SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2003-2004 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (VỊNG 1) SBD: (150 phút, khơng kể thời gian giao đề) �2 �x (1 cos ) x x Bài 1: Cho hàm số f(x) = � x = � � a/ Tìm đạo hàm hàm số chứng minh hàm số đạt cực tiểu x = b/ Tìm số a nhỏ để cho: x (1 cos ) a, x �0 x Bài 2: Giải hệ bất phương trình: �x 4008 x 2004 20042x 2004x � 4006 2003 20032x 2003x �x x (x > 3) Bài 3: Tìm hai điểm A, B elip (E) đường tròn (C): x y2 (E) : , (C): (x – 11)2 + (y – 13)2 = 34 50 18 cho độ dài AB nhỏ Bài 4: Tìm số dãy số (un) thỏa mãn điều kiện: �u n 1 4u n2 4u n 0, n �1 � � �u 2004 � _ SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH NĂM HỌC 2003-2004 HƯỚNG DẪN CHẤM BIỂU VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP 12 -VÒNG Bài 1: (2 đ) Câu a: ( điểm) (1.5 đ) Tính đạo hàm hàm số: x ta có: f’(x) = 2x – 2x.cos 1 - sin x x 1 với x sin2 nên: 2x x f (x) f (0) � � lim � 2x.sin f’(0) = lim � x �0 x � x 2x � � (0.5 đ) f(x) = 2x2.sin2 với x f(x) = f(0) , x R, f(x) đạt cực tiểu 2x Tại x = 0: Vì f(x) = 2x2.sin2 x = Câu b: (3 điểm) 2 1 � � 2 �x.sin (0.5 đ) x (1 cos ) 2x sin � x 2x 2x � � � � sin � 2x � � � 2� � � 2x � s inx 1, x �0 (1) x s inx Xét y = g(x) = , x Biết Mà g(x) hàm số chẵn D = R\{0}nên g(x) = < 1, x x x D Vậy (1) (1.0 đ) Chứng minh: 1 � � �sin 2x � �s inx � (1.0 đ) Tìm a nhỏ nhất: Từ (1) được: � 0, y > nên ta được: (1) x2y + xy > y2x + yx x2y – y2x + xy – yx >0 (xy – yx)(xy + yx + 1) > xy – yx > xy > yx ( xy + yx + > 0) (1.5 đ) xy > yx ln(xy) > ln(yx) ylnx > xlny ln x ln y ln x ln 2004 Vậy: x y x 2004 (3) ln 2003 ln x (4) 2003 x ln 2004 ln x ln 2003 Từ (3) (4), hệ cho trở thành: (5) 2004 x 2003 ln x ln x (1.5 đ) Xét hàm số: y = f(x) = , y’= x x2 ln 2004 ln x ln 2003 Nên hàm số nghịch biến khoảng ( 3; +), đó: tương đương với 2004 x 2003 2003 < x < 2004 Biến đổi tương tự, bất phương trình (2) trở thành: Bài 3: (6 điểm) (0.5 đ) (C) đường tròn tâm I(11;13) bán kính R = 34 Nhận xét A(E), B(C) nên đoạn AB ngắn ba điểm I, A, B thẳng hàng � �x 2cost x y2 nên � (1.5 đ) A(x0;y0) (E) : 50 18 �y sin t IA2 = (x0 – 11)2 + (y0 – 13)2 = (5 2cost-11) (3 sin t 13) IA2 = 290 + 50cos2t + 18sin2t -110 cost - 78 sint � � 2� 2� cost 78 sin t (3 đ) IA 136 110 � � � ��136 � � � � � � � � Dấu xảy khi: t = A(5;3) (1.0 đ) Vậy độ dài AB nhỏ là: d =2 34 - 34 = 34 A(5;3) từ suy y B(8;8) I B A Bài 4: (4 điểm) (1.5 đ) Viết lại un + = 4un(1 – un) = f(un) với f(x) = 4x(1 – x) Nhận xét: f(x) (0;1) x (0;1) x (0;1) u2003 (0;1) u2002 (0;1) u1 (0;1) (1 đ) Với < u1 < tồn : < < u1 = sin2 Lúc đó: u2 = 4sin2( – sin2) = sin22; u3 = 4sin22( – sin22) = sin24 1 n Quy nạp ta được: un = sin2(2n - 1) = cos(2 ) 2 1 1 2004 (1.5 đ) u2004 = cos(2 ) = 2 2 2004 2004 cos(2 ) � k � 2005 (2k 1), k �Z 2 1 2003 Vì < < nên 2005 (2k 1) � k 2 2 2003 Do k Z nên: k = 0; 1; 2; ; – � � , k �{0;1; ;22003 1} Từ có tất 22003 giá trị u1 thỏa toán: u1 sin �2005 (2k 1) � � � 2003 Do có tất dãy số (un) thỏa điều kiện cho Vì vậy: u2004 = ... ylnx > xlny ln x ln y ln x ln 2 004 Vậy: x y x 2 004 (3) ln 2 003 ln x (4) 2 003 x ln 2 004 ln x ln 2 003 Từ (3) (4), hệ cho trở thành: (5) 2 004 x 2 003 ln x ln x (1.5 đ) Xét hàm số:... (3) khi: a = theo (2).Vậy a = 2 4008 2 004 2x x �x x 2 004 2 004 (1) Bài 2: (5 điểm) (x > 3) � 4006 2 003 2 0032 x 2003x (2) �x x (2 đ) Đặt y = 2 004 Do x > 0, y > nên ta được: (1) x2y... hàm số: y = f(x) = , y’= x x2 ln 2 004 ln x ln 2 003 Nên hàm số nghịch biến khoảng ( 3; +), đó: tương đương với 2 004 x 2 003 2 003 < x < 2 004 Biến đổi tương tự, bất phương trình (2)