Bí kíp oxy nguyễn văn nam nguyễn thế lực

Võ lâm bí tịch Oxy Cửu âm chân kinh Version 1.0 I, Giới thiệu: Đa số em gặp trở ngại cày hình Oxy, em xem giảng, nghe thầy giảng hiểu bắt tay vào làm lại khơng làm được, phần em chưa nắm vững kiến thức bản, phần chưa biết cách tư Có nhiều em lại nói với anh lúc làm dễ mà thi lại khó lại phải kẻ vẽ thêm đường phụ, lý đâu? Nhiều em làm tốt Oxy sau đọc xong chuyên đề hệ phương trình ver 2.1 anh lại cho Oxy khó hệ, muốn anh chia sẻ kinh nghiệm làm tốn Ở bí kíp này, anh tập trung dạy em tư Oxy mấu chốt tốn, giải chi tiết cho em 100 không định hướng để em tự làm bài, mạng tài liệu giải chi tiết nhiều, sách có nhiều vài trăm trang… thử hỏi đọc xong em lĩnh hội bao nhiêu? Ở bí kíp anh muốn chia sẻ cách làm Oxy khơng khơng gây khó cho em Anh lang thang nhiều diễn đàn xem thầy tiếng, anh thấy tài liệu tổng hợp phương án hay mạng, chưa có viết Anh khơng nổ đâu nhé, khơng lại đổi tên thành BLực (Boom Lực tội anh, keke gọi anh Thế Lực BK tức anh Lực chuyên viết Bí Kíp hay anh Lực học Bách Khoa được, hehe) II, Đặt vấn đề Trước nói nội dung anh trình bày anh xin nhắc lại số kiến thức bản: Hình Oxy ta có đối tượng quan trọng là: Điểm; đường thẳng; đường tròn, elip… Các đối tượng hoàn toàn xác định ta biết điều kiện nó, thường tốn cho ta sẵn kiện, ta phải tự tìm kiện lại thơng qua kiệu lại phải thông qua bổ đề vuông góc, nhau, song song u cầu tốn Tìm điểm, đường thẳng, đường tròn, elip… + Nếu tìm điểm tác giả cho sẵn thuộc đường thẳng hay đường tròn quan hệ độ dài + Nếu tìm đường thẳng cho vtcp vtpt tọa độ điểm + Nếu tìm đường tròn đa phần có biểu thức quan hệ độ dài hay khoảng cách để em tính bán kính Sau có kiện việc lại giải phương trình Bổ đề vng góc, song song, Các em tiến hành xử lý, sử dụng công thức góc, khoảng cách, tham số hóa tọa độ điểm đề cho đường thẳng qua điểm đó… Mọi thứ để tìm thêm mối liên hệ Dữ kiện toán http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đó tư để giải Oxy, từ kiện lên anh nói thẳng có vơ vàn đường cho em đa phần em lạc lối Giống sau: Cùng mục tiêu đỗ đại học có đường + Chăm học → học làm chăm → Đỗ Đại Học + Đỗ Đại Học → thi 24-27 điểm → môn 8-9 điểm → tập trung cày điểm lại phải có bước đột phá (bí kíp hệ chẳng hạn →)  điểm đầu dễ chăm → Chăm học Các em thấy chưa, mục tiêu, kiện, xác định từ ta có đến ta tìm kiếm mông lung nhiều ta lên hệ thống muốn có kết ta phải làm ta thực trình tự đó, ta kết Anh gọi tư ngược, trình học phải có bước đột phá bổ đề phụ toán Oxy ● Yêu cầu chung: Có Tinh thần đỗ Đại Học ý thức học tập, tháng cuối em Nắm kiến thức mặt phẳng Oxy III, Nội Dung * Nội dung chính: Hệ thống kiến thức SGK Tư ngược để giải toán Oxy Các Bổ Đề hình học hay dùng mặt phẳng Oxy cách chứng minh (một số bổ đề quan trọng, số có tính chất tham khảo) Về bố cục tài liệu gồm có: A- Hệ thống kiến thức SGK B- Tư ngược Gồm ví dụ phân tích chi tiết Các tự luyện Oxy thi ĐH có đáp số C- Bổ đề hình học: Tam giác, hình vng, hình chữ nhật Bổ đề tam giác Bổ đề hình vng, hình chữ nhật… Một số ví dụ minh họa Ở tài liệu anh này, phần lớn anh chia sẻ kinh nghiệm tư làm bài, số bổ đề mà phụ trách phần bạn anh anh Nguyễn Văn Nam – chuyên Toán Vĩnh Phúc, phần bổ đề chủ yếu giải khó có kiện đặc biệt… Hi vọng tài liệu không làm em thất vọng Cảm ơn em dài cổ hóng anh suốt thời gian qua  Thời gian qua anh vui nhận đón nhận nồng nhiệt từ em từ chuyên đề hệ, niềm tự hào áp