PTVT CHUYÊN TIỀN GIANG

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIỀN GIANG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN TIỀN GIANG GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: THẦY ĐỖ KIM SƠN NHĨM THỰC HIỆN: NGUYỄN ĐÌNH THU NGUYỄN MINH TÂM LÊ TRUNG HIẾU ĐỖ QUANG BÌNH TRẦN ANH KIỆT LÊ MẠNH THƠNG LỚP 10 TỐN NĂM HỌC 2008-2009 LỜI NĨI ĐẦU Phương trình vơ tỷ đề tài thú vị Đại số, lôi nhiều người nghiên cứu say mê tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Tuy nghiên cứu từ lâu phương trình vơ tỷ mãi đối tượng mà người đam mê Tốn học ln tìm tòi học hỏi phát triển tư Mỗi loại tốn phương trình vơ tỷ có cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Bên cánh đó, tốn giải phương trình vơ tỷ thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp THCS, THPT Chính thế, chúng tơi tâm sưu tầm tài liệu, chọn lọc chi tiết hướng dẫn, dìu dắt quý thầy mơn Tốn trường THPT Chuyên Tiền Giang, biên sọan chuyên đề “ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ” để người có nhìn tổng qt phương trình vơ tỷ Cụ thể là:  Hệ thống hóa kiến thức kỹ giải phương trình vơ tỷ  Cung cấp tài liệu kỹ giải phương trình vơ tỷ  Đặc biệt để kỉ niệm ngày Nhà giáo Việt Nam 20/11; muốn dành chuyên đề“ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ” kính tặng quý thầy cơ; kính chúc thầy cô dồi sức khỏe, nhiều may mắn thành công sống Chúng hy vọng chuyên đề mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích giúp bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp Tốn học qua phương trình vơ tỷ Mặc dù cố gắng nhiều, chuyên đề vài thiếu sót Chúng tơi ln biết ơn nhận ý kiến đóng góp quý báu thơng cảm! Cuối xin cảm ơn thầy Đỗ Kim Sơn quý thầy cô tạo điều kiện để hồn thành chun đề CÁC HỌC SINH LỚP TỐN KHÓA 2008- 2011 TRANG I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ III PHƯƠNG PHÁP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 32 IV PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 37 V PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC VI PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC VII PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VIII PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP IX PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ X GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ 48 61 69 71 72 73 XI CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHÍ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ 87 XII TRẮC NGHIỆM 89 XIII BÀI TẬP TỰ LUYỆN 91 XIV CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT 104 XV PHỤ LUC 109 I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bình phương vế phương trình a) Phương pháp �x �D (*) A  B � A  B �0 � � �A  B Dạng : Phương trình Lưu ý: Điều kiện (*) chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp A �0 hay B �0 �B �0 AB�� �A  B Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình �A �0 � A  B  C ۳ �B (chuyển dạng 2) � �A  B  AB  C   A  B  C � A  B  3 A.B  Thông thường ta gặp phương