6 quan he song song

chơng đờng thẳng mặt phẳng không gian  quan hƯ song song A KiÕn thøc cÇn nhớ I Đại cơng đờng thẳng mặt phẳng quan hệ song song mở đầu hình học kh«ng gian Quan hƯ thc: Trong kh«ng gian: a Víi điểm A đờng thẳng d xảy hai trờng hợp: Điểm A thuộc đờng thẳng d, kí hiệu a d Điểm A không thuộc đờng thẳng d, kí hiệu a d b Với điểm A mặt phẳng (P) xảy hai trờng hợp: Điểm A thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu a (P) Điểm A không thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu a (P) Hình biểu diễn hình không gian: Để vẽ hình biểu diễn hình không gian, ngời ta đa quy tắc, chẳng hạn nh: Đờng thẳng đợc biểu diễn đờng thẳng Đoạn thẳng đợc biểu diễn đoạn thẳng Hai đờng thẳng song song (hoặc cắt nhau) đợc biểu diễn hai đờng thẳng song song (hoặc cắt nhau) Điểm A thuộc đờng thẳng a đợc biểu diễn điểm A' thuộc đờng thẳng a', a' biểu diễn cho đờng thẳng a Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đờng trông thấy dùng nét đứt đoạn để biểu diễn cho đờng bị khuất tính chất thừa nhận hình học không gian Tính chất thừa nhận 1: Có đờng thẳng qua hai điểm ph©n biƯt cho tríc TÝnh chÊt thõa nhËn 2: Cã mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trớc Tính chất thừa nhận 3: Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đờng 57 thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đờng thẳng dó đợc gọi giao tuyến hai mặt phẳng Tính chất thừa nhận 5: Trong mặt phẳng, kết biết hình học phẳng Định lí: Nếu đờng thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đờng thẳng thuộc mặt phẳng điều kiện xác định mặt phẳng Có bốn cách xác định mặt phẳng: Cách 1: Một mặt phẳng đợc xác định nÕu biÕt nã ®i qua ba ®iĨm A, B, C không thẳng hàng mặt phẳng, kí hiệu (ABC) Cách 2: Một mặt phẳng đợc xác định biết qua đờng thẳng d điểm A không thuộc d, kí hiệu (A, d) Cách 3: Một mặt phẳng đợc xác định biết qua hai đờng thẳng cắt a, b, kí hiệu (a, b) Cách 4: Một mặt phẳng đợc xác định biết qua hai đờng thẳng song song a, b, kí hiệu (a, b) Hình chóp hình tứ diện Định nghĩa: Cho đa giác A1A2 An cho điểm S nằm mặt phẳng chứa đa giác ®ã Nèi S víi c¸c ®Ønh A1, A2, , An ta đợc n miền tam giác SA1A2, SA2A3, , SAn1An Hình gồm n tam giác đa giác A1A2 An đợc gọi hình chóp S.A1A2 An S Trong đó: Điểm S gọi đỉnh hình chóp Đa giác A1A2 An gọi mặt đáy A6 hình chóp Các đoạn thẳng A1A2, A2A3, , An1An A1 gọi cạnh đáy hình chóp A5 A2 Các đoạn thẳng SA1, SA2, , SAn gọi A3 P A4 cạnh bên hình chãp  C¸c miỊn tam gi¸c SA1A2, SA2A3, , SAn1An gọi mặt bên hình chóp 58 Nếu đáy hình chóp miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, hình chóp tơng ứng gọi hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, Chú ý: Hình chóp tam giác gọi hình tứ diện Hình tứ diện có bốn mặt tam giác đ ợc gọi hình tứ diện II Hai đờng thẳng song song vị trí tơng đối hai đờng thẳng phân biệt Cho đờng thẳng a b Căn vào đồng phẳng số điểm chung đờng thẳng ta có bốn trờng hợp sau: a Hai đờng thẳng song song: nằm mặt phẳng điểm chung, tức là:  a  (P) vµb  (P) a // b    a  b  b Hai đờng thẳng cắt nhau: có điểm chung a c¾t b  a  b = {I} c Hai đờng thẳng trùng nhau: có hai điểm chung phân biệt a  b = {A, B}  a  b d Hai đờng thẳng chéo nhau: không thuộc mặt phẳng a chéo b a, b không đồng phẳng a P I b P a//b a cắt