lực cho anh để cố gắng cho tài liệu sau, anh cố gắng truyền đạt điều dễ hiểu tới em, có hay hay khơng lại vấn đề khác, anh hi vọng có ích thật nhiều cho em hạ gục thằng Oxy, khơng cảm thấy lo sợ Lúc đầu anh định trình bày kiến thức hình vng sở thực thấy khơng ứng dụng nhiều nên anh bỏ qua phần mà tập trung vào phần kiến thức bản, tư ngược bổ đề phụ Tài liệu version 1.0 nên có nhiều sai sót anh hi vọng góp ý em  (đặc biệt sai tả) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Điểm Đường thẳng A- Hệ thống kiến thức Trực tâm: Giao đường cao Trọng tâm: Giao đường trung tuyến Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao đường trung trực Tâm đường tròn nội tiếp: Giao đường phân giác Đi qua M  x0 ; y0  có: Hs góc k: y  k  x  x0   y0 r Vtpt n   a; b  : a  x  x0   b  y  y0   r Vtcp u   a; b  Oxy Đi qua Đường tròn Chính tắc x  x0 y  y0  a b Tham số � x y �A  a;0  �Ox � pt :   1, ab �0 � a b �B  0; b  �Oy 2 + Tâm I  x0 ; y0   x  x0    y  y0   R �x  x0  at � �y  y0  bt + Bán kính R Elip x2 y  1 a b2 ���� � Có � a b � a2  b2 a  b2  c2 x  y  ax  by  c  ���� � Tâm I � ; �và R  c �2 � Trục lớn: A1 A2  2a , nhỏ B1 B2  2b Độ dài tiêu cự F1 F2  2c với a  b  c , a, b, c  e  c 1 Tâm sai a �x  �a �S  4ab �� HCN sở H giới hạn � C   a  b �y  �b � O x M  xO ; yO  ή  E � a Khoảng cách O y b 1; MF1 MF2 c � MF1  a  xO  a  exO � � a � �MF  a  c x  a  ex O O � a 2a uuu r � �A  x1 ; y  � AB   x2  x1 ; y2  y1  � AB  � �B  x2 ; y2   x2  x1    y2  y1  ax  byO  c �M  xO ; yO  � d M ,   O �  : ax  by  c  a  b2 �  '/ / , M � ' � d   ',   d  M ,  Góc ur uu r ur uu r 1 : a1 x  b1 y  c1  a1a2  b1b2 � � cos   cos n1 , n2   cos u1 , u2 �  : a2 x  b2 y  c2  a12  b12 a22  b22 �  1    1 : y  k1 x  d1  : y  k2 x  d http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word   1 abc a.ha  bc sin � A  pr  2 4R R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp p nửa chu vi Diện tích tam giác: S  p  p  a   p  b  p  c  B- Tư ngược Anh nêu pp để giúp hình thành tư cho em toán Oxy, để định hướng rằng, muốn có KQ ta cần tìm gì, từ ta ghép nối với kiện toán cho phù hợp Khởi động ta chiến ln A – 2014: Ví dụ (ĐH-A-2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1;2) N(2;-1) Hướng dẫn + Bước 1: Ta cần vẽ hình thật chuẩn + Bước 2: Xác định mục tiêu phương hướng: bẻ khóa, tìm điểm mấu chốt * Mục tiêu: Viết phương trình CD, tay trắng, khơng có kiện trực tiếp Có hướng để em viết pt đường thẳng Là tìm điểm thuộc đường thẳng, ta đặc biệt quan tâm tới đầu mút trung điểm đoạn CD, điểm đặc biệt Ta tìm điểm vecto phương pháp tuyến Một điều đặc biệt quan trọng khiến phải quan tâm hình vng hay hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành tọa độ tâm quan trọng, giúp ta nhiều việc biết tọa độ đỉnh tìm tọa độ đỉnh đối diện có khả dễ dàng tìm nhờ đỉnh lại Ở tâm hình vng ABCD I, ta tìm I thì: + Dễ dàng xác định C, N trung điểm IC + Dễ dàng xác định trung điểm CD I trung điểm MP, với P trung điểm CD + Ta dễ dàng xác định IM vecto pháp tuyến CD …………… Vậy có tọa độ I, ta giải vấn đề toán Vậy câu hỏi làm để tìm I? Ta nhận thấy mối liên hệ IM IN sau: AI � IM  � � � IM  IN , ta có phương trình, ta phải tìm phương trình � AI �IN  � Đến vui nè: có nhiều hỏi anh là? Anh em biến đổi hồi lại 0x = 0, keke http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đó em dùng kiện lần, để tránh điều đó? Ta phải biết kiện ta dùng rồi, kiện ta chưa dùng được: hcn, AC  