trình dạng : bình phương vế , điều đơi lại gặp khó khăn  A  B  C � A  B  3 A.B    A B C A  B  C  D , ta thường  A B C ta sử dụng phép : A  B  C ta phương trình : A  B  3 A.B.C  C b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau: x  2x   Giải: Đk: x �0 (1) � x  x  (1) � x2  2x  � x2  2x   � x3 Vậy tập nghiệm phương trình S   3 Bài Giải phương trình sau: Giải: Trục thức 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung a) Phương pháp Với số phương trình ta nhẩm nghiệm x0 phương trình ln đưa dạng tích  x  x0  A  x   ta giải phương trình A  x   chứng minh A  x   vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A  x   vơ nghiệm b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : x  x   x    x  x  1  x  x  Giải:     2   x   3x     x   2 Ta nhận thấy : x  x   x  x   2  x   x 2 Ta chuyển vế trục thức vế : 2 x  x  x    x  x  1  3x  x   x  3x  Dể dàng nhận thấy x=2 nghiệm phương trình Bài Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : x  12   3x  x  x �۳ 12 x2 Giải: Để phương trình có nghiệm : 3x x Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng  x   A  x   , để thực điều ta phải nhóm , tách số hạng sau : x  12   x   x   � 2 Dễ dàng chứng minh : x2  x  12   3 x  2  x2  x2   � x2 � x 1 �  x  2 �   � x2   � � x  12  � x2 x2 x2    0, x  2 x  12  x 5 3 Bài Giải phương trình : x   x  x  Giải: Đk x �3 Nhận thấy x=3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình � � x    x   x   �  x  3 � 1 � � � �  x  3  x  3x   � 2 3 x 1 x3      x 1  � � x3 Ta chứng minh : x3 1  x  1  x    1  x3  x2 1   2 x  3x  x3   Vậy pt có nghiệm x=3 2.2 Đưa “hệ tạm” a) Phương pháp  Nếu phương trình vơ tỉ có dạng A  B  C , mà : A  B   C dây C hàng số ,có thể biểu thức x Ta giải sau : � A B �A B C  C � A  B   , ta có hệ: � � A  C  A B � A  B  b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : x  x   x  x   x  Giải:     2 Ta thấy : x  x   x  x    x   x  4 nghiệm Xét x  4 Trục thức ta có : 2x  2x  x   2x  x  2  x  � 2x2  x   2x2  x   Vậy ta có hệ: x0 � 2 � � 2x  x   2x  x   2 � � 2x  x   x  � � � x x  x   x  x   x  � � � Vậy phương trình có nghiệm : x=0 v x= x  x   x  x   3x 2 Ta thấy :  x  x  1   x  x  1  x  x , ( khơng có dấu hiệu ) Bài Giải phương trình : Ta chia hai vế cho x đặt t  tốn trở nên đơn giản x Phương trình biến đổi tích  Sử dụng đẳng thức u  v   uv �  u  1  v  1  au  bv  ab  vu �  u  b   v  a   A2  B Bài Giải phương trình : Giải: pt �   x  1 3 x   x    x  3x  x0 � x  1  � � x  1 �  Bài Giải phương trình : x   Giải: + x  , nghiệm + x �0 , ta chia hai vế cho x: 3 x2  x  x2  x � x  �3 x 1  x   x  � �3  1� x   � x  x x � � Bài Giải phương trình: Giải: Đk x �1   x   x x   x  x2  x  x 1 � x 1 1  � � x0 � 4x 4 x Bài Giải phương trình : x   x3 pt �  x   2x   Giải: Đk: x �0 Chia hai vế cho � 4x 4x 4x � 2 �� 1 x  : 1 � � x  x3 x3 x3 � �  Dùng đẳng thức Biến đổi phương trình dạng : Ak  B k Bài Giải phương trình : 3x  x 3x Giải: Đk: �x � pt cho tương đương: x  x  x   3 10  � � 10 � �x   � x  � 3� 3 � Bài Giải phương trình sau : x   x  x  