b a b a b ab P a a,b b chéo Hai đờng thẳng song song Tính chất 1: Trong không gian, qua điểm nằm đờng thẳng có đờng thẳng song song với đờng thẳng Tính chất 2: Hai đờng thẳng phân biệt song song với đờng thẳng thứ ba song song với Tức là: a // c  a // b   b // c 59 Định lí (Về giao tuyến ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song Tức là, với , , phân biệt thoả mãn:    a a// b// c �      b  � a,b,c � � ngquy �     c  HƯ qu¶: Nếu hai mặt phẳng lần lợt qua hai đờng thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đờng thẳng (hoặc trùng với hai đờng thẳng đó) Tức là: a  vµb     c // a // b  a// b     c  III Đờng thẳng song song với mặt phẳng Vị trí tơng đối đờng thẳng mặt phẳng Cho đờng thẳng a mặt phẳng (P) Căn vào số điểm chung đờng thẳng mặt phẳng ta có ba trờng hợp sau: a Đờng thẳng a mặt phẳng (P) điểm chung, tức là: a  (P) =   a // (P) b §êng thẳng a mặt phẳng (P) có điểm chung, tøc lµ: a  (P) = {A}  a cắt (P) A c Đờng thẳng a mặt phẳng (P) có điểm chung phân biệt, tức là: a  (P) = {A, B}  a  (P) a a P P A P A a B a(P) =   a // a(P) = {A}  a cắt a(P)={A, B} a(P) (P) (P) Định nghĩa: Một đờng thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung 60 ®iỊu kiƯn ®Ĩ mét ®êng th¼ng song song víi mét mặt phẳng Định lí 1: Nếu đờng thẳng a không nằm mặt phẳng (P) song song với đờng thẳng (P) a song song với (P) Tức là, với a (P) nếu: a // d  (P)  a // (P) a P d tính chất Định lí 2: Nếu đờng thẳng a song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) c¾t theo mét giao tun song song víi a Q a Tøc lµ, nÕu:  a //(P) d  a // d  P  a  (Q)  (P) d Hệ 1: Nếu đờng thẳng song song với mặt phẳng song song với đờng thẳng mặt phẳng Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đờng thẳng giao tuyến (nếu có) chúng song Q song với đờng thẳng Tức là: d a  (P)  (Q) d  P  d // a  (P) // a  (Q) // a Định lí 3: Nếu a b hai đờng thẳng chéo qua a có mặt phẳng song song với b IV Hai mặt phẳng song song vị trí tơng đối hai đờng thẳng phân biệt Cho mặt phẳng (P) (Q) Căn vào số đờng thẳng chung mặt phẳng ta có ba trờng hợp sau: a Hai mặt phẳng (P) (Q) đờng thẳng chung, tøc lµ: (P)  (Q) =   (P) // (Q) b Hai mặt phẳng (P) (Q) có đờng thẳng chung, tức là: (P) (Q) = a (P) cắt (Q) 61 c Hai mặt phẳng (P) (Q) có đờng thẳng chung phân biƯt, tøc lµ: (P)  (Q) = {a, b}  (P)  (Q) Q P a P Q P Q (P) (Q) =   (P)//(Q) (P) (Q) = a (P) cắt (Q)(P)(Q) = {a, b} (P)(Q) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song chúng điểm chung điều kiện để hai mặt phẳng song song Định lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song (Q) a b P Tøc lµ:  a, b (P)  Q  (P) // (Q)  a c¾t b  a //(Q) vµ b //(Q)  tÝnh chÊt Tính chất 1: Qua điểm nằm mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng Tức là: O (Q) O  (P)  !(Q):   (P) //(Q) Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện: Trong (P) dùng a, b c¾t  Qua O dùng a1 // a, b1 // b Mặt phẳng (a1, b1) mặt phẳng qua O song song với (P) Hệ 1: Nếu đờng thẳng a song song với mặt phẳng (Q) qua a có mặt phẳng (P) song song với (Q) Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) a P song song mặt phẳng (R) b Q 62 R cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song Tức là: (P) //(Q)   a (P)  (R)  a // b b (Q) (R) Định lí Talét không gian Định