BD � Từ kiện hình vng: � � � C �  90, AB  BC  CD  DA AB � AI �AM  MI �AB  BC �� Khi ta dùng IM  tức ta dùng � điều kiện hình vng coi dùng �AM  MI �AB  BC IN  AI tức AN = 3NC dùng Tọa độ M, N phục vụ phương trình IM  IN  x, x  rồi, muốn tìm pt đâu? Ta để ý độ dài MN  10 ta chưa có dùng, phải bám vào Các em nối M với N, thấy tam giác IMN có góc � NIM  135� � Các em áp dụng định lý cosin: MN  IM  IN  IM IN cos NIM 1 � 10  x  x  2 x � 10  x � x  Tới ta có: 2 2 � � �IM   x  1   y    � x  1   y    �  �� �� � 2 �IN  2x   y   x   y   �     � � x  1, y  2 � � � 10 y  y  x  1   y    �  � �� �� � 11 tới xong � x ,y x  y  �x  y  � � ● Với I(1;0) C(3;2) IM   2;0  vecto pháp tuyến CD nên: CD : y   11 ● Với I ( ; ) 5 12 12 C( ; ) IM  (  ; ) vecto pháp tuyến:  ( x  )  ( y  )  � CD : 3x  y  15  5 5 5 5 Vậy có phương trình CD là: CD : y   CD : 3x  y  15  Ví dụ 2: (ĐH – B – 2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Điểm M(-3;0) trung điểm cạnh AB, điểm H(0;-1) hình chiếu vng góc B AD điểm G ( ;3) trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm B D Hướng dẫn: + Bước 1: Vẽ cẩn thận hình, mặt toán: + Bước 2: Xác định mục tiêu → Phương hướng: Tìm điểm mấu chốt, hạ gục tốn Mục tiêu ta tìm tọa độ B D, ta để ý điểm đối xứng với tâm I tim hình bình hành, ta cần bám vào nhiều, nên cần tìm B I tìm D Các em gọi N trung điểm DC đằng lúc vẽ phải xác định vẽ trọng tâm � BC  D G � � từ kiện trọng tâm G có khả � anh viết em tự hiểu nhé, hồn tồn tự nhiên �BG  BN � anh không đặt Về hình vẽ cần thơi Mục tiêu tìm I B, em thấy có tọa độ I dễ dàng suy B nhờ đường I → N I trung điểm MN → B GB  2GN thực chất ta cần tìm điểm I B xong, tìm B quy trình ngược lại cuối anh chọn tìm B thấy kiện đề cho vng góc liên quan trực tiếp tới điểm B HB  AH thực tìm điểm thơi, em thấy dễ làm trước Ta giả sử B ( xO ; yO ) M trung điểm AB nên: A(6  xO ;  yO ) suy AH   xO  6; yO  1 Ta có: HB   xO ; yO  1 Theo giả thiết: AH HB  � xO  xO     yO  1  yO  1   1 Vậy ta có phương trình, ta cần tìm phương trình nữa, ta sử dụng kiện đề vng góc tọa độ H, M M trung điểm AB kiện ABCD hình bình hành G trọng tâm BCD, ta tập trung khai thác chúng  xO � xN  � � x    2( x  ) �O � � N �4  xO ;  yO � N �� Với G trọng tâm BCD nên: GB  2GN � � � �  yO 2 � � � � y  �yO   2( y N  3) �N http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �AD  BC Rồi kiện ABCD hình bình hành � � �AD / / BC Tức MN // AD ta sử dụng điều kiện đã: 10  xO  yO � � MN  � ; � � � MN / / AD �� MN ۹/ / AH MN k AH 10  xO �  k  xO    a  � � ,k �  y O �  k  yO  1  b  � Dễ thấy yO  không thỏa mãn (b) nên ta hoàn toàn yên tâm khác vế phương trình (b) Ta nhân chéo (b) với (a) ta được:  10  xO   yO  1   xO     yO  � xO  yO    Các em lấy (2) thay vào (1) được:  yO  1  yO  15  � yO  � xO  2 � B  2;3  yO  bị loại em nhé, khơng thỏa mãn (b) Nếu em muốn yên tâm làm này, đưa vng góc cho thành phép nhân đỡ nguy hiểm MN / / AD  ޮޮ �MN / / AH 10  xO � �9  yO � �� �xO  � � � � MN HB MN HB �  yO  1  � � � xO2  yO2  10 xO  yO    3 Từ (1) (3) suy ra: 2 B  2;3 �xO2  yO2  xO   � xO  2, yO  � �xO2  yO2  xO   � �xO  yO  xO   � � � � � � �2 � � � xO  0, yO  1 � 16 xO  yO   B  0; 1 � � �xO  yO  10 xO  yO   �yO    xO  1 Nhiều em điêu đứng chỗ đây, thân anh điêu đứng lần tìm điểm khơng biết loại điểm lại, đó, có mặt, tránh vỏ dưa gặp vỏ dừa :D Hãy nhớ lại điều kiện = hình bình hành mà ta chưa dùng ● Với B(0;-1) ta có Ta dùng