Giải: Đk: x �3 phương trình tương đương : 1 3 x  x 1 � � x    x  9x2 � � � � 5  97 � x � x    3x � 18 Bài Giải phương trình sau :  3 x  x    x  3 x  x   Giải: pt �  x   3x   � x 1 Bài tập đề nghị Giải phương trình sau : 1) x  3x    x  3 x  2)  10  x  x  (HSG Toàn Quốc 2002) 3)   x    x   x    x   10  x  4) x   x   x  5) x   3x3   3x  6) x  11x  21  3 x   (OLYMPIC 30/4-2007) 7) x   x  3x   x  x   x  x  8) x  16 x  18  x   x  9) x  15  x   x  II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vơ tỉ, để giải đặt t  f  x  ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng ta giải phương trình theo t việc đặt phụ xem “ hồn tồn” Nói chung phương trình mà đặt hồn tồn t  f  x  thường phương trình dễ Bài Giải phương trình: x  x2   x  x2   Giải: Đk: x �1 Nhận xét x  x  x  x   1 Đặt t  x  x  phương trình có dạng: t   � t  t Thay vào tìm x  Bài Giải phương trình: x  x   x  Giải Điều kiện: x � t2  Đặt t  x  5(t �0) x  Thay vào ta có phương trình sau: t  10t  25 2  (t  5)   t � t  22t  8t  27  16 � (t  2t  7)(t  2t  11)  Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2  1 �2 2; t3,4  �2 Do t �0 nên nhận gái trị t1  1  2, t3   Từ tìm nghiệm phương trình l: x   vaøx   Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện x  x  �0 Ta được: x ( x  3)  ( x  1)  , từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : y   x  đưa hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa hệ) Bài Giải phương trình sau: x   x   Điều kiện: �x �6 Đặt y  x  1( y �0) phương trình trở thành: y  y   � y  10 y  y  20  ( với y � 5)  21 1  17 (loaïi), y  2 11  17 Từ ta tìm giá trị x  � ( y  y  4)( y  y  5)  � y    Bài (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : x  2004  x   x Giải: đk �x �1 Đặt y   x pttt �   y  y   y  1002   � y  � x  Bài Giải phương trình sau : x  x x   3x  x Giải: Điều kiện: 1 �x  Chia hai vế cho x ta nhận được: x  x  1  3 x x Đặt t  x  , ta giải x Bài Giải phương trình : x  x  x  x  Giải: x  nghiệm , Chia hai vế cho x ta được: � 1� �x  � x   x � x� Đặt t= x  1� , Ta có : t  t   � t  � x  x Nhận xét : cách đặt ẩn phụ giải lớp đơn giản, đơi phương trình t lại khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến :  Chúng ta biết cách giải phương trình: u   uv   v  (1) cách �u � �u � Xét v �0 phương trình trở thành : � �  � �   �v � �v � v  thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1)  a A  x   bB  x   c A  x  B  x    u   v  mu  nv Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : a A  x   bB  x   c A  x  B  x  Như phương trình Q  x    P  x  giải phương pháp �P  x   A  x  B  x  � � Q  x   aA  x   bB  x  � Xuất phát từ đẳng thức : x    x  1  x  x  1 x  x    x  x  1  x   x  x  1  x  x  1    x4   x2  x  x2  2x  x    x  x  1  x  x  1 Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ : 4x2  2 x   x4  Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at  bt  c  giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình :  x    x  Giải: Đặt u  x  1, v  x  x  phương trình trở thành :  u  v Tìm được: x   u  2v � �  