CÁC CÁCH TIẾP CẬN TÌM LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC GV: Nguyễn Thanh Hậu Tổ Tốn Trong đề thi chọn đội tuyển thức HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2014-2015 có tốn hình học sau: Bài toán: Cho ΔABC Μ điểm nằm đường tròn ngoại tiếp ΔABC a) Chứng minh AΜ.BC, BM.AC, CM.AB độ dài ba cạnh tam giác mà ta kí hiệu Δ(M) b) Tìm vị trí M cho diện tích tam giác Δ(M) lớn Để tìm lời giải cho toán, học sinh phải trả lời câu hỏi kiểu là: Nội dung yêu cầu tốn thuộc loại gì?(cực trị hình học); sử dụng mảng kiến thức có liên quan? Nhớ lại tốn giải có kiểu tương tự cách hỏi chưa? Và nhiều suy nghĩ khác Với câu a tốn cho trường hợp M nằm ngồi đường tròn hay nói cách khác giả thiết M khơng thuộc tròn (O) + Rỏ ràng để trả lời câu a tốn điều khơng khó với học sinh hầu hết nhận dấu hiệu quen thuộc để số dương x,y,z số đo cạnh tam giác tổng hai số lớn số lại với số đo AΜ.BC, BM.AC, CM.AB với M khơng nằm đường tròn (O) ta có cách giải thứ sử dụng Bất đẳng thức Pơtơlemy “ Với bốn điểm A,B,C,D ta có AB.CD AD.BC AC.BD , đẳng thức xảy A,B,C,D thuộc đường tròn.” + Với suy nghỉ AΜ.BC, BM.AC, CM.AB cạnh tam giác Δ(M) có mối quan hệ với tam giác khơng kết hợp với câu b toán hướng nhớ đến Định lý Euler cho tam giác bàn đạp hay gọi tam giác pedal, tam giác thủy túc “ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Từ điểm M dựng tam giác bàn đạp A ' B ' C ' tam giác ABC ( A ' BC , B ' CA, C ' AB ) Khi đó, ta có hệ thức sau: 2 S A ' B 'C ' R OM ’’ S ABC 4R2 B X Với suy nghỉ ta tìm cách đưa mối quan hệ tam A' giác Δ(M) tam giác pedal tức mối quan hệ C' Z AΜ.BC, BM.AC, CM.AB với B’C’,C’A’, A’B’ M Từ ta có lời giải thứ hai sau: A C B' Y Các tứ giác AB ' MC ', BC ' MA ' CA ' MB ' tứ giác nội tiếp Xét tam giác A ' B ' C ' nội tiếp đường tròn đường kính AM nên theo định lý sin ta có B 'C ' AM Mà tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R ) nên theo định lý sin ta lại có sin A BC B ' C ' AM R Từ đó, suy ra: sin A BC 2R Tương tự: Suy A ' C ' BM A ' B ' CM ; AC 2R AB 2R AM BC BM AC CM AB 2R B 'C ' A'C ' A' B ' Vậy tam giác Δ(M) đồng dạng với tam giác pedal theo tỉ số k=2R, suy ra: SΔ(M) 4R SΔA 'B'C' 2 S A ' B ' C ' R OM Mà nên SΔ(M) | R OM | SΔABC S ABC 4R2 Do SΔ(M) lớn OM M O Khi đó, SΔ(M)max R SΔABC + Khi học Định lý Euler cho tam giác bàn đạp học cách chứng minh nhớ lại cách chứng minh định lý ta nghỉ đến mối liên hệ giũa tam giác Δ(M) tam giác XYZ (X,Y,Z giao điểm AM,BM,CN với (O), từ ta có cách giải thứ sau: Gọi X, Y, Z giao điểm AM, BM, CM với đường tròn ngoại tiếp ΔABC Ta có ΔMB 'C ' ∽ ΔMBC Do đó, YZ MY MZ R OM BC MC MB MB.MC MA.BC MA.MB.MC YZ R OM Chứng minh tương tự, ta có dãy đẳng thức MB.CA MC.AB MA.BC MA.MB.MC XZ XY YZ R OM Vậy AΜ.BC, BM.AC, CM.AB độ dài ba cạnh tam giác đồng dạng với ΔXYZ theo tỉ số k MA.MB.MC R OM Ta có: MA.MB.MC MA.MB.MC XY.YZ.ZX ) SΔXYZ ( ) SΔABC 2 R OM R OM AB.BC.CA MA.MB.MC (R OM )3 ( ) SΔABC (R OM ).SΔABC 2 R OM (MA.MB.MC) SΔ(M) ( Vậy SΔ(M) lớn OM M O Khi đó, SΔ(M)max R SΔABC Bình luận: Thực chất lời giải thứ sử dụng ý tưởng chứng minh lại định lý tam giác pedal tổ hợp ý tưởng tốn có nội dung sau: 1) Cho ΔABC Μ điểm nằm khơng nằm đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC Các đường thẳng MA,MB,MC cắt (O) A’B’,C’ Chứng minh rằng: SABC MA.MB.MC SA 'B'C' MA '.MB '.MC ' 2) Cho ΔABC Μ điểm khơng nằm đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC Các đường thẳng MA,MB,MC cắt (O) A’B’,C’ Chứng minh rằng: MB.CA MC.AB MA.BC MA.MB.MC C 'A ' A 'B ' B'C ' | R OM | 3) Cho ΔABC Μ điểm thay đổi nằm đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC Các đường thẳng MA,MB,MC cắt (O) A’B’,C’ Tìm tập hợp M cho MA MB MC 3 MA ' MB' MC ' Bài toán tương tự: Cho ΔABC Μ điểm nằm tam giác a) Chứng minh SMBC AΜ,SMAC BM,SMAB CM độ dài ba cạnh tam giác mà ta kí hiệu Δ(M) b) Tìm vị trí M cho diện tích tam giác Δ(M) lớn