Vấn đề 3: TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN Cho hình chóp OABC tam diện vng O Khi khoảng cách từ O đến 1 1 2 mặt phẳng ABC xác định công thức d2 OA OB OC � O;ABC � � � Các tốn khoảng cách khác xuất tam diện vng ta áp dụng cơng thức tính khoảng cách sử dụng thêm cơng thức tính tỉ số khoảng cách để tính khoảng cách cần tìm MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP ĐẶC BIỆT Chứng minh: Dạng : Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB , SBC , SAC Đặt SA a,SB b,SC c vng góc với đơi một, diện Suy tích tam giác SAB,SBC ,SAC S1,S2 ,S3 Khi đó: VS.ABC S1 2.S1.S2.S3 1 ab,S2 bc,S3 ca 2 VS.ABC abc a2b2c2 �1 � �1 � �1 � 2.� ab� �2 bc� �2 ca� � � � � � � Ví dụ Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB , SBC , SAC vng góc với đơi một, diện tích tam giác SAB,SBC ,SAC 15a2 ,20a2 ,18a2 Thể tích khối chóp là: A 20 3a3 B a 20 C a D a 20 20 2.S1.S2.S3 20 3a3 � Chọn đáp án A VS.ABC Ví dụ Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB , SBC , SAC vng góc với đơi Diện tích tam giác SAB,SBC ,SAC 2a cm2 ; a cm2 ; a cm2 Thể tích lớn khối chóp là: A a3 20 Giải: Ta có: VS.ABC B a3 20 3 C a 2.2a(2 a).(4 a) Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: 20 D a3 20 2.S1.S2.S3 3 VS.ABC � 2a (2 a) (4 a)� � � 2.2a(2 a).(4 a) 27 � 3 Vậy Thể tích lớn khối chóp � Chọn đáp án A cm3 Dạng : Cho hình chóp SABC có SA vng góc với ABC , Chứng minh: SA SB.cos hai mặt phẳng SAB SBC vng góc với nhau, SAB SBC � , ASB � BSC vng góc với Nên BC vng góc SAB Khi đó: VS.ABC SB sin2 tan 12 Tam giác SBC vuông B nên 1 SB.BC SB2.tan 2 Kẻ AK vng góc SB Lúc SK khoảng cách từ A đến SBC Do AK BC SB.tan � SVABC vng góc BC SB Ta có: AK SA.sin SB.sin cos SB sin2 AK Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với ABC , hai mặt phẳng SAB � 45 , ASB � 30 Thể tích khối chóp SBC vng góc với nhau, SB a 3, BSC S.ABC là: A 3a B a C a 2 � 30 , BSC � 45 ASB VS.ABC SB3.sin 2 tan 12 3 3a � Chọn đáp án A 12 3 D a Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với ABC , hai mặt phẳng SAB � 45 SBC vng góc với nhau, SB 6 cm , BSC � để thể tích khối chóp S.ABC cm3 : Tìm góc ASC A 15 B 45 Giải: Ta có: VS.ABC � Chọn đáp án A C 75 D Cả A C 15 SB3.sin2 tan 63.sin2 tan45 � 9� � sin 2 � � 12 12 � 45 � Chứng minh: Dạng : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b a Khi đó: V S.ABC AG 3b a 12 2 3 AM a a 3 �3 � SG b2 � a� �3 � � � 3b2 a2 1 3b2 a2 a2 3b2 a2 VS.ABC a 2 12 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên 2a Thể tích khối chóp S.ABC là: A a 11 VS.ABC B a 10 12 C a D a 11 12 11 10 a2 3b2 a2 12 a2 11 12 � Chọn đáp án D 2a b � VS.ABC Ví dụ Người ta làm hộp hình chóp có đáy tam giác cạnh a m , cạnh bên 4 m Thể tích lớn hộp là: A 2 2 Giải: Ta có: V a 3b a a 12 a 12 12 B D C Đặt 12 a t �t � 12 � a 12 t � VS.ABC t � f ' t 12 3t suy 16 f 2 � V m 12 Xét hàm số f t 12 t Ta có: � f x max 12 t t 2 2 max 12 f ' t � t �2 � Chọn đáp án B Dạng : Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc Khi đó: VS.ABC a tan 24 Chứng minh: GM 1 3 AM a a 3 SG atan 1 3 VS.ABC a atan 2 a3 tan 24 Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích khối chóp S.ABC là: A a 48 B a 24 C a D a 12 24 a3 tan60 a3 24 24 � Chọn đáp án C VS.ABC Dạng : Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên bvà cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc Khi đó: VS.ABC 3b3 sin cos2 Chứng minh: SG bsin AM 3 AG b.cos 2 � BC 3.b.cos SABC 3 b cos2 � VS.ABC 3b3 sin cos2 Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên 2avà cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Khi đó: A a3 B a3 C a3 2a sin60 cos2 60 VS.ABC D a3 3 a � Chọn đáp án D Ví dụ Người ta làm hộp hình chóp tam giác có cạnh bên a m cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Tìm a để thể tích khối chóp m3 ? B A Giải: Ta có: VS.ABC � Chọn đáp án A C 3b sin cos D 3a sin60 cos 60 � a 4 m Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên 4và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc Thể tích lớn khối chóp S.ABC là: A 32 B 12 Giải: Ta có: VS.ABC C 3.43.sin cos2 16 3sin cos2 2 Đặt sin t � cos 1 t � VS.ABC 16 3.t 1 t D 2 Xét hàm số f t t 1 t � f ' t 1 3t suy f ' t � t �1 � �1 � �1 � � �1 � 32 � � max � � � ; ff� � ; 1 �� Vmax m Ta có: ff� � � � 3� 3 � � 3� � 3� � Chọn đáp án A 28 Chứng minh: Dạng : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA SB SC SD b Khi đó: VS.ABCD 2 SO SA OA b2 4b 2a a a2 a2 VS.ABCD a2 b2 a2 4b2 2a2 Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a, SA SB SC SD 2a Thể tích khối chóp S.ABCD là: A a B a VS.ABCD C a 2 2a a2 3a 2 � Chọn đáp án C D a 3 2a3 Ví dụ Người ta làm hộp hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA SB SC SD Thể tích lớn khối chóp S.ABCD là: A B C a2 4b2 2a2 a2 12 2a2 Giải: Ta có: V S.ABCD 6 Đặt D 12 t t 2 12 2a t �t � 12 � 2a 12 t � VS.ABC 12 2 Xét hàm số f t 12 t t � f ' t 12 3t suy f ' t � t �2 Ta có: ff 2 16 max � Chọn đáp án B 2 ; ff 2 ; 0 ; f 12 � Vmax 16 m 12 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc Khi VS.ABC a tan 12 Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 6 cm cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc Tìm để thể tích khối chóp S.ABC cm A 30 B 45 C 60 28 3 Giải: Ta có: VS.ABC a tan tan � tan � 60 12 24 � Chọn đáp án C D