5uv � � u v � � 37 Bài Giải phương trình : x  x    x  x2  Bài 3: giải phương trình sau : x  x   x3  Giải: Đk: x �1 Nhận xét : Ta viết   x  1    x  x  1   x  1  x  x  1 Đồng thức ta  x  1   x  x  1   x  1  x  x  1 v  9u � Đặt u  x  �0 , v  x  x   , ta được: 3u  2v  uv � � � v u � Nghiệm : x  � Bài Giải phương trình : x  x  Giải:  x  2  6x  �    x  1    y 3    x 5 3  �x  � � �y  �z  14 � Bài 5: Cho phương trình x   x  a Giải phương trình với a  2 Giải biện luận phương trình theo a Hướng dẫn: x  �x �a pt � � 2ax  a  � a  0:S  � a �0 : x  a2  2a Điều kiện có nghiệm x �۳ a   a2  2a a a2  �a �  a �2 2a a2  a� 0 : a a 2a a  0: Vậy a �2  a �2 phương trình có nghiệm x  2  a �0 a  phương trình vơ nghiệm Bài 6: Giải phương trình sau Hướng dẫn: pt �  x      y  2 3x  12 x  16  y  y  13  9  �  x    �2 � � 3 x  2   Ta có � �  y    �5 � Dấu xảy � x  y   y  2 2x  x 1 ;B  x 1 x  10 Với giá trị x A có nghĩa B vơ nghĩa Giải phương trình A=B Hướng dẫn: Bài 7: Cho A  a2  2a  �5 x 1 � � A có nghĩa � � x � � B vô nghĩa ۳ x Do A có nghĩa B vô nghĩa  x S  � Bài 8:  Giải phương trình sau  x  3x  5  x  2x  3 x  x  x  x   x x2  x   x2  4x   x   x 1  x   x 1  Hướng dẫn: 11 x  �x  11 x   1  1  Đặt x  x  t �0 x  �x  2 2 �x �1 �x �10 Bài 9: Giải phương trình x  x   2 x  Hướng dẫn: Điều kiện x � Pt �  x  1    �x   �� � 2x  1  � x  1 Bài 10: Giải phương trình Hướng dẫn: 2x  1   52 6  x   Nhận xét    Nên  5 6  5 6 x x 1 52 6 x  10 Đặt  52 6 x u� 5 6 x  S   2; 2 u Bài 11: Giải phương trình x  3x   x  x   x  x  Hướng dẫn: x �4 � Điều kiện � x �1 � Nếu phương trình cho trở thành 1 x  x  3 x   x    x 1 � �� �2  x   x   x �2  x   x � phương trình vơ nghiệm Khi x �1 � �  x   x � Nếu x �4 :Lập luận tương tự ta có phương trình vơ nghiệm Vậy S   1 Bài 12: Giải phương trình x  x  1  1 x x Hướng dẫn: x �1 � Điều kiện � 1 �x  � Xét 1 �x  phương trình vơ nghiệm Xét x �1 phương trình trở thành � 1� x    x � � � � x� x � � x  x  1  x  x  1   �x 1 Bài 13: Giải phương trình Chứng minh  x  49  3x  12 3x 49  20  49  20  Hướng dẫn: �  x �0 � Pt � �  x  49  x3  12 x � �   � x �� x � x  nghiệm phương trình �   49  20 x   nghiệm phương trình �   49  20 � 49  20  49  20  1 Bài 14: Giải phương trình x  x   x   2 Hướng dẫn: Điều kiện x � Đặt x   t �0 1� Pt � t   � t  � � � 2� 2 1 � x  2 �t 16  x3 Bài 15: Giải phương trình Hướng dẫn:  4 Pt � x 3 x3    2 1225   82  x   y   z  665 y 1 z  665 y 1 y 1    35  z  665  0 z  665 �x  19 � � �y  �z  1890 � Bài 16: Giải biện luận theo tham số m phương trình x  x  m  m Hướng dẫn: m  : phương trình vơ nghiệm  m  : phương trình có nghiệm x  �x   m  : pt �  x m   x  m 1    m �1 : có nghiệm x1  m �x2   m   Bài 17: Giải phương trình Hướng dẫn:  m  : có nghiệm x  m x   x 1   Điều kiện x �1 Pt � x    x   � x    x 1 �  x  1    x  1  27 x   30  Đặt x   t �0 Pt � x  Một số bài tập hay: 1   x    = x  x2 1  x   x    4 x x Bài tập 1)  x +  Sử dụng bđt Bunhiacopski    x   x 1.x   x  12  12 x   x 2 1      12  12     2 x x x  x  VT 4 Đẳng thức xr  x 1   Bài tập 2) 10 x  3 x  x  6 (1) ĐK: x  Với đk (1)  10 x  x  x  = 3  x  2   x  x  4 Chia vế pt cho: x  x  0 x2 x2   3  1 (2) x  2x   x  2x   x2  y 0 Đặt (3) x  2x  (2)  y  10 y  0  y 3  y  x2  y 3 (3)  3 x  2x   x  19 x  34 0  pt vô nghiệm x2   x  11x  14 0 Với y   x  2x   10 11  177  x (nhận thỏa đk) Bài tập 3) x   x  3x  (đk: x 1 )  x  x   x  x   2 x  1 x  (1) Chia vế pt (1) cho: x  x   x x 1  2 (2) x  x 1 x  x 1 x 0 Đặt y  x  x 1 (2)  y  y  0  1     pt vô nghiệm a2x2 x  8a (1) (đk: x   a ) Bài tập 4) ( x  a) (1)  2  ax  Với x  a (1)  x    8a x  a   2 ax  ax   x 8a   x xa xa   x2  x2   2a    8a 0 xa  xa x2 Đặt y  thì: xa (2)  y  2ay  8a 0 ' a  8a 9a    y  a  3a 2a    y a  3a  4a (2)  3a x2  2a xa  x 2ax  2a  x  2ax  2a 0 Pt (3) có ' a  2a 3a   x a  3a (thỏa) x2 y  4a   4a xa  x  4ax  4a 0 Pt (4) có ' 4a  4a 0  4a  x  2a (thỏa) y 2a (3) (4) Vậy S  a  3a ; 2a Bài tập 5) ĐỀ THI OLYPIC 30/4/2004 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x 1  1  x  x x x ĐK: x 1 Đặt t=  0 x Pt(1)  t   x  t  x 0 2x    Pt(2) có   x   3  t 2 x   1 (3) Nên  (4)  t2  x 1  1 (3)   2 x   x   (với x 1 ) x Pt vơ nghiệm VT=    VP (4)    x   (với x 1 ) x Bình phương vế ta được: x x   x 1 x  x 1 x 1  x   x  x  0  x  x 1 Vì x 1 nên x x   x  x  0  5   1 x  (nhân)   (loai )  x 1   1  Vậy S     Bài tập 6) 2 x  3x  2 3 x  (1) (2) ĐK: x  0 x  a  x  x  b 0  b  a  x  3x  nên (1)  b  a 3ab  Đặt     2a  3ab  2b 0  9b  16b 25b   5b  3a  5b b    a1     3a  5b a2   2b (loai )   x   x  2x  Do x  nên x  x  4 x   x  x  0  x 3  (nhận) S   13 15 30 x  x 2004 30060 x   Bài tập 7) 30060 x   > Đặt y  15  15 y   30060 x   15 y  30 y  30060 x   y  y 2004 x (1) 15 Đề  30 x  x  2004 30060 x   15 15 (2)  15 x  x 2004 y            (2) – (1)  15 x  y  x  y   2 x  y   2004 x  y    x  y 15 x  15 y  2002  0 1 Do x  ; y   15 x  15 y  2002  30060  x  y 0  x  y (2)  15 x  x 2004 x  x 0 (loai ) 2006   (nhân)  x  15  2006  S    15   Bài tập 8) x  14 x   x  x  20 5 x  Đk: x 5 Với đk thì: (1) x  14 x  5 x   x  x  20 Bình phương vế pt ta được:  x  1  5 x  4 x  5  3 x   5  x  (1) x  x  5   x2   4x  x  Chia vế pt cho x   x  4x  x  4x   5 x4 x4 (1) x  4x   y 0 x4 (1)  y  y  0  x  4x  1   y1 1     x4  x  4x   y2     x4  Đặt  x  x  0    x  25 x  56 0   61   x1   61     x     x1 8   x    (nhân) (loai ) (nhân) (loai )   61     Vậy S  8; Bài tập 9) 3x  x  2002  3x  x  2003  x  2004 3 2003 Đặt : a 3 3x  x  2002 b  3x  x  2003 c  x  2004  a  b  c 2003 Mà a  b  c 3 2003   a  b  c  a  b  c  3 a  b  b  c  c  a  0  a  b (1)   b  c (2)  c  a (3) x  x  2002 3 x  x  2003  x (1)     b  c  3 x  x  2003  x  2004  3x  x  0 1  x (3)  c  a  3 x  x  2002 3 x  2004  3x  x  4006 0  pt vô nghiệm   13  S  ;  5  XIV.CÓ THỂ TA CHƯA BIẾT ? Leonhard Euler sinh ngày 15 tháng năm 1707, mục sư Basel, Thụy Sĩ Lúc nhỏ, ơng tỏ có tài mơn tốn học, cha ơng muốn ơng học giáo lý trở thành mục sư Năm 1720 Euler bắt đầu học Đại học Basel Tại ông quen với Daniel Nikolaus Berloulli, họ nhận thấy tài tốn học ơng Cha ông, Paul Euler, tham dự vài thuyết giảng tốn học Jakob Bernoulli kính trọng gia đình ơng Khi Daniel Nikolaus xin ơng cho ơng học mơn tốn ơng lòng Euler bắt đầu học toán Vào năm 1727 Euler nữ hồng Nga Ekaterina I mời đến Sant-Peterburg Ơng trở thành giáo sư vật lý học năm 1730, dạy toán năm 1733 Euler người xuất sách dạy học có phương pháp năm 1736: Mechanica sive motus scientia analytice exposita (Chuyển động học giải thích ngành giải tích) Vì ơng quan sát mặt trời nhiều q, đến năm 1735 mắt phải ông bị mù phần Năm 1733 ông kết hôn với Ekaterina (Katharina) Gsell, gái giám đốc Viện hàn lâm nghệ thuật Họ có 13 con, có ba người trai hai người gái sống sót Con cháu họ giữ vị trí quan trọng Nga kỷ 19 Năm 1741 Euler trở thành giám đốc viện toán Hàn lâm viện Vương quốc Phổ Berlin Ông viết nhiều thời gian Berlin, ơng khơng có địa vị tốt nhà vua khơng xem trọng ơng Vì thế, ơng trở Sant-Peterburg năm 1766, lúc triều Ekaterina II, sống Tuy bị mù hồn tồn, ơng viết ơng có trí nhớ siêu thường dùng óc để tính tốn Có chuyện kể có ơng người phụ tá ơng tính kết dãy số với 17 số nhận biết đáp số ông người phụ tá khác số thứ 50 Khi họ tính lại thấy ơng tính đúng! Người ta ước tính rằng, phải làm việc ngày suốt 50 năm để ghi chép tay tất cơng trình ơng Phải đợi đến năm 1910, có sưu tập, tập hợp tất cơng trình cách đầy đủ, chứa 70 tập sách Theo lời kể Adrien-Marie Legendre, Euler thường hoàn thành chứng minh khoảng thời gian gọi dùng cơm tối Euler người sùng đạo Có giai thoại phổ biến nói Euler thách đố Denis Diderot cung điện Ekaterina Đại đế, "Thưa ngài, cách suy luận Thượng đế tồn tại"; nhiên giai thoại sai Khi Euler mất, nhà toán học triết học Hầu tước de Condorcet bình luận " et il cessa de calculer et de vivre" (và ơng ngừng tính ngừng sống) ************************************************************************ Isaac Newton sinh gia đình nơng dân May mắn cho nhân loại, Newton không làm ruộng giỏi nên đưa đến Đại học Cambridge để trở thành luật sư Tại Cambridge, Newton bị ấn tượng mạnh từ Euclid, tư ông bị ảnh hưởng trường phái Roger Bacon René Descartes Một đợt dịch bệnh khiến trường Cambridge đóng cửa thời gian nhà, Newton có phát kiến khoa học quan trọng, dù chúng khơng cơng bố Những người có ảnh hưởng đến việc cơng bố cơng trình Newton Robert Hooke Edmond Halley Sau tranh luận chủ đề quỹ đạo hạt bay từ vũ trụ vào Trái Đất với Hooke, Newton bị hút vào việc sử dụng định luật vạn vật hấp dẫn học ông tính tốn quỹ đạo Johannes Kepler Những kết hấp dẫn Halley ông thuyết phục Newton xuất chúng Từ tháng năm 1684 đến mùa xuân năm 1688, Newton hoàn thành tác phẩm, mà sau trở thành cơng trình tảng quan trọng cho vật lý thời đại, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán học Triết lý Tự nhiên) Trong I tác phẩm này, Newton giới thiệu định nghĩa ba định luật chuyển động thường biết với tên gọi sau Định luật Newton Quyển II trình bày phương pháp luận khoa học Newton thay cho triết lý Descartes Quyển cuối ứng dụng lý thuyết động lực học ơng, có giải thích thủy triều lý thuyết chuyển động Mặt Trăng Để kiểm chứng lý thuyết