lí (Định lí Talét): Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tơng a bøng tû lƯ A P A2 Tøc lµ:  (P) //(Q) //(R) B2  Q B1  a  (P) A vµ a  (Q) B1 vµ a  (R) C1  b  (P) A vµ b  (Q) B vµ b  (R) C C2 2  C R A 1B1 B1C1 A 1C1  = = A 2B B2C A 2C Định lí (Định lí Talét đảo): Giả sử hai đờng thẳng chéo a1 a2 lần lợt lấy điểm A1, B1, C1 A2, B2, C2 cho: A 1B1 B1C1 A 1C1 = = A 2B2 B2C A 2C Khi đó, ba đờng thẳng A1A2, B1B2, C1C2 lần lợt nằm ba mặt phẳng song song, tức chúng song song với mặt phẳng hình lăng trụ hình hộp Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt nằm hai mặt phẳng song song gọi hai đáy tất cạnh không thuộc hai đáy song song với Trong đó: Các mặt khác với hai đáy gọi mặt bên hình lăng trụ Q A6 A1 A2 A3 A4 P A1 A2 A’5 A6 A3 A4 A5 63   C¹nh chung hai mặt bên gọi cạnh bên hình lăng trụ Tuỳ theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, Từ định nghĩa hình lăng trụ, ta lần lợt suy tính chất sau: a Các cạnh bên song song b Các mặt bên mặt chéo hình bình hành c Hai đáy hai đa giác có cạnh tơng ứng song song Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp Từ định nghĩa hình hộp, ta lần lợt suy tính chất sau: a Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật b Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình vuông gọi hình lập phơng D C D D C C 1 B B A B A A 1 D A 1 D C B A 1 D C B C A B  Chú ý: Các đờng chéo hình hộp cắt trung điểm đờng hình chóp cụt Định nghĩa: Cho hình chóp SA1A2 An Một mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt cạnh SA1, SA2, , SAn theo thứ tự A1, A2, , An Hình tạo thiết diện A1A2 An đáy A1A2 An hình chóp với mặt bên A1A2A2A1, A2A3A3A2, , 64 S A P 1A’2 A’ A’3 A A1 A2 A’4 A3 A4 AnA1A1An gọi hình chóp cụt Trong đó: Đáy hình chóp gọi đáy lớn hình chóp cụt, thiết diện gọi đáy nhỏ hình chóp cụt Các mặt lại gọi mặt bên hình chóp cụt Cạnh chung hai mặt bên kề nh A1A1, A2A2, AnAn gọi cạnh bên hình chóp cụt Tuỳ theo đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác, Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có tính chất sau: Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng Các mặt bên hình chóp cụt hình thang Cách cạnh bên hình chóp cụt đồng quy điểm V Phép chiếu song song PhÐp chiÕu song song l Mvíi  Cho mặt phẳng đờng thẳng l không song song Với điểm M không gian, đờng thẳng qua M song song với l cắt điểm M M Điểm M đợc gọi hình chiếu song song điểm M mặt phẳng theo phơng l Mặt phẳng gọi mặt phẳng chiếu Định nghĩa: Phép đặt tơng ứng điểm M không gian với hình chiếu M đợc gọi phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phơng l Chú ý: Nếu a // l hình chiếu a lên điểm (chính giao điểm a với ), tính chất phần sau xét đoạn thẳng đờng thẳng không song song víi l tÝnh chÊt TÝnh chÊt 1: Hình chiếu song song đờng thẳng đờng thẳng 65 Hệ quả: Hình chiếu song song tia tia, đoạn thẳng đoạn thẳng Tính chất 2: Hình chiếu song song hai đờng thẳng song song hai đờng thẳng song song hc trïng a b a b l l A A B  A’ B’ a’ b’ B  A’ a’b’ TÝnh chÊt 3: PhÐp chiÕu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng song song nằm đờng thẳng Tức là: AB A 'B' BC B'C' l A  B C A’ B’ C’ Hình biểu diễn hình không gian Ta thờng vẽ hình không gian nh hình chóp, hình lăng trụ, bảng hay trang giấy, hình vẽ gọi hình biểu diễn