14 tính chất thường gặp và 36 bài toán oxy điển hình file word

Các bạn học sinh thân mến! Những năm gần đây, câu hình học tọa độ phẳng Oxy thuộc hệ thống câu hỏi phân loại, loài tập tương đối khó Để giải được, yêu cầu phải phát tính chất đặc biệt hình Các tính chất đặc biệt chủ yếu nằm chương trình tốn học cấp THCS mà học từ lâu, đa số bạn thường khơng nhớ Để chinh phục câu hình học tọa độ phẳng Oxy, trước hết ôn lại số kiến thức đặc trưng Trong tài liệu này, tác giả tạm thời 14 tính chất đặc trưng hình học phẳng để bạn nhớ lại Phần tài liệu tập hợp 36 tốn có hưỡng dẫn giải, vận dụng 14 tính chất trình bày để minh họa cụ thể Tuy lượng tập không nhiều bao quát tương đối đầy đủ dạng toán trọng tâm yếu tố suy luận cần thiết mà đề thi thường khai thác Kiến thức thật mênh mông học cho hết, với phương châm thi – học nấy, tác giả hi vọng tài liệu nhỏ giúp bạn có kiến thức tổng hợp cách nhìn nhận tốt để tư giải thành cơng câu hình học tọa độ phẳng Oxy kỳ thi tới Chúc bạn thành công! http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Phần CÙNG ƠN LẠI CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tính chất 1: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm Gọi H’ giao điểm AH với đường tròn (O) ⇒ H’ đối xứng với H qua BC Hướng dẫn chứng minh: µ (cùng phụ với ·ABC ) + Ta có Gi A1 = C ẳ ả = sd BH ' C =C ả + M A1 = C 2 ⇒ ΔHCH’ cân C ⇒ BC trung trực HH’ ⇒ H’ đối xứng với H qua BC Tính chất 2: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm, kẻ đường kính AA’, M trung điểm BC ⇒ AH = 2OM Hướng dẫn chứng minh nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm BA ⊥ CH ⇒ BA '/ / CH + Ta có ·ABA ' = 90° (góc O) ⇒ BA ⊥ BA ' , mà (1) + Chứng minh tương tự ta có CA '/ / BH + Từ (1) (2) ⇒ tứ giác BHCA’ trung điểm đường chéo BC ⇒ đường chéo A’H ⇒ OM đường hình bình hành, mà M M trung điểm trung bình ΔAA’H ⇒ (2) AH = 2OM Tính chất 3: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), BH CK đường cao ΔABC ⇒ AO ⊥ KH Hướng dẫn chứng minh: + tiếp tuyến Kẻ Ax sd »AC · ⇒ xAC = ·ABC = + Mà ·ABC = ·AHK (do tứ giác KHCB nội tiếp) · ⇒ xAC = ·AHK , mà góc vị trí so le ⇒ Ax / / HK + Lại có Ax ⊥ AO (do Ax tiếp tuyến) ⇒ AO ⊥ HK http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tính chất 4: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm, gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ΔHBC ⇒ O I đối xứng qua BC Hướng dẫn chứng minh: + Gọi H’ giao điểm AH với đường tròn (O) ⇒ tứ giác ACH’B nội tiếp đường tròn (O) ⇒ O đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBH’C + Mặt khác H H’ đối xứng qua BC (tính chất chứng minh) ⇒ ΔHBC đối xứng với ΔH’BC qua BC, mà O, I tâm đường tròn ngoại tiếp ΔH’BC ΔHBC ⇒ I O đối xứng qua BC Tính chất 5: (Đường thẳng Ơ – le) Cho ΔABC, gọi H, G, O trực tâm, trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC Khi ta có: 1) OH = OA + OB + OC 2) điểm O, G, H thẳng hàng OH = 3OG Hướng dẫn chứng minh: 1) Ta chứng minh AH = 2OM (đã chứng minh tính chất 2) + Ta có: OA + OB + OC = OA + 2.OM = OA + AH = OH 2) Do G trọng tâm ΔABC ⇒ OA + OB + OC = 3OG ⇒ OA + 2OM = 3OG ⇒ OA + AH = 3.OG ⇒ OH = 3.OG Vậy điểm O, G, H thẳng hàng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tính chất 6: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E theo thứ tự chân đường cao từ A, B Các điểm M, N theo thứ tự trung điểm BC AB ⇒ tứ giác MEND nội tiếp Hướng dẫn chứng minh: + Ta có D trung điểm HH’ (tính chất 1), M trung điểm HA’ (do HCA’B hình bình hành – tính chất 2) Như ta có