Định lý xấp xỉ stone - weierstrass

Trong đó, Ông thay thế đoạn [a, b] bởi tậpcompact hoặc tập compact địa phương và đa thức được thay thế bởicác phần tử của đại số thỏa mãn một số tiên đề cho trước.. Hiện nay, có rất nhiề

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới thầy Th.S Nguyễn Quốc Tuấn, giảng viên khoaToán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người đã tận tình hướng dẫn

để tôi có thể hoàn thành khóa luận này

Trong quá trình học tập, đặc biệt là trong suốt quá trình làm khóaluận tôi đã nhận được sự dạy dỗ ân cần cũng như những động viên,chỉ bảo, tạo điều kiện của Quý thầy, cô giáo tham gia giảng dạy, côngtác tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Qua đây, tôi xin được gửilời cảm ơn tới Quý thầy, cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán trườngĐại học sư phạm Hà Nội 2, cùng Quý thầy, cô giáo giảng dạy trongtoàn khóa học

Nhân dịp này, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhấttới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Xuân Hòa, ngày 01 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Nga

Dưới sự hướng dẫn của thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn, khóa luậntốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán với đề tài

Xuân Hòa, ngày 01 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Nga

MỞ ĐẦU 5

Chương 1.Các kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Không gian metric 7

1.1.1 Định nghĩa không gian metric 7

1.1.2 Sự hội tụ trong không gian metric 8

1.1.3 Lân cận, tập đóng, tập mở 10

1.1.4 Phần trong, bao đóng 11

1.1.5 Ánh xạ liên tục trong không gian metric 12

1.1.6 Không gian metric compact 13

1.2 Không gian topo 15

1.3 Không gian định chuẩn 16

1.4 Một số khái niệm về đại số 19

Chương 2.Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass 21

2.1 Định lý xấp xỉ Weierstrass 21

2.1.1 Đa thức Bernstein 21

2.1.2 Định lý xấp xỉ Weierstrass (1885) 22

2.2 Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass 26

2.2.1 Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass trong tập compact 26

2.2.2 Định lý Stone-Weierstrass trong tập compact địa phương 32

2.2.3 Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass trong tập số phức 34

2.3 Ứng dụng 36KẾT LUẬN 38TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

Năm 1885, Weierstrass công bố kết quả “Mọi hàm số liên tục xácđịnh trên một khoảng đóng [a, b] có thể xấp xỉ đều bởi một hàm đathức” Đến năm 1937, khi nghiên cứu về đại số các hàm liên tục trênkhông gian Hausdoft compact, Marshall H Stone đã mở rộng định

lý xấp xỉ Weierstrass Trong đó, Ông thay thế đoạn [a, b] bởi tậpcompact hoặc tập compact địa phương và đa thức được thay thế bởicác phần tử của đại số thỏa mãn một số tiên đề cho trước Để ghinhận công lao của hai nhà Toán học trên, người ta đã đặt tên định

lý mở rộng của định lý xấp xỉ Weierstrass là định lý xấp xỉ Stone Weierstrass

Hiện nay, có rất nhiều tài liệu đề cập đến định lý xấp xỉ Stone Weierstrass, nhưng trong phạm vi của một bài khóa luận, tôi chỉ tiếnhành nghiên cứu định lý khi xét trên tập compact, tập compact địaphương, tập số phức và ứng dụng của nó Từ đó, phần nào hoàn thiệnkiến thức về Giải tích Toán học cho bản thân, đồng thời giới thiệucho các bạn sinh viên một cái nhìn sâu sắc về định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

-Vì lý do trên, cùng với sự góp ý động viên và tận tình giúp đỡ củathầy cô, đặc biệt là thầy Th.S Nguyễn Quốc Tuấn với sự đam mê củabản thân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài

Chương này hệ thống lại các kiến thức cơ sở về không gian metriccompact, không gian topo, không gian định chuẩn, các khái niệm Đại

số, Đại số Banach

Chương 2 Định lý xấp xỉ Stone - Weierstrass

Trong chương này, tôi nghiên cứu về định lý xấp xỉ Stone - strass xét trên không gian Hausdoft compact và tìm hiểu ứng dụngcủa định lý đó