hình không gian mặt phẳng Định nghĩa: Hình biểu diễn hình H không gian hình chiếu song song H lên mặt phẳng theo phơng chiếu Các yêu cầu hình biểu diễn: Hình biểu diễn phải đúng: Để vẽ cần quan tâm tới yếu tố đợc bảo toàn sau: a Sự thẳng hàng thứ tự điểm đờng thẳng b Sự song song đờng thẳng, tia đoạn thẳng c Tỉ số độ dài đoạn thẳng phơng Nh vậy, tính chất hình không thay đổi qua phép chiếu song song đợc giữ nguyên hình biểu diễn Hình biểu diễn phải nổi: Giúp dễ tởng tợng Chúng ta có: Tam giác: Một ABC xem hình biểu diễn tam giác (đều, cân, vuông) 66 suy bán kính đờng tròn nội tiếp MNPQ r = a QH = Dạng toán 3: Sử dụng tính chất hình lăng trụ hình hộp Thiết diện Phơng pháp áp dụng Nắm vững định nghĩa tính chất hình lăng trụ hình hộp để vẽ hình chứng minh số tính chất khác Việc xác định thiết diện hình lăng trụ (hình hộp) cắt mặt phẳng tiến hành tơng tự nh hình chóp Lu ý " Hai đáy hình lăng trụ song song, giao tuyến mặt phẳng cắt mặt đó, có, hai đoạn thẳng song song " ThÝ dơ Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D' a Chứng minh mặt phẳng (BDA') // (B'D'C) b Chứng minh đờng chéo AC' qua trọng tâm G1, G2 hai tam giác BDA' B'D'C c Chứng minh G1 G2 chia đoạn AC' thành ba phần d Chứng minh trung D điểm sáu cạnh BC, CD, Q ' DD', D'A', A'B', B'B nằm A mặt phẳng ' P  Gi¶i a Gäi O, O' theo thø tự tâm hình bình hành ABCD A'B'C'D', ta cã:  A ' O // CO'  (BDA') // (B'D'C)   BD // B' D' D A b Vì AC', AO, CO' nằm mặt phẳng (ACC1A1) nên gọi: G1 = AC' A'O G2 = AC'  CO' Trong A'BD, ®iĨm G1 thc trung tuyến A'O AO // A'C' nên: GO AO = G1 trọng tâm A'BD GA' A ' C' Chøng minh t¬ng tù G2 trọng tâm CB'D' c Nhận xét OG1, O'G2 theo thứ tự đờng trung bình ACG2 A'C'G1 nªn: 96 O R ' C ' B ' S C N M B AG1 = G1G2 = G2C' tức G1, G2 chia đoạn AC' làm phần b»ng d Gäi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự trung điểm sáu cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B Vì đoạn thẳng MN, NP, PQ, QR, RS song song với mặt phẳng (A'BD) nển chúng nằm mặt phẳng Thí dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi H trung điểm cạnh A'B' a Chứng minh đờng thẳng B'C song song với mặt phẳng (AHC') b Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (A'B'C') (A'BC) Chứng minh d song song với mặt phẳng (BB'C'C) c Xác định thiết diện hình lăng trụ ABC.A'B'C' cắt mặt phẳng (H, d) a Gi¶i Gi¶ sư: AC'  A'C = {N} B' N trung điểm AC' A'C B'C // NH tính chất đờng trung bình b B'C // (AHC'), đpcm Giả sử: M R A' N B AB'  A'B = {M}  (A'B'C')  (A'BC) = MN Từ tính chất đờng trung bình, suy ra: c C' H C P A Q MN // BC (BB'C'C) MN // (BB'C'C), đpcm Nối MH cắt AB P (P trung điểm AB), đó: (H, d)  (ABC) = Px // MN // BC Px cắt AC Q (Q trung điểm AC) (H, d)  (A'B'C') = Hy // MN // BC // B'C' Hy cắt A'C' R (R trung điểm A'C') Khi đó, ta đợc thiết diện hình bình hành HPQR Dạng toán 4: Các toán chóp cụt Phơng pháp áp dụng 97 Nắm vững định nghĩa tính chất hình hộp để vẽ hình chứng minh số tính chất khác Việc xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng tiến hành tơng tự nh hình lăng trụ Thí dụ Cho hình chóp S.ABCD Gọi A1 trung điểm cạnh SA A2 trung điểm đoạn AA1 Gọi () () hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) lần lợt qua A1, A2 Mặt phẳng () cắt cạnh SB, SC, SD lần lợt B1, C1, D1 Mặt phẳng () cắt