điều kiện này: AD = MN = BC MN   5;5  N  2;5  , I ( ; ) suy D(1;6); C(3;4) nên BC  (3;5) 2 Dễ thấy MN �BC nên loại B(0;-1) ● Với B(-2;3) ta có Ta làm y chang :D MN  (6;3) N (3;3), I (0; ) suy D(2;0); C(4;6) nên BC  (6;3) Đó thấy nga MN = BC B(-2;3) thỏa mãn Vậy B(-2;3) D(2;0) Đây phương pháp tư ngược, xử lý điều kiện mà anh muốn trình bày, anh chóng làm xong mở giải xem BGD, mà người ta kẻ vẽ vậy? khơng kẻ thêm đường gì, hồn tồn tự nhiên khơng gượng ép Ví dụ 3: ĐH – D – 2014: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D(1;-1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – = 0, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – = Viết phương trình đường thẳng BC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn Các em thao khảo cuối cùng, phần tập áp dụng bổ đề trang gần cuối Ví dụ 4: ĐH – A – 2013: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d:2 x  y   A(-4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5;-4) ĐS: B(-4;-7); C(1;-7) Hướng dẫn Bước 1: Vẽ hình: Hình vẽ đơn giản thơi Bước 2: Xác định mục tiêu, phương hướng: tìm điểm mấu chốt Ở ta cần tìm B C, ta biết trước kiện C nên cần biết kiện xong Thực ngồi điều kiện C thuộc 2x + y + = khơng có điều kiện liên quan tới C cả, em thấy điều có nghĩa em phải tự tìm điều đặc biệt liên quan tới C điểm có tọa độ lại, ta nối A với N độ dài AN có ích cho ta, nối C với N, C với A, điểm có tọa độ sẵn ta liên hệ với điểm cần tìm xem có đặc biệt khơng, kA-2014 ta nối thấy góc 135 độ, sao? Lúc tác dụng việc vẽ chuẩn hình bắt đầu có tác dụng, ta thấy AN vng với CN, vng q tốt, ta tìm tọa độ C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đây lí ta phải phân tích điểm cần tìm trước, điểm cần tìm sau để tìm mối liên hệ cho phù hợp, khơng vững vàng tư tưởng phòng thi rối cảm thấy ngột thở nghĩ khơng * Bây ta chứng minh AN vng góc với NC: anh sử dụng cộng góc, em dùng tứ giác nội tiếp Ta phải bám vào kiện đề cho mà ta chưa dùng là: BN  DM , BC  CM Trong tam giác vuông NBC thấy NC trung tuyến tam giác nên NC  BC  CM �  HBC � Nên BCN tam giác cân C suy ra: HNC (1) Để ý chút nữa: Anh gọi thêm điểm H Thì ACMD hình bình hành, nên AC / / DM � AC  DM Tam giác BCN cân lại có CH đường cao nên đường trung tuyến hay H trung điểm BN Vậy tam giác ABN cân AH vừa đường cao, vừa trung tuyến nên � ANH  � ABH (2) Từ (1) (2) suy ra: � � � �  ABC �  90�vậy AN  NC ta có: ANC  � ANH  HNC ABH  HBC Với C thuộc x  y   suy ra: C  c; 2c   AN  (9; 12); NC  (c  5; 2c  1) AN  NC � AN NC  � 9(c  5)  12(2c  1)  � c  � C (1; 7) Muốn tính tọa độ B ta tính thơng qua H N ta biết rồi, H lại trung điểm BN ta cần viết phương trình AC NB x  y 8  � 3x  y   Phương trình AC:  7  Phương trình NB qua N vuông AC: ( x  5)  3( y  4)  � x  y  17  � x � x  y  4 � � �1 11 � �� � H�; Tọa độ H nghiệm hệ: � � �2 � �x  y  17 �y  11 � Do H trung điểm BN nên tọa độ B(-4;7) Đây cách anh làm thi năm 2013 anh, em đọc thấy khó, lúc phòng thi anh nghĩ cách thơi, cách anh tham khảo thêm BGD sau: Như anh nói trước, tim hình vng, hình bình hành, hình chữ nhật ln tâm I nó, ta cần bám vào tâm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trước hết ta tham số tọa độ C (c; 2c  5) Bài toán cho ta kiện sau: �hcn _ ABCD � điều kiện cuối ta thấy không liên hệ nhiều với C nên bám vào điều kiện hình chữ nhật �BC  CM �BN  DM � xem t  2t  ; ) 2 Bây ta lại xử điều kiện lại, Tam giác BND vng có IN trung tuyến BD IN = IB hay IN = IA (tới kiện hình chữ nhật coi dùng hết em nhé: đường chéo cắt trung điểm đường mà, nên không sử dụng lại kiện hình chữ nhật nữa) Ta bám ln vào điểm I nữa, ta có I trung điểm AC nên: I ( 2 2 � t  � � 2t  � � t  � � 2t  � 5 4  4  8 � � � � � � � �� t  � � � � � � � � Suy C(1;-7) Bây điều kiện đối xứng Các em làm tương tự phần trên, chứng minh B đối xứng với N qua H làm tương tự, KQ Ví dụ 5: ĐH – A – 2013 – NC: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : x  y  Đường tròn (C) có bán kính R  10 cắt Δ hai điểm A B cho AB  Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) Hướng dẫn Bước 1: Các em vẽ cẩn thận hình khơng cần thêm bớt http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3.12 Phân giác AD cắt đường tròn (O) K ⇒ I J đối xứng với qua K Đường tròn bàng tiếp có tâm J giao đường phân giác đường phân giác tam giác ABC ⇒ có đường tròn bàng tiếp A, I, J nằm đường phân giác góc A ⇒ A, I, J thẳng hàng BI, BJ đường phân giác góc kề bù ⇒ BI  BJ ⇒ tam giác BIJ vuông B Theo 3.8, K tâm đường tròn ngoại tiếp BIC ⇒ KB = KI ⇒ K trung điểm IJ ⇒ KI = KJ 3.13 Trung tuyến AM, đường cao BD, CE DE cắt BC N ⇒ NH  AM Gọi I, K trung điểm AH, HM  I tâm đường tròn ngoại tiếp AEHD (do � AEH  � ADH  90�) Và K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác � HMF ( HFM  90�) Và đường tròn tâm I, tâm K cắt H, N ⇒ NH trục đẳng phương đường tròn tâm (I), (K)  NH  AM  Bổ đề hình vng, hình chữ nhật… AF  BE , E �CD, F �BC thỏa mãn BF AB  CE BC BF AB �  90� ABF  BCE ;  ABF ~ BCE (do có � ) CE BC �  CBE � ; lại có BAF �  BFA �  90�  BAF �  CBE �  90�� BE  AF  BFA Chú ý: - Khi AB = BC, tức ABCD hình vng, có BF = CE ta có AF  BE http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trường hợp E, F trung điểm CD, BC ⇒ BF  CE  AB / ⇒ AF  BE Tính chất AB  EF � AE  BE  AF  BF Áp dụng định lý Py-ta-go: AE  AH  EH ; BE  EH  BH ⇒ AE  BE  AH  BH Tương tự, ta có AF  BF  AH  BH Do đó, AE  BE  AF  BF Hệ bổ đề tam giác 3.10 E, F, N, M, I trung điểm AB, DH, AD, CH, BH I, M trung điểm BH, CH ⇒ bổ đề 3.10, AI  BM MI đường trung bình tam giác HBC ⇒ 1 BC  AD  AN 2  AIMN hình bình hành ⇒ AI // MN  MN  BM Tương tự, chứng minh EFMB hình bình hành ⇒ BM // EF ⇒ AI  EF EF  MN MI / / BC / / AD MI  KH  IN , K điểm đối xứng C qua B, M, N, I trung điểm BH, CH, AD Theo bổ đề 4, AM  BN , AINM hình bình hành ⇒ AM / / IN BN đường trung bình tam giác HCK nên BN / / KH Do đó, KH  IN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word AB AD AC   AM AN AP Đường thẳng d cắt AB, AC, AD M, P, N Kẻ BB '/ / DD'/ / d AB AB ' AD AD '  ;  AM AP AN AP ABCD hình bình hành, BB '/ / DD ' nên AB '  CD ' AB AD  Do đó, AB ' AD'  AD' D'C  AC � AM AN AB ' AD ' AB ' AD ' AC     AP AP AP AP AB AD  2 Nếu d qua điểm O ta ln có AM AN Theo định lý ta-let: Đường thẳng d cắt AB, AC, trung tuyến AO M, N, G Áp dụng bổ đề 5, dựng hình bình hành ABDC AB AC AD AO �    AM AN AO AG AB AC  3 Nếu G trọng tâm, ta ln có: AM AN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �  60� B, H, I, O, C nằm đường tròn BAC Kẻ BB '/ / DD'/ / d AB AB ' AD AD '  ;  AM AP AN AP ABCD hình bình hành, BB '/ / DD ' nên AB '  CD ' AB AD  Do đó, AB ' AD'  AD' D'C  AC � AM AN AB ' AD ' AB ' AD ' AC     AP AP AP AP AB AD  2 Nếu d qua điểm O ta ln có AM AN Theo định lý ta-let: DE  KE F, E, K trung điểm AB, DO, CO Vì EF đường trung bình ΔOCD nên EF  DC AB (do OK đường trung tuyến ΔOAB vuông