Weier-Mặc dù khóa luận đã hoàn thành với sự đam mê và cố gắng củabản thân, song do trình độ và thời gian có hạn, nên trong quá trìnhviết cũng như trong quá trình in ấn khóa luận không tránh khỏi nhữngthiếu sót nhất định Vì vậy, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến củaQuý thầy, cô và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian metric

Trong Toán học, một không gian metric là một tập hợp mà trong

đó khái niệm về khoảng cách giữa các phần tử đã được định nghĩa.Không gian metric gần nhất với hiểu biết trực quan của con người làkhông gian Euclide ba chiều R3 Metric Euclide (khoảng cách) giữahai điểm trong không gian Euclide R3 là độ dài đoạn thẳng nối chúng.Bây giờ, ta sẽ đi tìm hiểu cụ thể hơn về khái niệm này

Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]) Không gian metric là một tập hợp X,sao cho với mọi x, y ∈ X xác định một số d(x, y), gọi là khoảng cáchgiữa x và y thỏa mãn các tiên đề:

i) Xác định dương, có nghĩa là với mọi x, y ∈ X, d(x, y) ≥ 0 Dấubằng xảy ra nếu và chỉ nếu x = y

ii) Đối xứng, có nghĩa là với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x)

iii) Bất đẳng thức tam giác, có nghĩa là với mọi x, y, z ∈ X

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Ta kí hiệu không gian (X, d) với tập nền X và metric (khoảng cách)

d

Ví dụ 1.1 (Các không gian metric thông thường, xem [2]).

i) Không gian R là không gian metric với metric

ii) Không gian Rn là không gian metric với metric

d(x, y) =

vuut

,

trong đó x = (x1, x2, , xn, ),và y = (y1, y2, , yn) ∈ lp Khi đó,không gian (X, dp) là một không gian metric

v) Xét C[a,b] gồm tất cả các hàm liên tục trên đoạn [a, b] Trên X

ta xác định một metric

a≤t≤b|x(t) − y(t)|, x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b]

Khi đó, không gian (C[a,b], d∞) lập thành một không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 (xem [2]) Cho (X, d) là một không gian metric.Phần tử x ∈ X được gọi là giới hạn của dãy các phần tử {xn} ⊂ X

(kí hiệu xn → x, n → +∞ hoặc lim

n→+∞xn := x) nếu d(xn, x) → 0

n0 > 0 sao cho với mọi n > n0 ta đều có d(xn, x) < 

Một số tính chất đơn giản

i) Giả sử dãy {xn} là dãy các phần tử trong không gian metric X.Nếu dãy {xn} hội tụ thì nó hội tụ đến một phần tử duy nhất Thậtvậy nếu xn → x và xn → y, n → +∞ thì

iii) Giả sử dãy {xn} gồm các phần tử trong không gian metric X,hội tụ đến x trong (X, d), và {xnk} là dãy con của dãy {xn} Khi

đó, dãy {xnk} cũng hội tụ đến x trong (X, d) Thật vậy, d(xnk, x) ≤d(xnk, xn)+d(xn, x) Ta có lim

n k ,n→∞d(xnk, xn) = 0và lim

n→∞d(xn, x) = 0.Suy ra, xnk → x khi nk → ∞

Định nghĩa 1.1.4 (xem [2]) ChoAlà tập con của không gian metric

iii) Điểm x được gọi là điểm biên của tập A nếu mọi lân cận của

x đều chứa những điểm thuộc A và những điểm không thuộc A, haymọi số  > 0 ta có

S(x, ) ∩ A 6= ∅, S(x, ) ∩ (X\A) 6= ∅

iv) Điểm x được gọi là điểm dính của tập A nếu với mọi lân cậncủa x đều chứa ít nhất một điểm thuộc A, hay với mọi số  > 0 ta có

S(x, ) ∩ A 6= ∅

v) Điểm x được gọi là điểm giới hạn của tập A nếu với mọi lâncận của x đều chứa ít nhất một điểm thuộc A khác x, hay với mọi số