cạnh SB, SC, SD lần lợt B2, C2, D2 Chứng minh : a B1, C1, D1 lần lợt trung điểm cạnh SB, SC, SD b B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D c Chỉ hình chóp cụt có đáy tứ giác ABCD Giải S a Vì () song song víi (ABCD), suy ra: AB // A1B1  A1B1 đờng trung bình SAB A1 D1 B1 trung điểm SB B C A2 1 D Chứng minh tơng tự, ta đợc C1, D1 lần lợt C2 A B2 D trung điểm cạnh SC, SD b Vì () song song với (ABCD), suy ra: C B AB // A2B2  A2B2 đờng trung bình hình thang ABB1A1 B2 trung điểm BB1 B1B2 = B2B Thí dụ Cho hình chóp cụt ABC.A'B'C' có đáy lớn ABC cạnh bên AA', BB', CC' Gọi M, N, P lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CA M', N', P' lần lợt trung điểm cạnh A'B', B'C', C'A' Chứng minh MNP.M'N'P' hình chóp cụt S Giải Để chứng minh MNP.M'N'P' hình chóp cụt, ta cần chứng P minh: A C ' M ' N '  Các đờng thẳng MM', NN', PP' đồng quy ' B '  MN // M'N', NP // N'P', PM // P'M' ' C A P M N 98 B a Gọi S điểm đồng quy đờng thẳng AA', BB', CC', ta cã: AB // A'B' M, M' theo thứ tự trung điểm AB, A'B' suy S  MM' T¬ng tù, ta còng cã S NN' S PP' Vậy, đờng thẳng MM', NN', PP' đồng quy S b Theo tính chất đờng trung bình, ta có: MN // AC M'N' // A'C' ra, theo tính chất hình chóp cụt AC // A'C' nên MN // M'N' Tơng tự, ta còng cã NP // N'P', PM // P'M' VËy, ta có kết luận MNP.M'N'P' hình chóp cụt C Các toán chọn lọc Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P lần lợt trung điểm SB, SD OC a Tìm giao tuyến mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SAC) tìm giao điểm SA với (MNP) b Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) c Tính tỷ số mặt phẳng (MNP) chia cạnh SA, BC CD Giải S a Ta lần lợt thực hiện: S1 M Nối MN cắt SO O1 N Nối O1P cắt SA S1 B A O Vậy, ta đợc: B1 (MNP)  (SAC) = PS1 O D P C B2 (MNP) SA = S1 D b Ta lần lợt thực hiện: D Nối S1N kéo dài cắt AD D1 Nối S1M kéo dài cắt AB B1 Nối B1D1 cắt CD, CB theo thứ tự D2, B2 Khi đó, ta đợc đoạn giao tuyến S1M, MB2, B2D2, D2N NS1 Do thiết diện cần tìm đa giác S1MB2D2N c Ta lần lợt có: 99 MN đờng trung bình SBD nên O1 trung điểm SO, suy ra: S1S PC S PO1 // SC  = = S1A PA N S1  XÐt SAD với S1, N, D1 thẳng hàng, theo định lí Mêlêlaus, ta đợc: A D1 D D1D NS D1D S1A =1 = (1) D1A ND D1A S1S S  XÐt SAB víi S1, M, B1 th¼ng hàng, theo M S1 định lí Mêlêlaus, ta đợc: B1B MS B1B S1A =1 = (2) B1 B B1A A MB B1A S1S Tõ (1), (2), suy ra: BD // B1D1 B2D2 đờng trung bình CBD nên B2, D2 theo thứ tự trung điểm BC, CD D2D B2B = vµ = D2C B2C   Chó ý: Định lí Mêlêlaus có nội dung nh sau: " Trên cạnh AB, BC, CA ABC (hoặc phân kéo dài chúng) lấy điểm C1, A1, B1 C1, A1, B1 thẳng hàng khi: A 1B B1C C1A = " A 1C B1A C1B Ví dụ 2: Trong mặt phẳng , cho tứ giác ABCD, S điểm không thuộc Gọi I, J hai điểm cố định SA vµ SC víi SI > IA vµ SJ < JC Một T mặt phẳng quay quanh IJ cắt SB t¹i M, SD t¹i N a Chøng minh r»ng IJ, MN SO đồng quy (với O giao điểm AC BD) Suy cách dựng điểm N biÕt ®iĨm M S M O I A J N F D Q B O C E P 100 b AD cắt BC E, IN cắt MJ F Chứng minh S, E, F thẳng hàng c IN cắt AD P, MJ cắt BC Q Chứng minh PQ qua điểm cố định di động Giải a Giả sử IJ  SO = O1 Ta cã: O1  IJ    O1  , O1  SO  (SBD)  O1  (SBD) Suy ra: O1   (SBD) = MN Vậy, ba đờng thẳng IJ, MN, SO đồng quy O1 Nh vậy, biết điểm M ta cần nối MO1 cắt SD N b NhËn xÐt r»ng: (SAD)  (SBC) = {S, E, F} S, E, F thẳng hàng c Trớc tiên, IJ không song song với AC nên IJ AC = T điểm cố định Nhận xÐt r»ng:   (ABCD) = {T, P, Q}  T, P, Q thẳng hàng PQ qua ®iĨm cè ®Þnh T  Chó ý: Trong mét sè trờng hợp chứng minh ba đờng thẳng ®ång quy dùa trªn tÝnh chÊt ®iĨm VÝ dơ 3: Trong mặt phẳng , cho tứ giác ABCD, AB CD kéo dài cắt E, AD BC kéo dài cắt F AD < DF S điểm không thuộc Gọi I, J lần lợt S trung điểm SA, SB mặt phẳng di động qua IJ cắt SC, SD lần lợt M, N a Chứng minh IJ, MN, SE ®ång quy I J b M chun động phần cạnh SC ? K P c Tìm tập hợp giao điểm IM JN M d Tìm tập hợp giao điểm INA JM E M0 B N  Gi¶i O a Gäi K = IJ  MN, ta cã: C D Q F 101 K  IJ  (SAB)  K  (SAB) K  MN  (SCD)  K  (SCD) Do ®ã K  SE = (SAB)  (SCD) VËy, ba đờng thẳng IJ, MN, SE đồng quy K b Nối KD cắt SC M0 Vì N chạy cạnh ^ SD nên tia KMN quét góc SKD , M chạy từ S đến M0 cắt cạnh SC, SD c Gọi P = IM JN Ta tìm tập hợp ®iĨm P PhÇn thn: Ta cã: P  IM  (SAC)  P  (SAC) P  JN  (SBD)  P  (SBD) Do ®ã: P  SO = (SAC) (SBD) Giới hạn: Nối DJ cắt SO P0 Vì N chạy ^ cạnh SD nên tia JPN quÐt gãc SJD , S J N P0 D P chạy từ S đến P0 O B cắt cạnh SC, SD Phần đảo Gọi P điểm SP0 Nối JP cắt SD N, nối IP cắt SC M M, N giao điểm mặt phẳng (IJMN) qua IJ với cạnh SC, SD P giao điểm IM JN Kết luận: Vậy tập hợp điểm P đoạn SP0 SO d Gọi Q = IN JM Ta tìm tập hợp điểm Q Phần thuận: Ta có: Q IN  (SAD)  Q  (SAD) Q  JM  (SBC)  Q  (SBC) Do ®ã: Q  SF = (SAD) (SBC) Giới hạn: Vì AD < DF, nên tia Ix song song với SF cắt c¹nh SD t¹i N0 VËy N ch¹y tõ S tíi N Nối IN0 cắt SF F0, Q chạy từ S đến F0 Phần đảo: Gọi Q điểm SF0 Nối IQ cắt SD N, nối JQ cắt SC M M, N giao điểm mặt phẳng (IJMN) qua IJ với cạnh SC, SD Q giao điểm IN JM Kết luận: Vậy tập hợp điểm Q đoạn SF0 SF Ví dụ 4: 102 Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD a Chứng minh đờng thẳng qua điểm G đỉnh tứ diện qua trọng tâm mặt đối diện với đỉnh b Gọi A' trọng tâm BCD Chứng minh GA = 3GA' Giải A a Nối AG cắt BN A', ta cần chứng minh A' trọng tâm BCD Kẻ MM' song song với AA' (M' BN), đó: Q M MM' đờng trung bình cña ABA' G B D  M'B = M'A' (1) M' A' GA' đờng trung bình M'MN P N  M'A' = NA' (2) C Tõ (1) vµ (2) suy BA' = 2NA' Và A' thuộc trung tuyến BN BCD nên A' trọng tâm BCD b Xét ABA' với M, G, N thẳng hàng, theo định lí Mêlêlaus, ta đợc: MB GA NA' =  GA =  GA = 3GA', ®pcm MA GA' NB GA' VÝ dô 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác Cho SC = SD = a Gäi H, K lÇn lợt trung điểm SA, SB M điểm cạnh AD Mặt phẳng (HKM) cắt BC N a Chứng minh HKMN hình thang cân b §Ỉt AM = x (0  x  a), tÝnh diƯn tÝch cđa tø gi¸c HKMN theo a, x TÝnh x để diện tích nhỏ c Tìm tập hợp giao điểm HM KN; HN KM  Gi¶i a Ta cã:  KH  (MNKH ) vµAB  (ABCD)   KH // AB  (MNKH )  (ABCD) MN   MN // AB // KH (1) E0 S E t H K B A M N C D 103 Mặt khác, ta lại cã: �  SBC � SAD = SBC (c.c.c)  SAD  HAM = KBN (c.g.c)  MH = NK (2) K H Tõ (1) vµ (2) suy MNKH hình thang cân a b Ta có MN = a vµ KH = AB = 2 Trong SAD, ta cã: M P N 2 2 2 a  a  a SA  AD  SD � cos SAD = = = 2a2 2SA.AD Trong HAM, ta cã: � MH2 = AH2 + AM2  2AH.AM.cos HAM a ax a2 a2 = + x2  .x.