → M Dễ thấy A , B , C , D trung điểm T X, XY, Y Z, ZT Gọi T X giao Y Z K, XY giao ZT J Theo định lý Brocard, dễ thấy M hình chiếu I JK đồng thời M điểm Miquel tứ giác toàn phần XY ZT KJ Chúng ta có tốn Bài Cho tứ giác nội tiếp ABCD AB giao CD E, AD giao BC F Gọi M điểm Miquel tứ giác toàn phần ABCDEF , X, Y, Z, T trung điểm AB, BC, CD, DA Khi tồn đường tròn tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác M XY, M Y Z, M ZT, M T X Bài Với kí hiệu tốn 6, phép nghịch đảo tâm M phương tích biến X, Y, Z, T thành X , Y , Z , T Khi X Y Z T tứ giác ngoại tiếp Như tứ giác ngoại tiếp ABCD, điểm Miquel giao hai đường chéo AC BD biến đỉnh tứ giác ABCD thành đỉnh tứ giác ngoại tiếp khác Khơng khó để nhận giao điểm E F có tính chất Chúng ta ý (I) đường tròn bàng tiếp tam giác F AB đường tròn nội tiếp tam giác F CD Do đường tròn mixtilinear nội tiếp ứng với đỉnh F tam giác F CD đồng thời đường tròn mixtilinear bàng tiếp ứng với đỉnh F tam giác F AB Như tồn đường tròn ω tiếp xúc với AD, BC tiếp xúc với (F AB), (F CD) Khi phép nghịch đảo tâm F biến A, B, C, D thành A , B , C , D , ω thành ω ω tiếp xúc với đường thẳng A B , B C , C D , D A Trước kết thúc viết, câu hỏi đặt cho bạn đọc mặt phẳng liệu điểm ngồi điểm mà phép nghịch đảo có tâm điểm biến đỉnh tứ giác ngoại tiếp thành đỉnh tứ giác ngoại tiếp khác? Tài liệu [1] Geometry Mathley contest No.3 http://www.hexagon.edu.vn/mathley.html [2] Artofproblemsolving Forum http://www.artofproblemsolving.com/Forum/portal.php?ml=1 Nguyễn Văn Linh, SV K50 TCNH ĐH Ngoại thương Hà Nội Email: Lovemathforever@gmail.com