 > 0 ta có

S(x, ∅) ∩ (A\x) 6= ∅

vi) Điểm x được gọi là điểm cô lập của tập A nếu x thuộc A vàtồn tại một lân cận của x không chứa bất kỳ điểm nào của A khác x,hay tồn tại ε > 0 sao cho

thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A

ii) Tập A được gọi là tập đóng trong không gian (X, d) nếu mọiđiểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác nếuđiểm x /∈ A,thì tồn tại một lân cận của xkhông chứa điểm nào thuộctập A

Hệ quả 1.1.1 (xem [2]) Trong không gian metric bất kỳ (X, d),phần bù của tập mở là tập đóng, phần bù của tập đóng là tập mở.Các tập X, ∅ vừa là tập đóng, vừa là tập mở

Chú ý 1.1.1 (xem [2]) Cho không gian metric(X, d)và các tập A, B

là con của X Khi đó,

i) int ∅ = ∅, ∅ = ∅;

iii) Nếu A ⊂ B thì int A ⊂ B và A ⊂ B;

v) Tập A là tập mở trong X nếu và chỉ nếu int A = A;

vi) Tập A là tập đóng trong X nếu và chỉ nếu bao đóng của A làtập A

Định lý 1.1.1 ([xem [2]) Cho không gian metric (X, d) và tập A làtập con của X Phần trong int A của tập A là tập tất cả các điểmtrong của A, và int A là tập mở trong X Bao đóng A của tập A làtập hợp các điểm tụ của tập A, và A là tập đóng trong X

Định lý 1.1.2 ([xem [2]) Cho không gian metric bất kỳ (X, d) và A

là tập con của X Khi đó, phần trong của A được xác định bởi

int A = X \ (X \ A)

Định nghĩa 1.1.8 (xem [2]) Cho không gian metric(X, d), tậpA, B

là các tập con X

i) Tập A được gọi là trù mật trong B nếu B ⊂ A

ii) Nếu A = X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X

Chú ý 1.1.2 (xem [2]) Bao đóng của tập A là tập X nếu và chỉ nếuvới mọi x ∈ X, với mọi  > 0 tồn tại a ∈ A sao cho d(x, a) < 

Trong phần này ta xét f là ánh xạ đi từ không gian metric (X, d1)

vào không gian metric (Y, d2)

Định nghĩa 1.1.9 (xem [2]) Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm

x0 ∈ X nếu với mọi dãy điểm {xn} là tập con của X hội tụ tới điểm

x0 trong không gian (X, d1), thì dãy điểm {f (xn)} hội tụ tới f (x0)

trong không gian (Y, d2)

Định nghĩa 1.1.10 (xem [2]) Ánh xạf được gọi là liên tục trên tập

ánh xạ f được gọi là liên tục

Định nghĩa 1.1.11 (xem [2]) Ánh xạf được gọi là liên tục đều trên

với mọi x, x0 thuộc A mà d1(x, x0) < δ ta đều có d2(f (x), f (x0)) < 

Định lý 1.1.3 (xem [2]) Năm mệnh đề sau đây là tương đương:i) Hàm f liên tục;

ii) Tạo ảnh của tập đóng bất kỳ trong (Y, d2) là tập đóng trong

(X, d1);

iii) Tạo ảnh của tập mở bất kỳ trong(Y, d2) là tập mở trong(X, d1);iv) Với mọi tập A ⊂ X ta đều có f (A) ⊂ (f (A));

v) Với mọi tập B ⊂ Y ta đều có f−1(int B) ⊂ int (f−1(B))

Tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu một số khái niệm và tính chất của khônggian metric đầy và không gian metric compact

Định nghĩa 1.1.12 (xem [2]) Cho không gian metric (X, d) Dãy

Định nghĩa 1.1.14 (xem [2]) Cho không gian metric (X, d) Tập

dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa ít nhất một dãy con hội

tụ tới phần tử thuộc tập K Tập K được gọi là tập compact tương

đối trong không gian (X, d) nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc

K đều chứa ít nhất một dãy con hội tụ tới phần tử thuộc X

Định nghĩa 1.1.15 (xem [2]) Không gian metric (X, d) được gọi làkhông gian metric compact (compact) nếu tập X là tập compact

Ví dụ 1.2 (Ví dụ về không gian metric compact, xem [2])

i) Trong không gian metric R (tập số thực R với metric tự nhiên)đoạn bất kỳ là tập compact, khoảng bất kỳ là tập compact tương đối.Các khẳng định trên suy ra từ bổ đề Bolzano-Weierstrass Nhờ đó dễdàng chứng minh trong không gian Euclide Rn tập bất kỳ đóng và bịchặn là tập compact, tập bất kỳ bị chặn là tập compact tương đối.ii) Không gian metric C[a,b] không là không gian compact, vì dãyhàm số xn(t) = n trên đoạn [a, b] với (n = 1, 2, ) không chứa dãycon nào hội tụ

Định nghĩa 1.1.16 (xem [2]) Cho không gian metric (X, d) Tập A

là tập con của X được gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu với mọi sốdương  cho trước tùy ý, ta đều tìm được một số hữu hạn các hình

Khi đó, ta cũng nói các hình cầu S1, S2, Sk phủ tập A

Định lý 1.1.4 (Tiêu chuẩn compact Hausdoff, xem [2])

Không gian metric (X, d) là không gian compact nếu và chỉ nếu

Định nghĩa 1.1.17 (xem [2]) Cho không gian metric (X, d) và tập

Định lý 1.1.5 (Định lý về ánh xạ liên tục trên tập compact, xem[2]).

Cho hai không gian metric (X, d1), (Y, d2) và ánh xạ f ánh xạ X

vào Y Nếu ánh xạ f liên tục trên tập compact K là tập con của X,thì

i) Ánh xạ f liên tục đều trên K;

ii) Tập f (K) là tập compact trong không gian Y

Định lý 1.1.6 (Tiêu chuẩn compact Heine-Borel, xem [2])

và chỉ nếu mọi phủ mở (Gα)α∈I của tập K đều chứa một phủ mở conhữu hạn của K

1.2 Không gian topo

Định nghĩa 1.2.1 (xem [3]) Cho một tập hợp X 6= ∅ Họ τ các tậphợp con nào đó của X được gọi là một topo trên X nếu

i) Các tập ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;

ii) Giả sử dãy {Gα}α∈I là dãy tùy ý những tập thuộc τ suy ra

∪

α∈IGα ∈ τ (trong đó I là tập chỉ số bất kỳ);

iii) Với mọi G1, G2 ∈ τ suy ra G1 ∩ G2 ∈ τ

Ví dụ 1.3 (Không gian topo, xem [3]) Cho X là tập hợp tùy ý khácrỗng và A là tập con của X

i) Họ τ = (∅, X) là một topo trên X Không gian (X, τ ) được gọi

là không gian topo thô (hoặc không gian phản rời rạc)

ii) Họ τ = {A|A ⊂ X} là một topo trên X Không gian (X, τ )

được gọi là không gian topo rời rạc

iii) Họ τ = {∅, A, X} là một topo trên X

Định nghĩa 1.2.2 (Không gian compact địa phương, xem [3]) Khônggian topo X được gọi là không gian topo compact địa phương (com-pact địa phương) nếu mỗi x ∈ X đều tồn tại một lân cận chứa trongmột tập compact trong không gian X

Định nghĩa 1.2.3 (xem [14]) Không gian topo X được gọi là khônggian Hausdoff nếu mỗi cặp điểm x, y bất kỳ của không gian X luôntồn tại hai lân cậnU củaxvàV của y rời nhau, có nghĩa làU ∩V = ∅.Định lý 1.2.1 (xem [3]) Không gian Hausdoff X là compact địaphương nếu và chỉ nếu với mỗi phần tử của X thì tồn tại không giancon compact C của X sao cho nó thuộc phần trong của C.

