Một số ứng dụng tâm vị tự Nguyễn VănQuang THPT Chuyên Nguyễn Du, Đắk Lắk Các định nghĩa tính chất Định nghĩa Kí hiệu V(O,k) phép vị tự tâm O, tỉ số k; Q(O; ϕ) phép quay tâm O, góc quay ϕ) Khi ta gọi V (O, k) × Q(O; ϕ) gọi phép vị tự quay tâm O Điểm O gọi tâm vị tự quay Nhận xét Với điểm phân biệt mặt phẳng phân biệt A,B,C,D cho ABCD khơng hình bình hành tồn phép vị tự quay biến biến A thành B C thành D Bổ đề (tâm vị tự quay) Cho A, B, C, D điểm phân biệt mặt phẳng cho AC không song song với BD Gọi X giao điểm AC BD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABX CDX cắt O (O khác X) Khi O tâm vị tự quay biến A thành C biến B thành D Chứng minh Trong chứng minh ta sử dụng góc định hướng mod π đường thẳng Và kí hiệu (a , b) góc quay từ đường thẳng a đến đường thẳng b Ta có: (OA,AC)=(OA,AX)=(OB, BX)=(OB,BD) Và (OC,CA)=(OC,CX)=(OD,DX)=(OD,DB) Suy tam giác AOC BOD đồng dạng có hướng Do phép vị tự quay tâm O biến A thành C biến B thành D Chú ý: Nếu O tâm vị tự quay biến A thành C biến B thành D, O tâm vị tự quay phép biến hình biến A thành B biến C thành D 144 OC OD OB OD = ⇒ = = k Nên phéo vị tự quay tâm OA OB OA OC O , tỉ số k góc quay AOB = COD biến A thành B biến C thành D Chứng minh Vì AOB = COD Bài tập áp dụng Ví dụ (IMO shortlist 2006) Cho ABCDE ngũ giác lồi thỏa: BAC = CAD = DAE; CBA = DCA = EDA Đường chéo BD cắt CE P Chứng minh : đường thẳng AP chia đôi cạnh CD Giải Từ giả thiết ta có A tâm vị tự quay biến B thành C biến D thành E Theo bổ đề ta có: ABCP APDE tứ giác nội tiếp Mặt khác, ACD = ABC nên CD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ABCP Tương tự CD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp APDE Gọi M giao điểm AP với CD Ta có: M C = M P.M A = M D2 ⇒ M C = M D (đpcm) Ví dụ (USA MO 2006) Cho tứ giác ABCD, gọi E F thuộc cạnh AD BC cho AE BF = Biết tia FE cắt tia BC CD S T CMR: Các đường tròn ngoại tiếp ED FC tam giác SAE, SBF, TCF TDE qua điểm Giải Gọi P tâm vị tự quay phép vị tự quay VP biến AD thành BC, E F AE BF thuộc cạnh AD BC thỏa = nên VP : E → F Ta có: VP : AE → BF nên PAES ED FC PBFS tứ giác nội tiếp VP : DE → CF nên PEDT PFCT tứ giác nội tiếp Suy đường tròn ngoại tiếp tam giác SAE, SBF, TCF TDE qua P Ví dụ (China 1992) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Đường chéo AC BD cắt P Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP CDP cắt P Q Giả sử O, P, Q điểm phân biệt CMR: OQOQP = 900 ⊥ P Q Giải Gọi m N trung điểm AC BD Kí hiệu T phép vị tự quay biến A thành B biến C thành D Khi theo bỏ đề ta có Q tâm vị tự quay T Vì T : AC → BDnên T : M → N suy MNPQ tứ giác nội tiếp Mặt khác OM P = ON P = 900 nên O,P,M,N thuộc đường tròn Do M, N, P, Q, O thuộc đường tròn đường kính OP, nên Ví dụ Cho tứ giác ABCD, AC cắt BD P Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APD BPC Lấy M, N O trung điểm AC, BD O1 O2 Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPN Giải 145 Gọi giao điểm đường tron ngoại tiếp tam giác APD BPC P Q Kí hiệu T phép vị tự quay biến A thành C biến D thành B Khi ta có Q tâm vị tự quay T Khi phép biến hình R = (id + T ) ( id: phép đồng nhất) phép vị tự quay thỏa: R:A→M D→N O1 → O Vì O1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác QAD nên