( ) = + x2 + 2 4  MH = 4x2  2ax a2 Trong hình thang cân MNKH, gọi P chân đờng cao h¹ tõ H, ta cã: MN  HK  HP = MH  MP = MH    = 16x2  8ax 3a2   1 a SMNKH = (MN + KH)HP = (a + ) 16x2  8ax 3a2 2 3a = 16x2  8ax 3a2 16 Ta cã biÕn ®ỉi: 3a 3a2 2 SMNKH =  (4x  a)  2a 16 16 a 3a2 Vậy, ta đợc (SMNKH)Min = đạt ®ỵc x = 16 c Híng dÉn: Quĩ tích đoạn SE0 St // AD 2 VÝ dơ 6: Cho tø diƯn ABCD Gäi I, J hai điểm di động lần lợt cạnh AD, BC cho có IA JB  ID JC a Chøng minh r»ng IJ lu«n song song với mặt A phẳng cố định b Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ sè kF choP   HM tríc (tøc ®iĨm M tho¶ IM k MJ ) B 104 J Q C I K D E  Gi¶i a Dùng JH // AB, H  AC (1) NhËn xÐt r»ng: HA JB IA  =  HI // CD HC JC ID (2) Gọi mặt phẳng chứa AB song song với CD, suy mặt phẳng cố định (HIJ) // b Giải sử (HIJ) cắt BD K, dễ thấy HIKJ hình bình hành Qua M kẻ PQ song song với AB (P  HI vµ Q  JK) Ta cã: AP  BQ = E vµ EM  AB = F NhËn xÐt r»ng: ED PI MI   = k  E điểm chia CD theo tỉ số k EC PH MJ FA MP MI   = k  F điểm chia AB theo tỉ số k FB MQ MJ Vậy, tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k đoạn EF với E, F lần lợt điểm chia CD AB theo tỉ sè k VÝ dơ 7: Cho h×nh chãp S.ABC Gäi K N lần lợt trung điểm SA BC, M điểm nằm S C a Chứng minh mặt phẳng qua K, song song với AB SC qua điểm N b Xác định thiết diện hình chóp S.ABC cắt mặt phẳng (KMN) Chứng tỏ KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích Giải a Gọi (P) mặt phẳng qua K, song song với AB SC, ta có: Mặt phẳng (Q) chứa AB song song với SC Mặt phẳng (R) chứa SC song song với AB Khi đó, ba mặt phẳng (P), (Q), (R) song song với chắn hai cắt tuyến BC SA đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ, cụ S thÓ: BN CN BC BN AK     =1 CN SK AK SK AS  BN = CN N trung điểm BC K M A C P N B 105 b Ta xÐt hai trêng hỵp: Trờng hợp 1: Nếu M trung điểm SC thiết diện hình bình hành MNPK với P trung điểm AB Và hiển nhiên KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích S K M Trờng hợp 2: Nếu M không trùng với trung A C D điểm SC ta thực hiện: O Nối KM cắt AC D N Nối ND cắt AB P P Khi đó, tứ giác MNPK thiết diện cần dựng B Goi {O} = KN  MP, nhËn xÐt r»ng: d(M, (P)) = d(S, (P)), d(P, (P)) = d(A, (P)), d(S, (P)) = d(A, (P)), suy d(P, (P)) = d(M, (P))  OP = OM ®ã KN chia thiÕt diƯn thành hai phần có diện tích Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang có đáy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b Mặt bên SAD tam giác mặt phẳng qua điểm M cạnh AB song song với SA BC, cắt CD, SC, S B lần lợt N, P, Q a Chứng minh MNPQ hình thang cân S b Tính diện tÝch thiÕt diƯn theo a, b vµ x = AM, (0 < x Q < b) Tính giá trị lớn nhÊt cđa diƯn tÝch B  Gi¶i M A a Ta lần lợt có: SA // MQ // SA  SA  (SAB)  MQ  (SAB)     BC //    MN  (ABCD)    MN // PQ // BC  PQ  (SBC)    NhËn xÐt r»ng: 106 I P C N D MQ BM BQ CN CP NP   = = = SA BA BS CD CS SD SASD  MQ = NP VËy, thiết diện MNPQ hình thang cân b Giả sử AB cắt CD I, ta có: // AD BC AD đờng trung bình IBC IA = AB = b và: MN IM = IA  AM = b x  MN = a(b  x)  BC IB IA  AB 2b b Trong SBC, ta cã: P PQ SQ AM x 2ax     PQ = BC SB AB b b Trong SAB, ta cã: MQ BM b  x a(b  x)  =  MQ = SA AB b b N < Q H M Xét hình thang cân MNPQ, hạ đờng cao QH, ta cã: SMNPQ = 1  a(b  x) 2ax 3a(b  x)  (MN + PQ).QH =  b  2 b 2b 3a2 = 4b2 Ta biÕn ®ỉi: SMNPQ (b + 3x)(b  x)  3a2  4b  = 4b2  VËy (SMNPQ)Max = x  b = 3a(b  x) 2b MQ  MH =  MN  PQ  MQ      QH = a2 2  b   a2  x     3a 4b = 4b2 , đạt đợc khi: =0x= b VÝ dơ 9: Cho