phép vị tự: V 1 H; ÷  2 ( A ') = M : ( H ') = D + Mà điểm A’, H’ thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔABC ⇒ điểm M, D thuộc đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) tâm O qua phép vị tự V 1 H; ÷  2 (1) + Chứng minh tương tự ta có điểm N, E thuộc đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) tâm O qua phép vị tự V (2) 1 H; ÷  2 + Từ (1) (2) ⇒ điểm D, M, E, N thuộc đường tròn (C) Tính chất 7: Cho ΔABC, gọi O I tâm đường tròn ngoạ cắt đường tròn (O) D ⇒ DB = DI = DC Hướng dẫn chứng minh: µ (do Iµ góc ngồi ΔABI) + Ta có Iµ1 = µ A1 + B 1 =B ả (Do BI l phõn giỏc ABC), ả (Do AI l phõn giỏc ABC), m + Mà B A1 = A 2 » ¶A = B µ = sd BC ⇒ Iµ = B ả +B = IBD ã IBD cõn D ⇒ DI = DB 3 ¶ ⇒ BD » = DC » ⇒ BD = DC + Ta lại có µ A1 = A (1) (2) + Từ (1) (2) ⇒ DB = DI = DC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tính chất 8: Cho ΔABC, gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ A, B, C ΔABC Gọi H trực tâm ΔABC ⇒ H tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF Hướng dẫn chứng minh: + Ta cú t giỏc BDHF ni tip =D ả B 1 (1) =D ả + T giỏc ECDH nội tiếp ⇒ C (2) µ =C µ (cùng phụ với BAC · + Mà B )(3) 1 ¶ =D ¶ ⇒ DH phân giác ΔDEF (*) Từ (1), (2) (3) ⇒ D - Chứng minh tương tự ta có EH, FH tia phân giác ΔDEF (**) - Từ (*) (**) ⇒ H tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF Tính chất 9: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E giao điểm đường tròn (O) với đường cao qua A C ⇒ OB trung trực ED Hướng dn chng minh: ằ ằ sd SD =à ả =C µ = sd BE , C µ =µ + Ta có E A = , D A1 1 1 2 =D ả EBD cân B (cùng phụ với ·ABC ) ⇒ E 1 ⇒ BE = BD (1) + Mà OE = OD (bán kính đường tròn tâm O) (2) Từ (1) (2) ⇒ OB trung trực ED Tính chất 10: Cho ΔABC cân A nội tiếp đường tròn tâm I, G trọng tâm ΔABC Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm ΔADC ⇒ I trực tâm ΔDEG Hướng dẫn chứng minh: - Gọi F, H, K trung điểm BC, AC, AD ⇒ E = DH ∩ CK - Do G trọng tâm ΔABC ⇒ G = AF ∩ CD - Ta có CE CG = = ⇒ GE / / AB , CK CD mà AB ⊥ DI ⇒ GE ⊥ ID - Lại có DE / / BC   ⇒ GI ⊥ DE ⇒ I trực tâm ΔDGE GI ⊥ BC  Tính chất 11: “Trong hình thang cân có đường chéo vng góc, độ dài đường cao độ dài đường trung bình” Hướng dẫn chứng minh: + NM = NI + IM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word + Do ABCD hình thang cân, AC ⊥ BD I ⇒ ΔAIB, ΔDIC vuông cân ⇒ IN, IM đường cao tương ứng đồng thời trung tuyến AB CD ; IM = 2 AB + CD ⇒ NI + IM = = EF ⇒ NM = EF ⇒ NI = Tính chất 12: Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC hình vng ABCD ⇒ AN ⊥ DM Hướng dẫn chứng minh: ¶ + Ta có ΔABN = ΔDAM(c – g – c) ⇒ µ A1 = D ¶ +M ¶ = 90° ⇒ µA + M ¶ = 90° ⇒ ΔAHM vuông H ⇒ + Mà D 1 1 AN ⊥ DM Tính chất 13: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2.AD, M ⇒ DM ⊥ AC Hướng dẫn chứng minh: + Ta có ¶ +M ¶ = 90° (1) D 1 + Mà tan µ A1 = BC ¶ = AM = , = , tan D AB AD ả A1 = D + Thay vào (1) ¶ = 90° ⇒ ΔAHM vng H ⇒µ A1 + M ⇒ AC ⊥ DM Tính chất 14: Cho ΔABC vng A, đường cao AH Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, AH ⇒ AP ⊥ CQ Hướng dẫn chứng minh: + Ta có PQ đường trung bình ΔAHB ⇒ PQ / / AB, mà AB ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ AC ⇒ Q trực tâm ΔAPC ⇒ AP ⊥ CQ Còn nữa… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Phần CÙNG THỰC HÀNH VỚI 36 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word Bài 1: ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3; –1) trung điểm cạnh BC Đường cao kẻ từ B ΔABC qua điểm E(–1; –3), điểm F(1;3) nằm đường thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC biết D(4; –2) Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết, gặp loại tập mà tam giác nội tiếp đường tròn, kiện cho đường cao tam giác ta thường nghĩ đến việc tạo hình bình hành cách: - Nếu tam giác có đường cao ta việc kẻ đường kính qua đỉnh lại (khơng chứa đường cao kia) - Nếu tam giác có đường kính qua đỉnh đường cao ta kẻ đường cao thứ (bài toán ta làm vậy) + Với toán ta tạo điểm H trực tâm ΔABC ⇒ ta chứng minh BHCD hình bình hành (xem tính chất 2) + Cơng việc chuẩn bị xong, ta làm theo bước suy luận sau nhé: - Thấy H trung điểm AC ⇒ H(2;0) - Lập phương trình BH (qua điểm H E) ⇒ BH: x – y – = - Lập phương trình DC (qua D / / BH) ⇒ DC: x – y – = - Lập phương trình AC (qua F ⊥ BH) ⇒ AC: x + y – = - Tọa độ C = AC ∩ DC , giải hệ ⇒ C ( 5; −1) - Lập phương trình BC qua điểm M C ⇒ BC: y + = - Lập phương trình AH (qua H ⊥ BC) ⇒ AH: x – = - Tọa độ A = AH ∩ AC , giải hệ ⇒ A(2;2) Bài 2: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (C), đường phân giác ngồi µA cắt đường tròn (C) M(0; –3), N(–2;1) Tìm tọa độ điểm B, C biết đường thẳng BC qua E(2; –1) C có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết ta thấy AN ⊥ AM (t.c phân giác góc kề bù) ⇒ đường tròn (C) có tâm I(–1; –1) trung điểm MN, bán kính R = MN 2 = ⇒ (C): ( x + 1) + ( y + 1) = + Như đến thấy để tìm tọa độ B, C ta cần thiết lập phương trình đường thẳng BC cho giao với đường tròn (C) + Quan sát tiếp thấy BC qua E(2; –1) rồi, ta cần tìm VTCP VTPT ổn khơng! Nếu vẽ xác ta dự đốn BC ⊥ MN ‼! (ta chứng minh nhanh nhộ: ả =A ả MB ẳ = MC ẳ ⇒ M điểm BC » ⇒ H trung điểm BC ( H = MN ∩ BC ) ⇒ BC ⊥ MN (q A hệ đường kính dây cung – hình học lớp 9)) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word + Như vậy, tóm lại, đường thẳng BC qua E ⊥ MN ⇒ BC: x − 2y − = + Cuối cùng, ta cần giải hệ phương trình gồm ( C ) ∩ BC 6 7 ⇒ B ( −2; −3) , C  ; − ÷ 5 5 Bài 3: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn tâm O(0;0) Gọi M(–1;0), N(1;1) chân đường vng góc kẻ từ B, C ΔABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C ΔABC, biết điểm A nằm đường thẳng Δ có phương trình: 3x + y − = Hướng dẫn tìm lời giải + Ta thấy A ∈ ∆ ⇒ A ( a;1 − 3a ) , cần thiết lập phương trình để tìm a + Ta có AO ⊥ MN (Tính chất 3) Giải phương trình: AO.MN = ⇒ a = ⇒ A ( 1; −2 ) + Đường thẳng AB qua A, N ⇒ AB : x − = + Đường thẳng AC qua A, M ⇒ AC : x + y + = + Đường cao BM qua M ⊥ AC ⇒ BM : x − y + = + Tọa độ B = AB ∩ BM ⇒ B ( 1; ) , tương tự ⇒ C ( −2;1) Như điểm quan trọng phát AO ⊥ MN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết ta tính IH = d ( I; AM ) = = + Do A ∈ AM ⇒ A ( x; 2x − ) , vấn đề phải thiết lập phương trình để tìm x‼! + Ta thấy ΔAIH vng H, tính AI (hoặc AH) có phương trình ẩn x Thật vậy, em quan sát suy luận sau đây: - Em chứng minh ¶ ¶ ¶ +A ¶ = 45° ⇒ tan A ¶ +A ¶ = ⇔ tan A1 + tan A = (*) A 2 ¶ tan A ¶ − tan A ( ¶ = - Mà tan A ) DM ¶ =1 = , thay vào (*) ⇒ tan A AD ¶ = IH ⇒ AH = ⇒ AI = AH + IH = - Lại có: ΔAIH vng H ⇒ tan A AH  13  13  x = ⇒ A  ; ÷   - Bây giải phương trình AI = ⇒   x = ⇒ A ( 1; −3) Bây xem lại đề thi khối A-2012 có cách khai thác làm tương tự (trong đáp án BGD khó hiểu) Bài 17: (KA-2012) Cho hình vng ABCD, M trung điểm BC N thuộc CD cho CN = 2.ND Điểm  11  M  ; ÷, AN : 2x − y − = Tìm tọa độ A  2 Hướng dẫn tìm lời giải + Do A ∈ AN ⇒ A ( x; 2x − 3) + Tính khoảng cách AH = d ( M; AN ) = + Bây ta cần tính đoạn AM để thiết lập phương trình tìm x sau: ( ¶ +A ¶ +A ¶ = 90° ⇒ A ¶ = 90° − A ¶ +A ¶ - Ta có: A 3 ( ) ( ¶ = cot 90° − A ¶ +A ¶  = tan A ¶ +A ¶ ⇒ cot A 3   1 DN BM + + ¶ + tan A ¶ tan A =1⇒ A AD AB ¶ ¶ = 45° ⇒ cot A = = = ¶ ¶ DN BM 1 − tan A1.tan A − 1− AD AB - Xét ΔAHM vuông H ⇒ AM = HM =3 sin 45° http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ) ) - Giải phương trình AM = ⇒ x = ? ⇒ A? Bài 18: (KA-2013) Cho hình chữ nhật ABCD có M đối xứng với B qua C Điểm N(5; −4) hình chiếu vng góc B DM Điểm C nằm đường thẳng 2x + y + = 0, A ( −4;8 ) Tìm tọa độ B C Hướng dẫn tìm lời giải + Điểm C ∈ d ⇒ C ( x; −2x − ) + Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD ⇒ I  x − −2x +  ; trung điểm AC ⇒ I  ÷   + Ta dễ dàng chứng minh IN = IA, giải phương trình ⇒ x = ⇒ C ( 1; −7 ) + Đến ta lập phương trình AC (đi qua điểm A C), điểm B điểm đối xứng N qua AC ⇒ B ( −4; −7 ) Cách khác: + Điểm C ∈ d ⇒ C ( x; −2x − ) , vẽ hình xác, dự đốn rằng: AN ⊥ NC ⇒ AN.NC = , giải phương trình ⇒ x ⇒ C (Ta chứng minh AN ⊥ NC sau: Chứng minh ADMC hình bình hành ⇒ AC ⊥ NB Trong ΔANM có C trung điểm BM, EC // NM ⇒ E trung điểm · BN ⇒ ∆ABC = ∆ANC ⇒ ANC = 90° ) + Để tìm tọa độ B ta giải hệ  B ∈ BN (trong BN đường thẳng qua   BC = CN N vng góc với AC) Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD, A(5;−7), C ∈ d : x − y + = Đường thẳng qua D trung điểm M AB có phương trình ∆ : 3x − 4y − 23 = Tìm tọa độ B, C biết x B > Hướng dẫn tìm lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word + C ∈ d ⇒ C ( x; x + ) + Do M trung điểm AB ⇒ d ( C; ∆ ) = 2.d ( A; ∆ ) , giải phương trình  x = ⇒ C ( 1;5 ) ⇒   x = −79 < 3m −   2m − 23   + Ta có M ∈ ∆ ⇒ M  m; ÷ , mà M trung điểm AB ⇒ B  2m − 5; ÷     + Gọi I tâm hình chữ nhật ⇒ I(3;−1) trung điểm AC, I trung điểm BD ⇒ từ ta biểu diễn  33 21  tọa độ D thông qua ẩn m Lại có D thuộc Δ nên giải phương trình D ∈ ∆ ⇒ B  ; ÷  5  Bài 20: Cho đường tròn (C): ( x − ) + y = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (C) (A, B tiếp điểm) Biết AB qua E(4;1) Hướng dẫn tìm lời giải Bài tập cung cấp cho bạn phương pháp lập phương trình đường thẳng dựa theo ý tưởng quỹ tích + Do M ∈ Oy ⇒ M ( 0; m ) + Đường tròn (C’) ngoại tiếp tứ giác MAIB  a có tâm F  2; ÷ trung điểm MI, bán kính  2 R'= MI 16 + a = 2 a  ⇒ ( C ') : ( x − ) +  y − ÷ 2  16 + a = + Ta có tọa độ A, B giao (C) (C’) nghiệm hệ phương trình: ( x − ) + y =   a  16 + a ⇒ −4x + ay + 12 =  x − + y − )  ( ÷ = 2   + Từ suy AB có phương trình −4x + ay + 12 = , mà E thuộc AB ⇒ m = ⇒ M ( 0; ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word · Bài 21: Cho hình vng ABCD, tia đối tia DA lấy điểm P cho ABP = 60° Gọi K, M, N trung điểm BP, CP, KD Tìm tọa độ D biết tọa độ M(1;2), N(1;1) Hướng dẫn tìm lời giải + Đây loại tốn mà hình khơng có phương trình cạnh nên ta sử dụng phương pháp tính độ dài cạnh hình vng Nếu gọi cạnh hình vng x, ta có: - Đoạn MN có độ dài - Gọi E trung điểm CK ⇒ ME / /PB; ME = 1 · · PK = PB; MEN = PBA = 60° x DC x · = 60° ⇒ PB = 2x ⇒ ME = , mà NE = = ⇒ - ΔPAB vuông A, PBA 2 ΔMEN ⇒ MN = ME = NE = ⇒ x = + Như ta tính cạnh hình vng 2, ta suy luận để tìm tọa độ D - Gọi D(a;b), mà đề cho điểm M, N biết tọa độ rồi, hướng suy nghĩ tính DN DM sau: DK PB · = 30°, PK = = , cần tính PD để áp dụng định lý hàm số , để ý ΔDPK có DPK 2 cos ΔDPK tính DK - Ta có DN = Ở PD = AP − AD = PD − AB2 − AD = − , quay trở lại để áp dụng định lý hàm số cos ΔDPK (1) ⇒ DK ⇒ DN = − - Ta có DM = PC PD + DC = = 5−2 2  1  D  ;  2 + Cuối cùng, giải hệ phương trình gồm (1) (2) ⇒  D  ;     (2) 3 ÷ ÷  3 ÷ ÷  Bài 22: Cho hình thang