Compact hóa là một quá trình biến một không gian topo thôngthường thành một không gian compact Trong một vài trường hợpnhất định, ta có thể compact hóa một không gian không compactbằng cách thêm vào đó một điểm và gọi là compact hóa một điểm Đócũng là một khái niệm hữu ích khi xét không gian Hausdoff compactđịa phương

Định nghĩa 1.2.4 (xem[3]) Cho(X, τ ) là không gian Hausdoff pact địa phương Đặt X ≡ X ∪ {∞}∼ trong đó ký hiệu ∞ là điểmkhông thuộc X và được gọi là điểm vô cực Cơ sở topo τ∼ của X∼ là

com-∼

KC trong đó K là tập compact con của X ,

trong đó KC là phần bù của K trong X∼, hay KC là cơ sở tập mởchứa ∞ Khi đó, (X,∼ τ )∼ được gọi là compact của không gian (X, τ )

Bổ đề 1.2.1 (xem[14]) Nếu (X, τ ) là không gian Hausdoff compactđịa phương, khi đó

∼

X,τ∼



là không gian compact Hausdoff

1.3 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3.1 (Không gian tuyến tính, xem [1]) Ta nói X làmột không gian tuyến tính trên trường số K (thường xét K = R hoặc

C) nếu với mọi x, y ∈ X, xác định hai phép toán: cộng vector x + y

và nhân vector với vô hướng αx, thỏa mãn các tiên đề sau

phép cộng);

iii) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x + 0 = x, ∀x ∈ X (phần tửnày gọi là phần tử không);

iv) Ứng với mỗi phần tử x thuộc X ta có một phần tử −x thuộc

X sao cho x + (−x ) = 0 (phần tử −x được gọi là phần tử đối của x);

iii) Không gian X = l2, phép cộng và nhân với đại lượng vô hướngđược thực hiện theo từng thành phần Giả sử x = (x1, , xn, ) ∈ l2

ii) Thuần nhất dương, có nghĩa là với mọi x ∈ X, λ ∈ R, kx k =

|λ| kx k

Nếu X xác định trên trường C thì |λ| là mođun của số phức λC

iii) Bất đẳng thức tam giác, có nghĩa là với mọi x ∈ X, thì

Ví dụ 1.5 (xem [1]) Đối với số thực bất kì x ∈ R ta đặt

Ví dụ 1.7 (xem [1]) Cho không gian vector l2 Đối với vector bất kì

x = (xn) ∈ l2, ta đặt

kxk =

vuut

1.4 Một số khái niệm về đại số

Định nghĩa 1.4.1 (Đại số, xem [14]) Một không gian vector B trêntrường số thực R được gọi là Đại số nếu nó được trang bị thêm mộtphép nhân trong thỏa mãn các điều kiện:

i) Với mọi x, y, z ∈ B, x(yz) = (xy)z;

ii) Với mọi x, y, z ∈ B, (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz;

ii) Với mọi x, y ∈ B và α ∈ R, α(x + y) = αx + αy

Định nghĩa 1.4.2 (Đại số Banach, xem [14]) Cho B là đại số trêntrường số thực và được trang bị chuẩn k·k Không gian B được gọi làĐại số Banach nếu (B, k·k) là không gian Banach

Ví dụ 1.9 (Ví dụ về Đại số Banach, xem [12])

i) Trường C các số phức z là một ví dụ đơn giản về Đại sốBanach nếu trang bị chuẩn cho nó theo công thức: kzk = |z| =

hiệu trường này là C Trong C đối với mọi phần tử, trừ phần tử 0, tađịnh nghĩa phép chia là nghịch đảo của phép nhân Đơn vị trong C

là e = 1

ii) Đại số Banach các toán tử tuyến tính bị chặn Giả sử X làkhông gian Banach Ta xét không gian L = (X, X) là không giangồm tất cả các toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ từ X vào chính nó.Với các phép toán cộng, nhân toán tử với một số và phép nhân thôngthường với các toán tử Đơn vị trong L = (X, X) là toán tử đồngnhất Chuẩn trong L = (X, X) được định nghĩa như sau: