BaitapLuonggiacHinhphangOLYMPIC30 4 vpq

Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Tốn BÀI TẬP LUYỆN THI OLYMPIC TỐN HỌC TỒN MIỀN NAM LẦN THỨ XVIII Chủ đề: LƯỢNG GIÁC- HÌNH HỌC PHẲNG ( VĂN PHÚ QUỐC- GV TRƯỜNG ĐH QUẢNG NAM) Giả sử M điểm nằm  ABC Gọi A, B, C  hình chiếu M đường 2 MA MB MC       thẳng BC , CA, AB Chứng minh rằng:         MB   MC    MC   MA   MA  MB  HD: A MB  MC  MB MC    sin MAC     sin MAB MA MA MA Ta có: B' C' M = 2sin Suy ra: C A' B Chứng minh tương tự ta được:   MAC    MAC  MAB MAB A cos  2sin 2 MA  MB  MC  2sin A MB MC  ;  MC   MA sin B MA  MB  2sin C  2 MA MB MC 1       1 Khi đó:            sin A sin B sin C  MB   MC    MC   MA   MA  MB  2  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: sin Ta có bất đẳng thức: sin Do đó: A sin 2  B sin 2 A  sin B  sin C       sin A 2B 2C sin sin 2 A B C sin sin  2  C sin 2 3 1   8  12 MA MB MC       Vậy         MB   MC    MC   MA   MA  MB  Dấu "=" xảy   ABC M trọng tâm tam giác Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Cho  ABC Các đường phân giác xuất phát từ A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp  ABC A, B, C  tương ứng Chứng minh: AA.BB.CC   16 R r HD: Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác ABAC ta có: A AA.BC  AB AC  AC AB hay aAA  cAC  cAB  nên A điểm cung BC Do AA tia phân giác BAC Suy ra: aAA   b  c  AC   b  c  R sin C B  AA  A' 2R b  c  a Chứng minh tương tự ta được: BB  Khi đó: AA.BB.CC   Do r  R sin sin 2R  a  c  b R3  b  c  a  c  a  b  abc A ( theo định lý sin) A sin B sin A B C sin sin 2 ; CC   2R  a  b  c sin C A B C sin sin  b  c  a  c  a  b   8abc nên AA.BB.CC   16 R r 2 Cho  ABC thỏa ma  mb  mc  sau xảy ra: ma   a  b  c  Chứng minh ba bất đẳng thức 3 a, mb  b, mc  2 HD: A Theo giả thiết: ma  mb  mc  3 a b c 2 2 (1)    2   Đã biết: m  m  m   a    b    c  (2)   2    a B c C Từ (1) (2) suy ra: ma mb  mb mc  mc ma  3 3 3 a b b c c a 2 2 2 Bình phương hai vế (3) ta được: ma mb mc  Từ (1), (3) (4) suy ra: b 3 a b c 2 (3) (4) 3 a, b, c nghiệm phương trình bậc 2 Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 3 Giả sử a  b  c  a b c 2 Ta có kết quen thuộc sau: mc  mb  ma b Từ nhận xét dễ dàng suy ra: mb  Cho  ABC có góc nhọn với trực tâm H Gọi diện tích tam giác HAB, HBC , HCA là: S1 , S , S3 Chứng minh  ABC   S1  S  S3  27  R r HD: Ta có: A  S1  S  S3    S1  S2    S2  S3    S3  S1      27 S1 S2 S3 S1S S3   B' C' H  B S1  S S2  S3 S3  S1 S3 S1 S3 ( bất đẳng thức AM-GM) C A' Gọi A, B, C  chân đường cao Ta có:  S1  S HB HB HA sin HAB cos B      sin HAC  cos A cos C S3 HB HA HB sin HBA Chứng minh tương tự ta được: Khi đó: S2  S3 cos C  ; S1 cos A cos B S3  S1 cos A  S2 cos B cos C S1  S S  S3 S3  S1   S3 S1 S3 cos A cos B cos C  cos A  cos B  cos B  cos C  cos C  cos A   sin A B C sin sin 2  4R r  S  S  S3 Dấu "=" xảy    ABC A  B  C Gọi A, B, C góc  ABC Chứng minh rằng:  3  A  B  C     cos   cos  1  cos       2    3 Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán HD: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  B C  A  B  C  A  cos  cos    cos   cos   cos    cos    27  2 2  Đã biết: cos (1) A B C  cos  cos  2 (2) A  B  C  9  3  Từ (1) (2) suy ra:   cos   cos   cos       1      27  4  4  3  3 Áp dụng bất đẳng thức Bernouli ta có:     1   4   (3)  3  3       1       A  B  C  3  Từ (3) (4) suy ra:   cos   cos  1  cos        2    Cho  ABC Chứng minh rằng: ma  mb  mc  3 (4) 3 9R HD: Đã biết: sin A  sin B  sin C  A Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: ma  mb  mc   ma2  mb2  mc2   B C a  b2  c2    R  sin A  sin B  sin C   R Chứng minh rằng:  MA2   MB   MC  9R    a b c      ,  ,  ,   , M   ABC           HD:            Dựng điểm I   ABC  cho:  IA   IB   IC    IM  MA   IM  MB   IM  MC                            I M    MA   MB   MC  I M    MA  MB  MC               Đặt x      , y , z           Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Khi đó:     IM   xMA  yMB   MC     IM  x MA2  y MB  z MC  xyMAMB  yzMBMC  zxMAMC   = x MA2  y MB  z MC  xy  MA2  MB  AB   yz  MB  MC  BC   zx  MC  MA2  AC  Do IM  nên suy điều phải chứng minh Dấu "=" xảy  M  I Cho  ABC Chứng minh rằng: ma mb mc  p rb rc r HD: Ta có: S  pr   p  a    p  b  rb   p  c  rc Suy ra: S  p  p  a  p  b  p  c  rb rc r  S rb rc r  S  rb rc r a Mặt khác: m   b2  c   a b  c    a2 Tương tự chứng minh được: mb    b  c  a  b  c  a   p p  p  b  ; mc  (1)  p  a   ma  p  p  a p  p  c Suy ra: ma mb mc  p p  p  a  p  b  p  c   pS (2) Từ (1) (2) suy ra: ma mb mc  p rb rc r Cho  ABC Chứng minh rằng: 1   R r 2p HD: Ta có: abc  R.S  Rrp 3 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  p    a  b  c   27 abc  27.4 Rrp  p  27 Rr (1) Mà r  S  p p  p  a  p  b  p  c  Suy ra: p  3r p    p  a   p  b   p  c  p  p    p 3 (2) Từ (1) (2) ta được: p  81 3 Rr   2 Rr 2p Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 1 1 1      33  R r R 2r 2r Rr 2p Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán   OA  i  Hãy xác 2012 10.Cho 2012 điểm A1 , A2 , , A2012 thuộc đường tròn tâm O bán kính R  cho: i 1 2012 i  BA định vị trí điểm B thuộc mặt phẳng chứa đường tròn cho: M  i 1 2012 lớn i  BA i 1 HD: Với i  1, 2, , 2012 ta có:           BAi  BAi  OAi  OB  OAi  OB OAi  OAi  OB OAi  OAi2  OBOAi    2012  BA  2012  OB  OAi  2012  i 2012 Suy ra: i 1 i 1   Dấu "=" xảy  BAi  OAi với i  1, 2, , 2012  B  O Khơng giảm tính tổng qt, giả sử: BA1  BA2   BA2012  BA1  BA2   BA2012 Áp dụng bất đẳng thức Trebưsep cho hai dãy đơn điệu tăng:  ta được: 3  BA1  BA2   BA2012  2012  2012   2012  BA BA  2012   i   i    BAi   M   i 1  i 1   i 1   BA  BA2   BA2012 Dấu "=" xảy    B  O Vậy max M  B  O 11 Trong tất tứ giác lồi ABCD có chu vi 1, tìm tứ giác cho biểu thức: P AB BC CD DA4    đạt giá trị nhỏ  AB  BC  sin B  BC  CD  sin C  CD  DA sin D  DA  AB  sin A HD: a2 b2 c2 d2 Đặt: AB  a, BC  b, CD  c, DA  d S     a b bc cd d a a2  b2 b2  c2 c2  d d  a a  b2 b2  c c2  d d  a2 Do     nên 2S     ab bc cd d a a b bc cd d a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2S  Dấu "=" xảy  a  b  c  d  1 1  a  b   b  c    c  d    d  a   2 2 1 Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:  S   P 4 1 Dấu "=" xảy  ABCD hình vng có cạnh 16 Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com Suy ra: P  Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 12 Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích thỏa AB  BD  DC  Tìm AC ? HD: Giả sử AB  x, BD  y , CD  z Khi đó: x  y  z  B C x y 1 1 xy, S BCD  yz , S ABCD   y  x  z   y  x  z   2 2 Nhưng x  z   y  y  x  z   y   y  z A S ABD  Suy ra: y   y     y  1   y  ; x  z  tất A bất đẳng thức trở thành đẳng thức D B x Như AB  BD, CD  BD Hạ AK vuông góc với đường thẳng CD y x Áp dụng định lý Pythagore tam giác vuông AKC : D z C AC  AK  KC  12  12    450 Chứng minh rằng: AB   BC  AB    CA2  AB 2 13 Tam giác ABC có C HD: Áp dụng định lý hàm số cosin ta có: A c  a  b  2ab cos 450  a  b  2.ab c 2  2 a  c  2ab  b  a  c   2a b  2ab  b   2 2 b  c  2ab  a  b  c   2a b  2a 3b  a  b B a C 2    a  c    b  c   a  b  2ab 2   c  14 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R  Hai đường chéo tứ giác vng góc với K OK  Gọi S diện tích tam giác KCD Chứng minh:  S  HD: Vẽ đường kính AE Khi BD / /CE  CBDE hình thang cân, dẫn đến BC  DE Mặt khác, KA2  KB  KC  KD  AD  BC  AD  DE  AE  20 (1) 4 Lại có: KA.KC  KB.KD  OK  R   KA  , KB  (2) KC KD 16   Thay (2) vào (1) ta có: 20   KC  KD    2   KC KD  Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 16 16  16     KC.KD    S     4S  2  S  KC KD   4S    S   S  5S     S  S S   KC  KD  S   KC  KD  2 B A K C O E D 15 Trong tứ giác lồi, tổng bình phương cạnh đường chéo m Chứng minh diện tích tứ giác khơng vượt q m Theo điều kiện tốn ta có: HD: C m  a  b  c  d  e  f  2ab  2cd  2ef b B a f c Và S ABC  1 ab , S ACD  cd 2 Suy ra: S   ab  cd  e A Mặt khác S  d 1 ef sin   ef  S  ef 2 Lại có: 2S  ab  cd  4S  2ab  2cd D Như m  8S  S  m bc   p  p  a   16 Tính góc tam giác ABC biết rằng:  8sin A sin B sin C    2 HD: 4 p  p  a   bc 1  Điều kiện toán:  A B C 2 3  2 sin sin sin  2    a2 2bc 1  cos A  1 bc bc bc A A A A   cos   sin   sin  (   ) (3) 4 2 2 A B C A B C BC  VT    sin sin sin  sin  cos  cos  2 2 2 2  1  a  b  c  b  c  a     b  c    1 Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán A A A A 1 A A  sin 1  sin    sin  sin    sin  sin  2 2 2 2 2 2 2  A  1 1  A 1    sin        sin    2    2 A B C 1 1 3 Từ  3 ta suy ra: sin sin sin       2 2 2 B C  2  cos   A  Dấu "  " xảy    A sin  B  C    2 17 Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: S  a   b  c  Chứng minh rằng: tan A  15 HD: bc sin A  b  c  2bc cos A  b  2bc  c 2 A A A  bc sin A  2bc 1  cos A   bc sin cos  4bc sin 2 2 A A A  cos  sin  tan  2 A tan   Từ ta có: tan A  A 15  tan 1 16 18 Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền  ABC có góc nhọn đến cạnh BC, Ta có: S  a   b  c   a  b2  c2 CA, AB Chứng minh rằng: x  y  z  2R HD: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1 x y z  ax  by  cz a b c  1 1 1 1       ax  by  cz       S  a b c a b c 19 Các đường phân giác AA, BB, CC   ABC ab  bc  ca a2  b2  c  1  abc ==      2R 2R  a b c  2R cắt điểm K Chứng minh rằng: KA KB KC     AK BK CK HD: Ta chứng minh: KA a  ? AK b  c Đặt AB  x  AC  a  x Ta có: x AB c ac    bx  ac  cx  x  a  x AC b bc Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán ac KA AB x b  c a KB b KC  c     Chứng minh tương tự ta được:  ;  AK AB c c bc BK a  c CK a  b a b c Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:   2 bc ac ab A B' C' B K A' C bc 1 bc p bc Áp dụng AM-GM ta có: a    a a a a a   bc p Chứng minh tương