h×nh chãp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b Tam giác SBD tam giác Một mặt phẳng di động song song với (SBD) qua điểm I đoạn AC 107 a Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng b Tính diện tích thiết diện theo a, b AI = x Giải Bạn đọc tự vẽ hình a Ta xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếi I OA thì: //(SBD) Ix // BD Ix cắt AB, AD theo thø tù M vµ  Ix   (ABCD)  BD (SBD)  (ABCD)  N LËp luËn tơng tự ta có: cắt mặt phẳng (SAB) theo đoạn giao tuyến MP song song với SB cắt mặt phẳng (SAD) theo đoạn giao tuyến NP song song víi SD Trêng hỵp 2: NÕi I  OC th×:   //(SBD)   Ix // BD Ix cắt CB, CD theo thứ tự H  Ix   (ABCD)  BD (SBD)  (ABCD) L Lập luận tơng tự ta có: cắt mặt phẳng (SBC) theo đoạn giao tuyến HK song song với SB cắt mặt phẳng (SCD) theo đoạn giao tuyến LK song song với SD b Tríc tiªn, ta cã ngay: BD2 b2 = 4 Ta lần lợt xét hai trờng hỵp cđa thiÕt diƯn: a Trêng hỵp 1: NÕi I  OA th× < x < Ta cã: SSBD = 2 SMNP  MN  4x2 b2x2  AI        SMNP = SSBD  BD  a a2  AO  108 Trêng hỵp 2: NÕi I  OC th× a < x < a Ta cã: 2 SLHK  LH  4(a  x)2 b2 (a  x)2  CI    S =     MNP SSBD  BD  a2 a2  CO  Tãm l¹i, ta cã:  b2x2 a  x    a Std =  a  b (a  x )  x  a  a2 VÝ dô 10: Cho lăng trụ tam giác ABC A1B1C1, đáy tam giác cạnh a Các mặt bên ABB1A1, ACC1A1 hình vuông Gọi I, J tâm mặt bên nói O tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC a Chứng minh IJ song song với mặt phẳng (ABC) b Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (IJO) Chứng minh thiết diện thang cân TÝnh diƯn tÝch cđa nã theo a Gi¶i B1 a NhËn xÐt r»ng: C1 IA JA H G  =1 IB JC  IJ // BC  (ABC) IJ // (ABC) b Ta lần lợt có: IJ  (IJO ) vµ BC  (ABC)   Ox // IJ // BC  IJ // BC  (IJO )  (ABC) Ox  A1 I B E O J F C A Ox cắt AB AC theo thứ tự E F Nối EI cắt A1B1 H nối FI cắt A1C1 G Nh vậy, thiết diện tứ giác EFGH Nhận xÐt r»ng:  (ABC) //(A 1B1C1)   (IJO )  (ABC) EF  EF // GH  EFGH lµ h×nh thang  (IJO )  (A B C ) GH 1 Vì ABC nên AA1B1B = AA1C1C, ®ã EH = FG 109 VËy, thiÕt diƯn EFGH hình thang cân Trong ABC, ta có:  EF 2a   EF = BC 3 Trong A1B1C1, ta cã: HG A H BE     HG = a B1C1 A 1B1 BA 3  Trong IBE, ta cã: ˆE IE2 = BI2 + BE2  2BI.BE.cos I B 2  a 2  a 5a2 a a   = +    .cos450 =   18  3   a 10 a 10  EH = 2IE = Khi đó, xét hình thang cân EFGH, hạ đờng cao HM, ta có: IE = HM = EH2  ME =  EF  HG  EH2      (EF + HG).HM  2a a  a 39 a2 39 =    =  3 12 = Chó ý: Trong lời giải trên: H G SEFGH = a 39 F < M E ë c©u a), chóng ta cã thĨ sư dơng nhËn xÐt: // a IJ đờng trung bình A1BC IJ  BC (ta cã IJ = ) 2 Khi đó, câu b), tính độ dài HG dựa tính chất IJ ®êng trung b×nh cđa h×nh thang EFGH nh sau: IJ = 110 a 2a a (EF + HG)  HG = 2IJ  EF =  = 2 3 ... qua O song song với (P) Hệ 1: Nếu đờng thẳng a song song với mặt phẳng (Q) qua a có mặt phẳng (P) song song với (Q) Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thø ba th× song song víi... chiÕu song song PhÐp chiÕu song song l Mvíi  Cho mỈt phẳng đờng thẳng l không song song Với điểm M không gian, đờng thẳng qua M song song với l cắt điểm M M Điểm M đợc gọi hình chiếu song song... phẳng gọi song song với chúng điểm chung 60 điều kiện để đờng thẳng song song với mặt phẳng Định lí 1: Nếu đờng thẳng a không nằm mặt phẳng (P) song song với đờng thẳng (P) a song song với (P)