cân) nên EF  OK Mặt khác ta có DF  OE ; �  180� OFE �  135� EOK � DFE Mà OK  Suy gDDFE  EOK  c  g  c  �  OEK � Do FDE �  DEO �  OEK �  DEO �  FDE � � DEK � AOD (tính chất góc ngồi tam giác)  90�hay KE  DE (đpcm) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word AI  AD M, N trung điểm AB, BC AN cắt CM I Gọi P trung điểm CD AP cắt DN H Theo bổ đề 1, DN  CM Dễ thấy AMCP hình bình hành ⇒ AP / /CM hay PH / / CI , mà P trung điểm DC nên H trung điểm DI AP / / CM � AP  DN Do đó, AP vừa trung tuyến, vừa đường cao ⇒ tam giác ADI cân A ⇒ AD  AI 10 A, L, N thẳng hàng I , I a tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A tiếp xúc với BC M, N L đối xứng với M qua I ⇒ I , I a thẳng hàng (1) �IL  BC � IL / / I a N (2) Lại có: � �I a N  BC H, K tiếp điểm (I), ( I a ) với AB � IL IH IA   (do IH / / I a K ) (3) Ia N Ia K Ia A Từ (1), (2), (3) suy A, L, N thẳng hàng 11 BM = CP Đường tròn nội tiếp tâm I, tiếp xúc với BC M Kẻ đường kính MN AN cắt BC P Kẻ tiếp tuyến (I) N, cắt AB, AC E, F K tiếp điểm (I) với AB � ⇒ IE phân giác góc KIN � Có IB phân giác góc KIM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �  KIM �  180� nên EIB �  90� ⇒ ΔBIE vng I có IK đường cao ⇒ r  IK KIN  KE.KB  NE.MB Tương tự, r  NF MC NE NF NE  NF EF    Do đó, NE.MB  NF MC � MC MB MC  MB BC NF EF  Lại có EF / / BC nên Do CP  BM Cp BC 12 AM  PQ AD, BE, CF đường cao hạ từ A, B, C Đường thẳng qua A song song BE cắt CF P Đường thẳng qua A song song CF cắt BE Q ⇒ APHQ hình bình hành Gọi I tâm giao AH PQ ⇒ I trung điểm AH Có: � ABC  � AHP (do tứ giác BFHD nội tiếp) � � (do phụ với góc PAF �  BAE � ) APH  BAC đó, ABC ~ PHA( g  g ) có I, M trung điểm AH BC � � �  90� � PIH ~ AMB � PIH AMD � IKMD nội tiếp � IKM ⇒ đpcm 13 CH  HF F, E thuộc AB, AD thỏa mãn AF  AE H hình chiếu A lên BE Xét AHF BHC có: � � � HAF AEH  HBC AH BH AH BH  �  AE BA AF BC � AHF ~ BHC (c  g  c ) � �� AHF  BHC �  90�nên BHC �  FHB �  90� Mà � AHF  FHB � HF  HC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �  90� 14 BKC D, E, F tiếp điểm (I) với BC, CA, AB EF cắt BI K � � �  90� BAC � KIC �  90� BAC Ta có BIC 2 � � 180� BAC BAC � � KEC AEF   90� 2 �  KEC � �  90�nên IKC �  90� Do đó, KIC ⇒ Tứ giác EKCI nội tiếp, có IEC ⇒ đpcm Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(1; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I(2; 0) điểm A(3; 4) Viết phương trình đường thẳng BC Giải uuur AH  (2; 1) uuur uuur H trực tâm ⇒ AH  BC ⇒ VTPT BC AH  (2; 1) hay nBC  (2;1) Ta cần tìm thêm tọa độ điểm thuộc BC Điểm chân hình chiếu A lên BC, trung điểm BC, giao AI với BC Quan sát kiện đề bài, xuất A, H, I (tâm ngoại tiếp), ta liên hệ tới bổ đề: uuur uuuu r Mối quan hệ trực tâm H tâm O: AH  2OM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi M trung điểm BC, T đối xứng với A qua O ⇒ AT đường kính đường tròn tâm O B, C thuộc đường tròn đường kính AT nên BA  BT ; CA  CT (1) H trực tâm nên BA  CH ; CA  BH (2) Từ (1) (2) suy CH / / BT ; BH / / CT ⇒ BHCT hình bình hành, có M trung điểm đường chéo BC nên M trung điểm đường chéo HT; O trung điểm AT ⇒ OM đường trung bình tam giác AHT uuur uuuu r OM / / AH � �� � AH  2OM �AH  2OM Từ đó, ta nhận phải tìm tọa độ điểm M: �xM  uuur uuur �  xM  xI   2 � � �� Áp dụng bổ đề: AH  IM  (2; 1) � � � M (1;  ) 2  yM  yI   1 �yM   � � uuur Do đó, phương trình đường thẳng BC qua M (1;  ) , có vtpt nBC  (2;1) là: ( BC ) : 2( x  1)  1.( y  )  � ( BC ) : x  y   2 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD cạnh a = M, N trung điểm AB, BC Biết phương trình đường thẳng CM, DN x  y   0; x  y   Tìm tọa độ A biết A thuộc d: x  y   Giải Tham số hóa A(2t  3; t ) ⇒ cần tìm thêm phương trình liên quan Gọi I giao điểm CM, DN ⇒ I(1; 1) Ta có bổ đề sau: AD = AI M, N trung điểm AB, BC AN cắt CM I http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi P trung điểm CD AP cắt DN H Theo bổ đề 1, DN  CM Dễ thấy AMCP hình bình hành ⇒ AP // CM hay PH // CI, mà P trung điểm DC nên H trung điểm DI AP // CM ⇒ AP  DN Do đó, AP vừa trung tuyến, vừa đường cao ⇒ tam giác ADI cân A ⇒ AD = AI Áp dụng bổ đề:  AD  AI   2t     t  1 � t  t  � A(1;1) A(13;8) Ví dụ 3: (Khối A – 2009) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc cạnh AB trung điểm E CD thuộc đường thẳng  : x  y   Viết phương trình đường thẳng AB Giải Viết phương trình đường thẳng AB, biết qua M(1; 5) Ta cần tìm vecto pháp tuyến (có thể tìm thêm điểm khác thuộc AB không khả thi) Nhận thấy IE  CD / / AB � IE  AB , biết điểm I ⇒ cần tìm điểm E suy vtpt AB Điểm E thuộc  : x  y   ⇒ tham số hóa E (t ;5  t ) ⇒ cần tìm thêm phương trình Khi biết tọa độ tâm I, ta nghĩ đến tính chất đối xứng hình chữ nhật: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I Nếu M �AB , N đối xứng với M qua I N �CD xI  xM  11 � N (11; 1) Do đó, N có tọa độ yI  yM  1 uur uuur Từ đó, ta có phương trình liên quan đến t là: EI EN  uur uuur EI  (6  t ; t; 3); EN  (11  t; t  6) � (6  t ).(11  t )  (t  3).(t  6)  � t6 t7 uur - Nếu t  � EI  (0;3) � ( AB) : 3( y  5)  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uur - Nếu t  � EI  ( 1; 4) � ( AB) : 1( x  1)  4( y  5)  � ( AB) :  x  y  19  2 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C  x  y  25 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC có chân đường cao hạ từ B, C M (1; 3); N(2; 3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết y A  Giải Biết y A  ⇒ tìm tọa độ điểm A trước Xuất chân đường vng góc tâm ngoại tiếp, ta nghĩ đến bổ đề: Tính chất AO  EF BE, CF đường cao hạ từ B, C Kẻ tiếp tuyến A đường tròn tâm O � �  xAB ACB �  BEC �  90�⇒ BFEC tứ giác nội tiếp ⇒ � BFC AFE  � ACB � � Do đó, xAB AFE ⇒ Ax / / EF mà AO  Ax nên AO  EF uuur uuuu r Áp dụng, ta có MN  AO ; MN  (3;0) ⇒ VTPT AO nAO  (3;0) uuur AO qua O(0; 0), có vtpt nAO  (3;0)  ( AO) : x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �x  �x  ��  Tọa độ điểm A giao đường tròn (C) với AO: � (do y A  ) �x  y  25 �y  5  Phương trình AN: x  y    Phương trình AM: x  y   Điểm B, C giao AN, AM với đường tròn (C): �x  y   � B (5;0) �2 �x  y  25 2x  y   � � C (4;3) �2 x  y  25 � Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC cân A, trực tâm H(-3; 2) Gọi D, E chân đường cao hạ từ B, C Biết A nằm đường thẳng d: x  y   Điểm F(-2; 3) thuộc đường thẳng DE HD = Tìm tọa độ điểm A Giải A �(d ) : x  y   � A(3t  3; t ) Ta cần tìm thêm phương trình liên quan đến A Tam giác ABC cân A, D, E chân đường cao hạ từ B, C ⇒ DE // BC H trực tâm ⇒ AH  BC  AH  DE hay AH  DF Sử dụng bổ đề sau: Tính chất AB  EF � AE  BE  AF  BF Áp dụng định lý Py-ta-go: AE  AH  EH ; BE  EH  BH � AE  BE  AH  BH Tương tự, ta có AF  BF  AH  BH Do đó, AE  BE  AF  BF http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Áp dụng: FA2  FH  DA2  DH Theo Py-ta-go: DA2  AH  DH � FA2  FH  AH  DH Biết tọa độ F, H, tham số hóa A, đoạn DH ⇒ ta