vng ABCD vng A D có AB = AD < CD , B(1;2), đường thẳng BD có phương trình y = Biết đường thẳng d : 7x − y − 25 = cắt đoạn thẳng AD, CD M N cho · BM ⊥ BC tia BN tia phân giác MBC Tìm tọa độ điểm D, biết D có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Ta có d ( B;d ) = = 2 · · + Ta có ΔBMN = ΔBNC (do BN chung, MBN = CBN; BM = BC (do ΔBAM = ΔBHC) ⇒ BI = BH = 2 (2 đường cao tương ứng tam giác nhau) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ⇒ BD = BH = (do ΔBDH vuông cân H) d = −3 < + Do D ∈ BD ⇒ D ( b; ) , giải phương trình BD = ⇒  d = ⇒ D ( 5; ) 3 9 Bài 23: Cho hình thang vng ABCD vng A B có BC = 2.AD, H  ; ÷ hình chiếu vng góc B 5 5 lên CD Xác định tọa độ điểm B, D hình thang, biết A(−3;1), trung điểm BC điểm M nằm đường thẳng x + 2y − = Hướng dẫn tìm lời giải + M ∈ d ⇒ M ( − 2x; x ) + Do ADMB hình chữ nhật ⇒ tứ giác ADMB nội · tiếp đường tròn đường kính DB, mà DHB = 90° ⇒ H thuộc đường tròn đường kính DB ⇒ điểm A, D, H, M, B nằm đường tròn đường kính DB ⇒ tứ giác · · AHMB nội tiếp ⇒ AHM = 90° (do ABM = 90° ) Đến ta giải phương trình HA.HM = ⇒ M ( 1;0 ) + Mà AM // DC (do ADMC hình bình hành) ⇒ đường thẳng DC qua H song song với AM ⇒ DC : x + 20 y− 39 = 1  + Ta có O  −1; ÷ trung điểm AM, giải tiếp hệ 2    12   7 D  − ; ÷⇒ B  − ; − ÷   D ∈ DC  5  5 ⇒  OD = OA  D  ;  ⇒ B  − 13 ; −    ÷  ÷  5  5 5 Bài 24: Cho hình vng ABCD có A(3;4) Gọi M, N trung điểm AD DC E giao điểm BN CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔBME, biết BN có phương trình x − 3y + = điểm B có tọa độ nguyên Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết, quan sát hình vẽ ta thấy tập dạng này, ta chứng minh MC ⊥ BN ⇒ ΔBEM vuông E (bạn tự chứng minh điều làm vài lần rồi) ⇒ đường tròn ngoại tiếp ΔBEM có tâm I trung điểm MB, bán kính R = IB Như điểm định phải tìm tọa độ B I (ở đề cho B có tọa độ nguyên nên chắn phải suy nghĩ đến việc tìm tọa độ B rồi) + B ∈ BN : x − 3y + = ⇒ B ( 3b − 1; b ) , ⇒ ta cần thiết lập phương trình để tìm b = ? Bây dừng tiếp tục quan sát hình xem bạn suy luận nhé! http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word + Nếu gọi P trung điểm BC, Q = AP ∩ BN ⇒ chứng minh AP đường thẳng qua A ⊥ BN ⇒ AP: 3x + y − 13 = 32  19  + Tọa độ Q = AP ∩ BN , giải hệ có Q  ; ÷⇒ AQ =  5 + Mà AQ = BE (do ΔAQB = ΔBEC) ⇒ BE = 32 , lại có BE = 2.BQ, giải phương trình  b = ∉Z  BE = 2.BQ ⇒ ⇒ B ( 5; ) (Đã tìm B – gần xong rồi)  b = + Bây tìm I nhé: Gọi I trung điểm MB ⇒ I trung điểm AP (do ABPM hình chữ nhật) ⇒ I ∈ AP ⇒ I ( x;13 − 3x ) Để tìm x, bạn cần giải phương trình IA = BI ⇒ x = 2 7   10  Như tốn có đáp số  x − ÷ +  y − ÷ = 2  2  Bài 25: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = AB , AB có phương trình 2x + y + = , H(0;1) trung điểm BC, M trung điểm AD I giao điểm AC BM Viết phương trình đường tròn qua điểm B, I, C Hướng dẫn tìm lời giải + Với dạng tập này, theo kinh nghiệm ta chứng minh ΔBIC vuông I (đây định thành cơng) Thật vậy: Ta có 1 AD AB AM 2, tan B1 = = = = AB AB AB tan C1 = AB AB AB = = = BC AD AB 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word µ =C µ , m B +B ả = 90 C +B ¶ = 90° ⇒ BIC · ⇒B = 90° ⇒ ∆BIC vuông I 1 2 + Như vậy, đường tròn qua điểm B, I, C có tâm H(0;1), bán kính R = BH = d ( H; AB ) = Ta có đáp số cuối bài: x + ( y − 1) = Bài 26: Cho hình vng ABCD, A(−1;2) Các điểm M, N trung điểm AD, BC E giao điểm BN CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔBME biết B có hồnh độ lớn đường thẳng BN có phương trình: 2x + y − = Hướng dẫn tìm lời giải + Nhận thấy ΔBME vuông E (bạn xem lại cách chứng minh – dễ thơi) ⇒ đường tròn ngoại tiếp ΔBME có tâm F trung điểm BM, bán kính R = FB = FM Như ta phải tìm tọa độ B M * Bước 1: Tìm tọa độ B ( −1) + − 8 (bạn nhớ hình học tọa độ 22 + 12 phẳng cho điểm biết tọa độ, đường thẳng có phương trình ta ln có thói quen tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, gợi ý quan trọng để tìm hướng giải) + B ∈ BN ⇒ B ( b;8 − 2b ) , mà d ( A; BN ) = = + Nếu gọi I trung điểm BC, H = AI ∩ BN ⇒ ∆ABI vuông B, đường cao BH 8  AB  ⇒ AB = AH.AI = AB2 + BI = AB2 +  ÷ = 4AB ⇒ AB = 5    b= * Bước 2: Tìm tọa độ M + Gọi K = BN ∩ AD ⇒ D trung điểm AK (do KD DN = = ) KA AB ⇒ đường thẳng AK (đi qua A, vng góc AB): x + = ⇒ K = AK ∩ BN ⇒ K ( −1;10 ) ⇒ D ( −1;6 ) ⇒ M ( −1; ) Vậy đáp số toán là: ( x − 1) + ( y − 3) = 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 27: Cho ΔABC có A ( −1; ) , B ( 2;0 ) , C ( −3;1) Gọi M điểm di động BC Gọi R ; R bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABM ΔACM Hãy xác định tọa độ điểm M để R + R nhỏ Hướng dẫn tìm lời giải + Áp dụng định lý hàm sin ΔAMB có: AB AB 13 = 2R1 ⇒ R = = · · · sin AMB 2.sin AMB 2.sin AMB ( ) ( ) ( ) + Áp dụng định lý hàm sin ΔAMC có: AC AC = 2R ⇒ R = = · · · sin AMC 2.sin AMC 2.sin AMC ( ) ⇒ R1 + R = ( ) ) 13 + · · 2.sin AMB 2.sin AMC ) · · + Mặt khác ta có: sin ( AMB ) = sin ( AMC ) ⇒ R1 + R = ( ( ) ( · · (do AMB, góc bù nhau) AMC ( ) ( ) 13 + · · ·  ⇒ ( R + R ) MIN ⇔ sin AMB ⇔ sin AMB = ⇒ AMB = 90°   · MAX 2.sin AMB ( ) ⇒ AM ⊥ BC ⇒ M hình chiếu vng góc A BC Như vậy, bạn lập phương trình BC tìm hình chiếu vng góc A BC đáp số  33 17  M ; ÷  26 26  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 28: Cho ( E ) : x y2 + = có tiêu điểm F1 ; F2 Giả sử M điểm thuộc (E) cho bán kính đường tròn 25 M có tung độ dương Viết phương trình đường thẳng (d) qua M tạo với hệ trục tọa độ tam giác có diện tích nội tiếp ∆F1MF2 Hướng dẫn tìm lời giải + Ta thấy (E) có a = 5; b = 3;c = + Gọi M ( x ; y ) ∈ ( E ) ⇒ x 20 y02 + =1 25 (1) + Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp ∆F1MF2 , ta có: S∆MF1F2 = p.r = ( MF1 + MF2 + F1F2 ) r ⇔ F F d 2 ( M, Ox ) = ( MF1 + MF2 + F1F2 ) r  y = −3 < 2a + 2c ⇔ 2c y = ⇒ (em ý MF2 + MF2 = 2a ) y = ⇒ x = ⇒ M 0;3 2 ( )  + Gọi N = ( d ) ∩ Ox ⇒ N ( n;0 ) , mà M ( 0;3) ∈ Oy + Vì S∆MON = ⇒ ON.OM = , giải phương trình ⇒ m = ±6 ⇒ N ( ±6;0 ) Vậy có đường thẳng (d) cần tìm là: ( d1 ) : x + 2y − = 0, ( d ) : x − 2y + = Bài 29: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (C) tâm O: x + y = 25 , điểm E ( −1; ) ∈ AB Đường cao BP CQ ( P ∈ AC, Q ∈ AB ), viết phương trình BC, biết PQ : −4x + 3y − 10 = 0, x A < Hướng dẫn tìm lời giải + Trở lại tập dạng này, ta thấy điểm quan trọng chứng minh AO ⊥ PQ (tính chất 2) Để lập phương trình BC, với loại tập này, ta tìm tọa độ điểm B, C theo suy luận bước sau: + Đường thẳng OA qua O vng góc với đường thẳng PQ ⇒ AO : 3x + 4y = + Tọa độ A = AO ∩ ( C ) , giải hệ PT ⇒ A ( −4;3) (lưu ý x A < nhé) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word + Đường thẳng AB qua A, E ⇒ AB : x + 3y − = + Tọa độ B = AB ∩ ( C ) , giải hệ PT ⇒ B ( 5;0 ) + Tọa độ Q = PQ ∩ AB , giải hệ PT ⇒ Q ( −1; ) + Đường thẳng CQ qua Q vng góc với AB ⇒ CQ : 3x − y + = + Tọa độ C = CQ ∩ ( C ) , giải hệ PT ⇒ C ( −3; ) + Biết tọa độ điểm B, C ⇒ BC : 2x − y − 10 = 45 , hai đường chéo AC ⊥ BD I ( 2;3) Đáy lớn CD có phương trình x − 3y − = Viết phương trình cạnh BC biết C có hồnh độ dương Bài 30: Cho hình thang cân ABCD có diện tích Hướng dẫn tìm lời giải Để làm tập hình thang cân, bạn ý tính chất 11 “Trong hình thang cân có đường chéo vng góc, độ dài đường cao độ dài đường trung bình” + Trước hết gọi độ dài đường trung bình hình thang vng x, cần tìm x để chuẩn bị cho bước suy luận sau, thật vậy: - Ta có SABCD = AB + CD 45 45 5 MN = ⇒ x.x = ⇒x=3 ⇒ MN = x = 2 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word - Mặt khác ta tính khoảng cách IM = d ( I;CD ) = 10 ⇒ NI = MN − IM = - Lại áp dụng định lý Talet, ta thấy 10 IM ID = = ⇒ ID = 2.IB ⇒ DI = 2.IB (*) IN IB Như vậy, từ (*), để tìm tọa độ B, ta cần tìm tọa độ D, đề yêu cầu lập phương trình đường thẳng BC nên ta cần tìm tọa độ C - Ta nhận thấy tọa độ D C giao điểm đường tròn (C) tâm M, bán kính MI với đường thẳng BC, ta cần tìm điểm M sau: r + M ∈ CD ⇒ M ( 3m + 3; m ) , IM ⊥ DC ⇒ IM.n DC = giải PT ⇒ M ( 3;0 ) ⇒ ( C ) : ( x − 3) + y = 10 + Giải hệ { D;C} = ( C ) ∩ DC ⇒ C ( 6;1) , D ( 0; −1) (chú ý x C > nhé) + Gọi B(x;y), giải phương trình (*) ⇒ B ( 3;5 ) ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = Bài 31: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD, BD = 2.AC, BD có phương trình x − y = M trung điểm CD H(2;−1) hình chiếu vng góc A BM Biết phương trình đường thẳng AH Hướng dẫn tìm lời giải - Nhận xét thấy đường thẳng AH qua điểm H(2;−1), để lập phương trình AH ta phải tìm điểm thuộc AH, phương án khó thực hiện, trường hợp ta nghĩ đến cách gọi VTPT AH uu r n1 = ( a; b ) , a + b > - Để tìm a, b trường hợp ta thường nghĩ đến việc thiết lập góc đường thẳng AH BD ( BD uur có sẵn phương trình x − y = ⇒ VTPT BD n = ( 1; −1) ) · · · · · - Ta có góc tạo đường thẳng AH BD AEI , mà AEI (đổi đỉnh), mặt khác BEH HBE = BEH u r uur ·u · · · = sin HBE ⇒ cos n1 , n = sin HBE góc phụ nên ⇒ cos AEI ( ( ) ) · - Đến ta phải tính cho sin HBE số để thiết lập phương trình tìm a, b - Ta thấy gọi G = CI ∩ BM ⇒ G trọng tâm ΔBCD, đề cho ta BD = 2.AC nên GI GI · ⇒ sin HBE = = = BG BI + IG GI ( 6.IG ) + IG = 37 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 7b  a= u u r u u r  · ⇒ cos n1 , n = ⇔ ⇔ 35a − 74ab + 35b = ⇔  37 a = 5b  ( ) + TH1: Với a = 7b , mà AH qua H(2;−1), từ ta có AH: 7x + 5y − = + TH2: tương tự ta có đáp số AH: 5x + 7y − =    14 19  Bài 32: Cho ΔABC đường thẳng ∆ : x − 3y − = Giả sử D  4; ÷, E  ; ÷, N ( 3;3) theo thứ tự chân    10  đường cao từ A, B trung điểm AB Tìm tọa độ đỉnh ΔABC biết M trung điểm BC nằm đường thẳng Δ x M ≤ Hướng dẫn tìm lời giải + Theo tính chất ta chứng minh điểm D, M, E, N nằm đường tròn (C’) + Giả sử (C’) có phương trình x + y + 2ax + 2by + c = 0, a + b − c > 113   8a + 7b + c = −  a = −4   19 229  28  N ∈ C ' ⇒ a + b + c = − ⇔ ( )  + Vì D, E, b = − 20 5  39 6a + 6b + c = −18   c =  39 ⇒ ( C ') : x + y − 8x − y + =0 2 + Ta có M ∈ ∆, M ∈ ( C ' ) ⇒ M = ∆ ∩ ( C ' ) , giải hệ phương trình ⇒ M ( 4;1) , x M ≤ + Tiếp theo ta lập phương trình DM x − = + Điểm B ∈ DM ⇒ B ( 4; x ) , mà M trung điểm BC ⇒ C ( 4; − x ) , mặt khác N trung điểm AB ⇒ A ( 2;6 − x ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word + Do BE ⊥ AC ⇒ BE.AC = ⇒ x = 1  7  5  ⇒ A  2; ÷, B  4; ÷, C  4; − ÷ 2  2  2  Bài 33: Cho hình vng ABCD tâm I ( 1;1) , M ( −2; ) ∈ AB, N ( 2; −2 ) ∈ CD Tìm tọa độ A, B, C, D hình vng Hướng dẫn tìm lời giải + Gọi N’ điểm đối xứng N qua I ⇒ N ' ∈ AB, N ' ( 0; ) + Ta viết phương trình AB qua M, N là: x − y + = + Gọi E trung điểm AB ⇒ IE ⊥ AB + Đường thẳng IE qua I vng góc với N ' M ⇒ IE : x + y − = + Giải hệ E = IE ∩ AB ⇒ E ( −1;3) + Đường tròn (C) tâm