O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác QMN, mà QMPN nội tiếp nên ta có điều phải chứng minh Ví dụ (Điểm Miquel tứ giác) Gọi l1 , l2 , l3 , l4 đường thẳng mà khơng có đường chúng song song Kí hiệu Cijk đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo đường thẳng li , lj , lk ( đường tròn goi đường tròn Miquel) Chứng minh đường tròn C123 , C124 , C134 , C234 qua diểm ( điểm gọi điểm Miquel) Giải Gọi Pij giao điểm li lj Hai đường tròn C134 C234 cắt P Khi P tâm vị tự quay phép vị tự quay T : P13 → P23 , P14 → P24 Khi P tâm vị tự quay phép vị tự quay T : P13 → P14 , P23 → P24 Áp dụng bổ đề ta có: C123 C124 qua P (đpcm) Ví dụ (IMO 2005) Cho tứ giác lồi ABCD có BC=AD khơng song song Gọi E F thuộc cạnh BC AD cho BE DF Các đường thẳng AC BD cắt P, đường thẳng BD EF cắt Q, EF cắt AC R Chứng minh : E, F thay đổi đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua điểm khác P AF CE = nên T : F → E Áp dụng bổ đề Giải Gọi S tâm vị tự quay T : A → C, D → B Vì AD CB ta có: SPAD, SRAF, SQFD tứ giác nội tiếp, mặt khác đường tròn đường 146 tròn Miquel tứ giác tạo đường thẳng AD, AP, PD, QF S điểm Miquel Do S phải thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua S E, F thay đổi Bài tập áp dụng Bài tập (IMO Shorlist 2006) Gọi A1, B1, C1 thuộc cạnh BC, CA AB tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1C1, BC1A1 CA1B1 cắt đường trò ngoại tiếp tam giác ABC A2, B2, C2 ( với A2 = A, B2 = B, C2 = C) Các điểm A3, B3, C3 đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm cạnh BC, CA AB Chứng minh rằng: tam giác A2 B2 C2 đồng dạng với tam giác A3 B3 C3 Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi Y thuộc (O) cho AY đường đối trung đỉnh A tam giác ABC Gọi X trung điểm AY CMR: X tâm vị tự quay biến B thành A biến A thành C Bài tập (USA 2008) Cho tam giác ABC có G trọng tâm, P điểm thay đổi cạnh BC Điểm Q R thuộc cạnh AC AB cho PQ//AB PR//AC Chứng minh P thay đổi cạnh BC đường tròn ngoại tiếp tam giác AQR qua điểm cố định X cho BAG = CAX Bài tập (USA 2008) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, M, N, P trung điểm BC, CA AB Các đường trug trực AB AC cắt tia AM D E Gọi F giao điểm BD CE với F thuộc miền tam giác ABC Chưng minh A, N, F P thuộc đường tròn Bài tập Gọi A giao điểm hai đường tròn (C1) (C2) có tâm O1, O2 Đường thẳng d tiếp xúc với (C1), (C2) tại B C Gọi O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lấy D đối xứng với O3 qua A M trung điểm O1O2 CMR: O1 DM = O2 DA Tài liệu tham khảo Tuyển tập đề thi quốc tế Three Lemmas in Geometry - Yufei Zhao Các toán hình học sưu tầm diendantoanhoc.net 147 ... , l3 , l4 đư ng th ng mà kh ng có đư ng ch ng song song Kí hiệu Cijk đư ng tròn ngoại tiếp tam giác tạo đư ng th ng li , lj , lk ( đư ng tròn goi đư ng tròn Miquel) Ch ng minh đư ng tròn C123... lồi ABCD có BC=AD kh ng song song Gọi E F thuộc cạnh BC AD cho BE DF Các đư ng th ng AC BD cắt P, đư ng th ng BD EF cắt Q, EF cắt AC R Ch ng minh : E, F thay đổi đư ng tròn ngoại tiếp tam giác... Ch ng minh r ng: tam giác A2 B2 C2 đ ng d ng với tam giác A3 B3 C3 Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp đư ng tròn tâm O, gọi Y thuộc (O) cho AY đư ng đối trung đỉnh A tam giác ABC Gọi X trung