phương trình t:  3t     t  3    3t     t    � t  � A(3;0) 2 Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm I(1; -1) J(1; 0) tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC, đường tròn bàng tiếp góc A có tâm F(2; -8) Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết đỉnh A có tung độ âm Giải Bổ đề liên quan đến đường tròn bàng tiếp: Phân giác AD cắt đường tròn (O) K ⇒ I J đối xứng với qua K http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word - Đường tròn bàng tiếp có tâm J giao đường phân giác đường phân giác tam giác ABC ⇒ có đường tròn bàng tiếp A, I, J nằm đường phân giác góc A ⇒ A, I, J thẳng hàng BI, BJ đường phân giác góc kề bù ⇒ BI  BJ ⇒ tam giác BIJ vuông B Theo 3.8, K tâm đường tròn ngoại tiếp BIC ⇒ KB  KI ⇒ K trung điểm IJ ⇒ KI  KJ Áp dụng bổ đề: Hướng: Tọa độ A giao đường tròn ngoại tiếp tâm I với JF Gọi M trung điểm JF ⇒ M thuộc đường tròn ngoại tiếp tâm I tam giác ABC M ( ; 4) ⇒ đường tròn tâm ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(1; -1), bán kính 37 2 37 ⇒ phương trình đường tròn tâm I là:  x  1   y  1  IM  (  1)  (4  1)2  2 x 1 y   � 8x  y   Phương trình đường thẳng JF là:  8  Tọa độ điểm A thỏa mãn giao đường tròn ngoại tiếp ABC với đường thẳng JF: 37 2  x  1   y  1  � x  97 x  130 8x  y   y  4 (thỏa mãn) 97 Nếu x  y  (loại) 130 Nếu x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy A( ; 4) Ví dụ 7: (Khối D-2014) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A D(1; -1) Đường thẳng AB có phương trình x  y   Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ABC có phương trình x  y   Viết phương trình đường thẳng BC Giải BC qua D(1; -1) Ta có hướng: tìm vtpt tìm điểm khác D thuộc BC - Hướng tìm vtpt khơng khả quan thiếu yếu tố vng góc - Đi theo hướng 2, tìm điểm khác D thuộc BC Gọi E giao điểm tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ABC với BC ⇒ ( AE ) : x  y   Dễ dàng tìm tọa độ A: 3x  y   � A(1;3) x  2y   Ta sử dụng bổ đề sau: Tiếp tuyến A (O) cắt BC P AD phân giác góc A ⇒ PA = PD �  PAB �  BAD � � � � PAD ACB  DAC ADP ⇒ PAD cân P ⇒ PA = PD Áp dụng bổ đề: EA = ED ⇒ E thuộc đường trung trực AD Phương trình đường thẳng AD: x  ⇒ phương trình trung trực AD có dạng y  m Trung trực Δ AD qua điểm N trung điểm AD, có tọa độ N(1; 1) nên m  � () : y  Điểm E giao AE (Δ): x  2y   � E (5;1) y 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x 1 y   � ( BC ) : x  y   1  **************************************************************************************** Chào em, em đọc đến trang cuối “Bí Kíp Oxy cửu âm chân kinh” mà anh anh Nguyễn Văn Nam dày công biên soạn Để viết tài liệu nhiều thời gian tâm huyết, hi vọng đem lại kinh nghiệm quý báu cho em, giúp em làm tốt câu Oxy đề THPT Quốc Gia ⇒ Phương trình BC: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... 4); M(-2; 1) Chuyên đề: Các bổ đề trợ giúp giải tốn hình học phẳng Biên soạn: Nguyễn Văn Nam (chính) _ Nguyễn Thế Lực  Tam giác ABC – Một số bổ đề có tính chất tham khảo Tài liệu: - THTT 384,... anh này, phần lớn anh chia sẻ kinh nghiệm tư làm bài, số bổ đề mà phụ trách phần bạn anh anh Nguyễn Văn Nam – chuyên Toán Vĩnh Phúc, phần bổ đề chủ yếu giải khó có kiện đặc biệt… Hi vọng tài liệu... toán Oxy ● Yêu cầu chung: Có Tinh thần đỗ Đại Học ý thức học tập, tháng cuối em Nắm kiến thức mặt phẳng Oxy III, Nội Dung * Nội dung chính: Hệ thống kiến thức SGK Tư ngược để giải toán Oxy Các