E, bán kính R = IE = 2 có phương trình: ( x + 1) + ( y − 3) = + Tọa độ A, B giao điểm AB với (C), giải hệ ta có:  A ( 1;5 ) , B ( −3;1) , C ( 1; −3) , D ( 5;1)   A ( −3;1) , B ( 1;5 ) , C ( 5;1) , D ( 1; −3 ) Bài 34: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2.AB Gọi M, N trung điểm AD BC Điểm K(5;−1) điểm đối xứng với M qua N, đường thẳng AC có phương trình 2x + y − = Tìm tọa độ A, B, C, D biết A có tung độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Gọi I = AC ∩ KD · + Theo tính chất 13 ta chứng minh AID = 90° ⇒ KD ⊥ AC Do ta lập phương trình đường thẳng KD qua K KD ⊥ AC là: x − 2y − =  13 11  + Do I = AC ∩ KD , giải hệ ta có I  ; − ÷ 5 5 + Gọi E = AC ∩ KM ⇒ ID CD 2 = = ⇔ ID = IK ⇔ KD − KI = IK ⇔ KD = KI IK KE 3 3 Nếu giả sử D ( x; y ) , ta có KD = KI , giải phương trình ⇒ D ( 1; −3) r + Gọi n = ( a; b ) vecto pháp tuyến AD, AD qua D ⇒ AD : ax + by − a + 3b = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ( ) AD AD · cos CAD = = = AC AD + DC + Ta có AD  AD  AD +  ÷   =  b = ⇒ AD : x − = ( a; b ) ( 2;1) 2 · ⇒ cos AD, AC = = ⇒ 4ab − 3b = ⇔   b = 4a ⇒ AD : 3x + 4y + = ( a; b ) ( 2;1)  ( ) + Do A = AC ∩ AD , giải hệ phương trình ⇒ A ( 1;1) , y A > + Đường thẳng DC qua A vng góc AD ⇒ DC : y + = ⇒ C = AC ∩ DC ⇒ C ( 3;3 ) + E trung điểm AC BD ⇒ E ( 2; −1) ⇒ B ( 3;1) Bài 35: Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính 2, điểm M ∈ d : x + y = Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B tiếp điểm) Viết phương trình (C) viết AB: 3x + y − = d ( I;d ) = 2 Hướng dẫn tìm lời giải + Gọi K = d ∩ AB, E = MI ∩ AB + Gọi I ( a; b ) , ta có: d ( I;d ) = AH = 2 ⇒ a + b = ( (1) ) IH 2 · · µ (cùng + Ta có cos MIH (*), mà MIH = = =K MI MI · µ góc tạo đường thẳng phụ với KMI ), mặt khác K d AB Vậy thay vào (*) ta có: ⇒ ( 1;1) ( 3;1) ( 1;1) ( 3;1) = 2 ⇒ MI = 10 MI + Lại có: IB = IE.IM ⇒ IE = ⇒ d ( I; AB ) = ⇒ 3a + b − = 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 (2) Cuối ta giải hệ (1) (2) để tìm a, b ⇒ phương trình đường tròn (C) (Các bạn tự làm phần cuối này) 8  Bài 36: Cho ΔABC, điểm G  ;0 ÷ trọng tâm, đường tròn (C) ngoại tiếp ΔABC có tâm I Các điểm 3  M ( 0;1) , N ( 4;1) điểm đối xứng với I qua AB AC Điểm K ( 2; −1) thuộc đường thẳng BC Viết phương trình đường tròn (C) Hướng dẫn tìm lời giải + Tứ giác AMBI hình thoi (do có đường chéo vng góc với trung điểm đường cạnh kề IA = IB) + Tương tự ta có ANCI hình thoi, hình thoi có cạnh ⇒ MNCB hình bình hành ⇒ MN // BC + Gọi H, E trung điểm MN BC ⇒ H(2;1), ⇒ ΔMAN = ΔBIC (c.c.c), mà ΔMAN, ΔBIC tam giác cân A I ⇒ AH, IE đường cao ΔMAN, ΔBIC ⇒ AH = IE + Lại có AH ⊥ MN, IE ⊥ BC, MN / /BC ⇒ AH / /IE ⇒ AHEI hình bình hành ⇒ G trọng tâm ΔHIE 1  + Gọi F(x;y) trung điểm IE, giải phương trình HG = 2.GF ⇒ F  3; − ÷ 2  + Lập phương trình đường thẳng IE qua F vng góc BC ⇒ IE ⊥ MN ⇒ IE : x − = + Ta có BC qua K song song với MN ⇒ BC : y + = + Giải hệ E = IE ∩ BC ⇒ E ( 3; −1) ⇒ I ( 3;0 ) + Do AHEI hình bình hành ⇒ IA = R = HE = Vậy ( C ) : ( x − 3) + y = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Phần CÙNG THỰC HÀNH VỚI 36 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 1: ΔABC nội tiếp đường tròn đường...Phần CÙNG ƠN LẠI CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tính chất 1: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O),... cao kia) - Nếu tam giác có đường kính qua đỉnh đường cao ta kẻ đường cao thứ (bài toán ta làm vậy) + Với toán ta tạo điểm H trực tâm ΔABC ⇒ ta chứng minh BHCD hình bình hành (xem tính chất 2)