vạn vật hấp dẫn ông, Newton hỏi nhà thiên văn John Flamsteed kiểm tra xem Sao Thổ có chuyển động chậm lại lần gần Sao Mộc không Flamsteed sửng sốt nhận hiệu ứng có thật đo đạc phù hợp với tính tốn Newton Các phương trình Newton củng cố thêm kết quan sát hình dạng bẹt Trái Đất hai cực, thay lồi hai cực tiên đoán trường phái Descartes Phương trình Newton miêu tả gần chuyển động Mặt Trăng, tiên đốn xác thời điểm quay lại chổi Halley Trong tính tốn hình dạng vật gây lực cản nằm dòng chảy chất lỏng hay chất khí, Newton viết giải tốn giải tích biến phân giới Newton sáng tạo phương pháp khoa học tổng qt Ơng trình bày phương pháp luận ông thành bốn quy tắc lý luận khoa học Các quy tắc phát biểu Philosophiae Naturalis Principia Mathematica sau: Các tượng tự nhiên phải giải thích hệ tối giản quy luật đúng, vừa đủ chặt chẽ Các tượng tự nhiên giống phải có ngun nhân Các tính chất vật chất toàn vũ trụ Một nhận định rút từ quan sát tự nhiên coi có thực nghiệm khác mâu thuẫn với Bốn quy tắc súc tích tổng quát cho nghiên cứu khoa học cách mạng tư thực vào thời điểm Thực quy tắc này, Newton hình thành định luật tổng quát tự nhiên giải thích gần tất toán khoa học vào thời ơng Newton xa việc đưa quy tắc cho lý luận, ông miêu tả cách áp dụng chúng việc giải tốn cụ thể Phương pháp giải tích mà ông sáng tạo vượt trội phương pháp mang tính triết lý tính xác khoa học Aristoteles Thomas Aquinas Newton hoàn thiện phương pháp thực nghiệm Galileo Galilei, tạo phương pháp tổng hợp sử dụng ngày khoa học Những câu chữ sau Opticks (Quang học) ơng dễ dàng bị nhầm lẫn với trình bày đại phương pháp nghiên cứu thời nay, Newton dùng từ "khoa học" thay cho "triết lý tự nhiên": Cũng toán học, triết lý tự nhiên, việc nghiên cứu vấn đề hóc búa cần thực phương pháp phân tích tổng hợp Nó bao gồm làm thí nghiệm, quan sát, đưa kết luận tổng quát, từ suy diễn Phương pháp giúp ta từ hợp chất phức tạp đến nguyên tố, từ chuyển động đến lực tạo nó; tổng quát từ tượng đến nguyên nhân, từ nguyên nhân riêng lẻ đến nguyên nhân tổng quát, lý luận dừng lại mức tổng quát Tổng hợp lại nguyên nhân khám phá thành nguyên lý, sử dụng chúng để giải thích tượng hệ Newton xây dựng lý thuyết học quang học cổ điển sáng tạo giải tích nhiều năm trước Gottfried Leibniz Tuy nhiên ơng khơng cơng bố cơng trình giải tích trước Leibniz Điều gây nên tranh cãi Anh lục địa châu Âu suốt nhiều thập kỷ việc sáng tạo giải tích trước Newton phát định lý nhị thức cho tích phân số, ông John Wallis công bố Newton tìm cơng thức cho vận tốc âm thanh, khơng phù hợp với kết thí nghiệm ông Lý cho sai lệch nằm giãn nở đoạn nhiệt, khái niệm chưa biết đến thời Kết Newton thấp γ½ lần thực tế, với γ tỷ lệ nhiệt dung khơng khí Theo Opticks, mà Newton chần chừ việc xuất Hooke mất, Newton quan sát thấy ánh sáng trắng bị chia thành phổ nhiều màu sắc, qua lăng kính (thuỷ tinh lăng kính có chiết suất thay đổi tùy màu) Quan điểm hạt ánh sáng Newton xuất phát từ thí nghiệm mà ơng làm với lăng kính Cambridge Ơng thấy ảnh sau lăng kính có hình bầu dục khơng tròn lý thuyết ánh sáng thời tiên đốn Ơng lần quan sát thấy vòng giao thoa mà ngày gọi vòng Newton, chứng tính chất sóng ánh sáng mà Newton khơng công nhận Newton cho ánh sáng nhanh thuỷ tinh, kết luận trái với lý thuyết sóng ánh sáng Christiaan Huygens Newton xây dựng hệ thống hoá học mục 31 cuối Opticks Đây lý thuyết hạt, "nguyên tố" coi xếp khác nguyên tử nhỏ cứng bi-a Ơng giải thích phản ứng hố học dựa vào lực thành phần tham gia phản ứng Cuối đời (sau 1678) ông thực nhiều thí nghiệm hố học vơ mà khơng kết Newton nhạy cảm với phản bác lý thuyết ơng, chí đến mức khơng xuất cơng trình tận sau người hay phản bác ông Hooke Quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica phải chờ thuyết phục Halley đời Ông tỏ ngày lập dị vào cuối đời thực phản ứng hoá học lúc xác định ngày tháng cho kiện Kinh Thánh Sau Newton qua đời, người ta tìm thấy lượng lớn thuỷ ngân thể ơng, bị nhiễm lúc làm thí nghiệm Điều hồn tồn giải thích lập dị Newton Newton đóng góp cho khoa học nhiều nhân vật lịch sử lồi người Ơng vượt tất óc khoa học lớn giới cổ đại, tạo nên miêu tả cho vũ trụ không tự mâu thuẫn, đẹp phù hợp với trực giác lý thuyết có trước Newton đưa cụ thể nguyên lý phương pháp khoa học ứng dụng tổng quát vào lĩnh vực khoa học Đây điều tương phản lớn so với phương pháp riêng biệt cho lĩnh vực Aristoteles Aquinas trước Tuy phương pháp Newton lôgic, ông tin vào tồn Chúa Ông tin đẹp đẽ hoàn hảo theo trật tự tự nhiên phải sản phẩm Đấng Tạo hố siêu nhân Ơng cho Chúa tồn nơi lúc Theo ông, Chúa nhúng tay vào vận hồi gian để giữ gìn trật tự Cũng có nhà triết học trước Galileo John Philoponus sử dụng phương pháp thực nghiệm, Newton người định nghĩa cụ thể hệ thống cách sử dụng phương pháp Phương pháp ông cân lý thuyết thực nghiệm, toán học học Ơng tốn học hố khoa học tự nhiên, đơn giản hoá chúng thành bước chặt chẽ, tổng quát hợp lý, tạo nên bắt đầu Kỷ nguyên Suy luận Những nguyên lý mà Newton đưa giữ nguyên giá trị thời đại ngày Sau ông đi, phương pháp ông mang lại thành tựu khoa học lớn gấp bội mà ông tưởng tượng lúc sinh thời Các thành tảng cho công nghệ mà hưởng ngày Không ngoa dụ chút nói Newton danh nhân quan trọng đóng góp cho phát triển khoa học đại Như nhà thơ Alexander Pope viết: Nature and Nature's laws lay hid in night God said, Let Newton be! and all was light Tự nhiên im lìm bóng tối Chúa bảo Newton đời! Và ánh sáng bừng lên khắp lối XV PHỤ LỤC Chúng tơi chân thành cảm ơn giúp đỡ tận tình thầy Đỗ Kim Sơn Trong trình biên tập chúng tơi có sử dụng tư liêu số sách website ... tầm tài liệu, chọn lọc chi tiết hướng dẫn, dìu dắt quý thầy mơn Tốn trường THPT Chuyên Tiền Giang, biên sọan chuyên đề “ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ” để người có nhìn tổng qt phương trình vơ tỷ Cụ thể... thành công sống Chúng hy vọng chuyên đề mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích giúp bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp Tốn học qua phương trình vơ tỷ Mặc dù cố gắng nhiều, chuyên đề vài thiếu sót Chúng