tự ta được: b b  ; ac p c p  ab c Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta điều phải chứng minh 20 Các đường phân giác AA, BB, CC   ABC cắt điểm K Chứng minh rằng: AK BK CK   AA BB CC  HD: Dễ dàng chứng minh được: AK BK CK  a  b  b  c  c  a   ; AA BB CC  a  b  c AK BK CK 2 AA BB CC  Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta suy đpcm 21 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý mp  ABC  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P MA MB MC   a b c HD: Ta có: 4ma2   b  c   a   b  c  a   4ma2  3a  4ma a  ama  a  b2  c2 Gọi G trọng tâm  ABC        MA MA.GA MA.GA 3 3 Khi đó:    MG  GA GA = MG  GA  GA2 2 2 2 a b c a b c a aGA a b c 3 MB MC Làm tương tự với ; b c 3 Suy ra: P   GA2  GB  GC  a  b2  c Để ý rằng: GA2  GB  GC   a  b  c  Suy ra: P     Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com  10 Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán h h h 2r 22 Cho  ABC Chứng minh rằng: a  b  c  3 la lb lc R S p  p  a  p  b  p  c   ; la  bc p  p  a  a a bc h  b  c   p  b  p  c   p  b  p  c  Suy ra: a   ( bất đẳng thức AM-GM) la a a bc h h Làm tương tự cho b ; c ? lb lc Ta có:    p  b  p  c   p  c  p  a   p  a  p  c   hb hc    2     la lb lc a b c   Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  p  b  p  c   p  c  p  a   p  a  p  c   p  a  p  b  p  c    3 a b c abc Suy ra:  p  a  p  b  p  c   S  pr  3 2r hb hc    63 la lb lc abc p RS pR R 23 Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn: AB  BC , CD  DE , EF  FA BC DE FA Chứng minh rằng:    BE DA FC HD: Áp dụng bất đẳng thức Ptơlêmê cho tứ giác ACEF, ta có: C FA c AC.EF  CE AF  AE.CF  AF  a  b   cCF   FC a  b B D DE BC a Chứng minh tương tự cho ; ? b DA BE BC DE FA a b c Khi đó:       BE DA FC b  c c  a a  b c A ( bất đẳng thức Nesbit) Suy ra: E F 24 Cho  ABC Chứng minh rằng: ra2  rb2  rc2  ma2  mb2  mc2 (1) Dấu "=" xảy nào? HD: p  p  b  p  c  Ta có: S  p  p  a  p  b  p  c    p  a    p a Và ma2  mb2  mc2   a  b  c    p  b  p  c   p  c  p  a   p  a  p  b   2 Khi đó: 1  p       a  b  c  (2) pa p b pc   Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 11 Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán p  x y z Đặt x  p  a, y  p  b, z  p  c   a  y  z; b  z  x; c  x  y  yz zx xy  2 (2) thành:  x  y  z        y  z    z  x    x  y   (3)  y z  4  z Ta chứng minh bất đẳng thức (3) y z  x y x z Thật vậy, VT    xy  yz  zx  x     y     z     z x  z y  y x  xy  yz  zx  x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   VP  3 Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 12 ... được: ma mb mc  Từ (1), (3) (4) suy ra: b 3 a b c 2 (3) (4) 3 a, b, c nghiệm phương trình bậc 2 Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 09 34 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com Bài tập luyện...  1      27  4  4  3  3 Áp dụng bất đẳng thức Bernouli ta có:     1   4   (3)  3  3       1       A  B  C  3  Từ (3) (4) suy ra:   cos ... đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:  S   P 4 1 Dấu "=" xảy  ABCD hình vng có cạnh 16 Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 09 34 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com Suy ra: P  Bài tập luyện